философы

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Парадокс Скулема

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 12 января 2009 года; содержательно переработано 11 ноября 2014 года.

Парадокс Скулема содержит мнимое противоречие между двумя теоремами классической логики. Теорема Лёвенгейма — Скулема гласит, что если теория первого порядка имеет бесконечные модели, то она имеет модели, чьи области являются только счетными. Теорема Кантора гласит, что некоторые множества несчетны. Парадокс Скулема возникает тогда, когда мы замечаем, что основные принципы канторовой теории множеств (те самые принципы, которые используются для доказательства теоремы Кантора о существовании несчетных множеств) могут сами быть сформулированы в виде набора предложений первого порядка. Как могут принципы, доказывающие существование несчетных множеств, соблюдаться при использовании модели, которая сама является только счетной? Как может счетная модель удовлетворять предложению первого порядка, которое гласит, что существует несчетное число математических объектов, например, несчетно много вещественных чисел?

Философский разбор парадокса обычно сводится к трем основным вопросам. Во-первых, это чисто математический вопрос: почему парадокс Скулема не вносит прямое противоречие в теорию множеств? Во-вторых, речь заходит об исторической стороне. Сам Скулем дал весьма неплохое объяснение тому, почему его парадокс не составляет прямое противоречие. Почему же Скулем и его современники продолжали считать парадокс столь настораживающим в философском отношении? Наконец, встает чисто философский вопрос: о чем, помимо всего прочего, говорит парадокс Скулема касательно нашего понимания теории множеств и/или семантики ее языка?

История проблемы

Для понимания парадокса Скулема нам нужно вспомнить две теоремы классической логики. Первая относится к концу XIX века. В 1873 году Георг Кантор сформулировал новый способ измерения величины (или мощности) множества объектов. Идея заключалась в том, что два множества должны быть равны по мощности в случае, когда для их элементов возможно установить взаимно-однозначное соответствие. Так, например, множество {1, 2, …, 26} можно привести во взаимно-однозначное соответствие со множеством {A, B, …, Z } через естественное отображение, которое соотносит 1 с A, 2 — с B, 3 — с C и т.д. Точно так же множество натуральных чисел можно привести во взаимно-однозначное соответствие с множеством четных чисел через отображение: x |→ 2x.

Когда Кантор применил это понятие мощности к бесконечным множествам, он пришел к удивительному на первый взгляд заключению, что существуют разные виды бесконечности. Существуют относительно малые бесконечные множества, такие как множество четных чисел, целых чисел или множество рациональных чисел. Данные множества можно привести во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. Такие множества называются счетно-бесконечными. В то же время есть гораздо «бóльшие» бесконечные множества, такие как множество вещественных чисел, комплексных чисел или множество всех подмножеств натуральных чисел. Данные множества слишком велики, чтобы можно было установить их взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. Такие множества называются несчетно-бесконечными. Итак, теорема Кантора попросту утверждает, что существуют несчетно-бесконечные множества — множества, которые, что называется, слишком велики, чтобы считаться счетными.

Вторая теорема относится к началу XX века. В 1915 году Леопольд Лёвенгейм доказал, что если предложение первого порядка имеет модель, то у него есть модель, чья область счетна. В 1922 году Туральф Скулем обобщил этот вывод, применив его к целым множествам предложений. Он доказал, что если счетная совокупность предложений первого порядка имеет бесконечную модель, то у нее есть модель, чья область является только счетной. Этот вывод обычно называют теоремой Лёвенгейма — Скулема. Прежде чем продолжать, полезно упомянуть три версии этой теоремы, которые в некотором смысле являются более уточненными.

Пусть T — счетная совокупность предложений первого порядка, а А — бесконечное множество. Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности гласит, что если Т имеет какую бы то ни было бесконечную модель, то Т имеет модель, чья область по величине равна А (действительно, мы можем заключить без потери общности, что область этой второй модели и есть А). Теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности гласит, что если N является моделью (бесконечной) мощности κ и если λ представляет собой бесконечное кардинальное число, меньшее, чем κ, тогда N имеет подмодель мощности λ, которая в точности удовлетворяет тем же предложениям, что и N. Наконец, теорема транзитивной подмодели усиливает теорему Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности путем утверждения, что если наша исходная N оказывается так называемой транзитивной моделью языка теории множеств, то подмодель, порожденную теоремой о понижении мощности, также возможно выбрать в качестве транзитивной.

Вернемся теперь к исходной версии теоремы Лёвенгейма — Скулема, в которой попросту утверждается, что любая теория, имеющая некую бесконечную модель, также имеет модель, которая счетно-бесконечна. Парадокс Скулема возникает тогда, когда мы замечаем, что сами стандартные аксиомы теории множеств могут быть сформулированы как (счетная) совокупность предложений первого порядка. Если эти аксиомы вообще имеют какую-либо модель, то теорема Лёвенгейма — Скулема гарантирует, что они имеют модель со счетной областью. Но это кажется довольно странным. Как могут те же самые аксиомы, на основании которых доказывается теорема Кантора о существовании несчетных множеств, подтверждаться моделью, которая сама по себе является только счетной? Как может счетная модель удовлетворять предложению первого порядка, которое «гласит, что» существует несчетно много чего-либо?

Проясним эти вопросы, рассмотрев конкретный случай. Пусть Т является стандартной первопорядковой аксиоматизацией теории множеств. (Для удобства данная статья сделает акцент на случае, где Т является системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, ZFC, но с тем же успехом подойдет любая стандартная аксиоматизация теории множеств.) При допущении, что Т имеет модель, теорема Лёвенгейма — Скулема гарантирует, что T имеет счетную модель. Назовем эту модель М. Теперь, поскольку T ⊢ ∃x «x является несчетным», должен быть некий mˆ ∈ M такой, что M ⊨ «mˆ является несчетным». Но если сама М является только счетной, то имеется только счетное множество m ∈ M такое, что M ⊨ m ∈ mˆ. На первый взгляд кажется, что возникает прямое противоречие: с одной стороны, mˆ кажется несчетным, тогда как, с другой стороны, mˆ является очевидно счетным.

Такова достаточно простая формулировка парадокса Скулема. До разбора решения парадокса логично рассмотреть вопрос о его обосновании. С одной стороны, нет ничего удивительного в том, что конкретная модель не в состоянии в точности отразить каждое свойство реальности, для которой служит моделью. Математическая модель какой-либо физической теории может, например, содержать только вещественные числа и множества вещественных чисел, даже если сама теория касается, скажем, элементарных частиц и областей пространственно-временного континуума. Аналогичным образом настольная модель солнечной системы правильно отобразит одни моменты и неверно отобразит другие. Так, например, относительные размеры планет будут верны, тогда как абсолютные (или даже пропорции форм этих планет) окажутся неправильными. Или факт вращения планет вокруг Солнца может быть верен, но при этом принцип вращения искажен (то есть на самом деле планеты вращаются не потому, что лаборант жмет на рычаг). С учетом вышеизложенного непонятно, почему мы должны ожидать от первопорядковых моделей теории множеств точной передачи различий между счетными и несчетными множествами. Следовательно, может быть неясно даже то, почему мы должны считать, что парадокс Скулема в принципе кажется парадоксальным.

Хотя мы будем обсуждать этот момент позже (см. в особенности разделы 2.1 и 3.1), стоит сделать несколько предварительных замечаний. Первое: важно отметить, что некоторые теоретико-множественные понятия действительно весьма точно передаются моделями первого порядка. Как мы увидим в разделе 3.1, модели первого порядка довольно неплохо отражают понятия конечной мощности (например, «x является пустым», «x имеет два элемента», «x имеет семнадцать элементов» и т.д.). Если мы позволим себе использовать бесконечно много формул, то мы также сможем передать более общее понятие «x является бесконечным». Наконец, если мы закрепим свое понимание принадлежности (то есть сосредоточим наше внимание на моделях, которые используют реальное отношение принадлежности для интерпретации символа «∈»), то мы также сможем передать общее понятие «x является конечным».

В этой связи парадокс Скулема доказывает, что границей между счетными и несчетными множествами является (в глубинном смысле) первая же ситуация, в которой наша теория моделей теряет способность отражать понятия мощности. Этот факт помогает объяснить, почему парадокс Скулема может по-прежнему казаться парадоксальным даже после того, как мы усвоили общие положения о моделях и теории моделей, представленные в предпоследнем абзаце. Коротко говоря, тот факт, что мы можем передать так много понятий мощности, которые существуют, что называется, ниже разграничения счетности и несчетности, как таковой уже делает нашу внезапную неспособность передать само разграничение счетности и несчетности столь поразительной.

Кроме того, парадокс Скулема не зависит от конкретной аксиоматики теории множеств, которую нам довелось разбирать. Теоремы Лёвенгейма — Скулема можно применить к любой первопорядковой аксиоматизации теории множеств, и поэтому каждая такая аксиоматизация допускает парадокс Скулема. В частности, отсюда следует, что мы не можем решить парадокс, просто выбрав новую аксиоматизацию теории множеств (или добавив новые аксиомы к уже используемой аксиоматизации). Тот факт, что парадокс Скулема присущ контексту первого порядка — что он неизбежен при первопорядковой аксиоматизации теории множеств — является еще одной причиной, по которой парадокс Скулема может изначально казаться столь озадачивающим.

Это приводит нас к первому шагу формулировки парадокса Скулема. В следующем разделе мы объясним, почему простая версия парадокса не составляет истинного противоречия, и рассмотрим несколько более уточненных формулировок парадокса. В разделе 3 мы обратимся к исторической и философской сторонам проблемы. В разделе 3.1 рассматривается понимание парадокса самим Скулемом. В разделах 3.2–3.4 рассказывается о современных попытках доказать, что, пускай даже парадокс не образует истинного математического противоречия, он тем не менее сообщает нечто важное в философском смысле о природе нашего понимания теории множеств.

Математические вопросы

Во вступлении к работе 1922 года, в которой Туральф Скулем впервые представил свой парадокс, Жан ван Хейенорт писал, что этот парадокс «не является парадоксом в смысле антиномии… это новое и неожиданное свойство формальных систем». Этот комментарий отражает общее мнение о парадоксе Скулема внутри математического сообщества. Какие бы философские проблемы ни порождал парадокс, для математики он не составляет проблему.

Чтобы понять, почему парадокс не составляет проблему для математики, нам нужно ответить на два вопроса. В простой формулировке парадокса, данной выше, мы заметили, что существует определенный mˆ∈ M такой, что M ⊨ «mˆ является несчетным». Конечно, в буквальном смысле это не совсем так. В действительности здесь имеется в виду то, что в языке формальной теории множеств существует достаточно сложная формула (для удобства математики иногда сокращают ее до выражения «x является несчетным» на обыденном языке) и что М удовлетворяет этой конкретной формуле при mˆ. Для удобства давайте обозначим соответствующую формулу «Ω(x)». Тогда мы можем перефразировать упомянутый выше факт, сказав, что M ⊨ Ω[mˆ]. В таком случае у нас два вопроса:

1. Почему условное обозначение формулы Ω(x) с помощью выражения «x является несчетным» столь естественно? В частности, почему мог кто-либо даже подумать, что тот факт, что M ⊨ Ω[mˆ], влечет несчетность mˆ?

2. Почему факт того, что M ⊨ Ω[mˆ], в действительности не влечет несчетность mˆ? 

В сущности, первый вопрос состоит в том, является ли парадокс Скулема попросту продуктом наших условных обозначений, который исчезнет, если парадокс Скулема будет сформулирован более осторожно и тщательно. Если же он не исчезнет, то встает второй вопрос, заключающийся в поиске более детального объяснения того, как можно на самом деле разрешить парадокс.

Возникновение парадокса

Есть два пути рассмотрения первого вопроса. С одной стороны, можно начать с формулы Ω(x) и дать ей, что называется, «толкование на обыденном языке». Суть его в следующем: пусть «∈» относится к реальному отношению принадлежности в теории множеств, которое позволяет «∀» и «∃» пробегать весь (действительный) теоретико-множественный универсум и которое интерпретирует «=» и пропозициональные связки обычным способом. Тогда Ω(m) окажется истинным для любого множества m, если и только если m является несчетным. Это показывает, что существует как минимум одна интерпретация Ω(x), в которой данная формула действительно передает обыденное математическое понятие несчетности (по крайней мере, экстенсионально). Итак, имеется как минимум одна интерпретация, согласно которой Ω(mˆ) действительно гласит, что mˆ является несчетным.

С другой стороны, можно начать не с формулы Ω(x), а с фразы на обыденном языке «x является несчетным». На вопрос о том, что означает фраза, сторонник теории множества ответит что-то насчет отсутствия биекции между х и натуральными числами. На вопрос о фразе «является биекцией» он скажет о наборах упорядоченных пар, удовлетворяющих определенным свойствам, а на вопрос о термине «упорядоченная пара» ответит что-то о способах отождествления упорядоченных пар с определенными множествами. Если этот теоретик будет долго продолжать в том же духе и если он захочет сэкономить время, воспользовавшись такими символами, как ¬ и ∃y в качестве сокращенных обозначений «нет» и «существует множество y такое, что», то он в конце концов придет к детальной экспликации «х является несчетным», которая будет выглядеть в точности как формула Ω(x). Таким образом, если мы просто сравним синтаксическую структуру объяснения «х является несчетным» этого теоретика с синтаксической структурой Ω(x), то мы обнаружим, что два этих выражения содержат в точности те же символы в точно таком же порядке. Следовательно, мы еще раз обнаруживаем, что имеется реальное, хотя и в какой-то степени поверхностное, сходство между Ω(x) и «х является несчетным» — сходство, сохраняющееся даже после того, как мы прекращаем использовать «х является несчетным» в качестве непосредственного условного обозначения Ω(x), и объясняющее, почему даже осторожно сформулированная версия парадокса Скулема может представляться нам загадкой.

Таковы два способа представить связь между Ω(x) и «х является несчетным». Вместе они объясняют, почему для математика столь естественно использовать фразу «х является несчетным» в качестве условного обозначения Ω(x) и почему кто-то может склоняться к мысли, что факт того, что M ⊨ Ω[mˆ], должен привести к заключению «х является несчетным». Эти два способа представления также заставляют нас вернуться ко второму вопросу: почему тот факт, что M ⊨ Ω[mˆ], на деле не приводит к несчетности mˆ.

Типовое решение

Для ответа на второй вопрос лучше начать со сравнения интерпретации Ω(x) на обыденном языке, приведенной тремя абзацами выше и подразумевающей несчетность х, с теоретико-модельной интерпретацией Ω(x), заданной M и ⊨. Понятно, что именно последняя интерпретация более всего соответствует пониманию факта того, чтo⊨ Ω[mˆ]. Кроме того, мы получим какие бы то ни было реальные основания полагать, что факт того, что M ⊨ Ω[mˆ], должен привести к несчетности mˆ, лишь в случае, если теоретико-модельная интерпретация довольно тесно связана с обыденной интерпретацией (и таким образом, косвенно с обыденным высказыванием «х является несчетным»). 

К счастью, даже грубого описания данной теоретико-модельной интерпретации достаточно для того, чтобы доказать, что подобных «тесных связей» не существует. Теоретико-модельная интерпретация достигается путем допущения, что значимость «∈» зафиксирована функцией интерпретации M, в которой кванторы в Ω(x) пробегают область М, а значимость «=» и пропозициональных связок зафиксирована рекурсивными частями в определении выполнимости (удовлетворения) первого порядка. Это описание подчеркивает два непосредственных различия между теоретико-модельной интерпретацией и интерпретацией на обыденном языке.

Во-первых, в теоретико-модельной интерпретации подразумевается, что «∈» отсылает к какому бы то ни было бинарному отношению c M, которое подпадает под интерпретацию функции M; и наоборот, интерпретация Ω(x) на обыденном языке подразумевает, что «∈» отсылает к реальному отношению принадлежности в теории множеств. Однако нет основания полагать, что эти два толкования взаимно согласуются. Мы можем найти случаи, где M ⊨ m1 ∈ m2, несмотря на то обстоятельство, что m1 и m2 даже не являются множествами (в самом деле, что касается теории моделей, m1 и m2 могли бы оба быть котами, или кроликами, или ежами, или…). Кроме того, даже когда все элементы в М являются множествами, это не гарантирует, что теоретико-модельное понимание «∈» согласуется с обыденным толкованием. Мы можем найти случай, когда m1 и m2 являются подлинными множествами, но M ⊨ m1 ∈ m2, несмотря на то, что m1 в действительности не является элементом m2. Сходным образом, мы можем найти случай, когда ⊨ m1 ∉ m2, несмотря на то, что m1 действительно является элементом m2 (и где m1 и m2 опять-таки являются подлинными множествами). 

Во-вторых, в теоретико-модельной интерпретации подразумевается, что «∃x» и «∀x» пробегают лишь область M, тогда как обыденная интерпретация подразумевает, что эти кванторы пробегают весь теоретико-множественный универсум. Понятно, что эти два понимания во многом различны. В свою очередь, рассматриваемые различия довольно тесно связаны с видами множеств, которые фигурируют в парадоксе Скулема. Например, предположим, что M ⊨ «mˆ является множеством вещественных чисел». Тогда простой аргумент от мощности множества состоит в том, что имеется 2 в степени ℵ0 вещественных чисел, которые не пребывают в области М (следовательно, не пребывают в {m | M ⊨ m ∈ mˆ }). А значит, есть реальное различие между подлинно несчетным множеством ℜ и только счетным множеством {m | M ⊨ m ∈ mˆ }, то есть между действительным множеством вещественных чисел и множеством элементов, которые M просто принимает за вещественные числа. В теоретико-модельной интерпретации Ω(x) кванторы пробегают лишь второе, меньшее множество, тогда как в обыденной интерпретации они пробегают всё большее множество. Схожим образом, предположим, что M ⊨ «m является бесконечным». Тогда можно показать, что имеется точно 2 в степени ℵ0 биекций f: ω → {m′ ∈ M | M ⊨m′ ∈ m }. Но по большей части счетно многие эти биекции пребывают в области М. Следовательно, только счетно многое их количество «видимо» для ∃x и ∀x в рамках теоретико-модельной интерпретации Ω(x), хотя все 2 в степени ℵ0 из них «видимы» в рамках обыденной интерпретации.

Вместе эти результаты предполагают, что парадокс Скулема может просто создавать незаметное расхождение между двумя разными интерпретациями Ω(x). При данной счетной модели для ZFC именно теоретико-модельная интерпретация Ω(x) позволяет нам найти такой элемент mˆ ∈ M, что M ⊨ Ω[mˆ]. Но только лишь обыденная интерпретация предоставляет нам реальные обоснования полагать, что Ω(mˆ) приводит к выводу о несчетности mˆ. К тому же, как мы только что убедились, существует достаточно различий между теоретико-модельной интерпретацией и обыденной, чтобы мы заподозрили некое легкое расхождение между ними (даже если мы не знаем, что это расхождение в итоге приведет нас прямиком к парадоксу Скулема). В частности, тогда мы должны препятствовать любой попытке незамедлительно перейти от факта, что M ⊨ Ω[mˆ], к утверждению о несчетности mˆ.

На самом деле данный анализ рассматривает парадокс Скулема как явный случай эквивокации. Имеется одна интерпретация Ω(mˆ), в рамках которой формула и правда подразумевает, что mˆ является несчетным множеством; и есть другая, сильно отличающаяся от нее интерпретация, которая гарантирует, что M ⊨ Ω[mˆ]. Парадокс Скулема зиждется на смешении этих двух интерпретаций. Вообще говоря, тот факт, что такое смешение сбивает нас с толку, должен удивлять нас не больше, чем наше осознание того, что наши денежные вклады лежат не в банке из-под майонеза. В самом деле, теоретико-модельный случай может быть немного даже похуже этого банковского случая. Вам может повезти, и вы найдете заначку, проверив имеющиеся у вас дома банки, а вот теорема все же однозначна: если M является счетным, то {m | M ⊨ m ∈ mˆ } также является счетным.

Следовательно, это дает нам довольно простое решение парадокса Скулема. Подобное решение объясняет, почему большинство математиков не считают парадокс чересчур затруднительным, и оно также является весьма распространенным в философской литературе. Такое же решение, по сути, нам предложил сам Скулем в 1922 году (Skolem 1922), а его вариации появились в современных дискуссиях на тему парадокса (Resnik 1966; Myhill 1967; Hart 1970; McIntosh 1979; Benacerraf 1985; Shapiro 1991; Giaquinto 2002). Оно также имеется в ряде вводных учебников (Shoenfield 1967; Kleene 1967; Fraenkel et al. 1984; Ebbinghaus et al. 1994; van Dalen 1997).

Транзитивные подмодели

Прежде чем рассматривать некоторые чисто философские вопросы, связанные с парадоксом Скулема, стоит отметить еще ряд моментов относительно математики парадокса. Во-первых, чтобы лучше понять, как различия между теоретико-модельной и обыденной интерпретациями Ω(x) действительно вызывают парадокс Скулема, стоит рассмотреть их в рамках несколько более уточненной версии парадокса. Мы утверждаем, что множество Х транзитивно, если каждый элемент Х является множеством и каждый элемент элемента Х также является элементом Х (так, y ∈ x ∈ X ⇒y ∈ X). Мы утверждаем, что модель языка теории множеств транзитивна, если область данной модели является транзитивным множеством и отношение «принадлежности» модели является действительным отношением принадлежности, ограниченным областью модели (так, для любых m1, m2 ∈ M верно, что m1 ∈ m2 ⇔ M ⊨ m1 ∈ m2). Тогда, как отмечено в разделе 1, теорема транзитивной подмодели гласит, что если мы начнем с любой транзитивной модели ZFC, то мы может найти транзитивную модель, область которой является счетной (действительно, мы можем утверждать, что эта счетная модель является подмоделью модели, с которой мы начали).

Предположим тогда, что М является счетной транзитивной моделью ZFC. Отсюда вытекают два следствия анализа парадокса Скулема, приведенные в последнем разделе. Во-первых, гарантируется, что теоретико-модельная и обыденная интерпретации Ω(x) сходятся в интерпретации «∈»: для m1, m2 ∈ M верно, что M⊨ m1 ∈ m2, если и только если m1 действительно является элементом m2 Следовательно, в этом случае объяснение парадокса Скулема должно содержать в себе интерпретацию кванторов. Во-вторых, транзитивность М гарантирует, что М верно отражает не одну лишь только принадлежность. В частности, если f и m пребывают в области М, то M ⊨ «f : ω → m является биекцией», если и только если f действительно является биекцией между натуральными числами и m.

Вместе эти факты помогают нам выделить то, что действительно происходит в транзитивной подмодельной версии парадокса Скулема. Рассмотрим снова формулу, которую мы называем Ω(x). Эта формула имеет следующий вид:

Ω(x) ≡ ¬∃f «f : ω → x является биекцией»

Согласно обыденной интерпретации, формула гласит, что теоретико-множественный универсум не содержит никаких биекций между натуральными числами и х. В частности, Ω(mˆ) гласит, что не существует биекции между натуральными числами и mˆ. В противоположность этому, теоретико-модельная интерпретация Ω(mˆ) — которая соотносится с тем фактом, что M ⊨ Ω[mˆ], — отмечает только, что область М не содержит никаких биекций между натуральными числами и mˆ. Понятно, что две интерпретации склонны к расхождению.

И в случае парадокса Скулема они действительно расходятся. Поскольку М счетна, множество mˆ = {m | M ⊨ m ∈ mˆ } должно также быть счетным. Итак, действительно существует биекция (а на деле 2 в степени ℵ0 биекций), f : ω → mˆ. Согласно обыденной интерпретации Ω(mˆ), кванторы «видят» эти биекции, а стало быть, Ω(mˆ) оказывается ложной. Парадокс Скулема доказывает, что сама М не содержит никаких биекций. Следовательно, в теоретико-модельной интерпретации Ω(mˆ) кванторы не «видят» никаких биекций между ω и mˆ, а следовательно, Ω(mˆ) оказывается истинной. В таком случае различия в способах, с помощью которых теоретико-модельная интерпретация и обыденная интерпретация Ω(x) работают с кванторами, дают совершенно естественное объяснение происходящего в парадоксе Скулема.

Эта транзитивно-подмодельная версия парадокса получила широкое освещение в литературе (McIntosh 1979; Benacerraf 1985; Wright 1985; Tennant and McCarty 1987). Действительно, ряд авторов предположил, что транзитивность может быть необходима для формулировки философски значимой версии парадокса (Benacerraf 1985; Wright 1985). В Tennant and McCarty 1987 приводятся возражения против последней точки зрения.

ZFC, показательные множества и вещественные числа

В анализе, приведенном в разделах 2.2 и 2.3, в общем и целом поясняется, как счетная модель может удовлетворять формуле, подобной Ω(x), в случае отдельно взятого элемента. Однако один очевидный вопрос остается без ответа: как может счетная модель ZFC удовлетворять такой формуле? При условии, что некая произвольная модель может интерпретировать формулу, подобную Ω(x), особым способом, как может модель удовлетворять всем аксиомам теории множеств и по-прежнему поддерживать эту особую интерпретацию? Не должен ли факт, что М удовлетворяет ZFC, гарантировать, что М также верно отражает такие основные теоретико-множественные понятия, как «счетное» и «несчетное»?

Краткий ответ таков: счетные модели «ошибочно интерпретируют» аксиомы теории множеств — настолько же ошибочно, насколько они это делают по отношению к формуле Ω(x). Допустим, что М транзитивно, и рассмотрим аксиому показательного множества:

∀x ∃y ∀z [z ⊆ x ↔ z ∈ y ]

Согласно обыденной ее интерпретации, каждое множество имеет показательное множество, то есть множество, которое содержит все подмножества множества (и только эти подмножества), с которого мы начали рассуждение. Тем не менее, согласно теоретико-модельной интерпретации, аксиома имеет в виду нечто гораздо менее строгое. Для любых X ∈ M аксиома гарантирует, что мы можем найти некий Y ∈ M, который в точности содержит подмножества Х, которые также пребывают в М (таким образом, Y = {Z | Z ⊆ X ∧ Z ∈ M }). Но если Х бесконечен, тогда большинство подмножеств Х не будут пребывать в области М (поскольку в конечном счете имеется 2 в степени ℵ0 подмножеств Х, тогда как область М является только счетной). Таким образом, элемент Y, образованный теоретико-модельной интерпретацией аксиомы показательного множества, будет гораздо меньше, чем действительное показательное множество Х (Fraenkel et al. 1984; Tennant and McCarty 1987; Shapiro 1991; Hallett 1994; Giaquinto 2002; Bays 2007a).

Следовательно, в этом случае различия в способах, которыми теоретико-модельная и обыденная интерпретации аксиомы показательного множества оперируют исходным ∀z-квантором (в частности различия касательно того, какие подмножества Х «видит» квантор), объясняют, как счетная модель может удовлетворять некой аксиоме, которая, «как считается», порождает несчетное множество. И феномен такого рода вполне универсален. Майкл Резник (Resnik 1966) отслеживает его на примере с вещественными числами. Как и ранее, предположим, что М является счетной транзитивной моделью ZFC. Тогда будет существовать такой R ∈ M, что (по модулю нескольких условных обозначений)

M ⊨ «R является множеством вещественных чисел».

Резник замечает, что, пусть даже М удовлетворяет этой формуле, R в действительности не содержит все вещественные числа — он только содержит те вещественные числа, которым случилось пребывать в области М. Таким образом, простой факт, что R является счетным, не создает в каком-либо интересующем нам смысле парадоксальной ситуации, в которой множество всех вещественных чисел также является счетным.

Эти примеры, взятые вместе, подчеркивают важнейший факт: «ложные интерпретации», которые объяснили, как счетная модель может удовлетворять предложению вида Ω(mˆ), в действительности вполне систематичны. Примеры также объясняют, как подобные модели могут удовлетворять таким предложениям, как «R является множеством вещественных чисел» или «Y является множеством ω всех подмножеств», и даже объясняют, как они могут удовлетворять аксиомам теории множеств (например, аксиоме показательного множества). Достаточное количество этих ложных интерпретаций, собранных вместе, объясняет, как счетная модель может удовлетворять аксиомам теории множеств и одновременно поддерживать особую интерпретацию Ω(x), которую мы обсуждали в разделах 2.2 и 2.3. Согласно ван Хейенорту, теорема Лёвенгейма — Скулема может по-прежнему представлять собой интересный в техническом отношении факт (по его словам, теорема отражает «новое, неожиданное свойство формальных систем»), однако сам парадокс Скулема в конечном счете не должен больше казаться парадоксальным.

Последние четыре момента

Мы заканчиваем обсуждение математической стороны парадокса Скулема четырьмя вопросами. Во-первых, разбор в разделах 2.3 и 2.4 касался в основном случая с транзитивной подмоделью парадокса Скулема. Он относительно прост для анализа и получил наиболее широкое освещение в литературе. Однако он также может в какой-то степени вводить в заблуждение. Анализ в разделах 2.3 и 2.4 по большей части опирался на тот факт, что транзитивные модели многое из теоретико-множественного универсума (принадлежность, биекции, вещественные числа и т.д.) отражают «верно». Что особенно важно, если М транзитивна и m ∈ M, то m = {m′ ∈ M | M ⊨ m′ ∈ m }.

Если же М не транзитивна, то почти все доказательство становится несостоятельным. Бейз доказывал, что существуют версии парадокса Скулема, которые опираются исключительно на способ, которым определенные нетранзитивные модели интерпретируют несколько специфических случаев отношения принадлежности в Ω(x) (Bays 2007a: sec. 4–5). Схожие соображения отсылают к нашей дискуссии о множестве всех подмножеств и вещественных числах в разделе 2.4. К примеру, мы можем найти счетную модель ZFC, которая содержит целое множество вещественных чисел в качестве одного элемента — модель остается счетной только потому, что ℜ ≠ {m | M ⊨ m ∈  ℜ} (Benacerraf 1985; Bays 2007a: sec. 1). Иными словами, хотя типовое объяснение парадокса Скулема, которое приводилось в разделе 2.2, сохраняет справедливость, когда мы переходим к нетранзитивным моделям, при более детальном анализе разделов 2.3 и 2.4 все рушится. В типовом объяснении просто отмечалось, что имеется некоторая эквивокация теоретико-модельной и обыденной интерпретаций Ω(x), а затем парадокс Скулема приводится к некоторой эквивокации этих двух интерпретаций. Следовательно, в общем нетранзитивном случае анализ раздела 2.2 может быть лучшим способом объяснения парадокса Скулема (но отсюда не следует, что мы не в состоянии дать более детальное объяснение в контексте любой конкретной нетранзитивной модели).

Тем самым мы переходим ко второму моменту. Парадокс Скулема возникает из-за того, что мы используем первопорядковую аксиоматизацию теории множеств. Точнее, он возникает из-за того, что мы используем первопорядковую теорию моделей для интерпретации данной аксиоматизации. В 1930 году Цермело доказал, что (второпорядковые) модели второпорядковой ZFCверно вычисляют мощности и множества всех подмножеств. В частности, если M является моделью второпорядковой ZFC и если mˆ ∈ M, то M ⊨ «mˆ является несчетным», если и только если {m | M ⊨ m ∈ mˆ } действительно несчетно. Следовательно, парадокс Скулема не возникает в контексте второго порядка (Zermelo 1930; Shapiro 1991).

Второй момент показывает, что парадокс Скулема исчезает, если наша логика достаточно сильна. При рассмотрении третьего момента выясняется, что ослабление нашей логики имеет схожий результат. Теннант и Маккарти (Tennant and McCarty 1987) демонстрируют, что стандартные доказательства теоремы Лёвенгейма — Скулема несостоятельны в конструктивистской теории множеств; по их словам, сама теорема, вероятно, является конструктивистски несостоятельной. А это значит, что нет способа обобщить парадокс Скулема в рамках конструктивистской математики. Для конструктивистов, следовательно, как и для тех, кто хочет поддерживать второпорядковые аксиоматизации теории множеств, парадокс Скулема просто не возникает.

Итак, в последних двух моментах мы обнаруживаем, насколько классическая логика первого порядка важна для парадокса Скулема. С математической точки зрения это совсем не удивительно. Линдстрем доказал, что теоремы Лёвенгейма — Скулема играют ключевую роль в передаче свойств самой логики первого порядка (Lindström 1966; Lindström 1969; Ebbinghaus 2007). В данной связи не стоит удивляться, что затруднение, которое наиболее тесно ассоциируется с этими теоремами, также оказывается довольно тесно связанным с особенностями первопорядковой ситуации. Хотя, как мы увидели, парадокс не составляет прямое математическое противоречие, он действительно помогает нам понять природу и ограничения классической логики первого порядка.

Это подводит нас к последнему моменту. В разборе выше объясняется, почему те из нас, кто хочет занять наивно-реалистическую позицию по отношению к языку теории множеств (например, те, кто не имеет сомнений относительно высказываний вроде «обыденная интерпретация Ω(x)»), не должны волноваться по поводу парадокса Скулема. Важно сделать акцент на том, что анализ также объясняет, по какой причине парадокс Скулема не вносит противоречий в различные формы аксиоматизированной теории множеств, даже когда аксиоматики сами по себе рассматриваются формалистски или в теоретико-модельном ключе. Например, с теоретико-доказательной точки зрения, существует различие между нерелятивизированной квантификацией и квантификацией, которая эксплицитно релятивизирована до какой-то формулы в нашем языке (в котором эта формула, с интуитивной точки зрения, служит для «выборки» области счетной модели ZFC). Таким образом, не существует заведомой причины полагать, что предложение с нерелятивизированными кванторами вступит в противоречие со своим аналогом — полностью релятивизированным предложением. Схожим образом, с теоретико-модельной точки зрения, существует различие между кванторами, которые пробегают всю область модели, и кванторами, пробегающими только «элементы» некоторого отдельного элемента данной модели (где элемент снова входит в разряд таких, которые более крупная модель «принимает» за модель ZFC). Таким образом, хотя наивный реализм, о котором говорится в разделах 2.1–2.4, можно применить с пользой в разъяснительных целях, он не является необходимым для лежащего за ним анализа парадокса Скулема.

Философские вопросы

В предыдущем разделе было объяснено, по какой причине парадокс Скулема не составляет проблему для математики. Конечно, это не помешало философам утверждать, что для философии парадокс действительно является проблемой. В этом разделе мы рассмотрим несколько попыток вывести философские заключения из математики, обуславливающей парадокс Скулема. Однако прежде стоит сделать два замечания. Во-первых, многие из наиболее вызывающих обсуждений парадокса Скулема достаточно кратки, и их можно отнести к высказанным вскользь замечаниям. Следовательно, большая часть обсуждения таких замечаний будет сводиться к догадкам и предположениям. Во-вторых, многие критические рассмотрения парадокса Скулема сосредоточены просто на тщательном разборе математики парадокса с последующим объяснением того, по какой причине парадокс не образует подлинного математического противоречия. Поскольку этот материал уже освещен в разделе 2, мы больше не будем обсуждать эти темы в данном разделе.

Взгляды Скулема

Скулем в своей работе 1922 года впервые представил свой парадокс и использовал его с тем, чтобы сделать два философских вывода: что теория множеств не может служить «основанием для математики» и что аксиоматизация теории множеств приводит к «относительности теоретико-множественных понятий» (Skolem 1922). Эти утверждения и доводы Скулема в их пользу привлекли серьезное внимание комментаторов. К сожалению, работа Скулема довольно сжата, и поэтому трудно точно определить, в чем именно должны были состоять утверждения на самом деле. В настоящее время существуют три интерпретации работы Скулема, имеющие определенное хождение в философской литературе.

Начнем с утверждения Скулема, что аксиоматизация теории множеств приводит к относительности теоретико-множественных понятий. Во-первых, можно рассмотреть его на фоне того, что мы могли бы назвать алгебраической или теоретико-модельной концепцией аксиоматизации. В такой концепции аксиомы теории множеств служат для характеристики (или, возможно, даже имплицитного определения) таких основных теоретико-множественных понятий, как «множество», «принадлежность» и «теоретико-множественный универсум». Таким образом, теоретико-множественный универсум является просто моделью аксиом теории множеств. Множество — просто элемент в некоем теоретико-множественном универсуме, а принадлежность означает лишь некое бинарное отношение, которое определенный универсум использует для интерпретации символа «∈». Тогда аксиомы теории множеств не должны рассматриваться как попытки описания (или даже частичного описания) некой заведомо «предполагаемой модели» теории множеств; напротив, предполагаемым моделям теории множеств попросту случилось удовлетворять нашему исходному набору теоретико-множественных аксиом.

Здесь следует подчеркнуть, что такая алгебраическая концепция аксиоматизации, скорее всего, была хорошо известна математикам, работавшим во времена, когда Скулем представил свою работу (Skolem 1922). Сам Скулем проходил подготовку в алгебраической школе логики Шрёдера, так что размышление над аксиомами было для него совершенно естественным занятием. Но даже люди, не проходившие школу Шрёдера, могли счесть такую концепцию знакомой. Именно она лежит в основе знаменитой аксиоматизации геометрии Гильберта (здесь можно вспомнить пресловутые высказывания Гильберта о том, что в рамках такого рода аксиоматизации мы можем заменить точки, линии и плоскости столами, стульями и пивными кружками при условии, что последние состоят в соответствующих отношениях). Эта концепция также лежит в основе результатов XIX века, в соответствии с которыми арифметике и анализу можно дать категорическую (второпорядковую) аксиоматизацию. Наконец, что особенно важно, именно ее Скулем относит к Цермело в той самой работе, которую мы сейчас обсуждаем, и, следовательно, Скулема в первую очередь заботила критика концепции аксиом Цермело.

Скулем обращается к теоремам Лёвенгейма — Скулема с алгебраической концепцией для того, чтобы доказать, что аксиомам теории множеств недостает средств, чтобы задать понятие несчетности. Для любой данной первопорядковой аксиоматизации теории множеств и любой формулы Ω(x), которая, как предполагается, передает понятие несчетности, теоремы Лёвенгейма — Скулема показывают, что мы можем найти счетную модель М, которая удовлетворяет нашим аксиомам. Следовательно, как и в разделе 1, мы можем найти такой элемент mˆ ∈ M, при котором M ⊨ Ω(mˆ), но при этом {m | M ⊨ m ∈ mˆ } является только счетным. Вследствие этого при условии, что основные теоретико-множественные понятия определяются при помощи простого обращения к теории моделей, относящейся к первопорядковой аксиоматизации теории множеств, многие из этих понятий (в частности, понятия счетности и несчетности) неизбежно окажутся относительными.

В таком случае это значит, что содержание утверждения Скулема об аксиоматизации теории множеств приводит к относительности теоретико-множественных понятий. Важно отличать это утверждение от более тривиального тезиса, который могли приписать Скулему. С одной точки зрения, алгебраическая концепция аксиоматизации приводит к очевидной форме относительности: элементы, которые считаются множествами в одной модели, могут не считаться таковыми в другой, а отношение принадлежности в одной модели может отличаться от отношения принадлежности в другой, и это последнее отличие в отношениях принадлежности может сохраняться, даже если двум моделям случается разделять одну и ту же область. Следовательно, в таком тривиальном понятии относительности почти все оказывается относительным, даже такие простые понятия, как «x является пустым множеством» или «x — синглетон». В конце концов, объект может быть «синглетоном» в одной модели и «даблетоном» в другой, или в одной модели возможно «пустое множество», которое оказывается вовсе не включенным в область другой модели.

Важно подчеркнуть, что представление самого Скулема об относительности сложнее, чем только что описанное. Допустим, что определенный элемент, который выполняет функцию «пустого множества», не остается неизменным при нашем переходе от одной модели теории множеств к другой — будучи пустым множеством в первой модели, элемент становится, скажем, синглетоном в другой. Тем не менее мы все же можем использовать некую формулу языка теории множеств, чтобы передать понятие «х является пустым множеством» в сущностно абсолютном смысле. В любой модели наших аксиом элемент mˆ ∈ M будет удовлетворять открытой формуле «∀y y ∉ x», если и только если множество {m | M ⊨m ∈ mˆ } действительно является пустым. Следовательно, внутри алгебраической структуры существует как минимум одно значение, в котором мы можем передать понятие «x является пустым множеством». При этом можно охватить больше понятий — подобный вывод подходит и к таким понятиям, как «x является синглетоном» или «x содержит семнадцать элементов». Следовательно, даже в алгебраической концепции аксиоматизации существуют теоретико-множественные модели, которые все же способны к весьма четким формулировкам. Теоремы Лёвенгейма — Скулема показывают: неважно, насколько содержательны наши (первопорядковые) теоретико-множественные аксиомы, — для окончательной формулировки понятия «x является несчетным» мы не можем использовать такой метод. Таков результат, лежащий в основе всех рассуждений Скулема об «относительности»: он подчеркивает подлинную слабость алгебраического подхода к теоретико-множественной аксиоматизации.

Подытожим: если мы выберем чисто алгебраический подход к аксиомам теории множеств, то многие базовые теоретико-множественные понятия, включая понятия счетности и несчетности, окажутся относительными. По словам Скулема, эта «аксиоматизация теории множеств приводит к относительности теоретико-множественных понятий, и эта относительность неразрывно связана с каждой доскональной аксиоматизацией» (Skolem 1922: 296). Конечно, по-прежнему остается вопрос, действительно ли эти понятия являются абсолютно относительными — существует ли некий другой, неалгебраический и недоскональный способ понимания наших аксиом, который не приводит к указанной относительности. И стоит нам обратиться к последнему вопросу, как различные интерпретации статьи Скулема начинают проявлять несостоятельность.

Наиболее традиционная интерпретация статьи Скулема рассматривает его доводы как непосредственную критику теории множеств. Скулем начинает статью с замечания, что классические теоретико-множественные парадоксы должны настраивать нас на скептический лад относительно неформальных толкований теории множеств или, по словам Скулема, «наивных рассуждений со множествами». В этой связи наш единственно действенный вариант — прибегнуть к какой-либо форме аксиоматизированной теории множеств, а единственный приемлемый способ понять наши аксиомы — алгебраический (поскольку интуитивное их понимание приведет к возвращению к дискредитированной ранее наивности). Однако парадокс Скулема показывает, что теоретико-множественные понятия относительны в алгебраической концепции аксиоматизации. Таким образом, они действительно относительны. Коротко говоря, классические парадоксы показывают, что алгебраическая концепция теории множеств является лучшим вариантом из тех, что мы имеем, и поэтому парадокс Скулема показывает, что теоретико-множественные понятия неизбежно относительны. Такое традиционное толкование идей Скулема превалирует в их устных представлениях, и такие варианты обсуждались в Hart 1970, McIntosh 1979, Muller 2005 и Bellotti 2006.

Вторая интерпретация сосредотачивается на тезисе Скулема о том, что теория множеств не может обеспечить адекватное обоснование для математики. В частности, по мнению Скулема, теории множеств недостает средств для обоснования простой арифметики — по его словам, арифметика «ясна, естественна и не вызывает споров», тогда как сама теория множеств гораздо проблематичнее. Для того, чтобы показать проблематичность теории множеств, Скулем перечисляет ряд разных способов интерпретации теории множеств — наивная теория множеств; аксиоматизированная теория множеств, толкуемая в теоретико-доказательном ключе; аксиоматизированная теория множеств, толкуемая в алгебраическом ключе; и т.д. Он утверждает, что каждое из этих толкований теории множеств неадекватно в контексте оснований математики. В свете такого прочтения парадокс Скулема играет весьма скромную роль в общем рассуждении Скулема. Он помогает выявить проблемы в одной конкретной концепции теории множеств (алгебраической), но не играет никакой роли в доводах Скулема против других концепций. К тому же, другие доводы не показывают (или в их цель и не входило показать), что различные неалгебраические концепции теории множеств приводят к тому или иному виду относительности (хотя у них, несомненно, имеются другие проблемы, которые делают упомянутые доводы неподходящими в контексте оснований). Разновидности такого фундаменталистского прочтения статьи Скулема можно найти в George 1985 и Benacerraf 1985; см. Jané 2001, где выдвигается критика этого направления интерпретации.

Последняя интерпретация рассуждений Скулема представлена в работе Игнасио Жане (Jané 2001). Прочтение Жане согласуется с традиционной интерпретацией, в соответствии с которой Скулем критиковал теорию множеств в целом и понятие абсолютно несчетного множества в частности. Однако его толкование сходится с фундаменталистской интерпретацией в том, что эта критика приводится по частям, и только в одной из ее частей сам парадокс Скулема играет какую-то роль, причем довольно скромную. В целом Жане считает, что Скулем пытался показать, что нет строго научного способа для изначального ввода понятия несчетного множества в математику. Теоретико-множественные парадоксы демонстрируют, что мы не должны наивно принимать теорему Кантора такой, какой она представляется на первый взгляд — а значит, само доказательство Кантора не вынуждает нас принимать несчетные множества. Парадокс Скулема показывает, что выбор алгебраического понимания теоретико-множественных аксиом также не вынуждает нас принимать несчетные множества, поскольку мы всегда можем интерпретировать эти аксиомы как применимые к модели, являющейся только счетной.

Конечно, как отметил Жане, существует ряд стратегий, к которым можно прибегнуть, чтобы избежать данного применения парадокса Скулема: мы могли бы использовать несчетно многие аксиомы, чтобы вынудить наши модели обзавестись несчетными областями, могли бы обратиться к теореме Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности, чтобы показать, что аксиомы Цермело также имеют несчетные модели (см. раздел 1), или могли бы перейти к второпорядковой версии аксиом Цермело и потом показать, что этим аксиомам могут удовлетворять только модели с несчетными областями (см. раздел 2.5). К сожалению, каждая из стратегий предполагает, что мы уже нашли предварительную формулировку понятия несчетного множества, например, для изначального определения несчетного множества аксиом, формулировки теоремы Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности или доказательства, что ZFC второго порядка имеет только несчетные модели. Таким образом, ни одна из них не может использоваться для ввода несчетных множеств в математику. В любом случае, Жане считает, что в этом состояла суть рассуждений Скулема.

Таковы три основных интерпретации работы Скулема в литературе. Не выбирая, какая из них лучше всего передает собственные намерения Скулема, заметим, что большинство современников Скулема считали, будто он выдвигал «традиционный» довод, описанный выше, и что их отклики на парадокс Скулема отражали именно эту интерпретацию. Сам Цермело принял алгебраическую концепцию его аксиом, но потом настаивал, что эти аксиомы следует интерпретировать в терминах второго порядка и что в таком случае они не подпадают под парадокс Скулема (Zermelo 1930; Taylor 1993; Ebbinghaus 2003). Сходным образом Тарский допускал, что парадокса Скулема можно избежать, принимая «∈» за логическую константу в какой-либо версии теории типов (см. замечания, опубликованные в конце Skolem 1958). Оба этих соображения дали бы возможность математикам избежать парадокса Скулема, и тем не менее они предполагают принятие частей мощного математического механизма, от которого Скулем — при любом толковании его работы — почти наверняка хотел бы отказаться. Поэтому, учитывая философские цели Скулема, эти отклики современников на его парадокс не представляются весьма обоснованными (соображения самого Скулема по поводу этих откликов см. в Skolem 1955, 1958]).

Скулемитский скептицизм

С годами среди философов и логиков сформировалось небольшое, но стабильное направление, приверженцы которого нашли традиционную интерпретацию работы Скулема философски притягательной, то есть притягательной не только как интерпретация статьи, но и как независимое философское рассуждение. Их взгляд, который Майкл Реснайк назвал «скулемитским» (Skolemite), состоит в том, что теоремы Лёвенгейма — Скулема действительно демонстрируют относительность теоретико-множественных понятий. В самом деле, последователи Скулема часто стремятся зайти дальше и утверждают, что, пускай отдельно взятое множество может быть несчетным «по отношению к средствам выражения системы аксиом», каждое множество оказывается счетным, будучи рассматриваемым в «абсолютной» перспективе (Kneale and Kneale 1962; Goodstein 1963; Wang 1964; Fine 1968; Thomas 1968, 1971).

В данном разделе мы выделим ключевую идею на фоне классических разработок этих скулемитских положений, а затем рассмотрим некоторые из откликов на эти положения в современной литературе (в разделе 3.3 мы рассмотрим интересный новый подход к позиции последователей Скулема). Начнем с самого скулемитского аргумента. В общем и целом он включает три шага. Первый из них показывает, что алгебраическая концепция теории множеств является единственной приемлемой для современных математиков и философов. Второй следует за Скулемом в том, что алгебраическая концепция теории множеств приводит к относительности теоретико-множественных понятий. Последний шаг охватывает довод Скулема в защиту относительности, представленной в более сильной форме и упомянутой в конце предыдущего абзаца — той, согласно которой каждое множество оказывается счетным, будучи рассматриваемым в «абсолютной» перспективе.

Второй шаг уже рассматривался довольно подробно в контексте нашего обсуждения Скулема, так что мы просто резюмируем здесь главные пункты. В алгебраической концепции теории множеств основные теоретико-множественные понятия определяются с помощью обращения к теории моделей первопорядковых аксиоматизаций теории множеств. Понятия, остающиеся фиксированными (в том смысле, который мы обсудили в последнем разделе) при нашем переходе от модели к модели, имеют «абсолютное» значение. Понятия, которые варьируются при переходе от модели к модели, имеют только «относительное» значение. В этой связи теоремы Лёвенгейма — Скулема показывают, что понятия счетности и несчетности на практике варьируются при нашем переходе от модели к модели. Следовательно, в алгебраической концепции теории множеств эти понятия только «относительны».

Это подводит нас к шагам 1 и 3 скулемитского аргумента. На шаге 1 различные версии аргумента проявляют наибольшую вариативность. Шаг 1 просто предполагается в некоторых случаях, и поэтому трудно понять, как этот базовый аргумент действительно должен сработать (Kneale and Kneale 1962; Goodstein 1963; Wang 1964). В других случаях предполагается, что любой отказ от алгебраической концепции — в частности, любой переход к простому принятию выражений «все множества» или «является действительно несчетным» такими, какие они есть, — возвращает нас к неприемлемо наивной форме «платонизма» (Fine 1968; Thomas 1968, 1971; Klenk 1976). В остальных же случаях скулемиты следуют примеру Скулема и обращаются к теоретико-множественным парадоксам, чтобы подкрепить их отвержение платонизма. Далее они предполагают, что отказ от платонизма делает алгебраическую концепцию аксиоматизации единственно приемлемой (Klenk 1976).

Существует и другая стратегия: некоторые авторы защищали позицию скулемитов, используя другие, отличные от парадокса Скулема затруднения при интерпретации математического языка, чтобы обосновать изначальный переход от платонизма к алгебраической концепции. Так, например, Кленк доказывал, что мы можем преобразовать одну из классических проблем Бенасеррафа (см. Benacerraf 1965) в аргумент такого рода (Klenk 1976). И аналогично, для обоснования ограниченной скулемитской позиции Райт обратился к рассуждениям Витгенштейна по поводу связи между значением и употреблением (Wright 1985). Наконец, несколько авторов предположили, что все развитие теории множеств ХХ века указывает на необходимость алгебраического подхода — ведь все, что связано с этой темой, представляет собой движение в сторону формальной аксиоматизации (в особенности первопорядковой) от наивных подходов к теории множеств. Последний вид анализа представлен в работе Klenk 1976.

Перейдем теперь к третьему шагу. Математическая теорема, лежащая в его основе, ясна. Пусть φ(x) является формулой, которая должна определить уникальное множество, например, «x является множеством всех подмножеств ω» или «x является множеством вещественных чисел». Тогда мы можем найти модель M ⊨ ZFC и такой элемент m ∈ M, при которых M ⊨ φ(m) и {m′ ∈ M  | 

⊨ m′ ∈ m } является только счетным. Так, если мы хотим допустить, что все необходимое для того, чтобы быть, предположим, показательным множеством ω — это удовлетворять соответствующей определяющей формуле в некой модели теории множеств, то мы можем придать смысл утверждению о том, что как минимум один пример показательного множества ω «действительно» счетен. Если мы далее допускаем, что требуется лишь одна биекция для одного такого примера показательного множества ω, чтобы превратить само показательное множество в «абсолютно» счетное, то мы можем понять сильный скулемитский тезис об абсолютной счетности. Конечно, ни один из двух окончательных шагов не следует, строго говоря, из алгебраической концепции аксиоматизации, но оба представляют собой ходы, которые защитники алгебраической концепции могли бы счесть уместными.

Такова основная структура различных скулемитских аргументов. Прежде чем перейти к рассмотрению откликов на них в современной литературе, важно прояснить роль, которую может и не может играть в этих аргументах сам парадокс Скулема. Порой кажется, что некоторые последователи Скулема считают, что теоремы Лёвенгейма — Скулема сами по себе доказывают, что с нашим обыденной концепцией множеств связана определенная проблема; они якобы показывают, что теоретико-множественные понятия относительны, а относительность не совместима с обыденным представлением множеств, и поэтому нам следует отказаться от него (Kneale and Kneale 1962; Goodstein 1963). Тем не менее из раздела 2 должно стать ясно, что подобный ход рассуждений несостоятелен. Приведенный там анализ доказывает, что те из нас, кто стремится занять наивно-реалистическую позицию относительно теории множеств — или, если уж на то пошло, те, кто занимают более изощренную позицию, основанную на итеративной концепции множеств и/или какой-то форме структурализма второго порядка — не будут иметь трудностей с парадоксом Скулема. Следовательно, парадокс сам по себе не может вынудить нас отказаться от обыденной концепции множеств.

Напротив, для успеха скулемиту нужно придерживаться базового подхода, изложенного в начале этого раздела. Последователь может начать с независимого рассуждения в пользу алгебраической концепции теории множеств, которое приведет нас к отказу от обыденной концепции множеств в пользу алгебраической и, что важно, которое само по себе не вызывает проблем, связанных с парадоксом Скулема. Как только это предварительное рассуждение принимается, скулемит может перейти к использованию алгебраической концепции множеств (и, конечно, теорем Лёвенгейма — Скулема) для защиты тезисов о теоретико-множественной относительности, представленных в шагах 2 и 3 основного скулемитского аргумента.

Стоит сделать два дополнительных замечания касательно такого подхода. Во-первых, нужно отметить, что он дает скулемиту ответ на те виды аргументов, которые мы привели в разделе 2. В частности, это позволяет скулемиту поставить под сомнение наше чересчур наивное использование таких выражений, как «обыденное понимание „∈“», «вещественные числа mˆ», «кванторы, пробегающие весь теоретико-множественный универсум» и т.д. Благодаря независимому рассуждению, подвергающему критике обыденное представление множеств, скулемит не окажется впечатленным тем «решением» парадокса Скулема, которое обращается к наивному использованию такого рода выражений (Thomas 1968, 1971; Klenk 1976).

Во-вторых, следует заметить, что хотя такой подход требует, чтобы скулемит начал с независимого рассуждения, сами теоремы Лёвенгейма — Скулема при этом вовсе не оказываются совершенно излишними. В конце концов, это все-таки теорема, в которой такие теоретико-множественные понятия, как счетность и несчетность, оказываются относительными в отношении алгебраической концепции. Речь не идет обо всех теоретико-множественных понятиях (таких как «x является пустым множеством» или «x имеет семнадцать элементов»), и она не просто «выпадает» из алгебраической концепции аксиоматизации.

Стало быть, в этом месте скулемит должен быть осторожен. За исключением случаев, когда рассуждения, отмеченные в шаге 1 аргумента, довольно тесно связаны с деталями алгебраической концепции — и связаны так, что она становится поистине привлекательной в качестве позитивного понимания теории множеств — дополненный аргумент подвергается риску превратиться в некоторую риторическую тривиальность. В конце концов, как только скулемит получает возможность подвести нас к алгебраической концепции теории множеств (как в шаге 1 его аргумента), он также получает возможность незамедлительно разрушить наше обычное представление множеств и сделать это без вовлечения в обсуждение самого парадокса Скулема. Если это верно, то дополненный аргумент скулемита мог бы просто-напросто свестись к критике обычных теоретико-множественных понятий за их «относительность» в риторическом контексте с уже представленными более серьезными критическими замечаниями в их отношении, приведенными в процессе обоснования первоначального шага. Это было бы более чем нелепо.

Полагаем, для того чтобы избежать такого рода неудобства, последователю Скулема необходимо построить аргумент не на критике наших обыденных теоретико-множественных понятий, а, скорее, на основе конструктивного анализа алгебраической концепции теории множеств. Это значит, что он должен сделать акцент преимущественно на защите алгебраической концепции теории множеств как независимо правдоподобной концепции теории множеств (шаг 1), а затем представить теоретико-множественную относительность просто как новое и неожиданное последствие данной позитивной концепции (шаги 2 и 3). Такая аргументативная стратегия допускает для теорем Лёвенгейма — Скулема возможность сработать в философском ключе, например, как это изложено двумя абзацами выше. Эта стратегия также позволяет сделать более узконаправленный и более конструктивный акцент на шаге 1. При таком толковании шаг 1 помогает главным образом подчеркнуть позитивные свойства алгебраической концепции, тогда как критика обыденных теоретико-множественных понятий становится второстепенной (в лучшем случае). Подробнее об этом см. в разделе 3.3.

Это подводит нас к критике скулемитского аргумента в современной литературе. Стоит отметить три основных ее разновидности. Во-первых, ряд авторов ответили на него просто постепенным и тщательным разбором математики, связанной с теоремами Лёвенгейма — Скулема, с тем, чтобы доказать, что эти теоремы сами по себе не составляют угрозы даже для довольно наивных восприятий теории множеств (Resnik 1966; Benacerraf 1985; Bays 2007a). Хотя такого рода отклик эффективен в отношении упрощенной версии аргумента последователя Скулема, который обсуждался шестью абзацами выше, он плохо работает против более изощренных аргументов, которые мы рассматриваем сейчас, которые начинаются с независимой критики таких наивных концепций. Учитывая изложенное выше и наше обсуждение данного отклика в разделе 2, мы больше не будем рассуждать о нем.

Во-вторых, несколько авторов ответили на скулемитский аргумент прямой критикой алгебраической концепции теории множеств и высказались в пользу более обыденных и интуитивных пониманий теоретико-множественного языка (Myhill 1967; Resnik 1969; Hart 1970; Benacerraf 1985). Здесь необходимо выделить три момента. Первый: трудно понять, как алгебраическая концепция могла бы предоставить общий подход к математическому языку, учитывая, что сама по себе она, похоже, допускает интуитивную базовую теорию, в соответствии с которой формулируются и выводятся наши теоретико-модельные результаты (например, теоремы Лёвенгейма — Скулема). Вопрос осложняется, когда мы берем отдельно третий шаг скулемитского аргумента, поскольку он, по всей видимости, требует абсолютного описания натуральных чисел и абсолютного описания перечисления для того, чтобы сформулировать концепцию «абсолютной счетности» (см. Resnik 1969, Benacerraf 1985, Shapiro 1991; критические замечания в отношении такой аргументации представлены в работах Thomas 1971, Klenk 1976, Bellotti 2006).

Заметим, что здесь эти исходные идеи, по всей видимости, направлены против использования любой полностью общей критики математического реализма для того, чтобы подвести людей к алгебраической концепции аксиом. В конце концов, на первый взгляд, любую достаточно общую критику реализма можно применить к теории моделей скулемитов в той же степени, что и к классической теории множеств. Поэтому сомнительно, что скулемит действительно вправе обратиться к простым опасениям касательно «платонизма» или нашего эпистемического подхода к математическим объектам для обоснования полноценной скулемитской позиции. Коротко говоря, само то обстоятельство, что скулемитские аргументы нуждаются в устоявшихся математических теоремах, по всей видимости, вынуждает скулемитов принять то, что некоторые области математики не подпадают под действие относительности в их понимании. (В дополнение к упомянутой литературе в последнем абзаце см. работы Bays 2001, Bellotti 2005 и Bays 2007b, в которых обсуждается данная точка зрения в свете теоретико-модельного доказательства Патнэма.)

Конечно, этот первый аргумент оставляет возможность того, что теория множеств является особым случаем и что, даже хотя некоторые ветви математики (например, теорию чисел и анализ) следует понимать абсолютно, теорию множеств, подобно теории групп и топологии, необходимо понимать алгебраически. К сожалению, существует ряд очевидных различий между применением теории множеств и более однозначно алгебраическими областями, такими как теория групп. Так, например, математики склонны воспринимать аксиомы теории множеств как менее строгие по сравнению с аксиомами теории групп или топологии. В теории множеств математики время от времени поднимают вопрос о том, верны ли аксиомы ZFC, то есть они рассуждают, как если бы существовало интуитивное представление о множестве, в отношении которого аксиомы ZFC можно было бы проверить и обнаружить их недостаточность. В теории групп и топологии, напротив, просто бессмысленно рассуждать об «интуитивных понятиях», которые могли бы отличаться от понятия, определенного соответствующими аксиомами. В том же ключе защитники теории множеств временами спорят о том, нужно ли дополнять стандартные аксиомы теории множеств новыми аксиомами, например, аксиомами больших кардинальных чисел, аксиомами, подобными V=L, или даже просто такими, как Con(ZFC). Напротив, никто не помышляет о дополнениях к аксиомам теории групп или топологии. Следовательно, алгебраический подход к теории множеств является ревизионистским относительно применения данной теории ровно в той степени, в какой алгебраический подход к теории групп таковым не является.

Наконец, даже если мы действительно принимаем алгебраическую концепцию теории множеств — возможно, потому, что мы больше привержены к определенной разновидности структуралистской философии математики — неясно, почему подобная приверженность требует от нас ограничиться первопорядковыми аксиоматизациями теории множеств. В конце концов, многие из наиболее удачных примеров алгебраического подхода к аксиоматизации (например, результаты, в соответствии с которыми арифметике и анализу можно дать категориальную аксиоматизацию, достигнутые в XIX веке) прибегают к второпорядковой базовой логике. Как мы заметили в разделе 2, версии ZFC второго порядка не вызывают парадокса Скулема. Следовательно, скулемитам отнюдь не достаточно отстаивать алгебраический подход к аксиоматизации теории множеств — им также следует показать, что на деле правилен лишь первопорядковый алгебраический подход (развитие такой аргументации представлено в работах Hart 1970 и Shapiro 1991).

Это все, что стоит сказать об общей критике алгебраической концепции аксиоматизации и ее роли в скулемитском аргументе. Теперь обратимся к более узкому возражению в отношении третьего шага. Для удобства предположим, будто скулемиты доказали, что наши теоретико-множественные понятия относительны и что для каждого типа множества, который мы можем определить с помощью формулы, существует один пример, который является только счетным. Таким образом, существует некий счетный пример множества ω всех подмножеств, счетный пример вещественных чисел и т.д. Все же непонятно, почему отсюда следует, что каждое множество является «абсолютно» счетным. В конце концов, так же как теорема Лёвенгейма — Скулема показывает, что мы можем найти счетные примеры всех этих множеств, теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности показывает, что мы можем также найти несчетные примеры.

Учитывая вышеизложенное, ряд критиков выдвинул предположение о том, что на скулемитов пало сразу два бремени объяснения и что до сих пор ни одному скулемиту не удалось справиться с ними. Во-первых, от скулемита требуется объяснение того, как можно устанавливать тождество множеств в различных моделях, то есть почему следует считать «тем же самым множеством» всевозможные различные объекты, которые удовлетворяют «x является показательным множеством ω» в различных моделях теории множеств. Отметим, что такое установление тождественности важно, если скулемиты собираются начать с доказательства счетности одного из этих объектов и затем использовать его для вывода абсолютной счетности всех остальных (Resnik 1966). Во-вторых, от скулемита требуется объяснение своего предпочтения счетных множеств. Даже если скулемиты могут отождествить счетные и несчетные «примеры» заданного множества, они должны объяснить, почему эта тождественность приводит к заключению, что все множества являются «абсолютно счетными», а не к тому, что все множества являются «абсолютно несчетными» (Resnik 1966; Benacerraf 1985).

Таковы основные линии критики аргумента скулемитов в современной литературе. К сожалению, для более подробного их разбора требуется довольно глубоко вникнуть в вопросы, касающиеся, например, статуса неформального понимания теоретико-множественного языка, правомерности квантификации второго порядка и условий тождества, связанных с математическими объектами в структуралистской философии математики. Рассмотрение данных вопросов увело бы нас слишком далеко от самого парадокса Скулема. Недавний обзор соответствующей литературы представлен в работе Bellotti 2006.

Мультиверсум

За последнее десятилетие Джоэл Хэмкинс обосновал концепцию теории множеств, удивительно схожую с традиционной позицией скулемитов (хотя собственные соображения Хэмкинса, похоже, больше опираются на саму теорию множеств, чем на традиционную философскую литературу). Хэмкинс замечает, что поскольку ученые в области теории множеств разрабатывают все более эффективные инструменты для построения и сравнения различных моделей теории множеств (форсинг, теория внутренних моделей, вложения больших кардинальных чисел и др.), теоретики все меньше воспринимают какую-либо модель как каноническую. Вместо этого теория множеств все больше делает упор на сравнении ее различных моделей, а не на одной избранной. Следовательно, по словам Хэмкинса, ученые должны принять то, что он называет «мультиверсальной» концепцией — представление, согласно которому ни одна из моделей теории множеств не является избранной и цель теории множеств состоит в том, чтобы просто исследовать связи между различными моделями.

Эта концепция мультиверсума определенно связана с алгебраической концепцией, которая обсуждается в разделах 3.1 и 3.2. К тому же она удовлетворяет одному из ключевых искомых положений, которое мы отметили в разделе 3.2. Хэмкинс отстаивает мультиверсум как независимо приемлемую концепцию теории множеств и доказывает, что мотивирующий фактор для ее принятия исходит из математической практики. (Другими словами, Хэмкинс не утверждает, что из-за возможности вынужденных расширений мы обречены на теоретико-множественную относительность. Скорее, он доказывает, что, поскольку эти расширения естественны, мы должны принять теоретико-множественную относительность.) В этом смысле нечто вроде мультиверсума могло бы представлять собой «верный» вектор развития алгебраической концепции.

При этом мультиверсальная концепция естественным образом приводит к заключениям, к которым склоняются традиционные скулемиты. Пусть а является множеством в некоторой модели М (и М пребывает где-то в мультиверсуме). Тогда М имеет вынужденное расширение, M[G], в котором а является только счетным. Так обеспечивается естественное истолкование скулемитского тезиса о том, что «каждое множество в каком-то плане является счетным». Сходным образом, пристрастие скулемитов к счетности (см. раздел 3.2) можно объяснить тем, что если а является счетным в одной модели М, то оно остается счетным во всех расширениях данной модели. Напротив, несчетные множества всегда могут стать счетными, войдя в соответствующее вынужденное расширение. Подробнее о мультиверсуме см. в Hamkins 2011, 2012. Критика представлена в Koellner 2013.

Теоретико-модельный аргумент Патнэма

В последнее время самой обсуждаемой версией парадокса Скулема является версия (точнее, одна из версий) «теоретико-модельного аргумента против реализма» Хилари Патнэма. Общая цель Патнэма в теоретико-модельном аргументе — доказать, что язык является семантически неопределенным, то есть что нельзя фактически определить, к чему отсылают термы и предикаты нашего языка. Таким образом, в случае теории множеств он хочет доказать, что нет одного-единственного теоретико-множественного универсума, который бы пробегали наши кванторы, и не существует единственного отношения, обозначаемого словом «принадлежность». По словам самого Патнэма, не существует единственной «предполагаемой модели» языка теории множеств.

На первых нескольких страницах статьи «Модели и реальность» (“Models and Reality”, 1980) Патнэм утверждает, что для языка теории множеств существует как минимум одна предполагаемая модель, которая удовлетворяет теоретико-множественной аксиоме V=L. Чтобы показать это, Патнэм начинает с допущения, что существуют только две вещи, которые могли бы играть роль в фиксации предполагаемой модели для теоретико-множественного языка. Во-первых, существуют «теоретические ограничения». К ним относятся стандартные аксиомы теории множеств, а также принципы и теории из других ветвей науки. Во-вторых, существуют «операциональные ограничения». Это просто различные эмпирические наблюдения и измерения, которые мы осуществляем в процессе научного исследования.

Учитывая данные допущения, Патнэм доказывает, что для обнаружения заданной модели, удовлетворяющей V=L, требуется просто найти модель ZF+V=L, которая удовлетворяет соответствующим теоретическим и операциональным ограничениям. Он строит свою стратегию для нахождения такой модели с помощью нижеследующей теоремы:

Теорема: ZF в сочетании с V=L имеет ω-модель, которая содержит любое заданное счетное множество вещественных чисел.

В данном случае тот факт, что эта модель удовлетворяет ZFC, считается гарантией, что она удовлетворяет всем теоретическим ограничениям, которые следуют из самой теории множеств, тогда как содержательное богатство ZFC гарантирует, что модель также имеет средства для кодирования наших лучших научных теорий (следовательно, удовлетворяет всем теоретическим ограничениям, связанным с естествознанием). И последнее: то обстоятельство, что эта модель содержит произвольное множество вещественных чисел, гарантирует, что она может закодировать всевозможные наблюдения и измерения, представляющие собой «операциональные ограничения». Итак, при условии, что Патнэм прав относительно того, что предполагаемые модели теории множеств фиксируются исключительно формальной структурой наших научных теорий (включая наши эксплицитные теоретико-множественные аксиомы) и с помощью физических измерений, которые мы производим, теорема создаст предполагаемую модель, в которой V=L окажется истинным.

Эта версия теоретико-модельного аргумента связана с парадоксом Скулема в трех моментах. Первый: сам Патнэм представляет аргумент как естественный вывод из парадокса. В начале статьи Патнэм вкратце обрисовывает парадокс Скулема и затем предполагает, что его анализ V=L исходит из доказательств Скулема и «расширения их в неком направлении, которое он [Скулем], по всей видимости, указывал» (Putnam 1980: 1). Второй момент: общие заключения Патнэма хорошо укладываются в более современное скулемитское понимание парадокса Скулема — например, см. его вывод, что V=L не имеет «определенного значения истинности» (Putnam 1980: 5) или что скулемовская «„относительность теоретико-множественных понятий“ распространяется и на относительность значения истинности „V=L“» (Putnam 1980: 8). Последний и наиболее важный момент: доказательство теоремы Патнэма в значительной степени опирается на теоремы Лёвенгейма — Скулема. В общем и целом Патнэм начинает с применения теоремы Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности к L, чтобы доказать, что его теорема содержится в L. Затем он использует абсолютность Шенфилда для поддержки V данной теоремой.

Аргумент Патнэма вызвал ряд критических замечаний. С технической стороны Бейз утверждал, что использование Патнэмом теоремы Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности неправомерно, поскольку стандартные системы теории множеств не позволяют нам применять эту теорему к собственному классу, такому как L. Действительно, даже если мы отвлечемся от деталей доказательств Патнэма, рассуждения в гёделевском ключе доказывают, что теорема Патнэма вообще не может быть доказана в ZFC (поскольку теорема подразумевает непротиворечивость ZFC). Конечно, если Патнэм хочет использовать более солидную базовую теорию для доказательства своей теоремы (например, ZFC в сочетании с «существует недостижимое кардинальное число»), то он может избежать такой критики. Но в данном случае неясно, почему модель, которая следует из теоремы Патнэма, должна все же считаться удовлетворяющей нашим теоретическим ограничениям. В конце концов, любой, кто принимает новые аксиомы, использованные в пересмотренном доказательстве Патнэма, получит теоретические ограничения, которые в какой-то мере выйдут за рамки ZFC + V=L, например, теоретические ограничения этих аксиом могут включать аксиому «существует недостижимое кардинальное число». Изложение данного возражения представлено в работе Bays 2001; альтернативные формулировки представлены в Velleman 1998 и Gaifman 2004; критическое обсуждение представлено в Bellotti 2005 и Bays 2007b; обсуждение схожего мнения касательно применения Патнэмом транзитивности представлено в Hafner 2005 (см. гл. 3, особ. §3.3.3).

Баттон (Button 2011) утверждает, что, хотя этот род технической критики направлен на версию доказательства Патнэма, которая явно апеллирует к теореме Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности, все же существуют альтернативные формулировки аргумента Патнэма, которые могут избежать критики. В частности, Баттон отмечает, что даже очень слабые теории могут доказать такие теоремы, как «если ZFC непротиворечива, то ZFC имеет счетную модель». Поскольку любой защитник ZFC должен принять непротиворечивость ZFC, то этих слабых теорий будет достаточно, чтобы придать состоятельность нескольким разновидностям аргумента Патнэма. Развитие данного взгляда представлено в работе Button 2011. Обсуждение похожей стратегии представлено в Bellotti 2005 и Bays 2007a.

Если продолжать говорить в техническом ключе, то несколько авторов заметили в аргументе Патнэма некую напряженность в отношении понятия конечности. С одной стороны, Патнэму нужно использовать это понятие для того, чтобы описать свою модель как ω-модель и (даже) придать смысл формальным определениям первопорядкового языка и отношению удовлетворения. С другой стороны, он не может позволить оппонентам использовать данное понятие для определения того, что, по их мнению, делает модель предполагаемой. Если бы его оппоненты могли использовать данное понятие, то они бы могли определить понятие «хорошо обоснованной» модели, и этого было бы достаточно, чтобы исключить модели, полученные теоремой Патнэма. В этом плане аргумент Патнэма, по всей видимости, создает необоснованную асимметрию аппарата, к которому он сам прибегает, и аппарата, который он предоставляет критикам. Развитие этой точки зрения изложено в Bays 2001 и Bellotti 2005; критический разбор см. в Hafner 2005: § 3.4.

С философской точки зрения многие авторы критиковали допущение Патнэма, согласно которому одного удовлетворения первопорядковой формализации наших теоретических ограничений достаточно, чтобы сделать модель «предполагаемой». Например, Хакинг доказывал, что мы действительно должны придерживаться второпорядковой формулировки теории множеств и что ключевая теорема Патнэма неприменима к подобным формулировкам (Hacking 1983). Другие утверждали, что предполагаемая модель теории множеств должна быть транзитивной и что, опять же, нет оснований полагать, что модель, произведенная теоремой Патнэма, является транзитивной (Bays 2001). Наконец, как упоминается в последнем абзаце, ряд авторов предположил, что модель, предполагаемая для теории множеств, должна как минимум быть хорошо обоснованной, но нет причин считать, что собственная модель Патнэма является хорошо обоснованной (Bellotti 2005).

Ответ Патнэма на приведенные возражения довольно занимателен. Если коротко, любые ограничения на предполагаемые модели, которые могли бы выдвинуть другие философы (например, те, что упомянуты в последнем абзаце), должны сами быть формализованы в терминах первого порядка и рассматриваться как новые теоретические ограничения. После того, как эти новые ограничения будут рассмотрены в свете аргумента Патнэма, Патнэм снова сможет породить модель, которая будет им «удовлетворять». Так, просто приняв весьма гибкое толкование фразы «теоретические ограничения», Патнэм заверяет, что практически любые условия предполагаемых моделей могут просто пересобраны в его исходном аргументе (Putnam 1980; Putnam 1983, vii–xii).

Этот аргумент, который обычно называют аргументом «просто большей теории», привлек огромное внимание в литературе. Самый распространенный отклик проводит различие между описанием свойств модели, которые делают модель заданной, и простым добавлением новых предложений, которым эта модель должна удовлетворить. Иными словами, различие проводится между изменением семантики, в рамках которой интерпретируются наши аксиомы (например, ограничением класса структур, которые считаются моделями для нашего языка, и/или усилением понятия удовлетворения, которое связывает предложения с моделями), и простым добавлением новых аксиом, которые нужно интерпретировать с использованием той же старой семантики. Далее в отклике доказывается, что решения, такие как описанные двумя абзацами выше, — например, что предполагаемые модели должны быть транзитивными, или хорошо обоснованными, или удовлетворять ZFC второго порядка — на самом деле находятся на дескриптивной стороне различения, а не на стороне «добавления предложений» (хотя последнее — как раз то, на чем аргумент «просто большей теории» решительно настаивает).

В свою очередь, Патнэм утверждал, что такого рода отклик избегает сути его аргумента. В конечном счете аргумент касается вопроса о том, имеет ли наш математический язык какую-либо определенную значимость, и ответ на аргумент, рассматриваемый нами, кажется, просто допускает, что такая значимость есть, когда в нем используются такие фразы, как «транзитивный», «хорошо обоснованный» или «полное показательное множество М» для описания понятия «предполагаемой модели». Коротко говоря, пока определенность математического языка стоит под вопросом, свободное использование этого языка для описания предполагаемой модели теории множеств будет уклоняться от проблемы. Или, во всяком случае, так считает Патнэм.

Как указано выше, эта сторона аргумента Патнэма вызвала огромное количество публикаций. Образцовая критика аргумента Патнэма представлена в следующих работах: Devitt 1984: ch. 11; Lewis 1984; Taylor 1991; Van Cleve 1992; Hale and Wright 1997; Chambers 2000; Bays 2001; Bays 2008. Ответ Патнэма изложен в Putnam 1983: vii–xii; 1989. Современная аргументация в пользу этого аспекта доказательства Патнэма представлена в работах Anderson 1993; Douven 1999; Haukioja 2001; Kroon 2001.

Заключение

Мы заканчиваем статью кратким повторением двух главных моментов, на которые хотелось бы обратить внимание. Во-первых, с чисто математической точки зрения противоречия между теоремой Кантора и теоремами Лёвенгейма — Скулема не существует. Существует техническое решение парадокса Скулема, объясняющее, почему теоремы Лёвенгейма — Скулема не составляют проблему ни для наивных форм теоретико-множественного реализма, ни для различных форм аксиоматизированной теории множеств. Следовательно, нет возможности использовать сами теоремы Лёвенгейма — Скулема для порождения содержательных скулемитских заключений. Безусловно, с парадоксом Скулема по-прежнему связан ряд интересных технических вопросов. Например, можно рассмотреть, как парадокс срабатывает в контексте конкретных первопорядковых моделей. Можно проверить степень предрасположенности к парадоксу у различных видов непервопорядковой логики, а также можно попытаться выявить точные свойства логики первого порядка, позволяющие применить к ней парадокс. Каждая из этих тем очевидно вытекает из парадокса Скулема. Каждая поднимает вопросы о взаимосвязи теории моделей и теории множеств, которые также стоит изучить. Однако парадокс Скулема, рассматриваемый сам по себе, не представляет угрозы для классической теории множеств.

А если мы будем подходить к парадоксу Скулема с изначальными сомнениями насчет классической теории множеств (например, лежащими в основе некоторых из наиболее сложных воспроизведений исходного доказательства Скулема; лежащими в основе приемлемых версий шага 1 в скулемитском аргументе; или лежащими в основе теоретико-модельного аргумента Патнэма и касающимися семантической определенными), то мы вполне можем воспользоваться парадоксом Скулема для выведения интересных философских заключений. Конечно, спорные вопросы останутся. Нам нужно описать статус базовых теорий, в рамках которых мы доказываем теоремы Лёвенгейма — Скулема, нужно объяснить особую значимость первопорядковых аксиоматизаций теории множеств и, возможно, следует объяснить, как мы можем отождествлять элементы в различных моделях теории множеств. Однако данные виды сложных применений парадокса Скулема в общем и целом не устраняются техническим решением парадокса, упомянутым в предыдущем абзаце. Это неудивительно: если мы вносим достаточно философии в наш анализ парадокса Скулема, то нам следует ожидать исключения как минимум некоторой ее части.

Библиография

Anderson, D., 1993, “What is the Model-Theoretic Argument,” The Journal of Philosophy, 93: 311–22.

Badesa, C., 2004, The Birth of Model Theory, Princeton: Princeton University Press.

Bays, T., 2001, “On Putnam and his Models,” The Journal of Philosophy, 98: 331–50.

–––, 2007a, “The Mathematics of Skolem's Paradox,” in Jacquette 2007, pp. 615–648.

–––, 2007b, “More on Putnam's Models: A Response to Bellotti,” Erkenntnis, 67: 119–135.

–––, 2008, “Two Arguments against Realism,” The Philosophical Quarterly, 58: 193–213.

Bellotti, L., 2005, “Putnam and Constructibility,” Erkenntnis, 62: 395–409.

–––, 2006, “Skolem, the Skolem ‘Paradox’ and Informal Mathematics,” Theoria, 72: 177–220.

Benacerraf, P., 1965, “What the Numbers Could Not Be,” in Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, pp. 272–294.

–––, 1985, “Skolem and the Skeptic,” Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 85–115.

Button, T., 2011, “The Metamathematics of Putnam's Model-Theoretic Arguments,” Erkenntnis, 74: 321–349.

Chambers, T., 2000, “A Quick Reply to Putnam's Paradox,” Mind, 109: 195–197.

Devitt, M., 1984, Realism & Truth, Princeton: Princeton University Press.

Douven, I., 1999, “Putnam's Model-Theoretic Argument Reconstructed,” The Journal of Philosophy, 96: 479–90.

Ebbinghaus, H. D., Flum, J., and Thomas, W., 1994, Mathematical Logic, Amsterdam: Springer.

Ebbinghaus, H. D., 2003, “Zermelo: Definiteness and the Universe of Definable Sets,” History and Philosophy of Logic, 24: 197–219.

–––, 2007, “Löwenheim-Skolem Theorems,” in Jacquette 2007, pp. 587–614.

Fine, A., 1968, “Quantification over the Real Numbers,” Philosophical Studies, 19: 27–31.

Fraenkel, A., Bar-Hillel, Y., and Levy, A., 1984, Foundations of Set Theory, Amsterdam: North-Holland.

Gaifman, H., 2004, “Non-Standard Models in a Broader Perspective,” in Non-Standard Models of Arithmetic and Set Theory, A. Enayat and R. Kossak, (eds.), New York: American Mathematical Society, pp. 1–22.

Garcia-Carpintero, M., 1996, “The Model-Theoretic Argument: Another Turn of the Screw,” Erkenntnis, 44: 305–316.

George, A., 1985, “Skolem and the Löwenheim-Skolem Theorems,” History and Philosophy of Logic, 6: 75–89.

Giaquinto, M., 2002, The Search for Certainty, Oxford: Oxford University Press.

Goodstein, R. L., 1963, “The Significance of Incompleteness Theorems,” British Journal for the Philosophy of Science, 14: 208–220.

Hacking, I., 1983, Representing and Intervening, Cambridge: Cambridge University Press.

Hafner, J., 2005, From Metamathematics to Philosophy: A Critical Assessment of Putnam's Model-Theoretic Argument, Ph.D. Thesis, UC Berkeley.

Hamkins, J. D., 2011, “The Set-Theoretic Multiverse: A Natural Context for Set Theory,” Annals of the Japan Association for Philosophy of Science, 19: 37–55.

–––, 2012, “The Set-Theoretic Multiverse,” Review of Symbolic Logic, 5: 416–449.

Hale, B. and Wright, C., 1997, “Putnam's Model Theoretic Argument against Metaphysical Realism,” in A Companion to the Philosophy of Language, B. Hale and C. Wright, (eds.), Oxford: Blackwell, pp. 427–457.

Hallett, M., 1994, “Putnam and the Skolem Paradox,” in Reading Putnam, P. Clark and B. Hale, (eds.), Oxford: Oxford University Press, pp. 66–97.

Hart, W., 1970, “Skolem's Promises and Paradoxes,” The Journal of Philosophy, 67: 98–109.

Haukioja, J., 2001, “Not So Quick: A Reply to Chambers,” Mind, 110: 699–702.

Jacquette, D., (ed.), 2007, Philosophy of Logic, London: Elsevier.

Jané, I., 2001, “Reflections on Skolem's Relativity of Set-Theoretical Concepts,” Philosophia Mathematica, 3: 129–153.

Jech, T., 1978, Set Theory, San Diego: Academic Press.

Kleene, S., 1967, Mathematical Logic, New York: John Wiley & Sons.

Klenk, V., 1976, “Intended Models and the Löwenheim-Skolem Theorem,” The Journal of Philosophical Logic, 5: 475–489.

Kneale, W. and Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.

Kroon, F., 2001, “Chambers on Putnam's Paradox,” Mind, 110: 703–708.

Kunnen, K., 1980, Set Theory, Amsterdam: North-Holland.

Levin, M., 1997, “Putnam on Reference and Constructible sets,” British Journal for the Philosophy of Science, 48: 55–67.

Lewis, D., 1984, “Putnam's Paradox,” Australasian Journal of Philosophy, 62: 221–236.

Lindström, P., 1966, “First-order Predicate Logic with Generalized Quantifiers,” Theoria, 32: 186–195.

–––, 1969, “On Extensions of Elementary Logic,” Theoria, 35: 1–11.

Löwenheim, L., 1915, “On Possibilities in the Calculus of Relatives,” in van Heijenoort 1967, pp. 228–251.

McIntosh, C., 1979, “Skolem's Criticisms of Set Theory,” Nous, 13: 313–334.

Muller, F., 2005, “Deflating Skolem,” Synthese, 143: 223–253.

Myhill, J., 1967, “On the Ontological Significance of the Löwenheim-Skolem Theorem,” in Contemporary Readings in Logical Theory, I. Copi and J. Gould, (eds.), New York: Macmillan, pp. 40–51.

Putnam, H., 1980, “Models and Reality,” in Putnam 1983, pp. 1–25.

–––, 1983, Realism and Reason, Cambridge: Cambridge University Press.

–––, 1989, “Model Theory and the ‘factuality’ of Semantics,” in Reflections on Chomsky, A. George, (ed.), Cambridge: Blackwell, pp. 213–231.

Resnik, M., 1966, “On Skolem's Paradox,” The Journal of Philosophy, 63: 425–438.

–––, 1969, “More on Skolem's Paradox,” Noûs, 3: 185–196.

Shapiro, S., 1991, Foundations without Foundationalism, Oxford: Oxford University Press.

Shoenfield, J., 67, Mathematical Logic, Natick, MA.: Association for Symbolic Logic.

Skolem, T., 1922, “Some Remarks on Axiomitized Set Theory,” in van Heijenoort 1967, pp. 290–301.

–––, 1955, “A Critical Remark on Foundational Research,” in Skolem 1970, pp. 581–586.

–––, 1958, “Une Relativisation des Notions Mathematiques Fondementales,” in Skolem 1970, pp. 587–600.

–––, 1970, Selected Works in Logic, Oslo: Uiversitetsforlaget.

Taylor, B., 1991, “ ‘Just More Theory’: A Manoeuvre in Putnam's Model-Theoretic Argument for Antirealism,” Australasian Journal of Philosophy, 69: 152–166.

Taylor, G., 1993, “Zermelo, Reductionism, and the Philosophy of Mathematics,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 539–563.

Tennant, N. and McCarty, C., 1987, “Skolem's Paradox and Constructivism,” The Journal of Philosophical Logic, 16: 165–202.

Thomas, W., 1968, “Platonism and the Skolem Paradox,” Analysis, 28: 193–196.

–––, 1971, “On Behalf of the Skolemite,” Analysis, 31: 177–186.

Van Cleve, J. 1992, “Semantic Supervenience and Referential Indeterminacy,” The Journal of Philosophy, 89: 344–361.

van Dalen, D., 1997, Logic and Structure, Amsterdam: Springer.

van Heijenoort, J. (ed.), 1967, From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Velleman, D., 1998, “Review of Levin 1997,” Mathematical Reviews, 98c: 1364.

Wang, H., 1964, A Survey of Mathematical Logic, Amsterdam: North-Holland.

Wright, C., 1985, “Skolem and the Skeptic,” Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 116–137.

Zermelo, E., 1930, “Über Grenzzahlen und Megenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre,” Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47.