концепции

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Логическая истина

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 30 мая 2006 года; содержательно переработано 10 сентября 2014 года.

В рамках любого из подходов к философии логики одна из задач логики состоит в определении особенного множества истин, а именно логических истин (и предоставлении практических средств для их извлечения), образцовыми примерами которых являются следующие предложения на естественном языке

•  (1) Если смерть — это плохо, только если жизнь — это хорошо, и смерть — это плохо, то жизнь — это хорошо.

• (2) Если никакое желание не является произвольным и некоторые убеждения являются желаниями, тогда некоторые убеждения не являются произвольными.

• (3) Если Драша — кошка и все кошки загадочны, то Драша загадочна.

Оказывается, что отнюдь не просто привести общепринятые представления о том, каковы родовые свойства логических истин (или же какими именно они должны быть). Широко распространено (а может, и общепринято) представление о том, что логические истины отличаются от прочих разновидностей истины тем, что модальную силу логических истин нам еще только предстоит вполне изучить. Как правило, полагают, что — в каком-то смысле (или смыслах) выражения «могла бы» — логическая истина не могла бы быть ложной или, возьмем другой пример, что в некотором смысле (или смыслах) слова «должна» логическая истина должна быть истинной. Однако исследователи не достигли согласия в том, как следует понимать эту модальность.

Другое распространенное представление состоит в том, что логические истины отчасти характеризуются тем, что они в некотором смысле (который еще предстоит понять) «формальны». Формальный характер логической истины по меньшей мере подразумевает, что все высказывания, которые представляют взаимозаменяемые частные случаи, обладающие данной логической формой, также являются логически истинными. В этом контексте логическая форма предложения S должна представлять собой определенную схему, определяемую исключительно S, — схему, для которой S является замещаемым частным случаем и для которой предложения той же логической формы, что и S, также являются подобными подстановками. Логическая форма обладает по крайней мере таким свойством, что входящие в нее выражения, которые не являются схематическими обозначениями («логическими выражениями»), широко применяются в различных областях дискурса. Среди тех, кто принимает идею формальности, принято считать, что формальные записи предложений (1), (2) и (3) будут выглядеть приблизительно как (1′), (2′) и (3′) соответственно:

●        (1′) а есть Р, только если b есть Q, и а есть Р, тогда b есть Q.

●        (2′) Если ни один Q не есть R и некоторые Р являются Q, тогда некоторые Р не являются R.

●        (3′) Если а есть Р и все Р являются Q, тогда а есть Q.

Похоже, что (1′), (2′) и (3′) задают логические истины для всех допустимых замещений знаков «а», «b», «P», «Q» и «R». И такие выражения, как «если», «и», «некоторые», «все» и т.д., которые являются образцовыми логическими выражениями, казалось бы, широко применимы в различных областях дискурса. Однако идея о том, что логические истины формальны или должны быть такими, отнюдь не разделяется всеми логиками. И даже те, кто принимает эту идею, не пришли к соглашению по поводу того, по какому родовому критерию должна определяться форма произвольного предложения [1].

В частности, с некоторой точки зрения, множество логических истин в таком языке всегда представляет собой множество предложений этого языка, которые можно вывести в определенном исчислении. Другая, более распространенная точка зрения состоит в том, что множество логических истин в формальных языках можно отождествить с множеством предложений, валидных для определенного набора математических интерпретаций («валидность» — свойство, связанное с условием (но несколько отличное от него), в соответствии с которым все предложения, являющиеся подстановками данной логической формы, также являются истинными; см. ниже раздел 2.3).

Главное достижение ранней математической логики состояло именно в том, чтобы показать, каким образом нужно описывать понятия выводимости и валидности посредством понятий стандартной математики. (В разделах 2.2 и 2.3 дается базовое описание математически определяемых понятий выводимости и валидности со ссылками на другие статьи.)

В разделе 1 данной статьи мы опишем в общих чертах основные подходы к пониманию модальности и формальности в связи с проблемой логической истины.

(Более подробное рассмотрение данных подходов можно найти в других статьях настоящей энциклопедии, посвященных различию между аналитическими и синтетическими высказываниями и логическим константам, которые мы упоминаем ниже.)

В разделе 2 мы также кратко опишем некоторый набор философских проблем, возникающих, когда мы рассматриваем попытки описать логическую истину математически. Вопрос о том, правильны ли — и если да, то в каком смысле — эти описания, связан с вопросом о том, как мы понимаем (или как мы должны понимать) понятия модальности и формальности [2].

Природа логической истины

Модальность

Как было сказано ранее, принято считать, что (в том или ином смысле) образцовые логические истины не могут быть ложными или должны быть истинными. Этот пункт также является требованием, предъявляемым к логическим истинам вообще — как образцовым, так и нет. Но, как было отмечено ранее, среди исследователей не было достигнуто какого-либо согласия относительно характера соответствующего вида модальности.

За исключением тех, кто вовсе отказывается от понятия логической формы, многие специалисты сходятся в том, что по крайней мере часть модальной силы логической истины исходит из того, что последняя представляет частный случай универсального обобщения возможных значений схематических обозначений в «формальных» схемах вроде (1′)−(3′). (Эти значения могут, но необязательно должны быть выражениями.) Согласно, вероятно, наиболее раннему способу представления логической модальности, эта модальная сила полностью исходит из данного свойства: таким образом, например, сказать, что (1) должно быть истинно, может означать только то, что (1) является частным случаем истинного универсального обобщения «Для всех соответствующих Р, Q, а и b, если а есть Р, только если b есть Q, и а есть Р, тогда b есть Q». Согласно традиционной (впрочем, неоднозначной) интерпретации, аристотелевское требование, что заключение силлогизма должно быть истинным, если посылки истинны, нужно понимать именно таким образом. В знаменитом фрагменте «Первой аналитики» он говорит: силлогизм — это «высказывание, в котором при утверждении чего-либо из него необходимо вытекает нечто отличное от утвержденного и [именно] в силу того, что это есть» (24b18–20).

Представим, что (2) — это силлогизм, в котором «утвержденное» есть (2а) и (2b), а «необходимо вытекает» из них (2с):

• (2а) Никакое желание не является произвольным.

• (2b) Некоторые убеждения являются желаниями.

• (2с) Некоторые убеждения не произвольны.

Согласно описываемой нами интерпретации, точка зрения Аристотеля состоит в том, что сказать, что (2с) с необходимостью следует из (2а) и (2b) — значит сказать, что (2) представляет частный случай истинного универсального обобщения «Для всех соответствующих Р, Q и R, если никакое Q не является R и некоторые Р являются Q, тогда некоторые Р не являются R». Подробнее об этой интерпретации см. Alexander of Aphrodisias, 208.16 (цит. по Лукасевич 1959: § 41), Больцано 2003: § 155 и Лукасевич 1959: § 5.

Многие другие античные и средневековые логики трактуют утверждения с долженствованием как общие высказыания о действительных предметах (даже если они не всегда трактуются как общие высказывания в «формальном» виде). Особенно хорошо известна позиция Диодора, согласно которой пропозиция необходимо истинна лишь в том случае, если она истинна всегда (см. Mates 1961: III, §3). Отметим, что это проясняет, почему (2) должно быть истинно, однако, скажем, предложение «Люди смотрят телевизор» может быть ложно, поскольку, очевидно, что оно не было истинным во времена Диодора. Точка зрения Диодора, по всей видимости, была очень распространена в Средние века, когда такие авторы, как Уильям Шервудский и Вальтер Бёрли, трактовали предполагаемую необходимость кондиционалов, подобных (2), как всегда истинное положение (см. Knuuttila 1982: 348–349). Такое понимание необходимости довольно часто встречается у более поздних авторов (см., напр., Кант 1994: В184). В пользу упомянутого способа интерпретации, предложенного Аристотелем и Диодором, можно отметить, что мы зачастую используем модальные формулировки для того, чтобы подчеркнуть консеквенты кондиционалов, вытекающие из простых общих утверждений о реальном мире, как в предложении «Если цены на газ вырастут, то экономический рост необходимо замедлится».

Многие авторы полагали, что такого рода позиции не проясняют, в чем заключается сила модальной нагрузки логических истин. На настоящий момент весьма распространенная, хоть и поздно возникшая в истории философии точка зрения состоит в том, что необходимость логической истины подразумевает не только истинность того, о чем говорит некоторое общее утверждение о действительных предметах, но и то, что истина была бы таковой при всех возможных контрфактических обстоятельствах. Лейбниц приписывал данное свойство таким необходимым истинам, как истины логики и геометрии. Кроме того, по-видимому, он был одним из первых, кто начал говорить о контрфактических обстоятельствах в терминах «возможных вселенных» или миров (изложение данных позиций, противостоящей тем идеям, о которых мы говорили в предыдущем абзаце, см. в письме Лейбница к Бурже; Кнууттила обнаруживает наиболее раннее непосредственное обсуждение контрфактических обстоятельств, а также идеи необходимости, которая включает в себя требование истинности, у Дунса Скотта и Жана Буридана, см. Knuuttila 1982: 353ff, а также статью о средневековых теориях модальности). В современных текстах широко распространено понимание необходимости как истинности при всех контрфактических обстоятельствах, а также позиция, согласно которой логические истины являются необходимыми в этом смысле. Впрочем, множество, а возможно, даже большинство авторов придерживаются «редукционистских» взглядов на модальность, поскольку для них высказывания о контрфактических обстоятельствах не более чем завуалированные высказывания о некоторых реализованных (возможно, абстрактных) объектах, таких как вербальные описания. Даже Лейбниц, по-видимому, представлял эти «возможные миры» как идеи в божественном уме (введение в современную полемику на данную тему см. в Lewis 1986).

Тем не менее даже после Лейбница и вплоть до настоящего времени многие логики, по-видимому, избегали прибегать к сильной формулировке идеи необходимости как истинности при всех (действительных и) контрфактических обстоятельствах. Так, Больцано, в духе его упомянутой выше трактовки Аристотеля, определяет необходимо истинные пропозиции как такие пропозиции, отрицание которых противоречит общезначимым истинам (см. Больцано 2003: § 119). Фреге пишет: «Аподиктическое суждение [грубо говоря, суждение, содержание которого начинается с «необходимо», управляющим всем остальным содержанием] отличается от ассерторического тем, что в нем предполагается наличие общего суждения, из которого может быть выведено данное предложение, в то время как в ассерторическом такое предположение отсутствует» (Фреге 2000: 71). Тарский еще ближе подошел к точке зрения, традиционно приписываемой Аристотелю, поскольку для Тарского совершенно ясно, что сказать, к примеру, что (2с) «должно быть» истинно, если (2а) и (2b) истинны, значит сказать, что (2) представляет собой частный случай «формального» общего выражения «Для всех соответствующих P, Q и R, если ни один Q не есть R и некоторые P являются Q, тогда некоторые Р не являются R» (см. Tarski 1936: 411, 415, 417 или соответствующие фрагменты в Tarski 1936b; см. также Ray 1996). Куайн известен тем, что он открыто отказывался принимать всякую модальность, которую нельзя представить как универсальное обобщение о действительном мире (в частности, см. Quine 1963). В некоторых из этих случаев его отношение объясняется недоверием к понятиям, которые, согласно общепринятому мнению, не достигли вполне респектабельного статуса научных понятий, таких как строгие модальные понятия; у авторов, профессионально занимающихся логикой, эта идея зачастую сопровождается стремлением определять логическую истину как разновидность валидности (в смысле, указанном в разделе 2.3 ниже).

В концепции, недавно разработанной в работах Beall and Restall 2000, 2006, которую авторы называют «логическим плюрализмом», понятие логической истины основывается на идее, что логическая истина истинна для всех предметов или «случаев» (и ее необходимость заключается в истинности такого общего утверждения; см. Beall and Restall 2006: 24). Тем не менее идея логической истины не позволяет вычленить некий привилегированный класс «случаев», который помогает определять содержание понятия; напротив, существует много равным образом допустимых областей и соответствующих объемов, которые могут быть избраны в качестве функции контекстуальных интересов (см. статью о логическом плюрализме).

Тем не менее другой смысл, в котором такие истины, как (1)–(3), а также логические истины в очень общем смысле, не «могли бы» быть ложными или же «должны» быть истинными, является эпистемическим. Это весьма древнее наблюдение, уходящее корнями во времена Платона; оно гласит, что некоторые истины можно считать известными нам интуитивно даже в тех случаях, когда у нас нет никаких явных эмпирических оснований для этих истин. Истины, познаваемые исходя из неэмпирических оснований, называются априорными (данное выражение начинает использоваться в таком значении примерно во времена Лейбница; см., напр., Primæ Veritates). Аксиомы и теоремы математики, лексикографические и условные определения, а также образцовые логические истины приводятся в качестве примеров. Если мы принимаем, что логические истины являются априорными, то для нас будет естественным полагать, что они должны быть истинными или что они не могли бы быть ложными, по крайней мере в сильном смысле, подразумевающем, что их отрицание не согласуется с нашим знанием, полученным неэмпирическим путем.

Допуская, что такое априорное знание все-таки существует, современная философия сосредотачивается на проблеме возможности такого знания. Одна из традиционных точек зрения («рационализм») состоит в том, что наше сознание снабжено особой способностью воспринимать истины через исследование отношений между чистыми идеями или понятиями, а также что истины, полученные посредством правильного применения этой способности, можно считать данными нам априори (см., напр., «Рассуждения о метафизике» Лейбница, § 23 и далее; Рассел 2000; BonJour 1998 представляет современный пример такой точки зрения). Противоборствующая традиционная позиция («эмпиризм») состоит в том, что у нас нет причин допускать наличие такой способности или даже что у нас есть причины не допускать подобное — например, в силу «загадочности и непостижимости» этой способности (см. статью о противостоянии рационализма и эмпиризма). Некоторые философы, будь то эмпиристы или же нет, пытались объяснить априорное знание как знание, возникающее из своего рода конвенций или негласных соглашений по поводу истинности некоторых предложений (таких как (1)) и использования определенных правил. Гоббс в своих возражениях против «Метафизических рассуждений» Декарта (в третьем возражении, IV) формулирует всеохватывающую конвенционалистскую точку зрения. Поздний Витгенштейн (согласно одной из интерпретаций) и Рудольф Карнап — явные сторонники идеи «негласного соглашения» и конвенционалистских воззрений (см. Витгенштейн 1994, I.9, I.142; неформальное изложение воззрений Карнапа см. в Carnap 1939: § 12 и 1963: 916; см. также Coffa 1991: chs 14, 17). Строго говоря, Витгенштейн и Карнап считают, что логические истины вовсе не выражают пропозиции и просто являются бессодержательными предложениями, использование которых по той или иной причине нам кажется полезным; таким образом, мы можем говорить об (априорном) знании этих истин лишь в некотором условном смысле. И все же типичные современные сторонники идеи «негласного соглашения» и конвенционалистских воззрений, такие как Boghossian 1997, отрицают тезис, согласно которому логические истины не выражают пропозиции, и они полагают, что существование соглашения или конвенции дает нам полноценное априорное знание этих пропозиций.

По этой причине можно сказать, что они объясняют априорность логических истин в терминах их аналитичности. (См. статью о различии между аналитическими и синтетическими суждениями.) Сложнее распутать объяснение априорности логических истин, предложенное Кантом [3]. Целый ряд комментаторов Канта отмечали, что, если позиция Канта состоит в том, что все логические истины являются аналитическими, это бы противоречило его определению аналитических истин. Кант определяет аналитические истины как такие истины, в которых понятие предиката содержится в понятии субъекта или же тождественно ему, и, что более важно, это истины, отрицание которых противоречиво. Однако эти комментаторы полагают, что данные определения, применимые к строгим тавтологиям, таким как «мужчины суть мужчины» или «бородатые мужчины суть мужчины», по-видимому, будут упускать очень многое из того, что сам Кант считал логически истинным, включая такие силлогизмы, как (2) (см., напр., Милль 2011: кн. II, гл. VI, § 5; Гуссерль 2011: § 66; Kneale and Kneale 1962: 357–358; Parsons 1967; Maddy 1999). Это обстоятельство, а также то, что Кант, похоже, нигде ничего не говорит прямо об этой проблеме, привели Мэдди (Maddy 1999) и Хэнна (Hanna 2001) к рассмотрению (пускай и не утверждению) гипотезы, что Кант рассматривал некоторые логические истины как синтетические априори. С точки зрения такого рода интерпретации, априорность многих логических истин объяснялась бы тем фактом, что они были требовались когнитивной структурой трансцендентального субъекта и, в особенности, формами суждения [4].

Однако, согласно стандартной интерпретации, Кант придерживается точки зрения, что все логические истины являются аналитическими (см. Capozzi and Roncaglia 2009). Согласно ей, выделяемые Кантом формы суждения можно отождествить с логическими понятиями, к которым можно применить анализ (см., напр., Allison 1983: 126ff).

Подробную аргументацию в пользу того, что Кант рассматривал все логические истины как аналитические, а также в защиту Канта против возражений ряда вышеупомянутых комментаторов, можно найти в тексте Hanna 2001: § 3.1. Современная кантианская по духу эпистемологическая теория логики и ее укорененности в познании излагается в Hanna 2006.

Данная теория не стремится объяснить априорность логики через аналитичность, вместо этого она апеллирует к особого рода логической интуиции и особой логической способности мышления. (Ср. также с антиаприористской и антианалитической, но в целом кантианской позицией Maddy 2007.)

Ранний Витгенштейн разделяет позицию Канта, согласно которой логические выражения не выражают значений таким же образом, как это делают нелогические выражения (см. Витгенштейн 1959: 4.0312).

Вполне согласуясь с этой позицией, он утверждает, что логические истины ничего не «высказывают» (6.11). Однако похоже, что он не согласен с идеями конвенционализма и «негласного соглашения» (6.124, 6.1223).

Дело не в том, что логические истины ничего не высказывают, потому что они являются всего лишь инструментами для каких-то внешне полезных манипуляций; скорее, они «показывают» «логические свойства», которыми мир обладает независимо от наших решений (6.12, 6.13). Неясно, однако, как в этом контексте трактуется априорность. Витгенштейн называет логические истины аналитическими (6.11) и говорит, что «истинность узнается из символа самого по себе» (6.113). Похоже, что он имеет в виду тот факт, что мы можем «видеть», что логическая истинность истинностно-функциональной логики должна быть валидна при проверке соответствующей репрезентации ее истинностно-функционального содержания (6.1203, 6.122).

Однако распространить эту идею на логику кванторов оказывается непросто, несмотря на попытки Витгенштейна свести логику кванторов к истинностно-функциональной логике; как мы знаем, не существует алгоритма решения вопроса о валидности предложений, содержащих квантор.

Но что, вероятно, еще более важно, Витгенштейн не дает ясного объяснения того, почему вообще все «логические свойства» мира должны быть таковы, чтобы их можно было отразить в адекватной записи.

В противовес идеям рациональной способности, конвенционализму, кантианству и позиции раннего Витгенштейна другие философы, в частности радикальные эмпиристы и натуралисты (не говоря уже о сторонниках эпистемологического скептицизма), отказались от тезиса о существовании априорного знания (а следовательно, и от тезиса о существовании аналитических пропозиций).

Вместо этого они предполагают, что существует лишь иллюзия априорности.

Зачастую этот отказ сопровождался критикой прочих точек зрения. Дж. Ст. Милль полагал, что такие пропозиции, как (2), кажутся априорными просто потому, что они представляют собой частные случаи предшествующих и очень знакомых общих суждений, которые мы выводим из опыта, таких как «Для всех соответствующих P, Q и R, если ни один Q не является R, и некоторые P являются Q, тогда некоторые P не являются R» (см. Милль 2011: кн. 2, гл. VIII).

Больцано придерживался аналогичного мнения (см. 2003: § 315). Куайн (Quine 1936, §III) приводит знаменитую критику идеи Гоббса, согласно которой, коль скоро число логических истин потенциально бесконечно, наши основания для них не должны заключаться в конечном числе эксплицитных конвенций, ибо правила логики предположительно необходимы для того, чтобы вывести бесконечное число логических истин из конечного числа конвенций (идея, вдохновленная рассказом Кэрролла «О чем черепаха говорила Ахиллесу?»). Впоследствии Куайн (в частности, в Quine 1954) критиковал конвенционалистскую позицию Карнапа, в основном опираясь на то, что не существует четкого различия между конвенциональными истинами и истинами, которые, казалось бы, можно было бы отбросить; и при том, что некоторые истины являются результатом конвенции или «негласного соглашения», такие соглашения характеризуют многие научные гипотезы и прочие допущения, которые, по всей видимости, являются образцово неаналитическими (реакцию на эту критику см. в Grice and Strawson 1956, Carnap 1963).

Куайн (в частности, в Quine 1957) также утверждает, что в общем предложения, принимаемые в качестве истинных, включая образцовые логические истины, можно в лучшем случае рассматривать как нечто наподобие гипотез, используемых для работы с данными опыта, и любое из них может быть отброшено, если это поможет нашему осмыслению эмпирической действительности (аналогичная точка зрения — Putnam 1968).

С этой точки зрения, ни для какой истины не существует строго априорных оснований. Существуют три тщательно проработанные современные антиаприористские концепции: Maddy 2002, 2007; Azzouni 2006, 2008; и Sher (2013).

По мнению Мэдди, логические истины являются апостериорными, однако мы не можем их опровергнуть лишь с помощью наблюдения или эксперимента, так как они составляют часть фундаментальных форм мышления, глубоко укорененных в наших концептуальных механизмах (которые структурно напоминают транцендентальную организацию нашего мышления по мысли Канта). Аналогичным образом, по мнению Аззуни, логические истины также являются апостериорными, хотя наше ощущение, что они должны быть истинными, исходит из того, что они глубоко укоренены в нашей психике. Однако, в отличие от Мэдди, Аззуни полагает, что мы не можем интроспективно созерцать логические истины, с помощью которых мы выносим суждения. Шер предпринимает попытку совместить куайновскую эпистемологию логики с метафизическим реализмом в отношении модальных оснований логических истин.

Априорное знание такой логической истины, как (1), было бы возможно, например, если бы было возможно априорное знание того факта, что (1) является логической истиной, или априорное знание формального общего положения — «для всех соответствующих а, Р, b и Q, если а есть P, только если b есть Q, и а есть Р, то b есть Q». Стоит упомянуть одно весьма примечательное скептическое соображение, связанное с проблемой эпистемологических оснований логики: возможность выводимого априорного знания таких фактов сталкивается с проблемой порочного круга или бесконечного регресса. Если мы хотим получить вывод априорного знания этих фактов, то, по идее, мы должны в какой-то мере следовать логическим правилам, включая, вероятно, и правило modus ponens, корректность которого может отчасти зависеть от того факта, что (1) является логической истиной, или от истинности общего положения — «для всех соответствующих а, Р, b и Q, если а есть P, только если b есть Q, и а есть Р, то b есть Q». В любом случае ясно, что не всем утверждениям такого рода — что некоторая истина является логической истиной или что некоторая логическая схема сохраняет истинность — можно дать априорное инференциальное обоснование, не используя при этом какие-то логические правила, корректность которых, по идее, должна быть задана теми утверждениями. Этот аргумент выводится из соображений Кэрролла. В современной литературе, посвященной данной проблематике, а также ответным антискептицистским возражениям, видное место занимают Даммит (Dummett 1973, 1991) и Богоссиан (Boghossian 2000).

Формальность

Многие позиции сходятся в том, что даже если было бы верно, что логические истины истинны при всех контрфактических обстоятельствах, априорны и аналитичны, это не давало бы нам достаточных оснований для того, чтобы некоторая истина могла считаться логической. Большинство позиций согласны с тем, что логическая истина, кроме того, должна быть в известном смысле «формальной», и это по крайней мере подразумевает, что все истины, представляющие собой заменимые частные примеры данной формы, также являются логическими истинами (и следовательно, исходя из последствий этого допущения они будут истинны при всех контрфактических обстоятельствах, априорны и аналитичны).

Если использовать немного видоизмененный пример Альберта Саксонского (цит. в Bocheński 1956: § 30.07), высказывание «если вдова бежит, то женщина бежит» должно быть истинно при всех контрфактических обстоятельствах, априорно и аналитично, если оно истинно. Однако высказывание «если вдова бежит, то бревно бежит» является заменимым частным примером данной логической формы (которая бы выглядела примерно так: «если Р делает Q, то R делает Q»), однако это не будет даже истиной simpliciter. Таким образом, многие согласились бы с тем, что «если бежит вдова, то бежит женщина» не является логической истиной.

Для философов, которые принимают идею формальности, как было сказано ранее, логическая форма предложения представляет собой определенную схему, в которой выражения, не являющиеся схематическими обозначениями, широко применимы в различных областях дискурса [5]. Если схема — это форма логической истины, то все заменимые частные примеры этой формы также будут логическими истинами. Представление о том, что логика, в частности, занимается  схематизмами (или их заменимыми частными примерами), конечно же, было само собой разумеющимся еще со времен Аристотеля и стоиков; у всех тех, у кого этот термин, как правило, переводится как «фигура», речь идет именно о схеме. У Аристотеля фигура в действительности является еще более абстрактной формой, относящейся к группе, которую мы бы теперь назвали «схемами» — такой как, например, (2′). То, что мы называем схемами, ближе к тому, что в аристотелевской силлогистике называется «модусами»; однако похоже, что у Аристотеля нет термина, соответствующего «модусам» (кроме разве что термина ptoseon в 42b30 или tropon в 43а10; см. Smith 1989: 148–149), а следовательно, нет и общих соображений о понятии формальной схемы. Александр Афродисийский непосредственно рассуждает о различии между формальными схемами, или модусами, и материей (hyle) силлогизмов (53.28 и далее, цит. в Bocheński 1956: § 24.06), и введенное им различие вошло в традицию. Материей силлогизмов называются значения схематических обозначений.

Представление о том, что несхематические выражения в логических формах, то есть логические выражения, широко применимы в различных областях дискурса, также имеет место со времен зарождения логики и фигурирует у всех крупных логиков. Оно косвенно возникает во многих фрагментах у Аристотеля, например: «Связаны же все науки между собой (чем-то) общим (всем им). Общим же (всем) я называю то, чем пользуются для того, чтобы из него вести доказательства, а не то, относительно чего ведется доказательство, и не то, что доказывается. А диалектика имеет дело со всеми (науками), будучи наукой, посредством которой кто-либо попытался бы доказать общие (начала) для всех» («Вторая аналитика», 77а26–29; пер. изм.); «Ясно поэтому, что следует брать топы не для всех опровержений, а только для тех, что основываются на диалектике, ибо они общи всякому искусству и всякой способности» («О софистических опровержениях», 170а34–5). (В этих текстах вместо слова «логика» фигурирует dialektike; см. Kneale and Kneale 1962: I, §3, где говорится, что термин logike впервые был использован в его нынешнем значении Александром Афродисийским). Фреге говорит: «Очевидно, самое надежное доказательство — чисто логическое: основанное только на тех законах, на которых покоится все познание, оно ведется в отвлечении от специфических особенностей вещей» (Фреге 2000: 65; см. Frege 1885, где универсальная применимость арифметических понятий принимается в качестве признака, указывающего на то, что эти понятия являются логическими). Та же идея прослеживается и у Тарского (Tarski 1941: ch. II, §6).

Это логическое выражение включает образцовые элементы, такие как «если», «и», «некоторые», «все» и т.п., и их широкая применимость в различных областях дискурса — это то, что мы могли бы назвать «минимальным тезисом» в отношении логических выражений. Однако помимо этого исследователи не пришли к какому-либо согласию касательно того, какие общие свойства объединяют логические выражения, а следовательно, и касательно того, что определяет логическую форму предложения. Большинство авторов, склоняющихся к идее формальной природы логики, стремились пойти дальше этого минимального тезиса. Многие согласились бы с тем, что широкая применимость в различных областях дискурса лишь необходимое, но не достаточное свойство логических выражений; например, предполагается, что большинство предлогов широко применимы, но они не являются логическими выражениями — при любом имплицитном понимании логического выражения. Попытки обогатить понятие логического выражения, как правило, были направлены на то, чтобы отыскать дополнительные свойства, которые составили бы совокупность необходимых и достаточных условий для того, чтобы некоторое выражение являлось логическим.

В рамках таких определений использовалась идея, которая также присутствует у Аристотеля, и которая заключается в том, что логические выражения, строго говоря, ничего не обозначают или ничего не обозначают в том смысле, в каком нечто обозначается существительными, прилагательными и глаголами. «Диалектика [т.е. логика] не имеет, однако, дела с каким-либо одним [строго] определенным родом» («Вторая аналитика», 77а32–33). Как мы видели, эта идея присутствует еще у Канта и у раннего Витгенштейна. Она возникает вновь в эпоху Средневековья. Основное значение слова «синкатегорематический» — как применимый к выражениям — было, грубо говоря, следующим (см. Kretzmann 1982: 212ff). Буридан и другие позднесредневековые логики выдвинули предположение, что категорематические выражения составляют «материю» предложений, в то время как синкатегорематические выражения составляют их «форму» (см. текст, цит. в Bocheński 1956: § 26.11). (В несколько ином, более раннем грамматическом смысле слова синкатегорематическими назывались те выражения, которые не могут использоваться в качестве субъектов или предикатов в категорических пропозициях; см. Kretzmann 1982: 211–212.) Идея синкатегорематичности несколько неопределенна, однако есть серьезные сомнения, что она пригодна для определения понятия логических выражений. Большинство предлогов и наречий, как представляется, синкатегорематичны, однако, казалось бы, они также являются нелогическими выражениями. Напротив, такие предикаты, как «тождественны», «тождественен самому себе», «одновременно тождественен и не тождественен самому себе» и т.д., казалось бы, являются категорематическими (разумеется, они категорематичны, с точки зрения грамматики; в этом смысле предлоги и наречия совершенно точно являются синкатегорематическими).

Большинство других допущений были направлены на то, чтобы каким-то образом развить аристотелевскую идею, что логические выражения обладают некоторым «несубстанциальным» значением, так чтобы использовать ее в качестве необходимого и достаточного условия для определения логического выражения. Одна из недавно сформулированных гипотез заключается в том, что логические выражения — это такие выражения, которые не позволяют нам различать разных индивидов. Одна из попыток конкретизировать этот тезис опирается на определение логических выражений как таких выражений, чьи объем или денотация, заданные на любой конкретной области индивидов, являются инвариантными при перестановках в этой области (см. Tarski and Givant 1987: 57; Tarski 1966; смежные теории см. в McCarthy 1981; Sher 1991: ch. 3; McGee 1996, Feferman 1999; Bonnay 2008). Перестановка в области — это взаимно однозначное соответствие между областью и ею самой. Например, если D — область {Аристотель, Цезарь, Наполеон, Крипке}, то одной из перестановок будет соответствие, предписывающее каждой личности саму эту личность; другая будет соответствием Р, предписывающим Цезаря Аристотелю (в математическом обозначении это выглядит так: Р(Аристотель)=(Цезарь)), Наполеона — Цезарю, Крипке — Наполеону, а Аристотеля — Крипке. То, что объем выражений в рамках области инвариантен при перестановках в этой области, означает, что произведенный при перестановке образ объема будет самим этим объемом («произведенный образ» объема при перестановке Q — это то, чем становится объем, когда вместо каждого объекта о мы подставляем объект Q(o)). Объем «философа» в пределах D не будет инвариантен при вышеназванной перестановке Р, так как им является {Аристотель, Крипке}, произведенный образ которых при перестановке Р — {Цезарь, Аристотель}. Это соответствует нашему допущению, так как «философ», безусловно, не является широко применимым выражением, и многие согласятся, что оно не является логическим.

С другой стороны, объемом предиката «являются тождественными» в области D будет множество пар {<Аристотель, Аристотель>, <Цезарь, Цезарь>, <Наполеон, Наполеон>, <Крипке, Крипке>}, образом этого предиката, произведенным при перестановке Р и при любой другой перестановке в D, будет то же самое множество пар (как читатель может убедиться, проверив это самостоятельно); таким образом, опять же, это удовлетворяет нашему допущению. (Другие образцовые логические выражения получают более сложные объемы в некоторой области, однако полученные ими объемы инвариантны при перестановках. Например, согласно одному из типичных способов представления объема выражения «и» в рамках некоторой области — это функция, приписывающая каждой паре <S1, S2>, где S1 и S2 — множества бесконечных последовательностей объектов, взятых из D, пересечения S1 и S2; и эта функция инвариантна при перестановках.) Одна из проблем, возникающих в связи с нашим допущением, состоит в том, что многие выражения, которые кажутся явно нелогическими, поскольку они являются широко применимыми, тем не менее оказываются инвариантны при перестановках, и следовательно, они не позволяют различать разных индивидов. Самыми простыми примерами, вероятно, служат нелогические предикаты, обладающие пустым объемом в любой области, и следовательно, произведенные при перестановках образы этих предикатов также будут пустыми. «Мужчина-вдова» представляет один из таких примеров; различные вариации этого примера можно использовать в качестве контрпримеров к различным версиям определения логических выражений как выражений, инвариантных при перестановках (см. Gómez-Torrente 2002); неясно, может ли сторонник этой идеи избежать проблемы каким-либо способом, помимо решения ad hoc.

Другой способ развития аристотелевской интуиции относительно семантической «несубстанциальности» логических выражений, получивший распространение в последнее время, опирается на идею «формальной выводимости». Суть в том, что логическими являются выражения, значения которых в каком-то смысле задаются правилами «формальной выводимости» (см. Kneale 1956, Hacking 1979, Peacocke 1987, Hodes 2004 и др.). Необходимое свойство формальных правил вывода состоит в том, что они регулируют только инференциальные переходы между языковыми элементами, а не между внеязыковыми условиями возможности утверждения и языковыми элементами или языковыми элементами и действиями, утверждаемыми этими элементами. Некоторое правило вывода разрешает вам говорить «Идет дождь», когда идет дождь, однако это правило не является «чисто инференциальным». Однако мы не станем сразу исключать, что правило, разрешающее говорить «А — женщина, чей муж умер до нее», когда кто-то говорит «А — вдова», не является таковым. По идее, в значение слова «вдова» некоторым образом задается этим последним правилом, вероятно, вкупе с обратным правилом, разрешающим говорить «А — вдова», когда кто-нибудь говорит «А — женщина, чей муж умер до нее». Но «вдова» — не логическое выражение, так как оно не является широко применимым; таким образом, мы должны с большей необходимостью постулировать свойства, которым должны удовлетворять «чисто инференциальные» правила. Число таких условий постулируется в соответствующих текстах (см., напр., Belnap 1962 (ответ Prior 1960), Hacking 1979, Hodes 2004). Тем не менее, даже когда понятие формального вывода усиливается таким образом, проблема остается. Наиболее часто предлагаемое решение состоит в том, что выражение является логическим попросту тогда, когда все его значение задается некоторым формальным правилом вывода, включая смысл этого выражения или же множество аспектов его употребления, которые необходимо освоить для того, чтобы понимать данное выражение (Kneale 1956; Peacocke 1987; Hodes 2004). Однако совершенно ясно, что некоторые образцовые логические выражения обладают закрепленным за ними дополнительным смыслом, который нельзя задать через формальную выводимость. Например, индуктивное рассуждение, включающее в себя термин «все», казалось бы, составляет часть смысла этого выражения, но неясно, как его можно задать с помощью правил вывода (как отмечает Sainsbury 1991: 316–317; см. также Dummett 1991, ch. 1). Другой вариант решения следующий: выражение является логическим лишь тогда, когда для определения его объема достаточно некоторых формальных правил вывода, составляющих часть смысла этого выражения (Hacking, 1979). Однако ясно, что если объем такого выражения, как «тождественны», определяется определенным набором формальных правил вывода, составляющих часть смысла данного выражения, то объем выражения «являются тождественными и не являются мужчинами-вдовами», определяемое тем же самым набором правил, все же не является логическим (см. Gómez-Torrente 2002).

В связи с такими и прочими трудностями некоторые философы выдвигали предположение, что понятие логического выражения связано не с необходимыми и достаточными условиями, а лишь с рядом необходимых условий, которые имеют отношение к условию широкой применимости, такие как условие «иметь большую значимость для систематизирования научного способа рассуждения» (такого рода позиция выражена в Warmbrōd 1999). Другие (Gómez-Torrente 2002) допускали существование набора необходимых и достаточных условий при условии, что они не слишком тесно связаны с идеей семантической «несубстанциальности» и, скорее, носят прагматический характер, являясь при этом достаточно смутными. Например, многие выражения сразу исключаются непосредственно за счет условия широкой применимости; предлоги заведомо исключаются подобного рода имплицитным условием, таким как «логическое выражение должно относиться к таким выражениям, изучение которых полезно для разрешения значимых проблем и ошибок в умозаключениях». Стоит отметить, что эти позиции отказываются от распространенной интуиции семантической «несубстанциальности», потому их можно считать не совсем удачными.

Некоторые философы выказывают еще более резкую реакцию на проблемы привычного определения логических выражений, утверждая, что различие между логическими и нелогическими выражениями следует считать условным, тем самым вовсе отказываясь от понятия логической формы (см., напр., Orayen 1989: ch. 4, § 2.2; Etchemendy 1990: ch. 9; Read 1994; Priest 2001). Эти философы, как правило, считают, что логическая истина — понятие, примерно равнозначное понятию аналитической истины simpliciter. Однако их еще в большей степени приходится упрекать в отказе от распространенной интуиции, нежели сторонников вышеизложенной позиции.

Более подробное рассмотрение понятий формальности и логического выражения см. в статье о логических константах, а также в работе MacFarlane 2000.

Математическое определение логической истины

Формализация

Одна из важнейших причин успехов современной логики состоит в ее использовании того, что принято называть «формализацией». Данный термин обычно применяется для обозначения нескольких отдельных (хотя и связанных между собой) феноменов, каждый из которых описывается в работе Фреге (2000). Один из таких феноменов состоит в использовании весьма специфического набора искусственных символов, которым логики приписывают недвусмысленные значения, связанные со значениями соответствующих выражений естественного языка, однако куда более ясно очерченные и очищенные от коннотаций, которые в этих выражениях естественного языка кажутся несущественными для содержания Т-кондиционалов. В особенности это касается символов, предназначенных для репрезентации логических выражений естественного языка. Другой феномен — постулирование совершенно конкретной грамматики для формул, построенных с помощью искусственных символов, формул, которые будет представлять собой «очищенные» версии соответствующих предложений естественного языка; такая грамматика сводится к алгоритму составления формул, начиная с базовых символов. Третий феномен — создание дедуктивного исчисления с достаточно четко сформулированными аксиомами и правилами вывода для искусственных формул (см. следующий раздел); задача такого исчисления состоит в том, чтобы некоторым образом репрезентировать дедуктивное умозаключение коррелятами формул, но, в отличие от обычных дедукций, выводы, произведенные в этом исчислении, не содержат шагов, которые не являлись бы конкретными применениями специфических правил вывода.

Вместо того, чтобы пытаться описать логические истины естественного языка, например, английского, фрегеанская логика стремится определить искусственные формулы, представляющие собой «очищенные» корелляты этих логических истин во фрегеанском формальном языке. Во фрегеанских формальных языках первого порядка среди этих формул можно найти искусственные корреляты (1), (2) и (3):

●       ((Плохо(смерть)→Хорошо(жизнь))&Плохо(смерть))→Хорошо(жизнь).

●       (∀x(Желание(x)→¬Произвольность(x)) & ∃x(Убеждение(x) & Желание(x)))→∃x(Убеждение(x) & ¬Произвольность(x)).

●       (Кошка(Драша) & ∀x(Кошка(x)→(x)))→Загадочная(Драша).

(См. статью о классической логике.) Фрегеанские формальные языки также включают в себя клоассические языки более высокого порядка (см. статью, посвященную логике второго порядка и выше). В этих языках логическими выражениями, как правило. считаются символы функций истинности, кванторов, тождества и прочие символы, которые можно определить через них (однако имеют место альтернативные точки зрения относительно статуса кванторов более высокого порядка; см. раздел 2.4.3 ниже).

Ограничение применительно к искусственным формулам возникает из ряда вопросов по поводу того, каково же значение фрегеанского начинания для демаркации логических истин в естественном языке; это значение во многом зависит от того, насколько важными мы считаем те коннотации, которые мы отделяем от выражений естественного языка, соответствующих стандартным логическим выражениям формальных языков. Однако какого бы мнения мы ни придерживались относительно значения формализации, несомненно то, что она была весьма плодотворна для задач самой логики по многим причинам. Одна из причин в том, что зачастую ясно: отделенные коннотации действительно не играют роли для содержания Т-кондиционалов (это особенно верно для использования логических выражений естественного языка в математических целях). Еще одна причина состоит в том, что такая строгая грамматика и четко определенное значение искусственных формул позволили развить концепции логической истины, которые пользуются исключительно понятиями стандартной математики. Это, в свою очередь, открыло возможность изучения описываемых понятий посредством стандартных математических техник. В последующих двух разделах будет дано краткое описание двух основных подхода к определению.

Выводимость

Как мы только что отметили, формальная грамматика Фреге сводится к алгоритмам построения формул, опирающемуся на базовые искусственные символы. Это утверждение следует понимать совершенно буквально. Последователям идей математической логики было ясно с самого начала, что базовые символы можно рассматривать как натуральные числа (или, если угодно, их можно задать через них), а правила формирования в искусственной грамматике  — как простые арифметические операции (или их можно задать с помощью последних). Грамматические формулы можно рассматривать как (или задать через) числа, которые мы получаем из базовых чисел после некоторого конечного ряда операций, и следовательно, их множество можно охарактеризовать с помощью арифметических понятий и понятий теории множеств (в действительности при некоторой сноровке можно ограничиться арифметикой).

То же самое верно и для множества формул, которые выводимы в рамках формального дедуктивного исчисления. Формула F является выводимой в рамках фрегеанского исчисления С, если F можно получить из аксиом С после некоторого конечного ряда применений правил вывода, предусмотренных С. Однако аксиомы представляют собой конкретные формулы, записанные в процессе грамматического построения, поэтому их можно рассматривать как (или задать через) определенные вычислимые арифметические операции. Таким образом, выводимые формулы можно рассматривать как (или задать через) числа, которые мы получаем из аксиом после некоторого конечного ряда применений правил вывода, и следовательно, их множество, опять же, задается с помощью понятий стандартной математики (опять же, мы можем ограничиться арифметикой).

В период, последующих за революцией, совершенной Фреге, широко распространилось убеждение в том, что множество логических истин всякого фрегеанского языка можно задать как множество формул, которые можно вывести в рамках некоторого соответствующим образом подобранного исчисления, (а значит — как множество чисел, которые мы получаем в результате определенных арифметических операций).

Сам Фреге в своей работе «Запись в понятиях», говоря о языках высших порядков, утверждает:

Эта идея прямо следует из идеи Рассела о тождестве математики и логики (см. Russell 1903: ch. I, § 10; 1920: 194–195), и также из его тезиса о том, что с помощью десятка принципов дедукции и десятка других допущений об общей природе логики можно строгим и формальным образом вывести всю математику (Russell 1903: ch. I, § 4). Ср. у Бернайса (Bernays 1930: 239): посредством формализации «становится очевидно, что все логические выводы… можно свести к ограниченному числу элементарных логических процессов, которые можно перечислить вполне точным и полным образом».

В первых абзацах его работы, посвященной логическим следствиям, Тарский (Tarski 1936а, 1936b) говорит, что это представление бытовало еще до появления теоремы Гёделя о неполноте (о том, что данные теоремы привнесли в рассмотрение проблемы, см. подраздел 2.4.3 ниже). В последнее время, по-видимому, благодаря влиянию аргументов Тарского (в частности того, который будет упомянут ближе к концу подраздела 2.4.3), вера в адекватность определения через выводимость ослабла (похожую оценку см., напр., в Prawitz 1985).

Теоретико-модельная валидность

Даже при крайне осмотрительном понимании модальности, фигурирующей в логических истинах, предложение логически истинно, только если ни одно предложение, представляющее собой частный случай замещения его логической формы, не является ложным (эту идею отрицают только те, кто не признает понятие логической формы).

Согласно общему наблюдению, данное свойство, даже будучи необходимым, очевидно, не является достаточным для того, чтобы предложение было логически истинным.

Возможно, существует предложение, обладающее этим свойством, но в действительности оно не является логически истинным, потому что мы можем приписать переменным и схематическим обозначениям, содержащимся в его логической форме, некоторые невыраженные значения и при данных значениях мы получим ложное предложение [6].

С другой стороны, не было бы совсем неправильно полагать, что предложение логически истинно, если никакое коллективное приписывание значений переменным и схематическим обозначениям в его логической форме не превратит эту форму в ложное предложение. Скажем, что предложение является универсально валидным, если оно обладает этим свойством.

Стандартный подход к математическому заданию логической истины, в отличие от подхода, опирающегося на идею выводимости, всегда апеллирует к некоторой версии определения свойства универсальной валидности, полагая при этом, что данное свойство является необходимым и достаточным критерием логической истинности. Отметим, что если предложение является универсально валидным, то оно будет истинным, даже не будучи при этом логически истинным. Итак, все универсально валидные предложения являются корректными — по крайней мере в этом смысле.

По всей видимости, Больцано был первым, кто использовав идею универсальной валидности и непосредственно высказал предположение о том, что ее следует считать необходимым и достаточным условием логической истинности (Больцано 2003: § 148; споры о том, кто первым выдвинул эту идею, см. в Coffa 1991: 33–34).

Эта идея также присутствует у других математиков XIX века (см., напр., Jané, 2006), она также была вполне общепринятой среди последователей Гильберта. Тарский (Tarski 1936а, 1936b) был первым, кто непосредственно указал способ, посредством которого идея универсальной валидности, используемая математиками, сама может быть определена в терминах понятий стандартной математики для случая формальных языков Фреге с алгоритмической грамматикой.

Вообще, определение Тарского ныне широко используется в том виде, который принято называть теоретико-модельным понятием валидности, и будет справедливо утверждать, что, многие признают, что данное понятие позволяет вполне четко выделить множество логических истин для фрегеанских формальных языков.

Понятие теоретико-модельной валидности — своего рода калька с понятия универсальной валидности, разве что, первое определяется с помощью теоретико-множественного аппарата, разработанного Тарским (1999 [Tarski 1935]) для определения таких семантических понятий, как удовлетворительность, определимость и истина (см. статью об определениях истины Тарского). Если мы говорим о фрегеанском языке, структурой языка является теоретико-множественный объект, состоящий из области множества наряду с приписыванием объемов, извлекаемых из данной области, нелогическим константам этого языка. Многие логики считают, что структура должна репрезентировать приписывание значений: ее область задает диапазон или «значение» первопорядковых переменных (а также задает диапазоны переменных более высокого порядка), и объемы, которые структура приписывает нелогическим константам, являются «значениями», которые могут принимать эти выражения.

Используя аппарат Тарского, мы можем определить для формул фрегеанского языка понятие истины (или удовлетворительности) в теоретико-множественной структуре (применительно к бесконечной последовательности, приписывающей каждой переменной некоторый объект данной области).

И наконец, мы можем определить, что формула является валидной в теории моделей, только если она истинна во всех структурах для ее языка (применительно к бесконечным последовательностям). Давайте сократим запись «F истинно во всех структурах» до «ТМВалид(F)».

Теоретико-модельное определение позволяет понять, что «ТМВалид(F)» определяется исключительно понятиями теории множеств. (Понятие теоретико-модельной валидности для фрегеанских языков подробнейшим образом разбирается в статье, посвященной классической логике, а также в статье о логике второго порядка и логикам более высокого порядка; см. также статью о теории моделей.) [7]

(Если F — формула первопорядкового языка без тождества, то при условии, что ни один из замещаемых частных случаев формы F не является ложным, это будет достаточным условием для того, чтобы F была валидной с точки зрения теории моделей.) Получается, что если F не является валидной в теории моделей, тогда некоторый замещаемый частный случай ее формы, чьи переменные пробегают множество натуральных чисел и чьи нелогические константы представляют собой арифметические выражения, будет ложным. Это можно обосновать посредством уточнения теоремы Лёвенгейма — Скулема. См. статью о классической логике; обсуждение и ссылки см. также в Quine 1970: ch. 4. Подобные результаты не срабатывают для языков более высокого порядка.)

«ТМ» в «ТМВалид(F)» подчеркивает тот факт, что теоретико-модельная валидность отличается от универсальной валидности. Понятие приписывания значения, которое фигуирует в описании универсальной валидности, является весьма неточным и интуитивным, в то время как понятие структуры, фигурирующее в определении теоретико-модельной валидности, является вполне точным и техническим. Можно согласиться тем, что понятие структуры для формальных языков Фреге наименее целесообразно в том смысле, что структура моделирует силу одного или нескольких приписываний значений, благодаря которой некоторое предложение (точнее, его логическая форма) оказывается ложным. Как мы покажем далее, обратное свойство, благодаря которому сила опровержения валидности каждого приписывания значения моделируется некоторой структурой, также является естественным, но еще более обязательным требованием к понятию структуры.

Проблема адекватности

Тот факт, что понятия выводимости и теоретико-модельной валидности можно определить в стандартной математике, по-видимому, был весьма привлекательной чертой этих понятий для многих логиков. Однако эта черта, конечно же, сама по себе не может быть достаточным основанием для того, чтобы принять какое-либо из данных понятий в качестве адекватной характеристики логической истины.

Для многих подходов будет верно, что при математическом определении логической истины мы предпринимаем попытку вычленить множество формул, обладающих рядом нематематических свойств.

Что это за свойства — варьируется в зависимости от наших дотеоретических представлений, например, о свойствах модельности и формальности. (Под «дотеоретическим» мы не подразумеваем «предшествующее всякой теоретической деятельности»; едва ли возможно «дотеоретическое» представление о логической истине в этом смысле.

В данном контексте мы имеем в виду «предшествующее теоретической деятельности, связанной с математическим определением».) Однако, согласно любому подобному представлению, будут существовать внешние, нематематические критерии, которые можно применить для анализа адекватности математического определения. В последнем разделе мы очертим некоторые основные проблемы и решения, связанные с вопросом о том, являются ли понятия выводимости и теоретико-модельной валидности адекватными в этом смысле.

Анализ и модальность

Одно из частых возражений по поводу адекватности теоретико-модельной валидности состоит в том, что мы не можем провести с ее помощью концептуальный анализ понятия логической истины даже для предложений фрегеанских формальных языков (см., напр., Pap 1958: 159; Kneale and Kneale 1962: 642; Field 1989: 33–34; Etchemendy 1990: ch. 7). Это возражение в особенности распространено среди авторов, которые склонны отождествлять логическую истину и аналитичность simpliciter (см., напр., Kneale and Kneale 1962: 642; Etchemendy 1990: 126).

Если мы представляем понятие логической истины просто как понятие аналитической истины, вполне обоснованным будет согласиться с тем, что понятие логической истины не имеет отношения к теоретико-модельной валидности, поскольку, по всей видимости, данное понятие не имеет отношения к понятию аналитичности.

Сказать, что формула характеризуется теоретико-модельной валидностью, значит сказать, что не существует таких теоретико-множественных структур, в которых эта формула была бы ложной. Но утверждение, что предложение является или не является аналитическим, казалось бы, не должно говорить ничего о существовании или несуществовании теоретико-множественных структур.

Отметим, что мы могли бы исходя из тех же соображений выдвинуть возражение против выводимости, так как утверждение, что предложение является или не является аналитическим, казалось бы, ничего не говорит о том, является ли это предложение продуктом некоторого алгоритма (сравните с Etchemendy 1990: 3). (Еще более специфическое утверждение, которое было сформулировано в этой работе и вызвало много споров, состоит в том, что утверждения об истинности вида «F является логически истинным» или «F не является логически истинным» сами должны быть логически истинными (в то время как соответствующие утверждения «ТМВалид(F)» и «Не-ТМВалид(F)» не должны быть логически истинными.) Возможно, утверждение Итчеменди можно отстаивать, если мы принимаем представление о логической истине как аналитичности simpliciter, однако оно определенно оказывается сомнительным, если придерживаться более традиционных концепций логической истины, для которых предикат «является логически истинным» и вовсе не будет представлять собой логическое выражение. Подробнее см. Gómez-Torrente 1998/9 и Soames 1999: ch. 4.)

Возражения, аналогичные аргументу, связанному с невозможностью концептуального анализа, можно выдвинуть, если мы согласимся с тем, что понятие логической истины характеризуется некоторыми иными сильными модальными коннотациями, которые не связаны с аналитичностью; например, если мы согласимся с тем, что понятие логической истины подразумевает, что логические истины являются истинными при всех контрфактических обстоятельствах или же являются необходимыми в каком-то ином сильном смысле. Шер (Sher 1996) принимает нечто наподобие требования, чтобы толковое определение логической истины должно быть задано с помощью богатого, с точки зрения модальности, понятия. Однако, по ее словам, понятие теоретико-модельной валидности модальное в сильном смысле, а стало быть, аргумент о невозможности концептуального анализа в действительности некорректен: утверждать, что формула является или не является валидной в теории моделей, означает утверждать нечто о математическом существовании или несуществовании, а по мнению Шер, такие утверждения лучше всего понимать как утверждения о возможности и необходимости структур. (В Shalkowski 2004 заявляется, что аргументация Шер в защиту теоретико-модельной валидности является недостаточной, исходя из определенной метафизической концепции логической необходимости. В Etchemendy 2008 в связи с этим утверждается, что аргументация Шер основывается на неадекватных ограничениях, накладываемых на модальность, релевантную для логической истины. См. также критическое рассмотрение идей Шер в Hanson 1997.) В García-Carpintero 1993 выдвигается точка зрения, близкая к Шер: теоретико-модельная валидность позволяет провести (корректный) концептуальный анализ логической истины для фрегеанских языков, так как понятие теоретико-множественной структуры в действительности представляет собой уточнение модального понятия возможного приписывания значения. Аззуни (Azzouni 2006: ch. 9) также отстаивает точку зрения, что теоретико-модальная валидность позволяет провести корректный концептуальный анализ логической истины (хотя и ограничивающийся языками первого порядка), исходя из дефляционистской концепции (сильной) модальности, подразумеваемой логической истиной.

Стандартный взгляд на теоретико-множественные утверждения тем не менее не рассматривает их в качестве сильных модальных утверждений: в лучшем случае некоторые из них являются модальными в минимальном смысле, то есть представляют собой универсальные обобщения или частные случаи последних. Однако в любом случае далеко не очевидно, почему это должно составлять основание для сильного возражения против теоретико-модальной валидности или против выводимости, так как, даже если мы принимаем, что понятие логической истины характеризуется сильной модальностью, неясно, почему определение логической истины должно сводиться к концептуальному анализу. Нам может помочь аналогия. Общепринято мнение, что определения понятия вычислимости в стандартной математике, например рекурсивность, являются в некотором смысле хорошими определениями. Отметим, что понятие вычислимости является модальным, причем в умеренно сильном значении; по-видимому, оно говорит о том, что подобное нам существо может сделать с некоторым символом, будучи свободным от определенных ограничений, — а не о том, скажем, что сделали или что будут делать действительные существа. Однако говоря, что некоторая функция рекурсивна, мы не делаем никакого модального утверждения об этой формуле, скорее, речь идет о некотором чисто арифметическом утверждении. Таким образом, рекурсивность, согласно общепринятой позиции, позволяет дать хорошее определение вычислимости, но оно совершенно точно не позволяет нам провести концептуальный анализ. Вероятно, можно поспорить с тем, что с теоретико-модальной валидностью, выводимостью или обеими дела обстоят так же.

Ряд философов прямо отказывается от требования о том, что хорошее определение логической истины должно позволить нам провести концептуальный анализ, и (по крайней мере условно) не ставят под вопрос привычное рассмотрение теоретико-множественных высказываний как немодальных, однако они утверждают, что область теоретико-множественных структур некоторым образом моделирует область возможных структур (или по крайней мере область возможных теоретико-множественных структур; см. McGee 1992, Shapiro 1998, Sagi 2013). В этом непрямом смысле определение в терминах теоретико-модельной валидности схватывало бы часть сильного модального значения, которой, как зачастую предполагают, обладают логические истины. МакГи (McGee 1992) выдвигает изящный аргумент в пользу этой идеи: разумно полагать, что при наличии любой теоретико-множественной структуры, даже если она построена из нематематических элементов, независимо от того, актуализирована она или нет, существует изоморфная ей теоретико-множественная структура, но построенная исключительно из чистых множеств; однако всякая такая чистая теоретико-множественная структура является, как принято считать, актуально существующей; таким образом, всякая возможная теоретико-множественная структура моделируется посредством теоретико-множественной структуры, что нам и требовалось. (Значимость этой идеи исходит из того факта, что во фрегеанских языках формула является истинной в некоторой структуре, если и только если она истинна во всех изоморфных ей структурах.)

Однако теоретико-модельная валидность (или выводимость) может быть в некотором смысле теоретически адекватной, даже если какие-то возможные приписывания значений не моделируются непосредственно (актуальными) теоретико-модельными структурами. Чтобы теоретико-модельная валидность оказалась теоретически адекватной, можно предположить, что нам будет достаточно иметь иные причины считать ее экстенсионально адекватной; это значит, что она совпадает по своему содержанию с предпочтительным для нас дотеоретическим представлением о логической истине. В подразделах 2.4.2 и 2.4.3 мы рассмотрим ряд существующих аргументов в пользу и против простой экстенциональной адекватности выводимости и теоретико-модельной валидности для фрегеанских языков.

Экстенсиональная адекватность: общий аргумент

Если мы строим наше дедуктивное исчисление со всей тщательностью, мы сможем убедиться, что все формулы, выводимые в этом исчислении, будут логически истинными.

Это объясняется тем, что мы можем систематически опираться на свою интуицию, чтобы достичь подобной убежденности: мы можем включить в наше исчисление только те аксиомы, в логической истинности которых мы совершенно уверены, и включить в него только те правила выводимости, которые, как мы совершенно уверены, применяясь к логическим истинам, производят логические истины.

Иными словами, если мы выстраиваем наше исчисление со всей тщательностью, мы будем уверены, что определение выводимости логической истины для формул данного формального языка будет обоснованным (sound) относительно логической истины.

Также очевидно, что если у нас под рукой понятие теоретико-модельной валидности для формального языка, основанное на более или менее внятном понятии структуры, тогда все логические истины (данного языка) будут теоретико-модельно валидны.

Объясняется это очень просто: если формула не теоретико-модельно валидна, то существует структура, в которой она будет ложной; однако в таком случае эта структура должна моделировать приписывание значения (или несколько приписываний), при которых данная формула (или ее логическая форма) будет ложной; таким образом, мы сможем построить формулу с такой же логической формой, нелогические выражения которой условно обладают определенными значениями, выведенными из коллективного приписывания значения, и которая, следовательно, будет ложной. Но тогда из идеи формальности и наиболее слабой концепции модальной силы логических истин непротиворечивым образом следует, что исходная формула не является логически истинной. Иными словами, мы можем заключить, что теоретико-модельная валидность является полной относительно логической истины.

Сократим выражение «F выводимо в исчислении С» до «ВИ(F)» и «F является логической истиной (в предпочтительном нам дотеоретическом смысле)» до «ЛИ(F)». Тогда, если С — исчисление, построенное под нашу дотеоретическую концепцию логической истины, можно заключить следующее:

●         (4) ВИ(F) ⇒ ЛИ(F) ⇒ ТМВалид(F).

Первая импликация говорит об обоснованности выводимости; вторая — о полноте теоретико-модельной валиности.

Для того чтобы убедиться, что определения логической истины в терминах ВИ(F) и ТМВалид(F) являются экстенсионально адекватными, мы должны убедиться также в правильности обратных импликаций:

●        (5) ТМВалид(F) ⇒ ЛИ(F) ⇒ ВИ(F).

Убедиться в этом или же в том, что данные импликации в действительности не выполняются, как правило, оказывается непросто. Однако Крайзель (Kreisel 1967) выдвинул замечание, которое помогло установить, что иногда возможно убедиться в их выполнимости. В некоторых случаях возможно привести математическое доказательство того, что выводимость (в некотором конкретном исчислении С) является полной относительно теоретико-модельной валидности, — то есть возможно привести доказательство следующего:

·         (6) ТМВалид(F)⇒ВИ(F).

Крайзель обратил внимание на тот факт, что (6) вкупе с (4) подразумевает, что теоретико-модельная валидность является обоснованной относительно логической истины, то есть что первая импликация (5) выполняется. (Строго говоря, это сильное обобщение замечания Крайзеля, в котором вместо «ЛИ(F)» фигурировало нечто наподобие «F истинно во всех классовых структурах» (структуры с классом, возможно собственным классом, как областью индивидуальных переменных).) Это означает, что когда (6) выполняется, понятие теоретико-модельной валидности дает экстенсионально корректное определение логической истины. (Различные версии этого наблюдения см. в Etchemendy 1990: ch. 11; Hanson 1997; Gómez-Torrente: 1998/9; Field 2008: ch. 2; см. также возражения в Smith 2011). Кроме того, из (6) и (4) следует, что понятие выводимости является полным относительно логической истины (вторая импликация в (5)), а следовательно, они дают экстенсионально корректное определение данного понятия. Отметим, что данное рассуждение является очень общим и независимым от того, какой именно дотеоретической концепции логической истины мы придерживаемся.

Особенно значимый случай, в котором может применяться данное рассуждение, — случай первопорядковых языков с кванторами в широком диапазоне дотеоретических концепций логической истины. Как правило, допускается, что все формулы, выводимые в обычном первопорядковом исчислении, являются универсально валидными, истинными при всех контрфактических обстоятельствах, априорными и аналитическими, если какая-либо формула является таковой [8]. Таким образом, (4) выполняется в данном случае в широком диапазоне дотеоретических концепций. (6) также выполняется для данных обычных исчислений благодаря теореме Гёделя о неполноте, и таким образом выполняется (5). Это значит, что мы можем убедиться в том, что как выводимость, так и теоретико-модельная валидность являются корректными характеристиками предпочтительной для нас дотеоретической концепции логической истины для языков первого порядка, если наше дотеоретическое представление не слишком эксцентрично. Не столь ясным образом обстоят дела для прочих языков, обладающих особенной значимостью для фрегеанской традиции — для языков с кванторами более высокого порядка.

Экстенсиональная адекватность: языки более высоких порядков

Из первой теоремы Гёделя о неполноте следует, что уже для языков второго порядка не существует исчисления С, в котором выводимость будет обоснованной относительно теоретико-модельной валидности и в котором (6) будет истинно (для представления о теоретико-модельной валидности в ее обычном определении для таких языков). Мы можем назвать этот результат неполнотой исчислений второго порядка относительно теоретико-модельной валидности.

Иначе говоря: для всякого исчисления С второго порядка, обоснованного относительно теоретико-модельной валидности, существует формула F такая, что ТМВалид(F) выполняется, но неверно, что ВИ(F).

В этом случае нельзя применить аргумент Крайзеля для (5). В действительности неполнота исчислений второго порядка показывает, что если какое-нибудь исчисление С удовлетворяет (4), одна из имликаций (а) будет ложной (или ложны обе): либо выводимость в С является неполной относительно логической истины, либо теоретико-модельная валидность необоснованна (unsound) относительно логической истины.

Различные авторы извлекли иной урок из неполноты. Распространенной реакцией было предположение, что теоретико-модельная валидность должна быть необоснованной относительно логической истины. Особенно часто к такому выводу приходят философы, по мнению которых логические истины должны быть априорными или аналитическими. Одна из теорий состоит в том, что результаты априорных рассуждений или аналитического мышления должны быть кодируемы (codifiable) в исчислении (см., напр., Wagner 1987: 8.) Но даже если мы принимаем эту теорию, сомнительно, что из этого можно вывести желаемое заключение. Допустим, что (i) всякое априорное или аналитическое рассуждение должно быть воспроизводимо в исчислении. Конечно же, мы также допускаем, что (ii) для всякого исчисления С, обоснованного относительно теоретико-модельной валидности, существует формула, характеризующаяся теоретико-модельной валидностью, которую нельзя вывести в С. Отсюда не следует, что (iii) существует такая формула F, характеризующаяся теоретико-модельной валидностью, что для всякого исчисления С, обоснованного относительно теоретико-модельной валидности, F не выводимо в С. Из (iii) и (i), конечно же, следует, что существуют формулы, характеризующиеся теоретико-модельной валидностью, которые нельзя получить посредством априорных или аналитических рассуждений. Однако переход от (ii) к (iii) является типичной ошибкой квантификации. Из (i) и (ii) не следует, что существует какая-либо формула, характеризующаяся теоретико-модельной валидностью, которую нельзя получить посредством априорного или аналитического рассуждения. Единственным следствием здесь (из одного только (ii), если мы допускаем, что теоретико-модельная валидность обоснованна относительно логической истины и что логические истины являются априорными и аналитическими) будет то, что ни одно исчисление не может само по себе моделировать все априорные или аналитические умозаключения, которые мы можем произвести.

Однако внутренняя проблематичность этого обстоятельства недостаточно очевидна.

В конце концов, априорные и аналитические умозаключения должны опираться на базовые аксиомы и правила, и, как мы знаем, рефлексирующее сознание может обладать неистощимой способностью находить новые истины и корректные правила вывода посредством априорного или аналитического рассмотрения еще более скудного набора понятий.

Требование, чтобы все аналитические истины были выводимы в рамках одного-единственного исчисления, вероятно, кажется убедительным, если принять ту точку зрения, что аналитичность можно объяснить конвенционально или через «негласное соглашение», поскольку число таких соглашений, как представляется, является конечным и следствия из них, по идее, должны быть перечислимыми. Однако данная точка зрения является лишь одним из проблематичных представлений о том, как следует истолковывать априорность и аналитичность.

(Аргумент в пользу необоснованности теоретико-модельной валидности, опирающийся на понятие логической истинности как аналитичности simpliciter, см. в Etchemendy 1990: chs 8, 9; о критической реакции на данный аргумент см. работы Gómez-Torrente 1998/9, Soames 1999: ch. 4; Paseau 2014.)

Другой род аргументов, опирающихся на идею непригодности, направлен на то, чтобы показать, что существует ряд формул высшего порядка, которые характеризуются теоретико-модельной валидностью, но при этом интуитивно ложны по своей структуре, и областью которых является собственный класс.

(«Заданная интерпретация» теории множеств, если такая вообще существует, могла бы быть одной из таких структур, так как она, безусловно, не является множеством; см. статью о теории множеств.)

Таким образом, эти аргументы ставят под вопрос утверждение, что сила опровержения валидности у всякого приписывания значения моделируется некоторой теоретико-множественной структурой — утверждение, которое, безусловно, является следствием первой импликации в (5). (В тексте McGee 1992 предложен хороший пример; критическое обсуждение представлено в работе Gómez-Torrente 1998/9.)

Наиболее распространенная точка зрения среди специалистов по теории множеств, по-видимому, состоит в том, что не существует формул в фрегеанских языках, обладающих подобным свойством; тем не менее некоторые авторы отнюдь не склонны с этим соглашаться.

Отметим, что эти аргументы направлены лишь против представления о том, что универсальная валидность (как мы определили это понятие в разделе 2.3) адекватно моделируется теоретико-множественной валидностью, а не против обоснованности определения логической истины посредством универсальной валидности самой по себе или через типы валидности, основанных на некотором представлении о «приписывании значения», отличном от привычного понятия теоретико-множественной структуры. (Аргументы, упомянутые нами в предыдущем абзаце, а также в разделе 2.4.1, имеют более глубокие следствия (впрочем, их корректность под вопросом), поскольку из них также легко извлекаются возражения против всех определений посредством типов валидности.)

В сущности, такого рода беспокойства спровоцировали допущение представлений о валидности иного рода (для фрегеанских языков), в которых теоретико-множественные структуры замещаются подходящими значениями переменных высокого порядка, например, — «множественными (plural) интерпретациями» (см. Boolos 1985, Rayo and Uzquiano 1999, Williamson 2003; см. также статью о множественной квантификации). Как теоретико-множественные, так и структуры с собственным классом моделируются такими значениями, и поэтому частные беспокойства подобного рода никак не затрагивают данные решения.

В общем и целом не существует вполне удовлетворительных философских аргументов в пользу тезиса о необоснованности теоретико-модельной валидности относительно логической истины в языках высокого порядка.

Существуют ли в таком случае какие-то веские причины полагать, что выводимость (в любом исчислении, обоснованном для теоретико-модельной валидности) должна быть неполной относительно логической истины?

Похоже, у нас нет абсолютно убедительных оснований принимать и эту точку зрения.

Главный аргумент (первоначальная версия которого, судя по всему, была впервые непосредственно сформулирована в Tarski 1936а, 1939b) состоит в следующем. Как было отмечено ранее, из первой теоремы Гёделя о неполноте следует, что для всякого исчисления любого языка высокого порядка будет существовать формула, характеризующаяся теоретико-модальной валидностью, невыводимая в данном исчислении.

Выходит, что формула, полученная при построении Гёделя, также всегда является интуитивно истинной во всех областях (как в теоретико-множественных, так и других), и разумным будет полагать, что данная формула универсально валидна. (Безусловно, данная формула не должна быть ложной в структуре с собственным классом.) Данный аргумент заключает, что для всякого исчисления существуют логически истинные формулы, невыводимые в данном исчислении.

Отсюда был сделан вывод, что выводимость (во всяком исчислении) должна быть неполной относительно логической истины. Однако фундаментальная проблема состоит в том, что данное заключение основывается на двух допущениях, которые необязательно будут по умолчанию приниматься теми, кто пытается отстаивать принцип выводимости: (i) выражения, которые, как правило, относят к языкам высокого порядка, в частности кванторы в выражениях вида ∀X (где Х — переменная высокого порядка), действительно являются логическими выражениями; (ii) универсальную валидность можно считать достаточным условием того, чтобы формула была логически истинной. Если принимать их, то, безусловно, будет вполне разумно полагать, что выводимость во всяком исчислении, удовлетворяющем (4), должна быть неполной относительно логической истины. Однако в отсутствие дополнительных соображений критик может поставить под сомнение эти допущения, не признавая их важность для аргумента. Второе допущение наверняка могло бы быть оспорено исходя из того, что логические истины должны быть аналитическими, так как у нас нет никаких убедительных оснований считать, что универсально валидные формулы должны быть аналитическими.

В действительности первое допущение лежит в основе всякого убеждения, что (4) выполняется для всякого отдельного исчисления высокого порядка. (Отметим, что, если мы бы мы отрицали, что кванторы высокого порядка являются логическими выражениями, мы могли бы также отрицать и то, что представленные выше аргументы против обоснованности теоретико-модельной валидности относительно логической истины вовсе имеют какую-то ценность.)

То, что кванторы высокого порядка являются логическими, зачастую отрицалось исходя из того, что они слишком «содержательны» в семантическом отношении. В этом плане всегда указывают на то, что кванторы высокого порядка можно использовать для определения изощренных теоретико-множественных свойств, которые невозможно определить лишь с помощью кванторов первого порядка. (Авторы, отстаивающие логический статус кванторов высокого порядка, с одной стороны, указывают на широкую применимость кванторов высокого порядка, на тот факт, что они аналогичны кванторам первого порядка, на то, что, как правило, они необходимы для категориальной аксиоматизации математических структур, и т.д. Более узкая позиция представлена в Quine 1970: ch. 5, изложение альтернативной позиции см. в Boolos 1975 и Shapiro 1991.)

Примечания автора

1. Согласно распространенной точке зрения, главная задача логики состоит в определении некоторого множества корректных аргументов (и предоставлении практических средств для их извлечения), то есть таких аргументов, заключение которых является логическим следствием из посылок. Многие согласились бы с тем, что в случае логического следования заключение вытекает из посылок с определенной модальной силой (т.е. оно не может быть ложным, если посылки истинны — в некотором смысле выражения «может быть»); и заключение «формально» следует из посылок, по крайней мере в том смысле, что все аргументы, являющиеся замещаемыми частными случаями формы данного умозаключения, также представляют собой случаи логического следования (где понятие формы аргумента, очевидно, следует понимать в терминах формы высказывания). Следующие умозаключения являются образцовыми примерами логического следования:

●        (+1) Смерть — это плохо, только если жизнь — это хорошо. Смерть — это плохо. Значит, жизнь — это хорошо.

●        (+2) Никакое желание не произвольно. Некоторые убеждения являются желаниями. Значит, некоторые убеждения не произвольны.

●        (+3) Драша — кошка. Все кошки загадочны. Значит, Драша — загадочна.

Тем не менее многие или даже большинство современных философских дискуссий на тему логического следования в конце концов выливаются в обсуждение понятия логической истины. Отчасти это объясняется тем, что рассматривать предложения проще, нежели умозаключения, и большинство вопросов, связанных с логическим следованием, можно переформулировать в аналогичный вопрос относительно логической истины. Так, например, многие согласились бы с тем, что если аргумент (с конечным числом посылок) представляет собой пример логического следования, тогда материальный кондиционал — антецедент которого является конъюнкцией, соединяющей несколько посылок, а консеквент заключением — будет логической истиной, и эта истина будет обладать такой же модальной силой и таким же формальным характером, как и инференциальная связь в соответствующем аргументе. (Сравните (1), (2) и (3) с (+1), (+2) и (+3) соответственно.) Хотя логическое следование, вероятно, во многих смыслах носит более фундаментальный характер, нежели логическая истина, в данной статье мы будем следовать упомянутой традиции и будем обсуждать многие вопросы, связанные с понятием логического следования, под видом проблем, имеющих отношение к понятию логической истины. (См. более непосредственное обсуждение этого понятия в статье о логическом следовании; альтернативный взгляд, в соответствии с которым понятие логического следования должно быть более фундаментальным, чем понятие логической истины, см. в Dummett 1981: 432ff; Wagner 1987: 14ff.)

2. Терминологическое пояснение. Иногда формы логической истины, такие схемы, как (1′)–(3′), или их формализованные корреляты (см. раздел 2.1 ниже), называют «логическими истинами». В самом простом специальном смысле теоретические истины, утверждаемые логикой как наукой, такие как, например, «(1) является логической истиной», называются «логическими истинами». В самом простом неспециальном употреблении термина все более или менее очевидные истины иногда называют «логическими». Здесь мы будем использовать термин «логическая истина» в строгом специальном смысле, который мы показали на образцовых примерах (1), (2) и (3). В этом смысле лишь полностью интерпретируемые предложения являются логическими истинами (или просто истинами), а теоретические истины, в частности, утверждаемые логикой как наукой, необязательно являются логическими истинами. Такое строгое употребление также является наиболее частым в философском контексте.

3. Строго говоря, для Канта логика (общая или чистая логика) не дает нам логических истин в привычном нам смысле, который включает в себя предложения, содержащие эмпирические понятия. А в случае силлогизмов он обращается с ними как с выводами, а не как с предложениями. Но комментаторы часто задаются вопросом, являлись бы, скажем, обычные силлогизмы, рассматриваемые как предложения, аналитическими в понимании Канта или же нет. Мы будем следовать этой общепринятой практике абстрагирования от некоторых исторических неточностей, когда мы будем рассматривать, какова могла бы быть позиция Канта по вопросу об эпистемических основаниях логической истины.

4. Такая интерпретация могла бы получить поддержку благодаря тому факту, что, по мнению Канта, логические выражения не выражают значения таким же образом, как это делают нелогические выражения или понятия (см. Кант 1994: В186; несколько категорий Канта приблизительно соответствуют «сигнификациям» некоторых образцовых логических выражений; см. также MacFarlane 2002). Таким образом, логические выражения могут и не выражать значения, поддающиеся анализу, и если это так, то анализ не может служить основанием для того, чтобы мы могли считать логические истины истинными. С другой стороны, эксплицитная позиция Лейбница состояла в том, что значения всех выражений, включая разного рода частицы, поддаются анализу и что такой анализ служит основанием для априорных доказательств; см., напр., работу Лейбница Analysis Linguarum. Больцано впоследствии скажет, что если все выражения обладают значениями, поддающимися анализу, то многие из этих аналитических суждений, по определению самого Канта, в действительности были бы синтетическими (см. Больцано 2003: § 305).

5. Мы полностью опускаем здесь обсуждение вопроса о том, можно ли адекватным образом схематически представить логическую форму на уровне поверхностного синтаксиса (что более или менее предполагалось в наших примерах) или на каком-то ином уровне логической или языковой репрезентации, предполагаемом философами или лингвистами. Предположительно замечания, которые мы намерены выдвинуть, будут применимы mutatis mutandis в рамках любого понимания того, что такое адекватная репрезентация логической формы. Обсуждение данной проблемы см. в статье о логических константах.

6. Переменные, которые появляются во фрегеанских предложениях (и их логических формах), лучше всего рассматривать как нелогические выражения — как и схематические обозначения. Значение переменных (их область) варьируется в зависимости от интерпретации фрегеанского языка, как было отмечено выше в тексте.

7. Абстрактный метод Тарского можно использовать (собственно, он и был так использован) для аналогичного определения логической истины даже для формальных языков помимо фрегеанских. Мы не можем обсуждать здесь математические понятия валидности (и выводимости), которые были определены для этих языков. Рекомендуемые источники на эту тему: статьи о логике кондиционалов, модальной логике и темпоральной логике. В работах Zalta 1988, Hanson 2006, 2014, Nelson and Zalta 2012 обсуждаются вопросы, связанные с тем, что позднее мы назовем проблемой адекватности для некоторых из этих языков. Etchemendy 2008 выступает против вольной интерпретации метода Тарского, предложенного Хэнсоном, указывая, что теоретико-модельное определение валидности, основанное на понятии (классической) структуры, очевидно, является экстенсионально неадекватным для этих языков. Gómez-Torrente 2008 утверждает, что использование Тарским классических структур было нацелено исключительно на определение логической истины для экстенсиональных языков (хотя, по неясным причинам, это могло не удасться).

Абстрактный метод Тарского также используется в Beall and Restall 2000, 2006 для того, чтобы дать различные определения логической истине, которые, с точки зрения авторов (см. раздел 1.1 основного текста), несовместимы с дотеоретическим понятием логической истины даже для данного конкретного фрегеанского языка.

8. Возможно, необходимо уточнение, что такие предложения, как «∃x(x=x)», как правило, интерпретируют как категорические утверждения о существовании, однако они характеризуются теоретико-модельной валидностью. Это объясняется привычным соглашением не рассматривать структуры пустых универсумов при определении теоретико-модельной валидности. Однако метод определения валидности может использоваться, и соответствующая теорема, аналогичная (6), говорит в пользу более инклюзивных конвенций (см. статью о свободной логике; иные возможные уточнения см. Chihara 1998: § 5).

Библиография

●       Аристотель. Аналитики. Л., 1952.

●       Аристотель. Топика // Соч.: В 4 т. М.: Мысль, 1978. Т. 2.

●       Аристотель. О софистических опровержениях // Соч.: В 4 т. М.: Мысль, 1978. Т. 2.

●       Больцано Б. Учение о науке. СПб.: Наука, 2003.

●       Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: Наука, 1958 (2009).

●       Витгенштейн Л. Философские работы. Часть II, книга 1. М.: Гнозис, 1994.

●       Гуссерль Э. Логические исследования. Т.II. Ч.1: Исследования по феноменологии и теории познания. М., 2011.

●       Кант И. Критика чистого разума. М., 1994.

●       Кэрролл Л. О чем Черепаха говорила Ахиллесу.

●       Куайн У. Две догмы эмпиризма // Он же. Слово и объект. М.: Логос, Праксис, 2000.

●       Куайн У. В. О. Философия логики. М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2008.

●       Лейбниц Г. В. Рассуждения о метафизике // Соч.: В 4 т. М.: Мысль, 1982. Т. 1.

●       Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Изд-во иност. лит-ры, 1959.

●       Милль Дж. Ст. Система логики, силлогистической и индуктивной. М.: ЛЕНАНД, 2011.

●       Рассел Б. Проблемы философии. М., 2000.

●       Рассел Б. Основания математики: В 3 т. Самара, 2005–2006.

●       Рассел Б. Введение в математическую философию. Избранные работы. Новосибирск, 2007.

●       Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Иностранная литература, 1948.

●       Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М.: РОСПЭН, 1999.

●       Фреге Г. Запись в понятиях // Он же. Логика и логическая семантика. М.: Аспект-Пресс, 2000. С. 63–212.

●       Alexander of Aphrodisias, In Aristotelis Analyticorum Priorum Librum I Commentarium, M. Wallies (ed.), Berlin: Reimer, 1883.

●       Allison, H., 1983, Kant's Transcendental Idealism. An Interpretation and Defense. New Haven: Yale University Press.

●       Azzouni, J., 2006, Tracking Reason: Proof, Consequence and Truth. Oxford: Oxford University Press.

●       Azzouni, J., 2008, “The Compulsion to Believe: Logical Inference and Normativity”, Protosociology, 25: 69–88.

●       Beall, JC and G. Restall, 2000, “Logical Pluralism”, Australasian Journal of Philosophy, 78: 475–93.

●       Beall, JC and G. Restall, 2006, Logical Pluralism, Oxford: Clarendon Press.

●       Belnap, N.D., 1962, “Tonk, Plonk and Plink”, Analysis, 22: 130–4.

●       Bernays, P., 1930, “The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory”, translated by P. Mancosu, in Mancosu (ed.), From Brouwer to Hilbert, Oxford: Oxford University Press, 1998.

●       Bocheński, I.M., 1956, Formale Logik, Munich: Alber.

●       Boghossian, P., 1997, “Analyticity”, in B. Hale and C. Wright (eds.), A Companion to the Philosophy of Language, Oxford: Blackwell, pp. 331–68.

●       Boghossian, P., 2000, “Knowledge of Logic”, in P. Boghossian and C. Peacocke (eds.), New Essays on the A Priori, Oxford: Clarendon Press, pp. 229–54.

●       BonJour, L., 1998, In Defense of Pure Reason, New York: Cambridge University Press.

●       Bonnay, D., 2008, “Logicality and Invariance”, Bulletin of Symbolic Logic, 14: 29–68.

●       Boolos, G., 1975, “On Second-Order Logic”, Journal of Philosophy, 72: pp. 509–27.

●       Boolos, G., 1985, “Nominalist Platonism”, in his Logic, Logic, and Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 73–87.

●       Capozzi, M. and G. Roncaglia, 2009, “Logic and Philosophy of Logic from Humanism to Kant”, in L. Haaparanta (ed.), The Development of Modern Logic, Oxford: Oxford University Press, pp. 78–158.

●       Carnap, R., 1939, Foundations of Logic and Mathematics (International Encyclopaedia of Unified Science, Vols. I-II), Chicago: University of Chicago Press.

●       Carnap, R., 1963, “Replies and Systematic Expositions”, in P. A. Schilpp (ed.), The Philosophy of Rudolf Carnap, La Salle, IL: Open Court, pp. 859–1013.

●       Chihara, C., 1998, “Tarski's Thesis and the Ontology of Mathematics”, in M. Schirn (ed.), The Philosophy of Mathematics Today, Oxford: Oxford University Press, pp. 157–72.

●       Coffa, J.A., 1991, The Semantic Tradition from Kant to Carnap, Cambridge: Cambridge University Press.

●       Dummett, M., 1973, “The Justification of Deduction”, in his Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1978, pp. 290–318.

●       Dummett, M., 1981, Frege. Philosophy of Language, Cambridge, MA: Harvard University Press.

●       Dummett, M., 1991, The Logical Basis of Metaphysics, Cambridge, MA: Harvard University Press.

●       Etchemendy, J., 1990, The Concept of Logical Consequence, Cambridge, MA: Harvard University Press.

●       Etchemendy, J., 2008, “Reflections on Consequence”, in D. Patterson (ed.), New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, pp. 263–99.

●       Feferman, S., 1999, “Logic, Logics and Logicism”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 31–54.

●       Field, H., 1989, Realism, Mathematics and Modality, Oxford: Blackwell.

●       Field, H., 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press.

●       Frege, G., 1885, “On Formal Theories of Arithmetic”, in his Collected Papers on Mathematics, Logic and Philosophy, B. McGuinness (ed.), Oxford: Blackwell, 1984, pp. 112–21.

●       García-Carpintero, M., 1993, “The Grounds for the Model-Theoretic Account of the Logical Properties”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 107–31.

●       Gómez-Torrente, M., 1998/9, “Logical Truth and Tarskian Logical Truth”, Synthese, 117: 375–408.

●       Gómez-Torrente, M., 2002, “The Problem of Logical Constants”, Bulletin of Symbolic Logic, 8: 1–37.

●       Gómez-Torrente, M., 2008, “Are There Model-Theoretic Logical Truths that Are not Logically True?”, in D. Patterson (ed.), New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, pp. 340–68.

●       Grice, P. and P.F. Strawson, 1956, “In Defense of a Dogma”, in Grice, Studies in the Way of Words, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1989, pp. 196–212.

●       Hacking, I., 1979, “What Is Logic?”, Journal of Philosophy, 76: 285–319.

●       Hanna, R., 2001, Kant and the Foundations of Analytic Philosophy, Oxford: Clarendon Press.

●       Hanna, R., 2006, Rationality and Logic, Cambridge, MA: MIT Press.

●       Hanson, W., 1997, “The Concept of Logical Consequence”, Philosophical Review, 106: 365–409.

●       Hanson, W., 2006, “Actuality, Necessity, and Logical Truth”, Philosophical Studies, 130: 437–59.

●       Hanson, W., 2014, “Logical Truth in Modal Languages: Reply to Nelson and Zalta”, Philosophical Studies, 167: 327–39.

●       Hobbes, T., “Troisièmes Objections”, in Descartes, Œuvres Philosophiques, vol. II, F. Alquié (ed.), Paris: Garnier, 1967, pp. 599–631.

●       Hodes, H., 2004, “On the Sense and Reference of a Logical Constant”, Philosophical Quarterly, 54: 134–65.

●       Jané, I., 2006, “What Is Tarski's Common Concept of Consequence?”, Bulletin of Symbolic Logic, 12: 1–42.

●       Kneale, W., 1956, “The Province of Logic”, in H. D. Lewis (ed.), Contemporary British Philosophy, 3rd Series, London: Allen & Unwin.

●       Kneale, W. and M. Kneale, 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.

●       Knuuttila, S., 1982, “Modal Logic”, in N. Kretzmann, A. Kenny and J. Pinborg (eds.), The Cambridge History of Later Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 342–57.

●       Kreisel, G., 1967, “Informal Rigour and Completeness Proofs”, in I. Lakatos (ed.), Problems in the Philosophy of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, pp. 138-71.

●       Kretzmann, N., 1982, “Syncategoremata, Sophismata, Exponibilia”, in N. Kretzmann, A. Kenny and J. Pinborg (eds.), The Cambridge History of Later Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 211–45.

●       Leibniz, G.W., Letter to Bourguet (XII), in C.I. Gerhardt (ed.), Die philosophische Schriften von G.W. Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. III, pp. 572–6.

●       Leibniz, G.W., “Primæ Veritates”, in L. Couturat (ed.), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, pp. 518–23.

●       Leibniz, G.W., “Analysis Linguarum”, in L. Couturat (ed.), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, pp. 351–4.

●       Lewis, D.K., 1986, On the Plurality of Worlds, Oxford: Blackwell.

●       McCarthy, T., 1981, “The Idea of a Logical Constant”, Journal of Philosophy, 78: 499–523.

●       MacFarlane, J., 2000, What does It Mean to Say that Logic Is Formal?, Ph.D. thesis, University of Pittsburgh, Philosophy Department.

●       MacFarlane, J., 2002, “Frege, Kant, and the Logic in Logicism”, Philosophical Review, 111: 25–65.

●       McGee, V., 1992, “Two Problems with Tarski's Theory of Consequence”, Proceedings of the Aristotelian Society (new series), 92: 273–92.

●       McGee, V., 1996, “Logical Operations”, Journal of Philosophical Logic, 25: 567–80.

●       Maddy, P., 1999, “Logic and the Discursive Intellect”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 94–115.

●       Maddy, P., 2002, “A Naturalistic Look at Logic”, Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 76 (2): 61–90.

●       Maddy, P., 2007, Second Philosophy. A Naturalistic Method, Oxford: Oxford University Press.

●       Mates, B., 1961, Stoic Logic, Berkeley: University of California Press.

●       Mill, J.S., 1843, A System of Logic, in his Collected Works, vol. 7, Toronto: University of Toronto Press, 1973.

●       Nelson, M. and E. N. Zalta, 2012, “A Defense of Contingent Logical Truths”, Philosophical Studies, 157: 153–62.

●       Orayen, R., 1989, Lógica, Significado y Ontología, Mexico City: UNAM.

●       Pap, A., 1958, Semantics and Necessary Truth, New Haven: Yale University Press.

●       Parsons, C., 1969, “Kant's Philosophy of Arithmetic”, in his Mathematics in Philosophy, Ithaca: Cornell University Press, 1983, pp. 110–49.

●       Paseau, A. C., 2014, “The Overgeneration Argument(s): A Succinct Refutation”, Analysis, 74: 40–7.

●       Peacocke, C., 1987, “Understanding Logical Constants: A Realist's Account”, Proceedings of the British Academy, 73: 153–200.

●       Prawitz, D., 1985, “Remarks on Some Approaches to the Concept of Logical Consequence”, Synthese, 62: 153–71.

●       Priest, G., 2001, “Logic: One or Many?”, in J. Woods and B. Brown (eds.), Logical Consequence: Rival Approaches, Oxford: Hermes Science Publishing, pp. 23–38.

●       Prior, A.N., 1960, “The Runabout Inference-Ticket”, Analysis, 21: 38–9.

●       Putnam, H., 1968, “The Logic of Quantum Mechanics”, in his Mathematics, Matter and Method. Philosophical Papers, Volume 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1975, pp. 174–197.

●       Quine, W.V., 1936, “Truth by Convention”, in his The Ways of Paradox and Other Essays, revised edition, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, pp. 77–106.

●       Quine, W.V., 1954, “Carnap and Logical Truth”, in his The Ways of Paradox and Other Essays, revised edition, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, pp. 107–32.

●       Quine, W.V., 1963, “Necessary Truth”, in his The Ways of Paradox and Other Essays, revised edition, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, pp. 68–76.

●       Rayo, A. and G. Uzquiano, 1999, “Toward a Theory of Second-Order Consequence”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 315–25.

●       Read, S., 1994, “Formal and Material Consequence”, Journal of Philosophical Logic, 23: 247–65.

●       Sagi, G., 2013, “Models and Logical Consequence”, Journal of Philosophical Logic, online prepublication.

●       Sainsbury, M., 1991, Logical Forms, Oxford: Blackwell.

●       Shalkowski, S., 2004, “Logic and Absolute Necessity”, Journal of Philosophy, 101: 55–82.

●       Shapiro, S., 1991, Foundations without Foundationalism: a Case for Second-Order Logic, Oxford: Clarendon Press.

●       Shapiro, S., 1998, “Logical Consequence: Models and Modality”, in M. Schirn (ed.), The Philosophy of Mathematics Today, Oxford: Oxford University Press, pp. 131–56.

●       Sher, G., 1991, The Bounds of Logic, Cambridge, MA: MIT Press.

●       Sher, G., 1996, “Did Tarski Commit ‘Tarski's Fallacy’?”, Journal of Symbolic Logic, 61: 653–86.

●       Sher, G., 2013, “The Foundational Problem of Logic”, Bulletin of Symbolic Logic, 19: 145–98.

●       Smith, P., 2011, “Squeezing Arguments”, Analysis, 71: 22–30.

●       Smith, R., 1989, “Notes to Book A”, in Aristotle, Prior Analytics, R. Smith (ed.), Indianapolis, IN: Hackett, pp. 105–81.

●       Soames, S., 1999, Understanding Truth, New York: Oxford University Press.

●       Tarski, A., 1936a, “On the Concept of Logical Consequence”, translated by J.H. Woodger in A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, second edition, J. Corcoran (ed.), Indianapolis, IN: Hackett, 1983, pp. 409–20.

●       Tarski, A., 1936b, “On the Concept of Following Logically”, translated by M. Stroińska and D. Hitchcock, History and Philosophy of Logic, 23 (2002): 155–96.

●       Tarski, A., 1966, “What Are Logical Notions?”, ed. by J. Corcoran, History and Philosophy of Logic, 7 (1986): 143–54.

●       Tarski, A. and S. Givant, 1987, A Formalization of Set Theory without Variables, Providence, RI: American Mathematical Society.

●       Wagner, S.J., 1987, “The Rationalist Conception of Logic”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 28: 3–35.

●       Warmbrōd, K., 1999, “Logical Constants”, Mind, 108: 503–38.

●       Williamson, T., 2003, “Everything”, in D. Zimmerman and J. Hawthorne (eds.), Philosophical Perspectives 17: Language and Philosophical Linguistics, Oxford: Blackwell, pp. 415–65.

●       Zalta, E., 1988, “Logical and Analytic Truths that Are not Necessary”, Journal of Philosophy, 85: 57–74.