Определения истины Тарского
Впервые опубликовано 10 ноября 2001 года; содержательно переработано 15 августа 2014 года.
В 1933 году польский логик Альфред Тарский опубликовал статью, в которой он рассуждал о критериях, требующихся для определения «истинного высказывания», и в котором он приводит в пример несколько таких определений для определенных формальных языков. В 1956 году он и его коллега Роберт Вот опубликовали переработанную версию одного из определений истины, приведенных в статье 1933 года, которая должна была служить определением истины для теоретико-модельных языков. В данной статье будут рассматриваться такие определения, вместе с тем мы не будем пытаться изучить следствия из наработок Тарского для семантики (естественных языков или языков программирования) или для философского исследования проблемы истины.
Программа 1933 года и семантическая концепция
В конце 1920-х годов Альфред Тарский приступил к проекту, целью которого было дать строгое определение понятиям, используемым в методологии науки. В 1933 году он опубликовал (на польском языке) свой анализ понятия истинного предложения. В этой объемной работе он пытался разрешить две задачи: во-первых, сказать, что следует считать удовлетворительным определением «истинного предложения» для данного формального языка; во-вторых, показать, что для ряда формальных языков действительно существуют удовлетворительные определения понятия «истинного предложения». Начнем с первой задачи; в разделе 2 мы будем рассматривать вторую.
Мы будем говорить, что язык является полностью интерпретированным, если все его предложения обладают значениями, благодаря которым эти предложения либо истинны, либо ложны. Все языки, рассматриваемые Тарским в статье 1933 года, были полностью интерпретированными — за одним исключением, которое описывается ниже в разделе 2.2. В этом состоит гласное различие между определением 1933 года и более поздним теоретико-модельным определением 1956 года, которое мы будем рассматривать в разделе 3.
Тарский описывает несколько ограничений на удовлетворительное определение истины.
Объектный язык и метаязык
Если рассматриваемый язык (объектный язык) — L, тогда определение должно быть задано в другом языке, известном как метаязык, назовем его М. Метаязык должен содержать копию объектного языка (и потому все, что мы можем сказать в L, мы также можем сказать в М), и М должен также располагать средствами для того, чтобы строить высказывания о предложениях объектного языка L и об их синтаксисе. Наконец, Тарский допускает, что М может содержать понятия из теории множеств, а также одноместный предикатный символ Истинно, который прочитывается как «является истинным предложением L». Главная задача метаязыка состояла в формализации того, что говорится об объектном языке. Поэтому Тарский также выдвинул требование, что метаязык должен содержать множество аксиом, которые выражают все наши допущения, необходимые для выявления и обоснования определения истины. Само по себе определение истины должно определять Истинно через другие выражения метаязыка. Таким образом, определение должно быть сформулировано с помощью синтаксиса, теории множеств и выражений, которые можно сформулировать в L, — но не с помощью таких семантических понятий, как «обозначать» или «значить» (если только эти понятия не содержатся в объектном языке).
В духе, свойственном его времени, Тарский заключил, что объектный язык L и метаязык М должны быть языками логики некоторого более высокого порядка. В наши дни в качестве метаязыка принято принимать какую-нибудь неформальную теорию множеств; это влияет на некоторые детали работы Тарского, но не на ее основное значение. Кроме того, в наши дни семантика, как правило, определяется с помощью теории множеств, так что, к примеру, строчка из букв становится последовательностью. В самом деле, чтобы работать с объектным языком, содержащим несчетное множество символов, нам необходимо использовать синтаксис теории множеств, как это и делали теоретики моделей на протяжении более полувека.
Формальная корректность
Определение Истинно должно быть «формально корректным». Это значит, что мы должны получить предложение вида
Для всех х Истинно(х), если и только если φ(x),
где Истинно никогда не встречается в φ; или же, в противном случае, определение должно быть доказуемо эквивалентно предложению такого вида. Эквивалентность должна быть доказуема за счет использования аксиом метаязыка, не содержащих символа Истинно. Такого рода определения, как правило, называют эксплицитными; впрочем, Тарский в своей статье 1933 года называет их нормальными.
Материальная адекватность
Определение должно быть «материально адекватным» (пол. trafny — более правильным переводом было бы «точным»). Это означает, что объекты, удовлетворяющие φ, должны быть именно такими объектами, которые мы интуитивно считали бы истинными предложениями языка L, и что этот факт должен быть доказуем исходя из аксиом метаязыка. На первый взгляд такое требование парадоксально, ведь если подобный факт можно доказать исходя из аксиом метаязыка, то мы должны уже были бы располагать материально адекватной формализацией «истинного предложения языка L» в рамках метаязыка, что предполагает бесконечный регресс. В действительности Тарскому удается избежать этого парадокса благодаря использованию (в общем) бесконечно многих предложений М для выражения истинности, а именно — всех предложений вида
φ(s), если и только если ψ,
где s — имя предложения S языка L, а ψ — копия S в метаязыке. Таким образом, техническая проблема заключается в том, чтобы найти единственную формулу ψ, которая позволит нам вывести все эти предложения из аксиом метаязыка М; данная формула ψ послужит нам для того, чтобы задать эксплицитное определение Истинно.
Как утверждал сам Тарский, конвенция Т приводит к парадоксу лжеца, если язык L обладает достаточными средствами для того, чтобы описывать свои же предложения (см. статью о ревизионной теории истины). Собственное заключение Тарского состоит в том, что определение истины для языка L должно быть задано в метаязыке, который по определению будет более сильным, чем L.
Из этого возникает одно следствие для оснований математики. Первопорядковую теорию множеств Цермело-Френкеля часто приводят в качестве эталона математической корректности — в том смысле, что доказательно корректно, если и только если его можно формализовать в качестве формального доказательства в рамках теории множеств. Мы хотели бы суметь дать определение истины для теории множеств; однако, если исходить из выводов Тарского, данное определение не может быть дано внутри самой теории множеств. Как правило, эту проблему разрешают тем, что дают неформальное определение истины в естественном языке. Однако существует ряд способов задать ограниченное формальное определение истины для теории множеств. Например, Азриэль Леви показал, что для всякого натурального числа n существует формула Σn, которой удовлетворяют все имена истинных предложений Σn теории множеств. Определение Σn чересчур технически сложно, чтобы приводить его здесь, однако некоторые пункты стоит упомянуть. Во-первых, всякое предложение теории множеств доказуемо эквивалентно предложению Σn для любого достаточно большого n. Во-вторых, класс формул Σn замкнут относительно начального введения кванторов существования, но не замкнут относительно введения кванторов всеобщности. В-третьих, данный класс не замкнут относительно отрицания — за счет чего Леви удается избежать парадокса Тарского (см. статью о теории множеств). По большей части тот же инструментарий позволяет Яакко Хинтикке задать внутреннее определение истины для своей IF-логики; данная теория разделяет второе и третье свойства, присущие классам формул Леви.
Некоторые типы определений истины, основанных на идеях 1933 года
В статье 1933 года Тарский стремился показать, что для многих полностью интерпретированных формальных языков существует определение истины, которое полностью удовлетворяет его условиям. В своей работе он приводит четыре примера. Один пример представляет собой тривиальное определение для финитного языка, которое просто задает список конечного числа истинных предложений данного языка. Другое определение формулируется за счет удаления кванторов (см. раздел 2.2 ниже). Оставшиеся два определения, соответствующие другим классам языков, представляют собой примеры того, как мы сегодня представляем себе стандартное определение истины по Тарскому — это прообразы теоретико-модельного определения 1956 года.
Стандартные определения истины
Два стандартных определения истины на первый взгляд вовсе не выглядят как определения истины — скорее, они представляются определениями более сложного отношения, которое включает приписывания, или назначения (assignments), а объектов переменным:
а удовлетворяет формуле F
(где символ «F» замещает имя конкретной формулы объектного языка). Вообще, удовлетворительность сводится к истинности в следующем смысле: а удовлетворяет формуле F, если и только если, принимая каждую независимую переменную в F за имя объекта, который ему приписывает а, мы получаем, что формула F — истинное предложение. Таким образом, отсюда следует, что наши интуиции относительно того, в каких случаях предложение истинно, могут направлять наши интуиции относительно того, в каких случаях приписывание удовлетворяет формуле. Однако ничто из этого не может входить в формальное определение истины, поскольку «принимать переменную за имя объекта» — это семантическое понятие, и определение истины Тарского должно строиться только на синтаксических понятиях и понятиях теории множества (совместно с понятиями объектного языка); вспомним раздел 1.1. В действительности производимая Тарским редукция движется в ином направлении: если формула F не содержит независимых переменных, тогда сказать, что F истинно, — значит сказать, что ему удовлетворяет каждое приписывание.
Причина, по которой Тарский дает непосредственное определение удовлетворительности, а затем выводит определение истины, состоит в том, что удовлетворительность подчиняется рекурсивным условиям в следующем предложении: если F — составная формула, тогда, чтобы знать, какие приписывания удовлетворяют F, достаточно знать, какие приписывания удовлетворяют непосредственным составляющим F. Ниже приведены два типичных примера:
- Приписывание а удовлетворяет формуле «F и G», если и только если а удовлетворяет F и а удовлетворяет G.
- Приписывание а удовлетворяет формуле «Для всех х G» тогда и только тогда, когда для всякого индивидуального i, если b — приписывание, которое назначает i переменной х и которое во всем остальном повторяет а, b удовлетворяет G.
Для атомарных формул мы должны применять иной подход. Однако для них, по крайней мере если мы для простоты допускаем, что L не содержит функциональных символов, мы можем использовать метаязыковые дубликаты #(R) предикатных символов R объектного языка. Таким образом, мы получаем:
- Приписывание а удовлетворяет формуле R(х, у), если и только если #(R)(a(x),a(y)).
(Внимание: выражение # принадлежит метаметаязыку, а не метаязыку М. В зависимости от того, что из себя представляет язык L, мы можем найти или не найти формулу в метаязыке М, которая выражала бы # для предикатных символов.)
Предваряя небольшое возражение, о котором пойдет речь в следующем параграфе, отметим, что определение удовлетворительности, предложенное Тарским, является композициональным: класс приписываний, удовлетворяющих составной формуле F, определяется исключительно (1) синтаксическим правилом, которое используется, чтобы построить F из его непосредственных составляющих, и (2) классами приписываний, удовлетворяющих этим составляющим. (Иногда это сокращают так: удовлетворительность определяется рекурсивно. Однако такая формулировка упускает из виду главную идею — (1) и (2) не содержат никакой синтаксической информации о непосредственных составляющих.) Композициональность позволяет объяснить то, почему Тарский переходит от истины к удовлетворительности. Мы не можем определить, является ли «Для всех х G» истинным посредством факта, является ли G истинным, так как в общем случае G содержит независимую переменную х, а потому G не является ни истинным, ни ложным.
Возражение состоит в том, что в определении удовлетворительности, предложенном Тарским в статье 1993 года, на деле не говорится о классе приписываний, удовлетворяющих формуле F. Как мы видели, вместо этого он задает отношение «а удовлетворяет F», которое будет определять, что это за класс. Вероятно, во многом именно по данной причине ряд авторов (включая самого Тарского, как заявляет беседовавшая с ним Барбара Парти) предпочитал не характеризовать определение 1933 года как композициональное. Однако формат классов, который, как ни крути, является композициональным, действительно появляется в ранних версиях определения истины в статье Тарского об определимых множествах действительных чисел (Tarski 1931). У Тарского была веская причина выбрать формулировку «а удовлетворяет F» в статье 1933 года: именно это позволило ему ограничить теоретико-множественные требования к определению истины. В разделах 4 и 5 статьи 1933 года он тщательнейшим образом излагает эти требования.
Термин «композициональность» впервые появляется в работах Хилари Патнэма в 1960 году (Putnam 1975), а также в работе Катца и Фодора (Katz and Fodor 1963), посвященной семантике естественных языков. Говоря о композициональности, мы перешли к представлению о семантическом характере определения Тарского, иными словами, это определение задает способ приписывания «значений» формулам (в данном случае под значением предложения мы понимаем его истинностное значение). Композициональность главным образом означает, что значения, приписанные формулам, дают по крайней мере достаточную информацию для того, чтобы определить истинностное значение предложений, в которых содержатся эти значения. С другой стороны, можно было бы задаться вопросом, предоставляет ли семантика Тарского лишь необходимое нам количество информации о каждой формуле, которая позволила бы нам получить истинностное значение предложений. Если ответ положителен, мы будем говорить, что семантика полностью абстрактна (для истинности). Можно с легкостью доказать, что для любого стандартного языка логики определение удовлетворительности Тарского действительно является полностью абстрактным.
Как видно, определение удовлетворительности Тарского не эксплицитно, поскольку удовлетворительность для одной формулы определяется через удовлетворительность для других формул. Итак, чтобы показать, что это определение формально корректно, нам нужно найти способ придать ему эксплицитный вид. Один из таких способов состоит в том, чтобы использовать логическую теорию более высокого порядка либо теорию множеств. Допустим, S обозначает бинарное отношение между приписываниями и формулами. Мы будем говорить, что S является отношением удовлетворения, если для всякой формулы G S выполняет условия, предусмотренные определением Тарского для удовлетворения G. Например, если G — «G1 и G2», то S должно удовлетворять следующему условию для всякого приписывания а:
S(a,G), если и только если S(a,G1) и S(a,G2).
Мы можем определить «отношение удовлетворения» формально, используя рекурсивные условия для атомарных формул из рекурсивного определения Тарского. Теперь мы докажем путем индукции по сложности формул, что имеется ровно одно определение удовлетворения S (есть некоторые технические тонкости, но это можно сделать). Наконец, мы определяем, что
а удовлетворяет F, если и только если существует отношение удовлетворительности S, такое что S(a,F).
В таком случае остается лишь логическое упражнение — показать, что данное определение удовлетворительности материально адекватно. В сущности, сперва нужно записать аналог конвенции Т для удовлетворительности формул, но я предоставлю это читателю.
Определение истины через удаление квантора
Оставшееся определение истины в работе Тарского 1933 года (третье в порядке появления в данной работе), в действительности, представляет собой пучок связанных между собой определений истины, которые относятся к одному и тому же объектному языку L, но в различных интерпретациях. Предполагается, что кванторы языка L пробегают определенный класс, назовем его А; по сути перед нами кванторы второго порядка, а значит, строго говоря, они пробегают совокупность подклассов А. Класс А не поименован эксплицитно в объектном языке, и, таким образом, мы можем задать отдельные определения для различных значений А, как в дальнейшем поступает Тарский. В данном разделе статьи Тарский допускает, что одному и тому же предложению можно дать различные интерпретации; это составляет исключение для общего тезиса, согласно которому предложения объектного языка должны быть полностью интерпретированными. Однако Тарский стоит на верном пути: он говорит об «истине» лишь в особом случае, где А — класс всех индивидов. Для прочих значений А он говорит не об «истине», а о «корректности в области А».
Подобного рода определения истины или корректности ничуть не вытекают из определения удовлетворительности. В действительности они движутся по куда менее прямой траектории, которую Тарский описывает как «чисто случайную» возможность, опирающуюся на «особые черты» определенного объектного языка. Возможно, будет полезным привести чуть больше технических деталей, чем приводит Тарский, и в более привычной записи, нежели та, что предлагается Тарским, чтобы показать, о чем речь. Тарский предлагает своим читателям обратиться к работе Туральфа Скулема (Skolem 1919) для прояснения технических деталей.
Можно полагать, что язык L — язык первого порядка с предикатными символами ⊆ и =. Данный язык затем интерпретируется как язык, в котором говорится о подклассах класса А. В нем мы можем определить следующее:
- «х — пустое множество» (т.е. x ⊆ любому классу).
- «х — атом» (т.е. х не пусто, но всякий подкласс х, не равный х, пуст).
- «х содержит ровно k членов» (где k — конечное число; т.е. существует ровно k отдельных атомов ⊆ x).
- «Существует ровно k элементов в А» (т.е. существует класс, содержащий ровно k членов, но не существует класса, содержащего ровно k+1 член).
Теперь мы хотим доказать следующее:
Лемма. Всякая формула F языка L эквивалентна (т.е. ей удовлетворяют те же приписания, что и) некоторой булевой комбинации предложений вида «В А существует ровно k элементов» и формул вида «Существует ровно k элементов, содержащихся в v1, а не в v2, не в v3 и не в v4» (или в любой другой комбинации такого рода, использующей только независимые переменные, содержащиеся в F).
Доказательство проводится через индукцию по сложности формул. Для атомарных формул это довольно просто. Для булевых комбинаций формул это также просто, поскольку булевы комбинации булевых комбинаций, опять же, являются булевыми комбинациями. Для формул, предваряемых квантором общности, мы берем отрицание. Это оставляет единственный случай, требующий какой-то кропотливой работы, а именно — случай, когда формулу предваряет квантор существования. С помощью индуктивной гипотезы мы можем заместить следующую за квантором часть формулы булевой комбинацией формул указанного вида. Таким образом, типичный случай мог бы выглядеть следующим образом:
∃z (существуют ровно два элемента, содержащихся в z и в x и не содержащихся в у).
Он выполняется, если и только если существуют по крайней мере два элемента, содержащихся в х и не содержащихся в у. Мы можем записать это следующим образом: «Число элементов, содержащихся в х и не содержащихся в y, не равно 0 и не равно 1», — что является булевой комбинацией допустимых формул. Общее доказательство примерно такое же, но несколько более сложное.
Доказав лемму, мы взглянем на то, что в ней говорится о предложении. Коль скоро предложение не содержит независимых переменных, лемма говорит нам, что оно эквивалентно булевой комбинации утверждений, гласящих, что А содержит данное конечное число элементов. Таким образом, если нам известно, сколько элементов содержится в А, мы можем непосредственно рассчитать, является ли данное предложение «корректным в области А».
Еще один шаг — и мы у цели. Доказав лемму, мы должны собрать все факты, которые могут утверждаться в L, которые являются истинными в каждой области и которые необходимы для доказательства леммы. Например, нам почти наверняка понадобится предложение, в котором говорится, что отношение «быть (несобственным) подмножеством» (⊆) транзитивно. Пусть Т обозначает множество этих предложений. (В изложении Тарского Т исчезает, поскольку он использует логическую теорию более высокого порядка и требуемые утверждения о классах становятся теоремами логики.) Таким образом, мы получаем, например, следующее:
Теорема. Если область А бесконечна, тогда предложение S языка L будет корректно в А, если и только если S выводимо из Т и предложений, в которых утверждается, что число элементов, содержащихся в А, не равно никакому конечному числу.
Класс всех индивидов бесконечен (как утверждает Тарский), так что теорема применяется, когда А является этим классом. И в этом случае Тарский не вводит никаких ограничений по поводу формулировки, гласящей не просто «корректно в А», а «истинно»; итак, мы получили наше определение истины.
Описанный нами метод почти полностью вращается вокруг кванторов существования, предваряющих формулы; поэтому он известен как метод удаления квантора. Он не так далеко отстоит от двух стандартных определений, как может показаться. Во всех случаях Тарский, используя индукцию по сложности формул, приписывает каждой формуле описание класса приписываний, удовлетворяющих данной формуле. В двух предыдущих определениях истины данный класс описывается непосредственно; в случае удаления квантора он описывается через булеву комбинацию простых формул.
Примерно в то же время, когда он работал над статьей 1933 года, Тарский дает определение истины через удаление квантора для языка первого порядка в области действительных чисел. В его работе 1931 года оно появляется лишь как любопытный способ описания множества отношений, определимого формулами. Позднее он предлагает более полную концепцию, подчеркивая, что его метод позволяет не только сформулировать определение истины, но и вывести алгоритм для определения того, какие предложения о действительных числах являются истинными, а какие — ложными.
Определение 1956 года и его наследие
В 1933 году Тарский приходит к выводу, что формальные языки, с которыми он работал, содержат два типа символов (помимо пунктуации), а именно — константы и переменные. Константы включают в себя логические постоянные, но также и любые другие термины с фиксированным значением. У переменных нет какого-либо независимого значения, и они просто составляют часть аппарата квантификации.
Теория моделей, напротив, имеет дело с тремя уровнями символов. Сюда входят логические константы (напр., =, ¬, &), переменные (как и до этого) и между ними — группа символов, которые не обладают постоянным значением, но наделяются значением за счет того, что их применяют к определенной структуре. Символы средней группы включают нелогические константы языка, такие как символы отношений, символы функций, а также индивидуальные константы. Сюда также входят кванторные символы ∀ и ∃, коль скоро мы должны обратиться к структуре, чтобы определить, какое множество они пробегают. Такой тип трехуровневого языка отвечает математическому использованию; так, мы записываем операцию сложения абелевой группы как +, и этот символ обозначает различные функции в различных группах.
Таким образом, нам ничего не стоит применить определение 1933 года к теоретико-модельным языкам.
По большому счету существует два подхода:
1) берем по одной структуре А за раз и рассматриваем нелогические константы как константы, интерпретированные в А;
2) рассматриваем нелогические константы как переменные и используем определение 1933 года, чтобы определить, когда предложению удовлетворяет приписывание составляющих структуры А этим переменным.
В обоих подходах возникают некоторые проблемы, которые сам Тарский описывает в нескольких местах.
Проблема, возникающая во втором подходе, более абстрактна: нехорошо говорить о формулах, содержащих независимые переменные, как об «истинных» (в разделе 2.2 мы уже видели, что Тарский избегает говорить об истинности в связи с предложениями, у которых могут быть различные интерпретации). На практике начиная с появления его учебника в 1936 года вплоть до конца 1940-х годов Тарский применяет второй подход и просто-напросто избегает говорить об истинности теоретико-модельных предложений в структурах; вместо этого он косвенно определяет, что значит, что структура является «моделью» предложения, и извиняется за свое, строго говоря, неправильное использование языка (в Тарский 1948: гл. VI все еще содержатся следы этого старого подхода).
К концу 1940-х годов становится ясно, что прямое теоретико-модельное определение истины все же необходимо. Тарский и его коллеги предпринимают множество попыток решения этой проблемы. Версия, которую мы ныне используем, основывается на работе Тарского и Вота (Tarski and Vaught 1956). Подробное изложение см. в статье о классической логике.
Правильное представление о теоретико-модельном определении состоит в том, что мы располагаем предложениями, истинностное значение которых изменяется в зависимости от ситуации, в которой они употребляются. Таким образом, нелогические константы оказываются неизменными; они являются определенными дескрипциями, референция которых зависит от контекста. Кванторы обладают этим же индексальным свойством, так что охватываемая ими область зависит от контекста употребления. В том же духе можно прибавить и другие типы индексации. Например, крипкеанская структура — это индексированное семейство структур, связанных с индексным множеством; подобные и родственные им структуры являются основополагающими для семантики модальной, темпоральной и интуиционистской логики.
Уже в 1950-е годы исследователи в области теории моделей изучали формальные языки, включающие типы выражений, отличающихся от всего того, о чем говорит Тарский в своей статье 1933 года. Расширение определения истины ло инфинитной логики не составило никакой проблемы. Также не возникло никаких серьезных сложностей с большинством обобщенных кванторов, выдвинутых в то время. Например, квантор Qxy со значением:
QxyF(x,y), если и только если существует бесконечное множество Х таких элементов, что для всех а и b в Х верно F(a,b).
Данное определение само по себе показывает, как должны выглядеть необходимые условия в определении истины.
В 1961 году Леон Хенкин указал два вида теоретико-модельных языков, которые не предполагали непосредственно определение истины в духе Тарского. Первый вид включает бесконечные цепочки кванторов:
∀v1 ∃v2 ∀v3 ∃v4 …R(v1,v2,v3,v4,…)
Кваторы в языке второго типа не образуют линейного порядка. Для простоты обозначения я буду использовать более позднюю нотацию, введенную Хинтиккой:
∀v1 ∃v2 ∀v3 (∃v4/∀v1) R(v1,v2,v3,v4).
Здесь косая черта, следующая за ∃v4, означает, что данный квантор находится вне области предыдущего квантора ∀v1 (а также вне области предыдущего квантора существования).
Хенкин отмечает, что в обоих случаях можно задать естественную семантику при помощи функций Скулема. Например, второе предложение можно переформулировать следующим образом:
∃f∃g ∀v1 ∀v3R(v1,f(v1),v3,g(v3)),
что характеризуется прямым условием истинности по Тарскому в логике второго порядка. Позднее Хинтикка заметил, что функции Скулема можно читать как выигрышные стратегии в игре, как это делают в статье, посвященной логике и играм. Таким образом можно построить композициональную семантику, приписывая каждой формуле некоторую игру. Предложение истинно, если и только если игрок Я (в записи Хинтикки) обладает выигрышной стратегией в игре, приписываемой предложению. Такая игровая семантика согласуется с идеями Тарского о конвенциональных первопорядковых предложениях. Но она далеко не полностью абстрактна: вероятно, ее следует рассматривать как операциональную семантику, которая описывает, каким образом верифицируется предложение, а не показывает, является ли оно истинным.
Проблема задания семантики в духе Тарского для двух типов языков Хенкина оказывается различной для этих двух случаев. В случае с первым типом проблема состоит в том, что синтаксис языка не является вполне обоснованным: убирая кванторы один за другим, получаем бесконечно нисходящую последовательность подформул. Таким образом, нет никакой возможности задать определение удовлетворительности через рекурсию по сложности формул. Решение может состоять в следующем: эксплицитная форма определения истины Тарского, приведенная ранее в разделе 2.1, не требует рекурсивного определения — она лишь требует, чтобы ее сузили условия, накладываемые на удовлетворительность S. И хотя это будет верно для первого типа языков по Хенкину, все же причина состоит в том, что синтаксис языка не вполне обоснован.
Что касается второго типа языков Хенкина, по крайней мере в версии Хинтикки (см. статью о IF-логике), синтаксис вполне обоснован, однако смещение областей кванторов означает, что обычные условия кванторов (quantifier clauses) уже не срабатывают. Чтобы сформулировать композициональную или полностью абстрактную семантику, необходимо задаться вопросом не о том, какие приписывания переменных удовлетворяют формуле «единообразно», но о том, какие множества приписываний удовлетворяют формуле «единообразно» (и «единообразно» означает «независимо от приписываний конкретным переменным, как показывается косыми чертами перед кванторами внутри формулы»). Второй пример Хенкина представляет не только чисто теоретический интерес, так как столкновения между семантической и синтаксической областями действия кванторов достаточно часто происходят и в естественных языках.
Библиография
● Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М.: РОСПЭН, 1999.
● Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики / Пер. А. Л. Никифорова. URL: http://khazarzar.skeptik.net/books/tarski01.htm
● Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Иностранная литература, 1948.
● Feferman, S., 2004, “Tarski’s conceptual analysis of semantical notions”, in Sémantique et Épistémologie, ed. Ali Benmakhlouf, Casablanca: Editions Le Fennec, 79–108; reprinted in Patterson 2008.
● Henkin, L., 1961, “Some remarks on infinitely long formulas”, in Infinitistic methods: Proceedings of the symposium on foundations of mathematics, Oxford: Pergamon Press, 167–183.
● Hintikka, J., 1996, The Principles of Mathematics Revisited, Cambridge: Cambridge University Press.
● Hodges, W., 1997, “Compositional semantics for a language of imperfect information”, Logic Journal of the IGPL, 5: 539–563.
● –––, 2008, “Tarski’s theory of definition”, in Patterson 2008, pp. 94–132.
● Katz, J. and Fodor, J., 1963, “The structure of a semantic theory”, Language, 39: 170–210.
● Levy, A., 1965, A hierarchy of formulas in set theory, (Memoirs of American Mathematical Society 57), Providence: American Mathematical Society.
● Patterson, D. (ed.), 2008, New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
● Putnam, H. 1975, “Do true assertions correspond to reality?”, in Mind, Language and Reality (Philosophical Papers: Volume 2), Cambridge: Cambridge University Press, 70–84.
● Skolem, T., 1919, “Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über Produktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffen”, Videnskapsselskapets Skrifter, I. Matem.-naturv. klasse, 3; reprinted in T. Skolem, Selected Works in Logic, J. E. Fenstad (ed.), Oslo: Universitetforlaget, pp. 67–101.
● Tarski, A., 1931, “Sur les ensembles définissables de nombres réels. I”, Fundamenta Mathematicae, 17: 210–239.
● –––, 1983 [1956], Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, 2nd edition, John Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Company; 1st edition, Oxford: Oxford University Press, 1956.
● Tarski, A. and Vaught, R., 1956, “Arithmetical extensions of relational systems”, Compositio Mathematica, 13: 81–102.
● Zygmunt, J. (ed.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Warsaw: Wydawnictwo Naukowe PWN.
8788
