философы

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Станислав Лесьневский

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 23 ноября 2007 года; содержательно переработано 10 ноября 2015 года

Станислав Лесьневский (1886–1939) был одним из первооснователей и ведущих фигур школы логики, процветавшей в Варшаве между двумя мировыми войнами.

Его стремление к предельной строгости в формализации и применении логики вкупе с номиналистическим отказом от абстрактных сущностей привело к точной, хотя и в высшей степени необычной металогике. Его строгие требования правильно различать употребление и упоминание выражений, принципы корректного определения и мереология сильно повлияли на логический мейнстрим, но большинство его логических взглядов и нововведений не получили широкого распространения. Несмотря на это, его влияние как преподавателя и вдохновителя логических инноваций широко признано. Он остается одной из самых оригинальных фигур логики.

Жизнь

Станислав Лесьневский родился 28 марта 1886 года в Серпухове, недалеко от Москвы, в семье инженера Изыдора, работавшего на строительстве Транссибирской магистрали, и Елены, урожденной Пальчевской. Он был крещен в церкви Святого Станислава в Санкт-Петербурге. Его мать умерла, когда он был совсем маленьким, а отец снова женился. Он посещал классическую гимназию (школу изучения классических языков) в Иркутске в Сибири. С 1904 по 1910 год Лесьневский изучал философию и математику в Германии, Швейцарии и России — в Лейпциге, Цюрихе, Гейдельберге, Санкт-Петербурге и в Мюнхене — где он слушал лекции Ганса Корнелиуса, Морица Гайгера и Александра Пфандера. В 1910 году он поступил докторантом во Львовский университет, тогда находившийся в Австро-Венгрии, где преподавал самый выдающийся польский философ того времени, Казимир Твардовский, ученик Франца Брентано, и воспитывал целую плеяду талантливых молодых философов. В 1912 году он получил докторскую степень, защитив диссертацию «Przyczynek do analizy zdań egzystencjalnych» [«Вклад в анализ экзистенциальных пропозиций»]. Она была опубликована за год до защиты в ведущем польскоязычном философском журнале «Przegląd Filozoficzny». Еще несколько публикаций последовало до начала войны, во время которой Лесьневский находился в Москве, преподавая математику в польских школах. В этот период он и разработал то, что позднее получило имя Мереологии. После большевистской революции в России Лесьневский уехал из России в Польшу. Во время польско-советской войны 1919-21 годов он работал криптоаналитиком в Секции шифров польского Генерального штаба, помогая Польше отбить попытку России снова ее завоевать. Он безуспешно пытался получить хабилитацию во Львовском университете, где ему было отказано, и вместо этого получил ее в Варшавском университете, где в 1919 году стал (экстраординарным и ассоциированным) профессором оснований математики, заняв специально созданную для него должность. С тех пор и до своей последней болезни Лесьневский регулярно читал лекции на логические и математические темы и строил свои логические системы.

Единственный докторант Лесьневского, Альфред Тарский (Лесьневский любил хвастаться, что 100% его докторантов — гении), присоединился к ним, чтобы сформировать сильнейший в мире центр математической логики в межвоенные годы. В 1936 году Лесьневский стал профессором. Будучи курильщиком всю свою жизнь, он заболел раком щитовидной железы и умер 13 мая 1939 года в возрасте 53 лет. Его архив, вверенный его ученику Болеславу Собоциньскому, включал в себя незаконченные работы по логическим антиномиям и многозначной логике. Весь этот архив был уничтожен во время Варшавского восстания 1944 года.

Ранние работы

Ранние работы Лесьневского представляют собой исключительно статьи по философии логики и языка, посвященные такими вопросам, как истина, денотация и коннотация, статус законов логики и Парадокс Рассела. Основными источниками влияния в этот период были Джон Стюарт Милль, Антон Марти и Эдмунд Гуссерль: сам он описывал эти работы как грамматические по своей сути. Хотя позже Лесьневский отрекся от своих ранних работ, они во многом содержат зачатки его более поздних интересов, взглядов и методов работы.

Ранние работы Лесьневского — это в основном ответные реакции на работы других, будь то работы Брентано и Корнелиуса об экзистенциальных пропозициях, Лукасевича о принципах противоречия и исключенного третьего, Твардовского об универсалиях или Котарбиньского о вневременности истины.

Поворотный момент в этот период наступил, когда в 1911 году Лесьневский прочитал новаторскую монографию Лукасевича 1910 года «O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa» [«О принципе противоречия у Аристотеля»] ― радикальное переосмысление статуса принципа противоречия в свете современной логики. Эта работа содержала приложение, в котором было краткое изложение современной символической логики в нотации Кутюра, а 18 глава содержала короткое обсуждение расселовского парадокса множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Поначалу Лесьневский думал, что парадокс Рассела легко исправить — и, пытаясь исправить его, он пропустил поезд во время пересадки в России, ходящий один раз в день. Он провел следующие годы, совершенствуя свое решение, можно даже сказать, что остаток своей жизни он посвятил созданию строгого, свободного от парадоксов основания для математики, которое избежало бы как небрежности «Principia», так и того, что он считал фикцией стандартной теории множеств.

Это звучит абсурдно, но у Лесьневского есть свои аргументы. Подобно Миллю, он различает денотат термина, то есть объект или объекты, которые он обозначает, и его коннотацию, то есть свойство или свойства, которые он приписывает чему-либо. Пропозиция определяется как аналитическая, если она (1) имеет утвердительную субъектно–предикатную форму и (2) не содержит предикатов, коннотирующих свойства, не коннотируемые субъектом. Пропозиция является синтетической, если она (1) утвердительная и (2) содержит тот или иной предикат, коннотирующий свойство, не коннотируемое субъектом. В противоположность Миллю, который говорил, что «бытие» коннотирует свойство существования, Лесьневский считает, что предикат «существовать» не коннотирует никаких свойств. A fortiori, «существовать», употребленное в качестве предиката, не коннотирует никакого свойства, не содержащегося в субъекте.

Все отрицательные экзистенциальные пропозиции противоречивы, потому что каждый субъект обозначает нечто в форме «сущего, обладающего свойствами A, B, C, D и так далее». У аналитических отрицательных экзистенциалов субъекты являются противоречивыми. Поэтому если мы хотим, чтобы наше высказывание было синтетическим и контингентным, вместо того, чтобы говорить «X существует», следует сказать: «Некоторое сущее есть объект X».

Лесьневский сохраняет наблюдаемые феномены [отсылка к др. греч. σώζειν τὰ φαινόμενα, приписываемому Платону — Примеч. ред.], состоящие в том, что некоторые экзистенциальные пропозиции истинны, а другие ложны, предлагая нормативную схему, которой пропозиции должны удовлетворять, чтобы быть правильными выражениями заложенной в них мысли. Каждая пропозиция должна служить представлением того, что объект (объекты), обозначаемый субъектом, обладает свойствами, коннотируемыми предикатом. Предложения, которые не соответствуют этой норме, являются неправильными или неадекватными и должны быть заменены надлежащими альтернативами. Например, «люди существуют» — которое является истинным, но полагается синтетическим — следует выразить как «некоторые существа являются людьми», в то время как предложение «квадратный круг не существует» должно быть выражено как «ни одно сущее не является квадратным кругом». Вот таблица некоторых эквивалентностей:

Существуют только объекты A

Все сущие являются объектами A

Объекты A существуют

Некоторые сущие являются объектами A

Объект A существует

Одно (конкретное) сущее является объектом A

Объекты A не существуют

Объект A не существует

Ни одно сущее не является объектом A

В «Попытке доказательства онтологического принципа противоречия» (1912) Лесьневский утверждает, что пропозиция «ни один объект не может быть одновременно B и не-B» истинна, но не согласен с эквивалентностью (ныне общепринятой), гласящей, что «ни одно A не есть B» эквивалентно утверждению, что «если нечто есть A, то это не B». Эта статья написана в форме критики некоторых идей Лукасевича и послужила поводом для первой личной встречи двух будущих коллег. Лукасевич описал эту встречу десятилетия спустя в пронзительной дневниковой записи от 9 мая 1949 года:

«Вчера был праздник Святого Станислава, епископа. Это был день именин Лесьневского. В свои последние именины он уже лежал в той больнице, в которой через пять дней должен будет умереть. Я познакомился с Лесьневским во Львове в 1912 году. Я жил тогда с дядей на улице Хмелёвского, 10. Однажды днем кто-то позвонил в дверь. Я открыл дверь и увидел молодого человека со светлой остроконечной бородкой, в шляпе с широкими полями и с большой черной кокардой вместо галстука. Молодой человек поклонился и вежливо спросил: “Здесь живет профессор Лукасевич?”. Я ответил, что да. “Вы профессор Лукасевич?” ― спросил незнакомец. Я ответил, что да. “Я Лесьневский, и я пришел показать вам доказательства из статьи, которую я написал против вас”. Оказалось, что Лесьневский публикует в “Przegląd Filozoficzny” статью с критикой некоторых моих взглядов на “Принцип противоречия у Аристотеля”. Эта критика была написана с такой научной точностью, что я не мог найти ни одного пункта, который я не мог бы принять. Помню, когда после многочасовой дискуссии мы расстались с Лесьневским, я, как обычно, отправился в “Kawiarnia Szkocka” [“Шотландское кафе”, любимое место встреч ученых во Львове] и заявил ожидавшим меня коллегам, что мне придется отказаться от своих логических интересов. Появилась фирма, с которой я не мог конкурировать».

В «Критике логического принципа исключенного третьего» (1913) Лесьневский проводит различие между онтологическим принципом ― каждый объект есть или A, или не A ― и логическим принципом ― из двух противоречащих друг другу высказываний по крайней мере одно должно быть истинным. Он отвергает последний, потому что с его точки зрения утверждения «У каждого кентавра есть хвост» и «У некоторых кентавров нет хвоста» противоречат друг другу, но оба они ложны, потому что выступающий в качестве субъекта термин «кентавр» пуст. Очевидно, это зависит от прочтения универсалии с экзистенциальным значением. Если вместо этого для универсалии мы возьмем [формулу] «У какого-то кентавра есть хвост» — истинное, даже если кентавры не существуют — то мы действительно получим противоречивую пару с противоположными истинностными значениями.

В ходе этой статьи Лесьневский выступает против теории общих объектов Твардовского и теории невозможных объектов Мейнонга, а также предлагает решения парадокса Греллинга и парадокса лжеца. Статья является самой содержательной из его ранних «логико-грамматических» работ. Аргумент против Твардовского состоит в следующем. Назовем общим объектом тот, что имеет все свойства, общие для некоторой группы объектов, и только их. Например, «лошадь вообще» имеет все свойства, общие для лошадей, и только их: она не черная, не коричневая, не белая, не мужского и не женского пола, не молодая и не старая, но она бесспорно лошадиная, млекопитающая и рождена от двух лошадиных родителей. Лесьневский сводит это определение к абсурду. В любой группе, состоящей по крайней мере из двух объектов, будет некоторое свойство, которое есть у одних и отсутствует у других. Например, некоторые лошади черные, а некоторые ― нет. Итак, «лошадь вообще» не черная, потому что некоторые лошади не черные; но и не не-черная, потому что некоторые лошади не не-черные. Следовательно, общая «лошадь вообще» ни черная, ни не черная, что является противоречием.

Лесьневскому этот аргумент нравился настолько, что он сохранил ему верность, даже отвергая все остальные части своей ранней работы; впоследствии он отвергал универсалии, сообразуясь с ним.

В работе «Является ли истина только вечной или и вечной, и не имеющей начала?» (1913) Лесьневский отстаивает вневременную двузначность против идеи Котарбиньского о том, что будущие предложения о контингентном лишены конкретной истинностной ценности. Эта статья убедила Котарбиньского в том, что он ошибался. Этот спор примечателен тем, что показывает, что обсуждение логического статуса будущих контингентных предложений, которое вдохновило Лукасевича на изобретение многозначной логики несколько лет спустя, уже шло во Львове до Первой мировой войны.

В работе «Является ли класс классов, не подчиненных себе, подчиненным самому себе?» (1914) Лесьневский предлагает свой первый опубликованный анализ парадокса Рассела, утверждая, что «класс [объектов] A» соответствует уникальной мереологической сумме [объектов] A таким образом, что, поскольку каждый объект подчинен самому себе, нет такого класса объектов, который не был бы подчинен самому себе, и парадокс Рассела просто не возникает. Нестандартный термин «подчиненный чему-то», заимствованный у Лукасевича, Лесьневский определяет следующим образом: объект P подчинен классу K тогда и только тогда, когда для некоторого a K является классом [объектов] a (мереологической суммой [объектов] a, как мы увидим), а P является одним из a. Пусть P ― полусферическая часть сферы Q. Класс всех полушарий Q в понимании Лесьневского — это просто Q само по себе, поэтому P подчинен Q. На самом деле, согласно этой точке зрения, любой объект является классом и подчинен самому себе. Лесьневский сохранял это «конкретное» понимание классов на протяжении всей своей жизни, утверждая, что оно соответствует тезисам самого Кантора. То, что другие теории множеств предлагали иной взгляд на вещи, было, по мнению Лесьневского, их проблемой, а не его.

Во время Первой мировой войны, когда Лесьневский жил в Москве, он закончил «Основы общей теории множеств, I часть» (1916). Несмотря на употребление термина «mnogość» (множество), это было первое строгое дедуктивное изложение теории частей, целых и конкретных совокупностей. Позже Лесьневский отказался от термина «mnogość» и вместо него изобрел термин «мереология», означающий «теорию частей» — не вполне правильный дериватив от греческого μέρος, часть — чтобы отличить свою точку зрения от того, что он иронически называл «официальной» теорией множеств. Языком этой статьи является максимально упорядоченный польский язык, дополненный переменными, — дело в том, что в то время Лесьневский не доверял символическим методам, обнаружив, что путаница в употреблении/упоминании в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела оказывается барьером для понимания, и полагая, что ни одна символическая логика не может этого избежать. Лишь позднее Лесьневский открыл для себя гораздо более аккуратное творчество Фреге, которое он впоследствии считал самым выдающимся образцом символической логики. Лесьневский был одним из самых первых логиков, оценивших достоинства логической работы Фреге как в значительной степени независимых от их противоречивости. В последующие годы Лесьневский доказал, что «выход» Фреге из парадокса, заключавшийся в ограничении фатального принципа абстракции V Основного закона, имел неприемлемое следствие, согласно которому не может быть более одного объекта. Эта работа не была опубликована, но была реконструирована после Второй мировой войны Собоциньским (1949).

Развитие логической системы Лесьневского

Для понимания развития Лесьневского и его отношения к логическим системам как к изначально наделенным смыслом, а не бес-смысленным формальным играм, важно помнить, что он разрабатывал свои системы хронологически в обратном порядке по отношению к порядку их логического приоритета. Логически прототетика предшествует онтологии, а онтология предшествует мереологии, но он разработал их, начав с мереологии, продолжив онтологией и завершив прототетикой. В 1920 году, недовольный неточностями и слабостями естественного языка как рабочего средства, Лесьневский позволил Леону Чвистеку убедить себя в том, что ему будет полезно преодолеть свое отвращение к символике и формулировать свои логические мысли с помощью символов. Поскольку мереология была достаточно хорошо сформулирована уже в 1916 году, переход к символике для нее был простым. Тот факт, что сначала возникла аксиоматизация, а затем последовала символизация уже аксиоматизированной теории, дал Лесьневскому веские основания отделить использование формальных методов от формализма, согласно которому формулы не имеют интерпретации. В формулы Лесьневского с самого начала была заложена некая интерпретация.

Ранняя мереология

Первоначальная (1916) формулировка мереологии, еще не названной так и не формализованной специальными символами, имела в своей основе первичное понятие «часть», четыре аксиомы и три определения:

Аксиома I. Если объект A ― часть объекта B, тогда B не является частью A.

Аксиома II. Если объект A ― часть объекта B, а объект B ― часть объекта C, то A ― часть C.

Они определяют соответственно асимметрию и транзитивность отношения частей.

Определение I. Выражение «ингредиент объекта А» используется для обозначения А и каждой части А. [Лесьневский пользуется латинским причастием настоящего времени ingrediens (букв. «входящий») как существительным, склоняя его по польским падежам — ingrediensem, ingediensu и т.д. — Примеч. ред.]

Это значит, что объект В является ингредиентом объекта А тогда и только тогда, когда либо В является А, либо В является частью А. В настоящее время термин «ингредиент» часто просто переводится как «часть», а «часть» в смысле Лесьневского называется «собственной частью».

Определение II. Выражение «множество [mnogość] объектов m» используется для обозначения каждого объекта A, такого, что, если B является любым его ингредиентом, то некоторый ингредиент [из] B является ингредиентом некоторого m, а это m является ингредиентом объекта А.

То есть: A ― это множество m если и только если каждый ингредиент A имеет общий ингредиент (мереологически перекрывает) с некоторым m, являющимся частью A. Интуитивно представляется, что множество m ― это то, что мы сейчас назвали бы мереологической суммой, состоящей из одного и более m, но не обязательно из всех m.

Определение III. Выражения «множество всех объектов m» и «класс [klasa] объектов m» используются для обозначения каждого объекта A, такого, что (1) каждое m является ингредиентом A, и (2) если B является ингредиентом A, то некоторый ингредиент B является ингредиентом некоторого m.

То есть: класс m ― это множество всех m. Следующие две аксиомы утверждают, что такие классы существуют и являются единственными:

Аксиома III. Если некоторый объект ― m, то некоторый объект является классом объектов m.

Аксиома IV. Если A ― класс объектов m, и B ― класс объектов m, то A есть B.

С помощью этих аксиом мы можем говорить о «классе m» как таковом всякий раз, когда имеется хотя бы одно m.

Для этой работы характерно, что Лесьневский стремится использовать терминологию теории множеств для своих собственных целей. Дальнейшая терминология включает в себя «элемент», который определяется следующим образом:

Определение IV. Термин «элемент объекта А» используется для обозначения любого объекта В, который для некоторого значения выражения «x» таков, что (1) А является классом объектов x, и (2) В является x.

Сразу вслед за этим доказывается, что ингредиенты А и элементы А совпадают. Это определение иллюстрирует, каким образом Лесьневский сформулировал идею квантификации в своем раннем полупрозаическом произведении: вместо «для некоторого x» он говорит «для некоторого значения выражения “x”». Показав, что все ингредиенты объекта являются его элементами, Лесьневский иллюстрирует случай связанной переменной, говоря: «Используя выражение “x” со значением выражения “ингредиент объекта A”...». Мы вернемся к этому ниже, когда будем обсуждать, как Лесьневский понимал кванторы.

По более поздним и очень высоким стандартам самого Лесьневского, первая формулировка мереологии была методологически несовершенна, потому что она усыпана аксиомами и определениями. Более чистая формулировка выражала бы все аксиомы только с помощью мереологического первичного понятия (здесь — «части»). В данном случае это было бы возможно путем простой замены определений терминов, определенных в Аксиомах III и IV, но это прояснило бы немногое. Это также ведет к системе аксиом, которую можно существенно упростить как посредством уменьшения числа аксиом, так и посредством их упрощения и сокращения. Эти требования (аксиомы должны быть меньше, короче и яснее) часто ведут в расходящихся направлениях.

Онтология

Язык мереологии в 1916 году использовал много выражений помимо специфически мереологического первичного понятия «часть»: кроме номинальных переменных, в нем есть выражения, образующие предложения из номинальных переменных, как в «A есть (некое) b», «A есть B», «каждое a есть некое b», «некоторое a есть b», «ни одно a не есть b», а также такие слова, как «объект» и «существует». Сложные имена также встречаются в предложениях, например, выражения «ингредиент А» и «часть А» в выражении «каждая часть А является ингредиентом А». До этого момента Лесьневский воспринимал такие логические частицы языка как нечто само собой разумеющееся, но теперь ему нужно было их формализовать. Он хотел логического исчисления имен и включающих их выражений. Этому имелись прецеденты в традиционной силлогистике, и особенно в алгебре логики Эрнста Шрёдера, которую Лесьневский внимательно изучал, изобретая свою собственную систему, основанную, как в случае с мереологией, на его интуитивном понимании соответствующих выражений, аккуратно употребленных на обычном языке. Сначала он отобрал предложения, в истинности которых был уверен, например: «Если A есть b, то A есть A». Мы знаем об этом выражении, потому что оно упоминается, возможно, не без пренебрежения, в дневниковой записи Твардовского от 1 июля 1919 года в качестве первой аксиомы новой системы, над которой работал в то время Лесьневский. Лесьневский оставил нам наглядное описание своего метода работы в этот решающий и быстротечный период своего развития [Collected Works: 366-9]:

«Хотя и употребляя разговорный язык в научной работе и пытаясь контролировать его “логику”, я пытался как-то рационализировать употребление в разговорном языке различных типов пропозиций, переданных нам “традиционной логикой”. Хотя и опираясь на “лингвистический инстинкт” и на во многом неоднородную традицию “традиционной логики”, я попытался разработать последовательный метод работы с пропозициями, которые были бы “единичными”, “частными”, “общими”, “экзистенциальными” и так далее. Результаты моих усилий оказались полезными, и я продолжал пытаться применить к “символизму” эквиваленты различных типов пропозиций после перехода к “символическому” способу письма».

Работая таким образом и пытаясь определить ряд выражений в терминах других, Лесьневский сосредоточился на единичных высказываниях вида «A есть b», которые он отныне писал как «A ε b», позаимствовав у Пеано строчный эпсилон, первую букву греческого «ἐστι», есть. Именно эта связь со значениями «есть» побудила Лесьневского назвать эту систему «онтологией».

Ключевой мыслью было то, что следующие суждения должны быть истинными:

A есть a, если и только если (каждое A есть a, и не больше чем один объект есть A)

Для этого необходимо определить два выражения: «каждое А есть а» и «не больше чем один объект есть А». Определить первое может помочь следующее:

каждое a есть b, если и только если (некоторый объект есть a, и для любого X верно, что если X есть a, то X есть b),

что требует определить понятия «некоторый» и «объект»; в этом далее может помочь:

некоторое a есть b, если и только если для некоторого X верно, что X есть a и X есть b

если A есть b, то A ― объект.

Определить второе может помочь следующее:

не больше чем один объект есть a, если и только если для любых A и B, если A есть a и B есть a, A и B ― один и тот же объект,

и в итоге мы получаем

A и B ― один и тот же объект, если и только если (A есть B и B есть A).

A есть a если и только если ((для некоторого B, B есть A) и (для любых B и C верно, что если B есть A и C есть A, то B есть C), и (для любого B верно, что если B есть A, то B есть a)).

История гласит, что Лесьневский открыл эту аксиому, сидя на скамейке в Саксонском саду Варшавы и подкрепляясь плитками шоколада. В символической записи, используя несколько более современную символику, чем в аксиоме Лесьневского, но позаимствовав у него верхние уголки для обозначения области действия кванторов, аксиому можно представить так:

OL

∀Aa ⌜A ε a ↔ (∃B ⌜B ε A⌝ ∧ ∀BC ⌜(B ε A ∧ C ε A) → B ε C⌝ ∧ ∀B ⌜B ε A → B ε a⌝ )⌝

В этой аксиоме и ее формулировке есть несколько примечательных моментов. Она сформулирована как универсально квантифицированная эквивалентность, причем правая сторона служит как бы экспликацией левой, так что это своего рода имплицитное определение первичного понятия «ε». Правая сторона, по примеру Рассела, утверждает, что есть по крайней мере одно А (первый конъюнкт) и не более одного А (второй конъюнкт), а любое А является a (третий конъюнкт). Использование переменных, обозначенных заглавной буквы, является неформальным, но оно способствует пониманию: ими отмечены позиции в предложениях (особенно перед «ε»), где переменная может предъявить истину своего непосредственного контекста только в том случае, если она единственна. Там, где используются строчные курсивные переменные, единственность не подразумевается. Но, в принципе, достаточно одного шрифта для переменных. На основе своей аксиомы и нескольких правил вывода Лесьневский разработал мощную систему общей логики, сравнимую по силе с простой теорией типов — как он писал 1929 году: «В 1921 году я разработал свою “теорию типов”. […] Это было что-то вроде теории типов Уайтхеда и Рассела, которую я определенным образом обобщил и упростил» (Collected Works, 421).

Прототетика

И мереология, и онтология предполагают более глубокий логический слой, включающий в себя пропозициональную логику связок типа «если», «не», «и», а также еще не эксплицированную логику кванторов «все» ( «∀») и «некоторые» («∃»). Сформулировав онтологию на аксиоматической основе, Лесьневский перешел к аксиоматизации прототетики. Первоначально он говорил о «теории дедукции», которую Уайтхед и Рассел использовали для пропозиционального исчисления, но поскольку они ввели логику кванторов лишь позднее, он изобрел термин «прототетика», от греческого «первые тезисы».

 Это приводит к вопросам о природе квантификации у Лесьневского, к которым мы вернемся ниже.

Предпочтение Лесьневским системы аксиом, основанное отчасти на успехе онтологии, а отчасти на соображениях о природе определения, выразилось в том, что он основал логическую систему на единственной связке материальной эквивалентности вкупе с универсальным квантором. Когда он разрабатывал это для прототетики, его на некоторое время задержало то, что он не мог понять, как элиминировать связку конъюнкции в терминах эквивалентности. Если даны квантификация и эквивалентность, то отрицание легко определить, например, так, как Рассел однажды предложил Фреге:

Def.~ :

∀p⌜~p ↔ (p ↔ ∀r ⌜r⌝)⌝

Решение для Лесьневского было найдено его 21-летним докторантом Альфредом Тайтельбаумом, впоследствии известным под псевдонимом Альфреда Тарского. Оно состояло в квантификации не только предложений, но и сентенциальных функций или связок:

Def.∧:

∀pq⌜p ∧ q ↔ ∀f ⌜p ↔ (f(p) ↔ f(q))⌝⌝

в данном случае ― в квантификации одноместных связок. Допустив, что существует только четыре такие связки: утверждение, отрицание, Verum (тавтология) и Falsum (противоречие), легко показать, что правая сторона эквивалентна конъюнкции p и q. Этот результат находится в центре докторской диссертации Тарского.

Что касается аксиоматизации, то Лесьневский знал, что чистая теория эквивалентности может быть основана на двух аксиомах, утверждающих косо-транзитивность и ассоциативность:

P1

((p ↔ r) ↔ (q ↔ p)) ↔ (r ↔ q)

P2

(p ↔ (q ↔ r)) ↔ ((p ↔ q) ↔ r)

Чистое эквивалентностное исчисление обладает причудливым свойством, продемонстрированным Лесьневским: формула является теоремой тогда и только тогда, когда каждая пропозициональная переменная в ней встречается четное число раз. После универсальной квантификации этих аксиом была добавлена еще одна аксиома для введения пропозициональных функций, в данном случае двухпозиционных:

P3

∀gp⌜∀f ⌜g(pp) ↔ (∀r⌜f(rr) ↔ g(pp)⌝ ↔ ∀r⌜f(rr) ↔

g((p ↔ ∀q⌜q⌝) ↔ p)⌝) ↔ ∀q⌜g(qp)⌝⌝⌝

И снова Лесьневский и его ученики искали более короткие и ясные формулировки или же формулировки, которые состояли бы из одной аксиомы, хотя последние, как правило, не были ни короткими, ни ясными.

Теперь, сформулировав прототетику, Лесьневский мог оглянуться на свою систему оснований, чтобы увидеть, что она состоит из иерархии трех систем, разработанных в обратном порядке: прототетики, вводящей связки, кванторы и высшие функции; онтологии, вводящей новую категорию имен с новым первичным понятием «есть», и мереологии, основанной на первичном мереологическом функторе — «часть чего-то» или «ингредиент чего-то» — но не вводящей никаких новых категорий выражений, уже не предусмотренных в онтологии.

Философские аспекты логики Лесьневского

Семантические категории

Одним из наиболее значительных вкладов Лесьневского в метатеорию логики является его теория семантических категорий. Она заменила теорию простых типов, которую он разработал в 1921 году и о которой писал: «Когда я строил свою теорию типов, я считал ее лишь паллиативным временным решением [ ... ] В 1922 году я набросал контуры концепции семантических категорий как замену иерархии типов, которая для меня достаточно неинтуитивна» (Collected Works: 421). В теории типов принадлежащие к различным логическим типам выражения не могут быть заменены друг на друга без того, чтобы грамматически корректные или правильно построенные выражения не превратились в аграмматические или неправильно построенные.

Только правильно построенные или грамматически корректные выражения могут иметь смысл или значение.

Эта теория была разработана Бертраном Расселом как способ преградить дорогу теоретико-множественным парадоксам, хотя в работах Эрнста Шрёдера и Готлоба Фреге уже были ее предвосхищения. В теории типов обычно предполагается, что переменные каждого типа расположены над областью сущностей, специфичных для этого типа, и что все такие области взаимно не пересекаются. Например, у Фреге области были объектами и функциями различных уровней, в то время как у Рассела они обычно понимаются как определенная иерархия пропозициональных функций.

Он вдохновлялся отчасти традиционной синтаксической теорией различных частей речи, а отчасти — гуссерлевской теорией Bedeutungskategorien (категорий значения) из «Логических исследований». Там, где гуссерлевские категории имели абстрактные значения, неизменный номиналист Лесьневский заменял их категориями (конкретных) выражений. Хотя, как и более поздние авторы, он мог бы назвать классы выражений «синтаксическими категориями», он осознанно выбрал название «семантические категории», чтобы подчеркнуть, что все выражения, объединенные грамматически, имеют смысл, в отличие от лишенных смысла знаков, предложенных авторами-формалистами гильбертовской школы.

Сам Лесьневский так и не предложил четкой формулировки теории семантических категорий, довольствуясь работой с ними на практике. Первая формулировка была сделана его современником Казимиром Айдукевичем в статье 1935 года «Синтаксическая связь». Эссе Айдукевича стало источником последующей субдисциплины категориальной грамматики. Модифицировав нотацию Айдукевича, мы можем объяснить семантические категории так, как их использовал Лесьневский. Лесьневский считал, что эта теория применима только к его логическим системам, а не к обыденному языку, насчет способности которого быть недвусмысленно точным он был настроен скептически. Впоследствии было показано, что категориальная грамматика может вполне успешно применяться к синтаксису естественных языков.

У Лесьневского есть две основные категории: предложение (S) и имя (N). В прототетике используется только первое; в онтологии и мереологии добавляется второе. Различие между предложениями и именами является базовым: о предложениях мы можем сказать, что они существуют для высказывания чего-то истинного или ложного (очевидно, что, занимая логическую точку зрения, мы пренебрегаем вопросами и приказами), тогда как имена существуют для обозначения вещей. Лесьневский, следуя традиции, допускает, что имена могут обозначать несколько вещей, одну вещь или вовсе не обозначать никакой вещи. Таким образом, «Стамбул» означает одну вещь, а именно турецкий город, «город» означает много вещей, а именно все города, а «единорог» не означает вообще ничего.

Опять же, следуя скорее традиции, чем современному подходу Фреге и Рассела, Лесьневский не делает синтаксического различия между общими терминами или нарицательными существительными, с одной стороны, и единичными терминами или именами собственными ― с другой. Часто говорят, что причиной этому является отсутствие в его родном польском языке определенных и неопределенных артиклей, которые делают различие более грамматически очевидным, но это предположение абсурдно, поскольку Лесьневский свободно говорил и писал по-немецки, а немецкий наводнен артиклями. Гораздо более вероятно, что Лесьневский сознательно выбрал традиционный, а не современный путь, потому что он считал его и более выразительным, и более близким к естественному языку.

Поскольку язык не состоит исключительно из разрозненных предложений или имен, существуют выражения других категорий, которые объединяются друг с другом в соответствии с правилами и формируют дальнейшие выражения, в конечном счете — предложения. В упорядоченной среде логических языков Лесьневского это всегда происходит следующим образом: объединяющее выражение, которое мы можем назвать функтором, предшествует левой скобке, за которой затем следует последовательность одного или нескольких аргументных выражений, а затем следует правая скобка, симметричная первой, которая завершает составное целое. Тогда общая схема такова:

функтор +левая скобка +аргумент 1 + … + аргумент n +правая скобка,

например,

F(a1… an)

или более конкретно: ~(p), ϙ(pq), ε{Aa}.

Теперь давайте приведем нотацию, вдохновленную Айдукевичем, для категории функтора, например, «F». Если категория «a1» является α1, категория «an» является αn, и категория всего выражения «F(a1… an)» является β, тогда категория функторов выражения «F» записывается как

β⟨α1…αn⟩

где категория вывода указывается слева, а категория его вводных — по порядку угловых скобках. Назовем это категориальным индексом выражения. Таким образом, категория сентенциального отрицания ― S⟨S⟩, категория конъюнкции — S⟨SS⟩, а категория эпсилон-функтора «ε» ― S⟨NN⟩, так как он строит фразы, используя два имени в качестве аргументов.

В статье 1935 года Айдукевич показал, что мы можем разработать исчисление грамматических комбинаций, используя такую нотацию: мы берем предположительно правильно построенное выражение, перестраиваем его при необходимости в порядок, где функтор стоит в начале, а затем смотрим, можем ли мы «перемножить назад» аргументы и функторы, чтобы получить единственный категориальный индекс. Если можем, то составное выражение является грамматически корректным, правильно построенным или синтаксически связным. Например, «ε{Aa}» синтаксически связно следующим образом: записывая категорию выражения e как |e|, мы получаем

|ε| = S⟨NN⟩, |A| = |a| = N, следовательно |ε{Aa}| = S⟨NN⟩ × (N × N) = S

как и следовало ожидать. Айдукевич использовал «коэффициентную» нотацию вместо наших угловых скобок; это делает идею «умножения назад» более наглядной, но в сложных случаях делает запись более громоздкой.

Могут быть функторы, аргументами которых являются функторы: например, конъюнкция между двумя бинарными предикатами имеет своей категорией S⟨S⟨NN⟩S⟨NN⟩⟩. Могут также существовать так называемые многозвенные функторы ― функторы, значениями которых являются функторы. Например, английская морфема “–ly” преобразует прилагательное ― категорию N⟨N⟩ ― в наречие, например, в категории S⟨N⟩⟨S⟨N⟩⟩, так что у «–ly» есть действительная категория S⟨N⟩⟨S⟨N⟩⟩⟨N⟨N⟩⟩. В некоторых позднейших категориальных грамматиках переходные глаголы вполне обоснованно считаются имеющими многозвенную категорию S⟨N⟩⟨N⟩, а не бинарную категорию предикатов S⟨NN⟩. Этот ход, на самом деле, является стандартным трюком в логике, впервые введенным Мозесом Шёнфинкелем в 1924 году, чтобы избавиться от многоместных функторов в пользу многозвенных, но одноместных. Если бы Лесьневский знал об этом, то, очевидно, не одобрил бы. Хотя с элиминацией многоместных функторов логическая сила не теряется, этот шаг неестественен, и Лесьневский не одобрил бы определение многоместных функторов как замаскированных многозвенных, что мы видим, например, у Чёрча.

Следуя полезному терминологическому предложению Евгения Лущея, первые можно назвать пропозитивными категориями и выражениями, вторые ― номинативными (Luschei 1962: 169).

Обратите внимание, что скобки в обозначении Лесьневского сами по себе не имеют категории: они синкатегорематичны. Они выполняют двойную функцию: отмечают начало и конец цепочек аргументов и помогают указать семантическую категорию функторов. Таким образом, Лесьневский использовал круглые скобки для функторов, выводящих предложения из предложений, то есть для связок, и квадратные скобки для функторов, выводящих предложения из имен, то есть для предикатов. В принципе может потребоваться неограниченное количество форм скобок, и действительно, в некоторых работах учеников Собоциньского встречаются несколько десятков различных форм. Лесьневский придал скобкам эту вторую роль, потому что хотел сохранить максимальную гибкость в отношении форм выражения, используемых для функторов, даже позволяя использовать одну и ту же форму в «аналогичных» функторах, например, трехместной конъюнкции, эпсилонах и эквивалентностях «высшего порядка», или других логических константах. Очевидно, что это необязательная особенность его нотации ― могли бы подойти и другие условные обозначения.

Более важным для металогических целей является то, что универсальный квантор у Лесьневского также синкатегорематичен. На уровне символики это выражается в том, что нижние уголки, которые он использовал для обозначения универсального квантора, являются всего лишь контейнером для переменных, но важнее всего то, что в таком кванторе может встретиться любая конечная цепочка различных переменных, независимо от того, как подобраны их категории. В этой гибкости есть ряд преимуществ. Лесьневскому не нужно давать правила для многочисленных разновидностей универсального квантора, но он дает правила для одного вида за один раз. Но есть и некоторые недостатки. В «официальной» нотации логики Лесьневского есть только универсальный квантор ― частный квантор и какие-либо другие кванторы стандартным способом им не определяются. Такой же была практика Фреге, но в случае Фреге такая скупость, по-видимому, была вызвана какими-то личными причинами, тогда как в случае Лесьневского причина была систематической. Лесьневский скрупулезно прописывал правила допуска новых выражений через определение. Он сформулировал такие правила для прототетики и распространил их на онтологию. Эти правила действуют только для базовых и функтор-категориальных выражений. Кванторы, будучи переменными связками, не являются ни базовыми, ни функторными выражениями, но Лесьневский не смог придумать приемлемых правил определения для таких переменных связок. Он бы с удовольствием сделал это и даже предлагал студентам любую степень, какую они захотят, от магистра до хабилитации, если бы они смогли сформулировать адекватные правила, но это никому не удалось. Поэтому в «официальной» системе универсальный квантор оставался синкатегорематическим выражением, но тем не менее входил в допустимые комбинации, что означало, что синтаксис его систем не был полностью охвачен категориальной грамматикой. Подобное ограничение стало очевидным и для Айдукевича, который предпринял неудачную попытку его исправить. Айдукевич проницательно заметил, что язык, содержащий циркумфлекс-оператор абстракции Рассела, который Алонзо Чёрч записал с помощью греческой лямбды, мог бы выразить любой оператор как комбинацию оператора абстракции с функтором. Чёрч использовал этот метод с немалой пользой в своей логике, но эта работа появилась слишком поздно, чтобы помочь Лесьневскому. В любом случае, Чёрч просто перенес проблему синкатегорематичности на лямбда-оператор.

Определения

Статус определений в логике и за ее пределами до настоящего времени был на удивление спорным. Вероятно, стандартной точкой зрения среди логиков является точка зрения Рассела, согласно которой определения ― это просто аббревиатуры, роль которых состоит в том, чтобы сделать сложные предложения более доступными для изучения слабыми людьми. Согласно этой точке зрения, когда логик определяет, например, конъюнкцию через импликацию и отрицание — как в

p ∧ q =df ~(p → ~q)

это следует понимать как просто более короткое выражение, заменяющее собой более длинное. В данном случае аббревиатурное значение несущественно, но в случае некоторых длинных выражений, таких как наследственность того или иного отношения, а также во многих областях математики, оно может быть весьма значимым. Рассел выразил эту точку зрения несколько чересчур драматично, назвав определение выражением воли автора. С этой точки зрения, определение не может быть истинным или ложным; оно может быть уместным и полезным или не быть, и должно отвечать определенным требованиям, например, не иметь «висячих» переменных ни в определителе, ни в определяемом, не должно определять выражение в его собственных терминах, но помимо этого методологические требования, предъявляемые аббревиации, минимальны. Во многих современных логических системах определения присутствуют только в метаязыке и в объектном языке вообще не появляются.

В этой точке зрения нет ничего плохого, но она решительно не совпадает с точкой зрения Лесьневского. Согласно ему, определение вводит новое выражение в объектный язык. Опять же, должны быть учтены специфические требования, и выполнить их оказывается сложно. Кроме того, от автора логической системы зависит, какие определения он или она предпочтет ввести. Но есть одно важное отличие. Поскольку определения добавляют новые выражения в объектный язык, они добавляют выражения в те места, где они могут быть квантифицированы, и таким образом могут усилить выразительную силу системы.

Большинство логиков осуждают творческие определения, но Лесьневский пользовался ими. Лесьневский утверждал, что на самом деле вместе с обозначением «=Def.», используемым большинством логиков, в их работу проскальзывает незамеченное первичное понятие. Он считал, что это случай Уайтхеда и Рассела, и именно потому хотел сформулировать прототетику, основанную только на эквивалентности, поскольку тогда одна и та же связка становится первичным понятием, используемым для определений. По его мнению, определения являются эквивалентностями объектного языка и должны быть признаны таковыми. Задним числом мы можем видеть, что эта точка зрения была слишком радикальной. Остаются возможными сокращенные определения, и действительно, Лесьневский «неофициально» использовал одно из них ― определение частного квантора. То, что Лесьневский называет «определениями», возможно, лучше было бы назвать «определительными аксиомами». Тогда как то, что они могут добавляться по мере продвижения, а не собраны вместе в начале логики, ― просто особенность логического метода Лесьневского.

Возможно, наиболее важным творческим определением, используемым Лесьневским, является определение из онтологии, данное Тарским в 1921 году для функтора * категории N⟨N⟩:

∀AB⌜A ε *(B) ↔ ∃c⌜A ε c ∧ B ε A⌝⌝

где «A ε *(B)» можно прочитать как «A есть единственное B». Это позволило заменить длинную аксиому онтологии короткой (см. ниже); без нее замена была бы невозможна.

Номинализм

Мы отметили, что Лесьневский, уверенный в своих аргументах против общих объектов Твардовского, был номиналистом. Несомненно, это было связано с его неприятием теории множеств.

Его друг Котарбиньский сформулировал крайнюю версию номинализма, называемую также реизмом, пансоматизмом и конкретизмом, согласно которой единственное, что существует — это материальные тела. Лесьневский не стал бы заходить так далеко, потому что не понимал, каким образом послеобразы и сновидения, которые он считал существующими, могут быть материальными телами. Но, развивая свою логику, он решительно отвергает все, что не является конкретным, индивидуальным, находящимся в пространстве и времени. Это касается и самих логических систем.

Оставляя в стороне нетривиальный метафизический вопрос о том, что в принципе может считаться логической записью, мы должны рассмотреть, какие последствия эта позиция имела для его отношения к логике и логическим системам.

И последствия являются радикальными и далеко идущими. Если логическая система ― это конкретный комплекс знаков, то она не может быть бесконечной. Кроме того, чтобы не расходиться с логической практикой, следует признать, что логические системы меняются с течением времени. В идеале они изменяются, дополняясь по мере доказательства новых теорем. На практике они могут разрушаться или быть полностью уничтоженными, как это случилось с системами Лесьневского в ноябре 1944 года. Если логическая система опубликована в книге или журнале, и существует несколько копий, то таких систем столько же, сколько копий. Если предположить, что все копии верны, то каждая копия типографически точно такая же, как и все остальные. Все они, если воспользоваться выражением Лесьневского, эквиформны. На практике, разумеется, эквиформность не совсем точна, даже в печатных работах, но мелкие расхождения незначительны, и в любом случае мы склонны признавать рукописные рукописи и другие варианты эквиформными для логических целей с системами, которые так или иначе физически отличаются. Опять-таки, маленькая метафизическая деталь менее важна, чем тот факт, что большую часть времени мы вынуждены обходиться неточным сходством.

Предполагается, что простые и сложные выражения являются абстрактными типами, что их число бесконечно, что система аксиом имеет бесконечно много логических теорем и т. д. Лесьневский не может принять ни одно из этих предположений, поэтому ему нужно найти способ обращаться с логическими системами как с чем-то органическим, растущим и изменяющимся во времени. Он делает это, используя сложную систему металогических определений, которые он называет «терминологическими объяснениями», и правил вывода, которые он называет «директивами».

Трудно в нескольких словах дать представление о терминологических объяснениях (ТО): их сложность и кумулятивный эффект необходимо оценить самостоятельно. Наиболее подробно ТО трактуются для прототетики в «Grundzüge», Раздел 11, где в кратком виде также даны ТО для онтологии. Несколько более практичный набор для одной из версий пропозиционального исчисления с определениями, основанного на бесскобочной нотации Лукасевича, приведен в статье 1931 года «Über Definitionen in der sogenannten Theorie der Deduktion»; он основан на лекциях 1930-31 годов. Там Лесьневский дает ТО больше словами, чем символическими сокращениями, и приводит множество примеров. Тем не менее, это весьма непросто для понимания, так как для всех сложносоставных ТО (металогических определений) Лесьневский требовал, чтобы логическая независимость всех разных предложений [из которых состоят ТО], была показана на подходящих моделях. В результате аспирантам требовалось три семестра, чтобы проработать набор ТО на семинаре Лесьневского (по словам самого Чеслава Леевского).

ТО являются средствами достижения цели — сформулировать директивы системы. Директива звучит как императив, но ее иллокутивная сила тоньше. Предположим, что логическая система была разработана до определенного момента, то есть до определенного последнего письменного тезиса (термин Лесьневского, охватывающий аксиомы, теоремы и определения). По крайней мере, аксиома или аксиомы будут уже записаны. Для удобства предположим, что до настоящего момента разработка шла хорошо. Нет категорического императива расширять систему, добавляя еще один тезис, но предположим, что автор системы (или даже какой-нибудь его помощник) желает этого. Он или она записывает новый набор знаков. Знаки (очевидно) должны быть разборчивыми, четко расчленяемыми на элементарные символы (которые Лесьневский называет словами), грамматически правильно построенными как предложение (не допускаются никакие несвязанные переменные) и, наконец, допустимыми в соответствии с директивами. Директивы устанавливают, что может быть допущено дальше после данной последовательности тезисов. Например, следующий тезис может быть экземплификацией предыдущего универсально квантифицированного тезиса, или modus ponens из двух предыдущих тезисов, или распределением квантора из предыдущего тезиса, или определением, приемлемым в соответствии с правилами, или тезисом об экстенсиональности. Допустимость всегда определяется по отношению к предшествующей последовательности: порядок ввода имеет значение. Если новый тезис-кандидат является допустимым в соответствии с одной из директив, он проходит проверку и становится частью системы, которая затем может быть расширена еще больше. В противном случае он отклоняется, и система не расширяется.

Поскольку система не планируется и не фиксируется заранее, теоретические объяснения и директивы должны быть схематически достаточно гибкими, чтобы быть открытыми к любым будущим дополнениям, и в то же время не настолько вольными, чтобы позволять возникать противоречиям или бессмыслице. Найти этот баланс, особенно в правилах допустимых определений, было немалым подвигом. Определение «определения» для прототетики сводится к 18 отдельным сложным предложениям, а для онтологии, которая добавляет второй стиль определения, ― еще к 18 предложениям.

Определения, которые казались столь маргинальными в большинстве логических систем, фактически являются ключом к потенциальной силе логики Лесьневского. Аксиомы систем обычно задействуют очень мало семантических категорий в нижнем основании рекурсивной иерархии. Новые семантические категории вводятся в систему как раз с помощью определений; как только появляется новая категория, для нее могут быть введены и квантифицированы переменные, для нее может быть сформулирован тезис экстенсиональности, и она может предоставить аргументы для дальнейших, более высокоуровневых функторов. Таким образом, хотя, в отличие от типизированной логики, понимаемой платонически, в любой системе реально действует только конечное число типов или категорий, потенциал продолжения ограничен только привходящими ограничениями.

Самый простой способ получить представление о том, как работают определения в логике Лесьневского, ― это взглянуть не на опубликованные работы по мереологии или прототетике, а на расширенный список «Определений и тезисов онтологии Лесьневского» из «Конспектов лекций Лесьневского по логике». Взятые из студенческих конспектов лекционного курса 1929-30 годов об «Элементарной онтологии», они содержат одну аксиому, 59 определений и 633 перечисленных (не доказанных) теорем, охватывающих силлогистику, булеву алгебру, понятия свойства(-предиката) и свойства высшего порядка, отношения, эпсилоны высшего порядка и несколько фрагментов теории отношений, включая обратные отношения, поля и относительные произведения, известные из Пирса, Шрёдера, Уайтхеда и Рассела. Не случайно набросанная разработка включает в себя большое количество разновидностей скобок.

Квантификация

Много было написано о том, как Лесьневский понимал кванторы «некоторый/некоторые» (∃) и «все» (∀). Есть три аспекта в этом спорном вопросе: 1) как следует читать кванторы; 2) как их следует понимать; и 3) каково логическое и философское значение способа их понимания. Полемика началась главным образом из-за расхождения в том, как Лесьневский и его последователи понимают кванторы, и ортодоксальным способом их понимания, сформулированным, в частности, Куайном. Ученик Лесьневского Леевский рассказывает, как после переезда из Польши в Англию он с удивлением обнаружил, что местное (по Куайну) понимание кванторов сильно отличается от того, с которым он вырос. Проблема усугубляется тем, что Лесьневский не создавал и даже не предполагал семантики для своей логики, вслед за Фреге и Расселом считая, что его система уже наделена значением и не нуждается в семантике, которая была бы трансплантирована извне. Интересно, что увлеченность Куайна идеей онтологической приверженности [commitment] и ее связи с квантификацией и ее областью восходит к дискуссиям, которые он вел с Лесьневским, когда посетил Варшаву в 1933 году. Куайн рассказывает, что они с Лесьневским допоздна спорили, делает ли использование переменных более высокого порядка Лесьневского приверженцем платоновских объектов, как думал Куайн, или нет, как думал Лесьневский. Очевидно, для такого номиналиста, как Лесьневский, мысль о том, что лелеемая им система может втягивать его в нежелательные онтологические приверженности, была неприемлема.

Что касается того, как читать кванторы, то, хотя мы видим, что в своих досимволических работах Лесьневский предпочитал выражения типа «для некоторого значения выражения x» и «для каждого значения выражения x», которые могут подсказать, как он тогда понимал квантификацию, в дальнейшем он отдавал предпочтение простым «все» и «некоторые», за которыми следовали соответствующие переменные, и думается, что целесообразно просто следовать этому.

Значение или интерпретация кванторов ― более тонкий вопрос. Весьма вероятно, что Лесьневский считал кванторы нотационной необходимостью, когда область значений может быть бесконечной, поскольку бесконечные дизъюнкции и конъюнкции невозможны. В прототетике, как ясно показывает ее вычислительный вариант, строго говоря, нет необходимости в кванторах, поскольку каждая семантическая категория, независимо от того, как высоко она находится в иерархии, имеет только конечное число возможных (экстенсиональных) значений. Но в онтологии, где нет логического требования конечности области индивидов, кванторы необходимы.

Причина в том, что законы квантификации и определимости в онтологии необходимо пустого термина «Λ», для которого верно, что никакого Λ не существует, влекут за собой истинность квантифицированного предложения «для некоторого a, a не существует» (ср. Т. 127 «Определений и тезисов онтологии Лесьневского» в «Конспектах лекций Лесьневского по логике»). Если бы «некоторый» означало «существует», это вело бы к противоречию. Лесьневский всегда использовал выражение «конкретный квантор» вместо «экзистенциального квантора». Таким образом, вопрос заключается в том, как следует понимать кванторы, если они не понимаются стандартным способом.

Идея Куайна о том, что кванторы неким образом являются замещающими. была вынесена им из бесед с Лесьневским. В этом есть доля истины. Универсально квантифицированная формула ∀X…⌜—X—⌝ позволяет вывод к любой формуле —C—, получаемой путем замены любого правильно построенного выражения C из соответствующей категории вместо связанной переменной X, а также для всех других переменных, в данном случае связанных тем же квантором. Дуально из —C— можно вывести ∃X…⌜—X—⌝ для подходящих категорий связанной переменной. Таковы обычные правила для кванторов, неограниченно применяемых к любым категориям переменных ― одной или нескольким. Так, например, если существует теорема, универсально квантфицирующая номинальные переменные, такая как «∀a⌜любой a является a⌝», мы можем правомерно предположить, что «любое Λ есть Λ» даже если это имя пустое. Куайн предполагал, что отсутствие онтологической приверженности должно влечь за собой то, что кванторы охватывают выражения, а не вещи. Это было бы неприемлемо для Лесьневского, потому что вело бы к путанице в употреблении/упоминании, а также потому, что, хотя для номиналиста является истиной то, что существует только конечное число выражений, тем не менее, неизвестно, является ли истиной — и не может ли на самом деле быть ложью — то, что существует только конечное множество вещей.

Существует ли тогда третий способ понимания кванторов, который не был бы ни референциальным, ни замещающим? Такой способ был предложен Гвидо Кюнгом, он основан на интерпретации молодым Лесьневским кванторов как «для всех [некоторых] значений переменной x». Возьмем эту преамбулу в качестве того, что Кюнг называет пролог-функтором, который упоминает выражение x, но принимает его матрицу (часть после квантора, внутри верхних уголков) за контекст употребления переменной и принимает переменные в диапазоне значений, в случае Лесьневского, экстенсионалов (Küng 1977). Опять же, в этом есть что-то правильное и что-то неправильное. Если экстенсионалы ― это (как в стандартном понимании) различные виды множеств, то Лесьневский точно не смог бы это принять.

Это следует понимать так, кванторы не распространяются ни на объекты, ни на выражения, ни на экстенсионалы ― они не распространяются на что-либо. Но для каждой категории существует множество способов, которыми выражение может иметь значение: предложение может быть истинным или ложным; имя может называть одну или несколько вещей, все вещи или вообще ничего. Выражения с функторами имеют значение в соответствии со значением выводов из их комбинаций, когда их вводные имеют определенные значения. В принципе, если задана некая область индивидов, все возможные способы значения определены и установлены для всех категорий выражения. Кванторы используют эти  потенциальные возможности. Но овеществление всех различных потенциальных способов, которыми выражение может иметь значение, как если бы они были дополнительными объектами, идет вразрез с номиналистическим ядром мысли Лесьневского. Поэтому, когда Лесьневский сказал Куайну, что использование квантифицированных переменных в категориях, отличных от имен, не связано с платоническими объектами, он был искренен. То, чему он был привержен с тех пор, как он принял двузначность истины и лжи, это то, что выражения различных категорий могут быть значащами по-разному.

Неприязнь Лесьневского к семантике

Мы видели, как Лесьневский развивал свои логические системы, стремясь обеспечить математику основаниями без антиномий, сравнимыми с системами Фреге или Уайтхеда и Рассела, но без их недостатков. Его постепенный переход от крайне стилизованной прозы-с-переменными к полностью формализованным системам не позволил ему рассмотреть свою логику как непроинтерпретированную систему, как это сделал Гильберт. С самого начала он считал, что его системы, даже полностью формализованные, состоят из постоянных, первичных и определенных выражений, с фиксированным заложенным значением, которое он пытался прояснить примерами и разъяснениями. Он также считал истинными все свои аксиомы и теоремы. В этом он следовал Фреге и Расселу, которые также не рассматривали некий внешний источник как определенный способ наделения смыслом выражений и истиной предложений логики.

Такой подход к логике начал вытесняться развитием логической семантики, не в последнюю очередь благодаря его собственному бывшему ученику Тарскому. Поворотный момент наступил с публикацией очерка Тарского о понятии истины в языках дедуктивных наук. Эта статья была подготовлена в предварительном варианте в 1929-30 годах, дополнена, когда в 1931 году стали известны результаты теоремы о неполноте Гёделя, и в итоге опубликована на польском языке в 1933 году. Известно, что Лесьневский выступил против нее. Вероятно, этому есть две причины. Во-первых, в своем металогическом аппарате Тарский пользуется теорией множеств. Несмотря на то, что он не очень активно прибегает к ней, это вторжение теории множеств в метатеорию логики Лесьневский никак не мог одобрить. Другая причина, вероятно, заключается в том, что если в ранних частях монографии Тарский твердо придерживается концепции конечных типов, родственной теории семантических категорий Лесьневского, то в дальнейших частях он дистанцируется от нее, как от необоснованного ограничения, и признает правомерность трансфинитных типов.

На самом деле в логических системах Лесьневского нет ничего сущностно антисемантического. Им можно придать более стандартные формулировки и рассмотреть модельно-теоретически (ср. Stachniak 1981), а также исследовать металогически в их собственных терминах и не отрекаясь от сомнений Лесьневского относительно абстрактных сущностей. Однако дело в том, что мало кто считал, что этот проект стоит усилий.

Зрелые системы

На протяжении 1920-х годов Лесьневский и его ученики упорно работали над совершенствованием логических систем, находя отдельные и более короткие аксиомы, пробуя новые первичные понятия и вообще стремясь к логическому совершенству. Работа и преподавание Лесьневского были настолько интенсивными, что в течение нескольких лет он ничего не публиковал. Результаты его работы цитировались, не будучи опубликованными, поэтому он решил отложить полностью систематическое изложение и вместо этого представить более автобиографический отчет о том, как эти системы возникали и улучшались. Он опубликовал две серии статей в период 1927–31. Первая серия, «O podstawach matematyki» [«Об основах математики»], появилась в главном польском журнале по философии «Przegląd Filozoficzny», и, воздерживаясь от математической символики, была посвящена описанию актуального состоянии мереологии. Другая серия, «Grundzüge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik» [«Основы новой системы оснований математики»], начала выходить в 1929 году в математическом журнале «Fundamenta Mathematicae» и была посвящена прототетике. Ее 81 страница и 11 разделов заканчивались обещанием «Fortsetzung folgt» («Продолжение следует»), однако его не последовало, потому что Лесьневский поссорился с другими редакторами журнала из-за статуса теории множеств. Статья не вышла за рамки пролегомен к прототетике, излагая историю, аксиомы и правила (директивы) расширения системы, намечая ряд возможных вариантов, но не приступая собственно к дедукции. Только после того, как в 1938 году был создан новый логический журнал «Collectanea Logica», Лесьневский смог продолжить свою работу. После 60-страничного введения к продолжению, «Einleitende Bemerkungen zur Fortsetzung meiner Mitteilung u.d.T. “Grundzüge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik”», резюмирующих предыдущую статью и повествующих об актуальном положении дел, следовали еще 83 страницы, включающие Раздел 12 и перечисляющие двенадцать определений и 422 теоремы прототетики со схематической информацией о том, как они выводятся, выраженной в собственной крайне своеобразной нотации Лесьневского для связок и кванторов. Журнал не вышел в печать из-за начала Второй мировой войны: печатные формы, с которых, к счастью, были сделаны оттиски, были уничтожены во время бомбардировки Варшавы в сентябре 1939 года, когда Лесьневский уже умер.

Созданная Лесьневским нотация для прототетики объясняется в «Дополнительном замечании №3» из Вводных замечаний: одноместные связки состоят из горизонтальной черты «–», которая может быть дополнена с обоих концов вертикальной чертой «|». Черта с правого конца строки означает, что связка дает значение вывода T (истина) при вводном значении T; отсутствие черты означает, что для вводного значения T вывод будет F (ложь). Аналогичным образом черта в левом конце строки означает значение вывода T для вводного значения F, отсутствие черты означает вывод F для вводного F. Четыре экстенсиональные одноместные связки таким образом получают систематическую нотацию, причем, что особенно важно, отрицание записывается как «⊢». К двухместным связкам черты добавляются радиально, как спицы к круглой центральной ступице «○». Как и прежде, наличие черты указывает на выводное значение T, ее отсутствие ― на выводное значение F. Верхняя позиция предназначена для первого и второго вводов F, нижняя позиция ― для первого и второго вводов T, левая позиция ― для первого ввода T и второго ввода F, правая позиция ― для первого ввода F и второго ввода T ― таким образом охватываются все шестнадцать возможностей. Например, конъюнктивная связка записывается как «ϙ». Если одна связка H геометрически содержится в G, имеет место импликация G(pq) → H(pq), и слияние двух связок дает связку, эквивалентную их конъюнкции. Хотя эта нотация систематична и элегантна, она не прижилась. Подобно Лукасевичу, Лесьневский всегда ставит связку перед ее аргументами, но заключает аргументы в скобки, поэтому конъюнкция p и q пишется «ϙ(pq)». Причина, почему Лукасевич использует скобки, без которых он мог бы обойтись, понятна. В этой «официальной» нотации единственным квантором является универсальный, записанный с помощью размещения переменных между нижними уголками, как, например, «⌞pqf⌟ », и помещая область его действия или матрицу внутри верхних уголков, как, например, «⌞pqf⌟ ⌜ϙ(f(pq)f(qp)) ⌝» ― это способ записи Лесьневского для того, что мы бы записали как «∀pqf ⌜f(pq) ∧ f(qp) ⌝». Однако в своей повседневных логической работе и выводах Лесьневский использовал слегка видоизмененную версию нотации Уайтхеда и Рассела из «Principia Mathematica».

Среди вариантов прототетики, которые упоминает Лесьневский в своей статье 1929 года, есть вариант с единственной аксиомой, содержащей 82 знака. (В 1945 году Собоциньский создал версию с одной аксиомой лишь с 54 знаками.) Другой и более интересной идеей является алгоритмическая или «вычислительная» система прототетики, упомянутая в Разделе 8. Она является, по сути, способом формализации идеи таблиц истинности, но примененной за пределами функций истинности предложений к более сложным функторам с аргументами функций истинности первого и более высокого порядка. Лесьневский не очень глубоко развивает эту идею, но впоследствии она получит дальнейшее развитие у Оуэна Ле Блана (1991).

Современным исследователям, привыкшим к отлаженным и стройным методам работы с пропозициональной логикой, прототетика Лесьневского, особенно в ее «официальных» версиях, должна казаться очень громоздкой и трудной для понимания и работы. Отчасти это вопрос эпохи, когда были созданы эти системы, и неприятия Лесьневским семантики (см. выше). Тем не менее Лесьневский не всегда представлял свою работу столь бескомпромиссно. Для целей обычного вывода он использовал то, что нельзя описать иначе как систему натуральной дедукции, делая допущения, отслеживая их следствия, собирая их и выводя условные и биусловные высказывания так, как к этому привыкли с тех пор все, кто изучает логику. Удивительно, но ни он, ни кто-либо из его учеников не посчитали нужным кодифицировать эти практики в систему правил. Вместо него это было сделано Станиславом Яськовским по предложению Лукасевича. Открытие натуральной дедукции обычно приписывают другим [напр. Г. Генцену — Примеч. ред.], но вполне возможно, что Лесьневский использовал ее в узнаваемой современной форме раньше других. То, что он ее не кодифицировал, вероятно, было следствием того, что он рассматривал ее как педагогический прием и способ набросать ход «правильного» (то есть аксиоматического) доказательства. Еще один способ частично лишить протетитку ее неприступной внешности ― найти более понятные аксиомы. Следующий набор двух аксиом, основанный на применении импликации как первичного понятия (альтернативный вариант, который также рассматривал Лесьневский), довольно прост; результат снова был получен Тарским:

P3

∀pq⌜p → (q → p) ⌝

P4

∀pqrf ⌜f (rp) → (f (r (p → ∀s⌜s⌝) ) → f (rq) ) ⌝

Первая ― универсальное замыкание стандартной аксиомы пропозиционального исчисления, восходящей к Фреге. С учетом того, что F (ложь) может быть определено как ∀s⌜s⌝, а отрицание как p → F, вторая аксиома ― это универсальное замыкание

f (rp) → (f (r ~p) → f (rq))

что просто говорит о том, что если f (r здесь имеет любое истинностное значение), то f(rq) для произвольного q, и что это очевидно правильно. Можно (хотя это довольно утомительно) проверить, что этот результат имеет силу для всех шестнадцати экстенсиональных двоичных функций истинности, заменяющих друг друга для «f ». Очевидно, что вывести всю прототетику из этих простых начал гораздо сложнее, и зависит уже от нахождения подходящих определений для связок.

В онтологии Лесьневский и его ученики, в частности, Собоциньский, работали над тем, чтобы заменить единственную «длинную» аксиому более короткой, и в итоге пришли к несократимой аксиоме

OS

∀Aa⌜A ε a ↔ ∀B ⌜A ε B ∧ B ε a⌝⌝

Она предлагает гораздо менее очевидное понимание значения, вкладываемого в «ε», чем исходная аксиома 1920 года. Тонко сбалансированное сочетание краткости и ясности очевидно в следующем эквивалентном наборе двух аксиом:

OS1

∀Ab⌜A ε b → A ε A⌝

OS2

∀ABc ⌜(A ε B ∧ B ε c) → A ε c⌝

где первая аксиома ― именно та, о которой Лесьневский рассказывал Твардовскому в 1919.

Хотя онтология, возможно, является наиболее интересной из систем Лесьневского, она была известна при его жизни не столько благодаря его собственной опубликованной работе, которая была ограничена короткими, техническими и сложными для понимания текстами, сколько благодаря сглаженному и комплиментарному изложению в широко читаемом и влиятельном варшавском учебнике Котарбиньского 1929 года, известном просто как «Elementy». Котарбиньский объясняет, почему ему не нужно было придумывать логическую систему имен и предикатов, поскольку он мог получить готовую из фирмы с отличной репутацией. Лесьневский был искренне благодарен.

Тот факт, что основным модульным предложением в онтологии является единичное включение формы «A ε b», ввел некоторых комментаторов в заблуждение, заставив их думать, что Лесьневский отвернулся от фрегеанского понятия предикации как приложения функции и вместо этого вернулся к средневековому «двуименному» пониманию предикации. Действительно, за исключением вопроса о глагольном времени, объяснение Лесьневским условий истинности таких единичных предложений ― что они истинны тогда и только тогда, когда субъектный термин обозначает один объект, а предикатный термин обозначает один или несколько объектов, одним из которых является субъект, — почти в точности совпадает с объяснением, предложенным средневековым номиналистом Уильямом Оккамом.

Общая форма единичного предложения такая же, как и у любого двоичного предиката ― f(ab) ― или в нотации Лесьневского ― f{ab}. Единственное включение не является синкатегорематической копулой ― это особый бинарный предикат. То, почему он выбран в качестве первичного понятия, понятно, но это не обязательно. Лесьневский знал, что другие предикаты, кроме «ε», могут считаться первичными понятиями ― а позднее это подчеркивал Леевский.

Именно в мереологии, самой старой из систем Лесьневского, произошли самые разнообразные изменения. Серия статей 1927-30 годов о мереологии как части основ математики изменила возможные первичные понятия. После язвительных нападок на путаницу в употреблении/упоминании у Уайтхеда и Рассела в «Principia» и нападок на стандартные теории множеств он прослеживает формальное развитие своей статьи 1916 года, отмечая в длинной сноске ее сходство с теорией событий Уайтхеда, формальную разработку которой он также критикует. Затем подводит итоги развития до 1920 года, дополняя результатами, не опубликованными в 1916 году, и увеличивая число теорем до 198. В последующих главах аксиоматизация рассматривается в терминах «части», и показывается, что «ингредиент» может считаться первичным понятием. Количество теорем увеличивается до 264, затем демонстрируется, что первичным понятием может быть «внешнее». На этом разработка останавливается, и в заключительном разделе обсуждаются единичные пропозиции вида «A ε b» с примечанием о том, как следует понимать высказывания о вещи, которая изменяется. Используя пример «Варшава 1830 года меньше больше, чем Варшава 1930 года», Лесьневский предлагает рассматривать «Варшаву 1830 года» и «Варшаву 1930 года» как обозначающие временные срезы гораздо более протяженного во времени объекта, который он называет «Варшава от начала до конца ее существования».

Эта дискуссия ― одно из немногих мест в зрелой работе Лесьневского, где он обращается к чему-то похожему на философскую логику своих ранних лет. В других случаях, когда он не обсуждает формальные системы и не доказывает теоремы, его прозаические дискуссии, как правило, являются несдержанной, хотя и часто оправданной критикой утверждений других, особенно сторонников стандартной теории множеств.

Личность и наследие

Личность Лесьневского

Обычно характер ученого мало связан с его работой, но в случае с Лесьневским есть основания думать иначе. Его исключительная строгость в логике, непоколебимо высокие стандарты, которые он ставил себе и другим, полное неприятие интеллектуальной, формальной и лингвистической неточности и его готовность позволить академическим разногласиям испортить его отношения с коллегами ― все это говорит о необычайной непреклонности. Она, по-видимому, была глубоко укоренена: нам немногое известно о его школьных годах, кроме того, что он был нетерпим к исключениям из любого правила, было ли это правило разумным или нет.

В ранние годы он вынашивал проект перевода путаного и полемического трактата Антона Марти 1908 года «Untersuchungen zur Grundlegung der allgemeinen Grammatik und Sprachphilosophie» (Исследование оснований всеобщей грамматики и философии языка). Он так и не продвинулся дальше второго слова заглавия, «zur», которое, по всеобщему признанию, нелегко уловить во всех его нюансах — оно может означать «к», а также «на» или «о». Некоторое время он носил с собой экземпляр книги и спрашивал всех своих друзей и коллег, как бы они перевели слово «zur», но потом сдался. Разумеется, его интересы изменились, но этот инцидент демонстрирует его дотошность и несгибаемость.

Биографические материалы о Лесьневском довольно скудны; еще труднее получить ясное представление о том, каким он был человеком. На фотографии, сделанной им на семинаре Твардовского в 1913 году, изображен невысокий щеголеватый мужчина с бородкой, в шейном платке — ярком, по описанию Лукасевича. На более поздней фотографии того же периода отсутствует бородка, но сохранились усы. На двух известных более поздних фотографиях изображен чопорный, коренастый, чисто выбритый мужчина в деловом костюме с зачесанными назад волосами по моде того времени, больше похожий на банковского управляющего, чем на профессора логики, если не считать напряженного взгляда. Лесьневский был известен как яростный критик того, что он считал непонятным, а таковым было почти все. Его основной жалобой было то, что он не мог понять, что говорят докладчики или пишут писатели. В свете его патологической неспособности увидеть за буквальным смыслом на странице какой-либо заложенный, но не точно выраженный смысл, это неудивительно, но и не вызывает никакого сочувствия. В начале 1920–х годов Марьян Боровский, редактор «Przegląd Filozoficzny», жаловался Твардовскому, что люди боятся присылать статьи или выступать в Варшаве, потому что боятся критики со стороны Лесьневского, хотя и добавил с некоторым ликованием, что против него восстал бич Божий в лице некоего Тайтельбаума ― молодого Тарского. Даже флегматик Твардовский находил своего бывшего ученика раздражающим: в дневниковой записи от 12 августа 1930 года он жалуется: «Вообще те, кто ведет себя по образцу Лесьневского, очень произвольно просят анализа там, где им удобно, — если же кто-то из них просит анализа там, где ему неудобно, они обращаются к интуиции. Но если противник в дискуссии иногда пытается обратиться к интуиции, они отвечают: "Мы не понимаем того, что вы считаете интуитивно данным”». Статья Твардовского 1921 года «Символомания и прагматофобия» ― это призыв к философам не ставить символы выше вещей; она открыто направлена против Лукасевича и Лесьневского и их учеников.

Лесьневский, однако, не был лишен некоторого тяжеловесного юмора. Леевский рассказывал, как однажды он высмеял одного варшавского профессора классической филологии за то, что тот носил темные очки (тогда довольно редкие): «Неужели мир слишком ослепителен для него?». Он спокойно смирился с тем, что его лекции редко посещались из-за их крайней техничности. В одном семестре неожиданно много студентов явилось на первую лекцию. Он удивленно оглядел аудиторию и спросил: «Что вы все здесь делаете? Я не Бергсон». Тем, кто пришел только ради того, чтобы отметить посещаемость и закрыть курс, он сразу же проставил зачетки и сказал, чтобы они не беспокоились о дальнейшем посещении. Лишь немногие упрямцы пришли ради логики. Лесьневский входил в аудиторию с портфелем, набитым бумагами, рылся в них, находил, на чем остановился, и продолжал писать формулы и объяснять, как они получаются. Куайн посещал некоторые из этих лекций и мог следить за ними, несмотря на то, что не знал польского.

Лесьневский женился в 1913 году. Его жена Зофья Превиш-Квинто происходила из помещичьей литовской семьи. Детей у них не было. До Первой мировой войны Лесьневский, по-видимому, имел возможность путешествовать по разным немецким городам для учебы и проводить время после получения докторской степени в Париже, Сан-Ремо и Санкт-Петербурге.

Лесьневский вдохновлял лишь немногих студентов, некоторые из которых остались глубоко ему преданными, но рано или поздно начинал отталкивать почти всех либо своими твердыми профессиональными взглядами, либо своими манерами, либо своими политическими взглядами. Он начинал как радикальный социалист — его решение остаться во время войны в России было отчасти личным, отчасти политическим — но после эксцессов Октябрьской революции и ее последствий он отверг социализм. С 1920-х годов он поддерживал авторитаризм Юзефа Пилсудского, но примерно с 1930 года его взгляды приобрели более мрачный антисемитский оттенок. В неприятном письме, написанном Твардовскому в 1935 году, где он жалуется на «грязные трюки», которые разыгрывают против него «некоторые еврейские мальчики или их иностранные друзья», он заявляет о личной антипатии к Тарскому, карьере которого он не станет препятствовать, но признает, что «был бы чрезвычайно рад, если бы когда-нибудь прочитал в газетах, что тому предлагают полную профессуру, например в Иерусалиме, откуда он мог бы посылать нам оттиски своих ценных работ к нашей вящей пользе». Тарский не получил ставку во Львове, которая досталась Чвистеку благодаря похвале Рассела, хотя варшавяне, включая Лесьневского, поддерживали Тарского. Тарский, разумеется, чувствовал себя обиженным и, несомненно, подозревал антисемитские мотивы, но, как и Лесьневский, он был и обидчивым, и рассудительным в вопросах того, что является приоритетным. Оглядываясь назад, можно увидеть некий гротеск в том, как осторожно Лесьневский и Тарский обращаются друг к другу в своих предисловиях и признаниях, не желая публично оскорблять друг друга. Однако, несмотря на разногласия и подозрения, они еще долго продолжали встречаться раз в неделю наедине, чтобы обсуждать логику.

Нелюбовь Лесьневского к теории множеств была столь яростной, а критика столь невоздержанной, что это привело к разрыву отношений с его теоретико-множественно настроенными математическими коллегами Серпиньским и Куратовским; он ушел из редакции «Fundamenta Mathematicae», в результате чего он больше не мог публиковать там свои собственные работы. К концу жизни единственным оставшимся в живых близким другом Лесьневского был терпеливый и верный Котарбиньский, единственный из коллег навещавший его в больнице во время последней болезни. Они родились с разницей всего в один день в 1886 году. Рак, убивший Лесьневского, несомненно, был усугублен курением сигар и большой трубки. Во время операции он был в сознании и без анестезии из-за возможных осложнений, и ему разрешили курить даже в этот момент, чтобы он мог отвлечься от боли. Но он не выздоровел и умер, сидя в своем любимом кресле, специально привезенном в больницу.

Наследие Лесьневского

Из студентов, которым Лесьневский преподавал в Варшаве, некоторые продолжили карьеру в философии и логике, особенно Тарский, в котором Лесьневский верно распознал гения и который затмил своего учителя. Среди тех, кто был достаточно близок к взглядам самого Лесьневского, были Ежи Слупецкий, Болеслав Собоциньский, Чеслав Леевский и Генрих Хиж. Первые трое, в частности, после Второй мировой войны внесли большой вклад в реконструкцию многих достижений в логике, утраченных в 1944 году. Случайно найденные конспекты студентов лекций Лесьневского, переведенные и опубликованные в 1988 году, дают некоторое представление о деталях его учения, но его лекции охватывали куда более широкий круг тем, чем показывают дошедшие до нас работы. Однако во все времена логическая позиция Лесьневского была позицией меньшинства, которую уважали, хотя и отвергали, и после смерти Лесьневского она приобрела лишь немногих приверженцев. Причины оттеснения на второй план были проанализированы Гжегорчиком (1955). Лесьневский разрабатывал свои идеи в 1920-е годы, когда аксиоматический подход, как в школе Гильберта, был стандартным, но его негативное отношение к семантике как отдельной части логики означало, что ему не нравился и сдвиг к семантическому подходу, инициированный Тарским, и он остался бы его противником, даже если бы прожил дольше. Его неприятие теории множеств не снискало ему друзей среди математиков, но только врагов, а его нежелание и неспособность найти что-либо стоящее в трудах философов лишили его и их симпатии. Его навязчивая забота о мельчайших деталях аксиоматизации была непривлекательна для многих, ведь были доступны более прямолинейные методы, а его радикальный номинализм делал представление логики в соответствии с его принципами крайне неудобным. Даже Тарский, который поначалу был его последователем, вынужден был признать, что представление Лесьневского о логических системах как о конкретных наборах надписей, растущих во времени за счет добавления новых тезисов, делало их «совершенно неблагодарными объектами для методологического и семантического исследования».

Задним числом мы видим, что одержимость Лесьневского тонкими деталями аксиоматики и его отказ от семантики обусловлены его собственным своеобразным развитием и преобладающими исследовательскими интересами 1910-1920-х годов. На самом деле к его системам можно применить более стандартные металогические соображения, например исследовать их на предмет непротиворечивости и полноты. Однако трудности и сложности работы в рамках полностью номиналистического подхода — без множеств, без абстрактных типов выражений — оттолкнули почти всех, и относительная легкость, с которой можно получить результаты при меньших онтологических сомнениях, делает системы Лесьневского и им подобные интересными главным образом для отдельных философов, в то время как математики и математические логики обошли их стороной.

У входа в здание библиотеки Варшавского университета, построенной в 1999 году, стоят четыре бетонные колонны и скульптуры Адама Мыяка, прославляющие философские достижения Польши ― это учитель Лесьневского Твардовский, его коллега Лукасевич, его ученик Тарский и сам Лесьневский.

Библиография

Первоисточники: работы Лесьневского

Лесьневский С. И. Логические рассуждения. СПб.: Типография А. Смолинского, 1913.

● Przyczynek do analizy zdań egzystencjalnych [Contributions to the Analysis of Existential Propositions], Przegląd Filozoficzny, 14 (1911), 329–345.

● Próba dowodu ontologicznej zasady sprzeczności [An Attempt at a Proof of the Ontological Principle of Contradiction], Przegląd Filozoficzny 15 (1912), 202–226.

● Czy prawda jest wieczna, czy też wieczna i odwieczna? [Is truth eternal, or both eternal and sempiternal?], Nowe Tory, 18 (1913), 493–528.

● Krytyka logicznej zasady wyłączonego środk[a] [Critique of the Logical Principle of Excluded Middle], Przegląd Filozoficzny, 16 (1913), 315–352.

● Czy klasa klas nie podporządkowanych sobie jest podporządkowana sobie [Is the classes of classes not subordinate to themselves subordinate to itself ?] Przegląd Filozoficzny, 17 (1914), 63–75.

● Teoria mnogości w „Podstawach filozoficznych“ B. Bornsteina [The Theory of Sets in B. Bornstein's “Philosophical Foundations”]. Przegląd Filozoficzny, 18 (1914), 488–507.

● Podstawy ogólnej teorii mnogości I [Foundations of the General Theory of Sets, I] (No further parts appeared.) Moscow: Popławski, 1916. (Prace Polskiego Koła Naukowego w Moskwie. Sekcya matematyczno-przyrodnicza, No.2.)

● O podstawach matematyki [On the Foundations of Mathematics], I–V. Przegląd Filozoficzny, 30 (1927), 164–206; 31 (1928), 261–291; 32 (1929), 60–101; 33 (1930), 77–105; 34 (1931), 142–170.

● Über Funktionen, deren Felder Gruppen mit Rücksicht auf diese Funktionen sind [On Functions whose Fields are Groups with respect to these Functions], Fundamenta Mathematicae, 13 (1929), 319–332.

● Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik [Fundamentals of a New System of the Foundations of Mathematics], Fundamenta Mathematicae, 14 (1929), 1–81.

● Über Funktionen, deren Felder Abelsche Gruppen in bezug auf diese Funktionen sind [On Functions whose Fields are Abelian Groups with respect to these Functions]. Fundamenta Mathematicae, 14 (1929), 242–251.

● Über die Grundlagen der Ontologie [On the Foundations of Ontology]. Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydział III [Comtes rendus des séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III ], 22 (1930), 111–132.

● Über Definitionen in der sogenannten Theorie der Deduktion [On Definitions in the so-called Therory of Deduction] Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, 23 (1930), 289–309.

● Einleitende Bemerkungen zur Fortsetzung meiner Mitteilung u. d. T. ‘Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik’ [Introductory Remarks to the Continuation of my Article ‘Grundzüge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik’]. Collectanea Logica, 1 (1938), 1–60.

● Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik, Section 12, Collectanea Logica, 1 (1938), 61–144.

● Is Truth Only Eternal or Both Eternal and Sempiternal? Polish Review, 8 (1963), 23–43.

● Introductory Remarks to the Continuation of my Article ‘Grundzüge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik’. In S. McCall, ed., Polish Logic, 1920–1939. Oxford: Clarendon, 1967, 116–169.

● On Definitions in the So-Called Theory of Deduction. In S. McCall, ed., Polish Logic, 1920–1939. Oxford: Clarendon, 1967, 170–187.

● On the Foundations of Mathematics. Topoi, 2 (1983), 7–52.

● S. Lesniewski's Lecture Notes in Logic, ed. by J. T. J. Srzednicki and Z. Stachniak. Dordrecht: Kluwer, 1988.

● Collected Works, ed. by S. J. Surma, J. T. J. Srzednicki, J. D. Barnett and V. F. Rickey. 2 vols., with an annotated bibliography to 1978 by V. F. Rickey. Dordrecht/Warszawa: Kluwer/Polish Scientific Publishers, 1992 .

● Pisma zebrane [Collected Writings], ed. by J. J. Jadacki. 2 vols., Warszawa: Semper, 2015.

Избранные второисточники

Вторичная литература в основном разбросана по журналам, но наиболее полезными и емкими источниками являются три сборника:

Сборники

● Srzednicki, J. T. J. and Z. Stachniak (eds), 1998. Leśniewski's Systems: Protothetic. Dordrecht: Kluwer. (Contains essays by Rickey, Simons, Słupecki, Sobociński, and Tarski.)

● Srzednicki, J. T. J. and V. F. Rickey (eds) (J. Czelakowski, asst. ed), 1984. Leśniewski's Systems: Ontology and Mereology. The Hague: Nijhoff. (Contains essays by Clay, Iwanuś, Kruszewski, Lejewski, Słupecki, and Sobociński.)

● Miéville, D. and D. Vernant, (eds), 1996. Stanislaw Lesniewski aujourd’hui. Groupe de recherches sur la philosophie et le langage, Grenoble.

Отдельные работы

● Ajdukiewicz, K., 1935. ‘Die syntaktische Konnexität,’ Studia Philosophica, 1: 1–27. (English translation 1967, below.)

● –––, 1967. ‘Syntactic Connection,’ in S. McCall, ed. Polish Logic 1920–1939, Oxford: Clarendon, 207–231.

● Küng, G., 1977. ‘The Meaning of the Quantifiers in the Logic of Leśniewski,’ Studia Logica, 26: 309–322.

● Grzegorczyk, A., 1955. ‘The System of Leśniewski in Relation to Contemporary Logical Research,’ Studia Logica, 3: 77–97.

● Kotarbiński, T., 1929. Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk [Elements of the Theory of Knowledge, Formal Logic and the Methodology of Science]. Warsaw: PWN, 1986. (First ed. 1929.) (English translation 1966, below.)

● –––, 1966. Gnosiology: The Scientific Approach to the Theory of Knowledge. Oxford: Pergamon.

● Le Blanc, A. O. V., 1991. ‘Leśniewski's Computative Protothetic,’ Ph.D. Dissertation, University of Manchester.

● Lejewski, C., 1954. ‘Logic and Existence,’ British Journal for the Philosophy of Science, 5: 104–119.

● –––, 1958. ‘On Leśniewski's Ontology,’ Ratio, 1: 150–176.

● –––, 1969. ‘Consistency of Leśniewski's Mereology,’ Journal of Symbolic Logic, 34: 321–8.

● –––, 1989. Ricordando Stanislaw Lesniewski. Trento: Centro Studi per la Filosofia Mitteleuropea.

● Luschei, E. C., 1962. The Logical Systems of Lesniewski. Amsterdam: North Holland.

● Miéville, D., 1984. Un développement des systèmes logiques de Stanislaw Lesniewski: protothétique – ontologie – méréologie. Berne/New York: Lang.

● Quine, W. V., 1985. The Time of My Life. Cambridge: MIT Press.

● Simons, P. M., 1982. ‘On Understanding Leśniewski,’ History and Philosophy of Logic, 3: 165–191.

● –––, 1985. ‘A Semantics for Ontology,’ Dialectica, 39: 193–216.

● –––, 2002. ‘Reasoning on a Tight Budget: Lesniewski's Nominalistic Metalogic,’ Erkenntnis, 56: 99–122.

● –––, 2014. ‘Arithmetic in Leśniewski's Ontology,’ in K. Mulligan, K. Kijania-Placek and T. Placek, eds., The History and Philosophy of Polish Logic. Essays in Honour of Jan Woleński. London: Palgrave-Macmillan, 227–241.

● Słupecki, J. S., 1955. ‘Leśniewski's Calculus of Names,’ Studia Logica, 3: 7–70.

● Sobociński, B., 1949/1950. ‘L'analyse de l'antinomie russellienne par Leśniewski,’ Methodos, 1: 99–104; 1: 220–228; 1: 308–316; and 2: 237–257.

● –––, 1960/1961. ‘On the Single Axioms of Protothetic, I, II, III,’ Notre Dame Journal of Symbolic Logic, 1: 52–73; 2: 111–126; and 2: 129–148.

● –––, 1967. ‘Successive Simplifications of the Axiom-System of Leśniewski's Ontology,’ in S. McCall, ed. Polish Logic, 1920–1939. Oxford: Clarendon, 1967, 188–200.

● Stachniak, Z., 1981. Introduction to Model Theory for Lesniewski's Ontology, Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego.

● Urbaniak, R., 2014. Leśniewski's Systems of Logic and Foundations of Mathematics, Cham/Heidelberg/New York/Dordrecht/London: Springer.

● Woleński, J., 1989. Logic and Philosophy in the Lvov–Warsaw School. Dordrecht: Kluwer.