Ревизионная теория истины
Впервые опубликовано 15 декабря 1995 года; существенно пересмотрено 2 июня 2015 года.
Рассмотрим следующее предложение:
(1) не истинно
Давно известно, что предложение (1) порождает так называемый парадокс лжеца: невозможно, оставаясь последовательным, утверждать, что (1) истинно, и невозможно, оставаясь последовательным, утверждать, что (1) ложно: если (1) истинно, тогда, как гласит (1), истинно, что (1) не истинно, и тогда (1) ложно; с другой стороны, если (1) не истинно, тогда то, что утверждает (1), истинно (подробнее см. Раздел 1 ниже). Учитывая этот парадокс, можно прийти к скептической позиции в отношении понятия истины, по крайней мере, в отношении возможности предоставить научно обоснованную концепцию истину.
Огромным достижением Альфреда Тарского было то, что, вопреки такому скептицизму, он сумел показать, как можно задать формальное определение истины для широкого класса формализованных языков. Однако Тарский не сумел показать, как можно задать определение истины для естественных языков (таких как, например, английский), содержащих свои собственные предикаты истинности. Он полагал, что это невозможно именно ввиду парадокса лжеца.
В более общем смысле, Тарский считал, что любой язык, имеющий свои собственные предикаты истинности, будет непоследовательным, коль скоро он подчиняется правилам классической логики и способен отсылать к своим собственным предложениям. Как мы увидим в наших замечаниях к Теореме 2.1 в Разделе 2.3, Тарский был не совсем прав: существуют непротиворечивые классические интерпретируемые языки, способные отсылать к своим собственным предложениям и содержащие свои собственные предикаты истинности (данная идея впервые была сформулирована в Gupta, 1982 и подкреплена в Gupta, Belnap, 1993).
Ввиду тесной связи между значением и истиной, принято считать, что всякая семантика языка L, т.е. всякая теория значений для L, будет тесно связана с теорий истины для языка L: в самом деле, как правило, считается, что сердцевину семантики языка L должно составлять нечто подобное теории истины Тарского для языка L. Таким образом, невозможность задать теорию истины Тарского для языков, обладающих своими собственными предикатами истинности, угрожает проекту определения семантики таких языков.
Первые проекты систематической формальной семантики языков, содержащих свои собственные предикаты истинности, были предложены лишь в работе Крипке (1975), а также в совместной работе Мартина и Вудраффа (Martin & Woodruff 1975). Основная идея проста: допустим, проблемное предложение вроде (1) не является ни истинным, ни ложным. Крипке, в частности, показывает, как можно осуществить эту идею для множества различных языков, задействуя при этом трехзначную семантику, в которой присутствуют значения истинности, ложности и ни того, ни другого[1]. Можно с надежностью утверждать, что крипкеанский подход сменил пессимизм Тарского в качестве нового ортодоксального представления о языках, обладающих собственными предикатами истинности.
Одним из главных конкурентов трехзначной семантики является ревизионная теория истины (РТИ), независимо разработанная Ганцем Герцбергером и Анилом Гуптой. Теория впервые была представлена в работах Герцбергера (Herzberger 1982а, 1982b), а также Гупты (Gupta 1982) и Белнапа (Belnap 1982); первыми монографиями, посвященными данной теме, стала книга Якуба (Yaqūb 1993) и locus classicus — совместная работа Гупты и Белнапа (Gupta & Belnap 1993). РТИ разработана с целью задания таких умозаключений, которые вытекают из парадокса лжеца в рамках двузначной семантики (см. Раздел 5.2, посвященный вопросу о том, действительно ли РТИ является двузначной). Главная идея состоит в процессе ревизии, с помощью которого мы производим ревизию гипотезы относительного истинностного значения одного или более предложений. Цель настоящей работы состоит в изложении основных принципов ревизионной теории истины.
Полуформальное введение
Давайте внимательней рассмотрим предложение (1), приведенное выше:
(1) не истинно. (1)
Полезно будет дать развернутое объяснение парадоксального рассуждения. Прежде всего, допустим, что
(1) не истинно (2)
В отношении истины мы интуитивно руководствуемся принципом, согласно которому для всякого предложения р мы располагаем так называемым Т-бикондиционалом
"р" истинно, если и только если р. (3)
Т.е. у нас должно получиться
"(1) не истинно" истинно, если и только
если (1) не истинно. (4)
Таким образом, из (2) и (4) мы получим
"(1) не истинно" истинно. (5)
Тогда, применив принцип тождества,
(1) = "(1) не истинно." (6)
мы можем заключить, что (1) истинно. Всё это показывает, что если (1) не истинно, то (1) истинно. Аналогично, мы также можем утверждать, что если (1) истинно, то (1) не истинно. Итак, (1) оказывается одновременно и истинным, и не истинным, следовательно, мы пришли к парадоксу. Как была сказано ранее, трехзначная логика определяет предложение (1) как не являющееся ни истинным, ни ложным. Как именно данный ход позволяет устранить (и позволяет ли вообще) приведенное выше умозаключение — вопрос спорный.
РТИ была разработана не для того, чтобы устранить такого рода рассуждения, как вышеприведенное, а для их моделирования, или моделирования их значительной части [2]. Как была сказано ранее, главная идея состоит в ревизионном процессе, в ходе которого мы производим ревизию гипотезы относительно истинностного значения одного или более предложений.
Рассмотрим рассуждение касательно выше приведенного предложения (1). Предположим, наша гипотеза состоит в том, что (1) не истинно. Тогда, применив соответствующий Т-бикондиционал, мы можем исправить (revise) нашу гипотезу следующим образом:
Гипотеза: (1) не истинно
Т-бикондиционал: "(1) не истинно" истинно, если и только если (1) не истинно.
Следовательно: "(1) не истинно" истинно.
Известное тождество: (1) = "(1) не истинно"
Противоречие: (1) истинно.
Новая гипотеза после проведения ревизии: (1) истинно.
Можно продолжить процесс ревизии, вновь произведя ревизию нашей гипотезы:
Новая гипотеза: (1) истинно.
Т-бикондиционал: "(1) не является истинным" истинно, если и только если (1) не истинно.
Следовательно: "(1) не истинно" не истинно.
Известное тождество: (1) = "(1) не истинно".
Заключение: (1) не истинно.
Новая гипотеза после проведения ревизии: (1) не истинно.
По мере продолжения ревизии мы колеблемся между допущением об истинности предложения и допущением о его ложности.
Пример 1.1
[1] Крипке предпочитает интерпретировать не истинное и не ложное не как третье значение, а как отсутствия истинного значения.
Имеем смысл взглянуть, как такого рода ревизионное рассуждение будет работать в случае с несколькими взаимосвязанными предложениями. Применим этот принцип к следующим трем предложениям:
(8) истинно или (9) истинно. (7)
(7) истинно. (8)
(7) не истинно. (9)
Неформально, мы можем рассуждать следующим образом. Либо (7) истинно, либо (7) не истинно. Следовательно, либо (8) истинно, либо (9) истинно. Следовательно, (7) истинно. Тогда (8) истинно, а (9) не истинно, и (7), опять же, истинно. Повторив процесс еще раз, мы получим, что (8) истинно, (9) не истинно, а (7) истинно. В более формальном виде, рассмотрим произвольную первоначальную гипотезу h0 относительно истинностных значений (7), (8) и (9). Либо h0 гласит, что (7) истинно, либо h0 гласит, что (7) не истинно В любом случае мы можем использовать Т-бикондиционал, чтобы произвести ревизию наших гипотез, получив гипотезу h1: если h0 гласит, что (7) истинно, тогда h1 гласит, что "(7) истинно" истинно, т.е. что (8) истинно; а если h0 гласит, что (7) не истинно, тогда h1 гласит, что "(7) не истинно" истинно, т.е. что истинно (9). Тогда h1 гласит, что либо (8) истинно, либо (9) истинно. Тогда h2 гласит, что "(8) истинно или (9) истинно" является истинным. Иными словами, h2 гласит, что (7) истинно. Таким образом, независимо от того, с какой гипотезы h0 мы начнем, две итерации процесса ревизии приводят к гипотезе, что (7) истинно. Аналогичным образом, три и более итерации процесса ревизии приведут нас к гипотезе, что (7) истинно, (8) истинно и (9) не истинно — независимо от того, какой была первоначальная гипотеза. В Разделе 3 мы вновь рассмотрим этот пример в более формализованном контексте.
Стоит отметить, что в Примере 1.1 процесс ревизии устойчиво дает нам истинностное значение для всех трех предложений. Понятие предложения, устойчиво истинного во всех ревизионных следствиях, будет центральным понятием для РТИ. Ревизионно-теоретическое рассмотрение в этом случае противопоставляется трехзначной теории: в большинстве реализаций идеи трехзначной логики все три предложения — (7), (8) и (9) — не оказываются ни истинными, ни ложными [3]. В таком случае РТИ, вероятно, удается лучше произвести корректное неформализованное рассуждение, нежели в рамках трехзначной теории: РТИ приписывает предложениям (7), (8) и (9) истинностные значения, которые мы приписывали им в ходе неформализованного рассуждения, приведенного в начале нашего примера.
Постановка проблемы
Языки истины
Цель РТИ состоит не в том, чтобы выдвинуть концепцию истины, не порождающую парадоксы. Скорее, ее цель в том, чтобы описать наши зачастую неустойчивые и зачастую парадоксальные рассуждения об истине. Точнее, РТИ стремится задать двузначную теорию, в рамках которой предложениям приписываются устойчивые истинностные значения, когда интуитивное рассуждение приписывало бы устойчивые классические истинностные значения.
Мы представим формальную семантику для формального языка: мы хотим, чтобы язык обладал как предикатами истинности, так и средствами, позволяющими отсылать к своим собственным предложениям.
Рассмотрим язык первого порядка L, с пропозициональными связками &, ∨, и ¬, кванторами ∀ и ∃, знаком равенства =, переменными, а также некоторым набором имен, функциональных и реляционных символов. Мы скажем, что L является языком истины, если в нем есть отдельный предикат T и кавычки «, », которые мы будем использовать для образования имен в кавычках [quote names]: если А — предложение L, тогда "А" — имя. Пусть ПредлL = {А : А является предложением языка L}
Будет полезным определить фрагмент языка L, в котором не применяется Т: в языке первого порядка L-, в котором наличествуют те же имена, а также функциональные и реляционные символы, что и в L, кроме унарного предиката T. Так как в L- наличествуют те же имена, что и в L, включая те же имена в кавычках, то в языке L- будет наличествовать имя "А" для всякого предложения А в языке L. Тогда ∀xTx — не предложение языка L, а "∀xTx " имя языка L, а ∀x(x = ‘∀xTx’) — предложение языка L-.
Опорные модели
Помимо предиката истины, мы будем допускать, что наш язык классически интерпретируем. Точнее, пусть опорной моделью для языка L будет классическая модель M = <D, I> для L-, фрагмент языка L, в котором не применяется T, удовлетворяет следующим условиям:
- D — непустая область дискурса;
- I — функция, задающая соответствие между
1. каждым именем L и элементом D;
2. каждым n-ой функциональным символом языка L и функцией от Dn до D;
3. каждым n-ым реляционным символом языка L, отличным от Т, и функцией от Dn одного из двух значений из множества {t, f}; [4]
3. ПредлL ∈ D; и
4. I(‘A’) = A для всякого A ∈ ПредлL.
Условия (1) и (2) просто уточняют, что значит, что М является классической моделью фрагмента языка L, в котором не применяется Т. Условия (3) и (4) удостоверяют, что L при интерпретации может высказываться о своих собственных предложениях. Учитывая опорную модель, мы рассмотрим возможности удовлетворительной интерпретации Т. Наиболее очевидная цель [desideratum] состоит в том, чтобы опорная модель — расширенная так, чтобы она включала в себя интерпретацию Т — удовлетворяла Т-бикондиционалам Тарского, т.е. бикондиционалам вида
Т "А" если и только если А
для каждого А ∈ ПредлL.
Определим некоторые полезные термины: Располагая опорной моделью М для L и именем, функциональным или реляционным символом Х, мы можем вывести I(X) в качестве интерпретации или, заимствуя термин Гупты и Белнапа, сигнификации Х. Гупта и Белнап определяют сигнификацию выражения или понятия, содержащуюся в слове w, как "абстрактную сущность, которая несет в себе всю информацию обо всех расширенных отношениях выражения [или понятия], содержащихся в w". "Если мы хотим интерпретировать Tx как "х истинно", тогда, учитывая опорную модель М, мы попытаемся найти подходящую сигнификацию или подходящий набор сигнификаций для Т.
Три опорные модели
Мы можем попытаться приписать Т классическую сигнификацию, расширив М до классической модели M′ = <D′, I′ > для всего L, включая Т. Вспомним также, что M′ должно удовлетворять Т-бикондиционалам: для наших непосредственных целей давайте предложим классическую интерпретацию. Пусть расширение M′ опорной модели М удовлетворяет Т-бикондиционалам Тарского, если и только если M′ является классической моделью и все классически интерпретируемые Т-бикондиционалы являются истинными в M′. Мы попытаемся расширить опорные модели до моделей Тарского, и чтобы оценить, насколько это возможно, рассмотрим три опорные модели.
Опорная модель M′
Нашей первой опорной моделью будет формализация вышеприведенного Примера 1.1. Предположим, что L1 содержит три не закавыченных имени α, β и γ, и единственный предикат Т. Пусть M1 = <D1, I1 > будет следующим:
D1=ПредлL1
I1(α)=Tβ ∨ Tγ
I1(β)=Tα
I1(γ)=¬Tα
Опорная модель M2
Допустим, что L2 содержит одно не закавыченное имя τ и единственный предикат Т. Пусть M2 = <D2, I2 > будет следующим:
D2=ПредлL2
I2(τ)=Tτ
Опорная модель M3
Допустим, что L3 содержит одно не закавыченное имя λ и единственный предикат Т. Пусть M3 = <D3, I3 > будет следующим:
D3=ПредлL3
I3(λ)=Tλ
Теорема 2.1
(1) M1 можно расширить ровно до одной модели Тарского: в данной модели предложения (Tβ ∨ Tγ) и Tα являются истинными, в то время как предложение ¬Tα ложно.
(2) M2 можно расширить ровно до двух моделей Тарского, в одной из которых предложения Tτ истинно, а в другой ложно.
(3) M3 нельзя расширить до модели Тарского.
Доказательство для (1) и (2) не входит в задачи данной статьи, впрочем, стоит сделать несколько замечаний.
Замечание (1). Нет ничего удивительного в том, что M1 можно расширить до модели Тарского, учитывая умозаключение из вышеприведенного Примера 1.1: всякая первоначальная гипотеза о истинностном значении трех рассматриваемых предложений после трех итераций в ходе ревизии приводит к устойчивой гипотезе об истинности (Tβ ∨ Tγ) и Tα, в то время как ¬Tα будет ложно. Для обоснования того, что M1 можно расширить ровно до одной модели Тарского, необходима так называемая теорема о переносе (Gupta and Belnap 1993, Theorem 2D.4).
Замечание: в приведенных выше вводных замечаниях мы утверждаем существование непротиворечивых классических интерпретируемых языков, которые могут описывать свои собственные предложения и обладают своими собственными предикатами истинности. В условии (1) Теоремы 2.1 предложен пример. Пусть M1′ будет единственным расширением M1 до модели Тарского. Тогда язык L1, проинтерпретированный M1′, будет интерпретируемым языком,
обладающим собственным предикатом истины, удовлетворяющим классическим Т-бикондиионалам; L1 будет подчиняться правилам стандартной классической логики и располагать при этом средствами для описания своих собственных предложений. Таким образом, Тарский был не вполне прав, полагая, что всякий язык, обладающий собственным предикатом истинности, будет противоречив, если он подчиняется правилам стандартной классической логики и способен описывать свои собственные предложения.
Единственное само-референтное предложение, с которым могут возникнуть проблемы, это так называемое предложение "правдолюбца" (truth teller), которое говорит о самом себе, что оно истинно. Неформализованное рассуждение показывает, что такому предложению можно непротиворечивым образом приписать любое классическое истинностное значение: если приписать ему истинное значение, тогда не возникает никакого парадокса, так как предложение истинно утверждает о себе, что оно является истинным; и если приписать ему ложное значение, также не возникает никакого парадокса, так как данное предложение будет ложно утверждать, что оно истинно. В Теореме 2.1 (2) представлена формализация этой идеи: M2 можно расширить до одной модели Тарского, в которой Tτ является истинным, и другой модели, в которой Tτ является ложным. Для обоснования того факта, что M2 можно расширить ровно до двух моделей Тарского, необходима вышеупомянутая теорема о переносе. Отметим, что язык L2, интерпретируемый с помощью любого из этих расширений, дает еще один пример интерпретируемого языка, который обладает собственным предикатом истинности, удовлетворяющим классическим Т-бикондиционалам, подчиняется правилам стандартной классической логики и способен отсылать к своим предложениям.
Доказательство (3). Допустим, что M3′ = <D3, I3′ > является классическим расширением M3 до всех L3. Так как M3′ является расширением M3, I3 и I3′ согласуются в отношении всех имен L3. Таким образом
I3 ′(λ) = I3(λ) = ¬Tλ = I3(‘¬Tλ’) = I3 ′(‘¬Tλ’).
Так, предложения Tλ и T ‘¬Tλ’ обладают одинаковым истинностным значением в M3′. Таким образом, Т-бикондиционал
T ‘¬Tλ’ ≡ ¬Tλ
является ложным в M3′.
Замечание: язык, интерпретируемый с помощью опорной модели M3, формализует парадокс лжеца, при этом ¬Tλ опровергает предложение лжеца. Таким образом, вопреки Теореме 2.1, Условиям (1) и (2), Условие (3) явно свидетельствует о том, что в семантике языков, которые могут выражать свои собственные понятия истины, Т, в общем случае, не может иметь классической сигнификации; и выражение «если и только если» в Т-бикондиционалах не будет прочитываться как классический бикондиционал. Мы вернемся к рассмотрению данных положений ниже в Разделе 4.
Основные понятия РТИ
Правила ревизии
В разделе 1 мы предложили краткое неформализованное описание центральной идеи РТИ, а именно, что мы можем использовать Т-бикондиционалы для того, чтобы произвести правило ревизии — правило для ревизии гипотезы о расширении предиката истинности. Здесь мы намерены формализовать это понятие и проработать пример из Раздела 1.
В общем, пусть L будет языком истины, а М — опорной моделью для L. Гипотезой будет функция h: D → {t, f}. В действительности, гипотезой будет гипотетическая классическая интерпретация Т. Будем работать с примером, который сочетает Примеры 2.1 и 2.3. Мы изложим пример в формализованном виде, но рассуждение будем приводить в полу-формализованном виде, чтобы перейти от одного гипотетического расширения Т к другому.
Пример 3.1
Допустим, что L содержит четыре не закавыченных имени α, β, γ, λ и единственный предикат Т. Допустим также, что M = <D, I > является следующим:
D = ПредлL
I(α) = Тβ ∨ Тγ
I(β) = Тα
I(γ) = ¬Тα
I(λ) = ¬Тλ
Мы можем считать, что
А — предложение Тβ ∨ Тγ
B — предложение Тα
C — предложение ¬Тα
X — предложение ¬Тλ
Тогда:
D = ПредлL
I(α) = A
I(β) = B
I(γ) = C
I(λ) = X
Допустим, что в гипотезе h0 выдвигается предположение, что А ложно, B истинно, С ложно, а Х истинно. Тогда:
h0(А) = f
h0(В) = t
h0(С) = f
h0(Х) = f
Теперь, основываясь на гипотезе h0, прибегнем к некоторому полуформализованному рассуждению. Среди четырех предложений А, В, С и Х h0 помещает в расширение T только В. Таким образом, исходя h0, мы можем вывести:
Тα, так как референт α не входит в расширение Т
¬Тβ, так как референт β входит в расширение Т
Тγ, так как референт γ не входит в расширение Т
Тλ, так как референт λ не входит в расширение Т
Т-бикондиционалы для предложение А, В, С и Х будут следующими:
(TA) А истинно, если и только если Tβ ∨ Tγ
(TB) В истинно, если и только если Tα
(TC) С истинно, если и только если ¬Tα (TX) Х истинно, если и только если ¬Tλ
Таким образом, исходя из h0, мы можем заключить, что
А истинно
В не истинно
С истинно
Х истинно
Отсюда возникает наша новая гипотеза h1:
h1(А) = t
h1(В) = f
h1(С) = t
h1(Х) = t
Произведем снова ревизию нашей гипотезы. Итак, основываясь на гипотезе h1, мы прибегнем к некоторому полуформализованному рассуждению. Гипотеза помещает в расширения Т предложения А, С и Х, но не включает туда В. Таким образом, исходя из h1, мы заключаем, что:
Тα, так как референт α входит в расширение Т
¬Тβ, так как референт β входит в расширение Т
Тγ, так как референт γ не входит в расширение Т
Тλ, так как референт λ не входит в расширение Т
Вспомним Т-бикондиционал для четырех предложений А, В, С и Х, приведенных выше. Исходя из h1 и этих Т-бикондиционалов, мы заключаем, что:
А истинно
В истинно
С не истинно
Х не истинно
Отсюда возникает наша новая гипотеза h2:
h2(А) = t
h21(В) = t
h2(С) = f
h2(Х) = f
Формализуем полуформализованное рассуждение из Примера 3.1. Сперва мы выдвинули гипотезу, что некоторые предложения входят или не входят в расширение Т. Представим обычную классическую теорию моделей. Допустим, что в нашем языке есть предикат G и имя a, и что мы располагаем моделью M = <D, I >, которая помещает референцию a внутри расширения G:
I(G)(I(α)) = t
Тогда мы заключаем, следуя классическим принципам, что предложение истинно в М. Будет полезным ввести несколько обозначений для классического истинностного значения предложения S в классической модели М. Мы будем использовать запись ValM(S). В таком случае ValM(S) = t. В примере 3.1 мы начали не с классической модели целостного языка L, а лишь с классической модели фрагмента языка L, на который не распространяется T. Но тогда мы добавили гипотезу, с тем чтобы получить классическую модель всего языка L. Мы будем использовать обозначение M + h для классической модели языка L, который мы получаем при расширении М, приписывая расширение Т посредством гипотезы h. Приписав расширение предикату Т, мы можем рассчитать истинностные значения различных предложений L. Т.е. для каждого предложения S языка L мы можем рассчитать
ValM + h(S)
В Примере 3.1 мы начали с гипотезы h0:
h0(А) = f
h0(В) = t
h0(С) = f
h0(Х) = f
Тогда расчет будет следующим:
ValM+h0(Tα) = f
ValM+h0(Tβ) = t
ValM+h0(Tγ) = f
ValM+h0(Tλ) = f
Тогда мы заключаем:
ValM+h0 (А) = ValM+h0(Tβ ∨ Tγ) = t
ValM+h0 (В) = ValM+h0(¬Tα) = f
ValM+h0(С) = ValM+h0(Tα) = t
ValM+h0 (Х) = ValM+h0(¬Tλ) = t
На основе этих заключений возникла новая гипотеза h1:
h1(А) = t
h1(В) = f
h1(С) = t
h1(Х) = t
Отметим, что, в общем,
h1(S) = ValM+h0(S).
Теперь мы можем определить правило ревизии, заданное опорной моделью М = <D, I >. В общем, исходя из гипотезы h, пусть M + h = <D, I′ > будет моделью языка L, которая согласуется с моделью М для фрагмента языка L, на котором не распространяется Т, и для которой верно I′(T) = h. Таким образом, M + h является классической моделью для всего языка L. Для всякой модели M + h для всего языка L и всякого предложения А, если L, пусть ValM+h(A) будет обычным классическим истинностным значением А в М + h.
Определение 3.2
Допустим, что L — язык истины, и что M = <D, I > — опорная модель для L. Правило ревизии, τM, — это функция, определяющая соответствие между гипотезами следующим образом:
τM(h)(d) = t, если d ∈ D — предложение L и ValM+h(d) = t
⎨f — во всех остальных случаях
Условие о "всех остальных случаях" говорит нам, что если d не является предложением языка L, тогда после одного применения ревизии мы остаемся с гипотезой, согласно которой d не истинно [5]. Отметим, что в Примере 3.1 h1 = τM(h0) и h2 = τM(h1). Зачастую мы будем отказываться от "М", когда контекст будет определять для нас соответствующую опорную модель.
Ревизионная последовательность
Возьмем Пример 3.1 и посмотрим, что будет происходить при повторном применении правила ревизии.
Пример 3.1 (продолжение Примера 3.2)
Мы помним, что L содержит четыре не закавыченных имени α, β, γ и λ, а также единственный предикат Т. Кроме того, мы помним, что M = <D, I > задается следующим образом:
D = ПредлL
I(α) = А = Тβ ∨ Тγ
I(β) = В = Тα
I(γ) = С = ¬Тα
I(λ) = Х = ¬Тλ
Приведенная ниже таблица показывает, что будет происходить при повторных применениях правила ревизии τM к гипотезе h0 из Примера 3.1. В данной таблице мы будем записывать τ вместо τM.
Таким образом, h0 производит ревизионную последовательность (см. Определение 3.7, приведенное ниже). А и В в данной ревизионной последовательности оказываются устойчиво истинными (см. Определение 3.6, приведенное ниже), в то время как С — устойчиво ложно. "Предложение лжеца" Х, что неудивительно, не будет ни устойчиво истинным, ни устойчиво ложным: это предложение неустойчиво. Аналогичное заключение показало бы, что А устойчиво истинно, независимо от исходной гипотезы — значит, А категорически истинно (см. Определение 3.8).
Перед тем как дать точное определение ревизионной последовательности, мы приведем пример, в котором мы хотели бы произвести процесс ревизии, выходящий за пределы конечных этапов h, τ1(h), τ2(h), τ3(h) и т.д.
Пример 3.4
Допустим, что язык L содержит не закавыченные имена α0, α1, α2, α3, … и одноместные предикаты G и Т. Определим опорную модель M = <D, I >, в которой имя α0 обозначает некоторую тавтологию и в которой
имя α1 обозначает предложение Tα0
имя α2 обозначает предложение Tα1
имя a3 обозначает предложение Ta2
...
Представив это в более формализованном виде, допустим, что A0 — предложение Tα0 ∨ ¬Tα0, и для всякого n ≥ 0 пусть An+1 будет предложением Tαn. Тогда A1 будет предложением Tα0, а A2 — предложением Tα1, а A3 — предложением Tα2 и т.д. Наша опорная модель M = <D, I > будет следующей:
D = ПредлL
I(αn) = An
I(G)(A) = t если и только если A = A для некоторого n.
Таким образом, расширение G будет иметь вид такого множества предложений: {A0, A1, A2, A3, … } = {(Tα0 ∨ ¬Tα0), Tα0, Ta1, Ta2, Ta3, … }. Наконец, пусть В будет предложением ∀x(Gx ⊃ Tx). Пусть h будет любой гипотезой, для которой верно
h(An) = h(B) = f, при n ∈ N
Представленная ниже таблица показывает, что будет происходить при повторных применениях правила ревизии τM к гипотезе h. В данной таблице мы будем записывать τ вместо τM.
На нулевом этапе каждый An находится вне гипотетического расширения Т. Однако начиная с n-ого этапа An включен в гипотетическое расширение Т. Итак, для каждого n мы в конце концов достигаем устойчивости в допущении гипотезы об истинности предложения An. Несмотря на это, не существует конечного этапа, на котором выдвигалась бы гипотеза об истинности всех An. Как следствие, предложение B = ∀x(Gx ⊃ Tx) остается ложным на каждом окончательном этапе. Поэтому мы должны продолжать процесс следующим образом:
Таким образом, если мы продолжаем ревизионный процесс, переходя границу конечных этапов, тогда предложение B = ∀x(Gx ⊃ Tx) будет устойчиво истинным, начиная с ω+1-ого этапа.
В Примере 3.4 первоначальное утверждение состоит в том, что стабильное истинностное значение t должно приписываться не только каждому An, но и предложению B = ∀x(Gx ⊃ Tx). Единственный способ обеспечить это — продолжать процесс ревизии, выходя за пределы конечного этапа. Итак, рассмотрим очень длинные ревизионные последовательности: в таких ревизионных последовательностях будет не только n-ый этап для каждого конечного числа n, но и η-ый этап для всякого ординального числа η. (Следующий абзац будет полезен для читателя, незнакомого с понятием ординарного числа).
Один из способов представить ординальные числа может быть следующим. Начнем с конечных натуральных чисел:
0, 1, 2, 3,...
Добавим число ω, которое будет больше, чем предыдущие, но которое не следует непосредственно за ними:
0, 1, 2, 3,..., ω
Затем возьмем число, следующее за ω, и число, следующее за ним, и т.д.:
0, 1, 2, 3,..., ω, ω, ω+1, ω+2, ω+3 …
Затем добавим число ω+ω, или ω×2, которое будет больше, чем все предыдущие (но, опять же, оно не следует непосредственно за ними), и начнем заново, воспроизводя данный процесс снова и снова:
0, 1, 2, 3, …,
ω, ω+1, ω+2, ω+3, …,
ω×2, (ω×2)+1, (ω×2)+2, (ω×2)+3, …,
ω×3, (ω×3)+1, (ω×3)+2, (ω×3)+3, …
...
После этого мы добавим еще ординальное число ω×ω или ω2:
0, 1, 2, …, ω, ω+1, ω+2, …, ω×2, (ω×2)+1, …,
ω×3, …, ω×4, …, ω×5, …, ω2, ω2+1, …
Ординальные числа имеют следующую структуру: у каждого ординального числа есть непосредственно следующее за ним число, называемое ординалом-последователем; и для каждой бесконечной последовательности ординальных чисел существует предельный ординал, который будет больше, чем все члены последовательности, и который не идет непосредственно за каким-либо членом последовательности. Таким образом, следующие числа будут ордиланами-последователями: 5, 178, ω+12, (ω×5)+56, ω2+8; а эти числа являются предельными ординалами: ω, ω×2, ω2, (ω2+ω) и т.д. С предельным ординалом η последовательность объектов S будет η-местной последовательностью, если для всякого ординального числа δ < η существует объект Sδ . Мы будем обозначать этот класс ординалов как On. Всякая последовательность объектов S является On-местной последовательностью, если для всякого ординала δ существует объект Sδ.
При проверке устойчивости истинностного значения предложения РТИ рассматривает On-местную последовательность гипотез. Итак, допустим, что S — On-местная последовательность гипотез, и пусть ζ и η охватывают ординалы [range over ordinals]. Очевидно, для того, чтобы S представлял процесс ревизии, нам необходимо, чтобы ζ+1-ая гипотеза выводилась из ζ-ой гипотезы с помощью правила ревизии. В таком случае, мы должны настаивать, что Sζ+1 = τM(Sζ). Однако что нам следует делать на предельном этапе? Т.е. как следует определять Sη(δ)? если η — предельный ординал? Очевидно, всякий устойчиво истинный объект (или устойчиво ложный), предшествующий данному этапу, должен быть истинным (или ложным) на данной стадии. Итак, рассмотрим Пример 3.2. Предложение A2, например, будет истинным на этапе ωth; таким образом, мы установили, что A2 должно быть истинно на ωth -ом этапе. К объектам, которые не оказываются устойчивыми на этом этапе, Гупта и Белнап (1993) применяют либеральный подход: при построении ревизионной последовательности S, если значение объекта d ∈ D не будет устойчивым на предельном этапе η, мы можем произвольным образом приписать Sη(δ) любое истинностное значение. Перед тем как дать точное определение ревизионной последовательности, мы продолжим рассматривать Пример 3.3, чтобы показать применение данной идеи.
Пример 3.5 (продолжение Примера 3.3)
Мы помним, что язык L содержит не закавыченные имена α, β, γ и λ и единственный предикат Т. Мы также помним, что M = <D, I > определяется следующим образом:
D = ПредлL
I(α) = А = Тβ ∨ Тγ
I(β) = В = Тα
I(γ) = С = ¬Тα
I(λ) = Х = ¬Тλ
Приведенная ниже таблица показывает, что будет происходить при повторном применении правила ревизии τM к гипотезе h0 из Примера 3.1. Для каждого ординала η мы будем указывать η-ную гипотезу с помощью Sη (запрещая индекс М на τ). Таким образом, мы получаем S0 = h0, S1 = τ(h0), S2 = τ2(h0), S3 = τ3(h0) и Sω, ω-ая гипотеза будет каким-то образом зависеть от предыдущей гипотезы. Итак, начиная с h0 из Примера 3.3, начало нашей ревизионной последовательности выглядит следующим образом:
Что будет происходить на ω-ом этапе? Вплоть до ω-ого этапа А и В будут устойчиво истинны, а С — устойчиво ложно. Итак, на -ом этапе мы должны получить следующий результат:
Но вход для Sω(X) может быть как t, так и f. Иными словами, исходная гипотеза h0 производит как минимум две ревизионные последовательности. Во всякой ревизионной последовательности S, исходной гипотезой которой является h0, должно иметь место Sω(A) = t, Sω(B) = t и Sω(C) = f. Однако есть некоторая ревизионная последовательность S с исходной гипотезой h0, в которой имеет место Sω(X) = t; и есть некоторая ревизионная последовательность S′ с исходной гипотезой h0, в которой имеет место Sω′(X) = f. □
Теперь мы можем дать определение понятию ревизионной последовательности:
Определение 3.6
Допустим, что L — язык истины, и что M = <D, I > — опорная модель. Допустим, что S — On-местая последовательность гипотез. Тогда мы будем говорить, что d ∈ D устойчиво t [f] в S, если и только если для некоторого ординала θ мы имеем
Sζ(d) = t [f], для всякого ординала ζ ≥ θ.
Допустим, что S — η-местная последовательность гипотез для некоторого предельного ординала η. Тогда мы будем говорить, что d ∈ D устойчиво t [f] в S, если и только если для некоторого ординала θ < η мы имеем
Sζ(d) = t [f], для всякого ординала ζ, такого что ζ ≥ θ и ζ < η.
Если S является On-метной последовательностью гипотез и η — предельный ординал, тогда S|η будет начальным сегментом S, завершающимся на η, но не включительно. Отметим, что — η-местная последовательность гипотез.
Определение 3.7
Допустим, что L — язык истины, и M = <D, I > — опорная модель. Допустим, что S — On-местная последовательность гипотез. S будет ревизионной последовательностью для М, если и только если
● Sζ+1 = τM(Sζ), для всякого ζ ∈ On, и
● для всякого предельного ординала и всякого d ∈ D, если d устойчиво t [f] в S|η, тогда Sη(d) = t [f].
Определение 3.8
Допустим, что L — язык истины, и что M = <D, I > — опорная модель. Мы будем говорить, что предложение А является категорически истинным [ложным] в М, если и только если А устойчиво t [f] в любой ревизионной последовательности для М. Мы будем говорить, что А является категориальным в М, если и только если А является либо категориально истинным, либо категориально ложным в М.
Теперь мы проиллюстрируем эти понятия с помощью примера. Данный пример также будет иллюстрировать новое понятие, которое мы определим в дальнейшем.
Пример 3.9
Допустим, что L — язык истины, содержащий не закавыченные имена β, α0, α1, α2, α3, … и одноместные предикаты G и T. Пусть В будет предложением
Tβ ∨ ∀x∀y(Gx & ¬Tx & Gy & ¬Ty ⊃ x=y).
Пусть A0 будет предложением ∃x(Gx & ¬Tx). И для всякого n ≥ 0 пусть An+1 будет предложением Tαn. Рассмотрим следующую опорную модель M = <D, I >
D = ПредлL
I(β) = B
I(αn) = An
I(G)(A) = t , если и только если A = An для некоторого n
Таким образом, расширение G будет иметь вид следующего множества предложений {A0, A1, A2, A3, …} = {Tα0, Tα1, T α2, Tα3, …}: Пусть h будет любой гипотезой, для которой мы имеем h(B) = f, и для всякого натурального числа n,
h(An) = f.
И пусть S будет ревизионной последовательностью с исходной гипотезой h, т.е. S0 = h. Следующая таблица показывает некоторые значения Sγ(C) для предложений C ∈ {B, A0, A1, A2, A3, …}. В верхнем ряду мы указываем только ординальные числа, репрезентирующие соответствующий этап процесса ревизии.
Полезно было бы сравнить, как ведут себя предложения В и A0. Начиная с ω+1-ого этапа, В становится устойчиво истинным. В самом деле, В устойчиво истинно во всех ревизионных последовательностях для М. Таким образом, В категорически истинно в М. Предложение A0, однако, никогда не будет вполне устойчивым: как правило, оно истинно, но на некоторых этапах, пронумерованных предельными ординалами, A0 может принимать значение f. При таких обстоятельствах мы будем говорить, что A0 почти устойчиво истинно (см. Определение 3.10 ниже). В самом деле, A0 почти устойчиво истинно в каждой ревизионной последовательности для М.
Пример 3.9 иллюстрирует не только понятие устойчивости, но также и почти полной устойчивости, которую мы теперь определим:
Определение 3.10
Допустим, что L — язык истины, и что M = <D, I > — опорная модель. Допустим, что S — On-местная последовательность гипотез. Тогда мы скажем, что d ∈ D почти устойчиво t [f] в S, если и только если для некоторого ординала имеет место:
для всякого ζ ≥ θ существует натуральное число n, такое что для всякого m ≥ n, Sζ+m(d) = t [f].
Гупта и Белнап (1993) описывают различие между устойчивостью и почти устойчивостью следующим образом: "Устойчивость simpliciter [безусловная] требует, чтобы у элемента [в нашем случае — у предложения] установилось значение х [в нашем случае, это истинностное значение] после некоторых первоначальных колебаний, скажем, к [ординалу η]... При почти устойчивости, напротив, допускаются колебания и после η, однако эти колебания должны проявляться лишь на участках, расположенных сразу после предельных ординалов" (р. 169). Гупта и Белнап (1993) представляют две теории истины, T* и T#, основанные на понятиях устойчивости и почти устойчивости. Теоремы 3.12 и 3.13, приведенные ниже, иллюстрируют преимущества системы T#, т.е. системы, основанной на понятии почти устойчивости.
Определение 3.11
Допустим, что L — язык истины и что — опорная модель. Мы скажем, что предложение А валидно в опорной модели М ввиду теории Т*, если и только если А устойчиво истинно в каждой ревизионной последовательности. И мы скажем, что предложение А валидно в M ввиду T#, если и только если А почти устойчиво истинно в каждой ревизионной последовательности.
Теорема 3.12
Допустим, что L — язык истины, и что M = <D, I > — опорная модель. Тогда для всякого предложения А языка L в опорной модели М ввиду теории Т# будет валидно следующее:
T‘¬A’ ≡ ¬T‘A’.
Теорема 3.13
Существует язык истины L, опорная модель M = <D, I > и предложение А, принадлежащее языку L, такое что в опорной модели М ввиду теории Т* не будет валидно
T ‘¬A’ ≡ ¬T ‘A’.
Гупта и Белнап (1993, Section 6C) отмечают аналогичные преимущества Т# над Т*. Например, Т#, в отличие от Т*, допускает следующие семантические принципы:
T ‘A & B’ ≡ T ‘A’ & T ‘B’
T ‘A ∨ B’ ≡ T ‘A’ ∨ T ‘B’
Гупта и Белнап не пришли к окончательному решению о том, которая из этих теорий — Т# или Т* (или еще одна заданная ими альтернатива — Tc) — наиболее предпочтительна.
Интерпретация формализма
Главными формальными понятиями РТИ являются понятие правила ревизии (см. Определение 3.2), т.е. правила ревизии гипотез, и понятие ревизионной последовательности (см. Определение 3.7), последовательность гипотез, произведенная в соответствии с предусмотренным правилом ревизии. Используя данные понятия и располагая опорной моделью, мы можем установить, когда предложение является устойчиво или почти устойчиво истинным или ложным в определенной ревизионной последовательности. Таким образом, мы можем определить две теории истины Т* и Т#, основанные на понятии устойчивости и почти устойчивости. Окончательная идея состоит в том, что каждая их этих теорий позволяет решить, какие предложения данного языка, при наличии опорной модели, категорически утвердительны.
Отметим, что мы могли бы использовать понятия РТИ, чтобы провести скрупулезное различение между предложениями: некоторые предложения являются неустойчивыми в каждой ревизионной последовательности, другие — устойчивыми в каждой ревизионной последовательности, хотя при этом они могут быть устойчиво истинными в одних и устойчиво ложными в других ревизионных последовательностях и т.д. Таким образом, мы можем использовать понятия РТИ для скрупулезного анализа статуса различных предложений и отношений между различными предложениями.
Давайте вспомним допущение, которое было выдвинуто в конце Раздела 2.
В семантике языков, способных выражать собственные истинностные понятия, Т в общем случае не будет иметь классической сигнификации; и выражение "если и только если" в Т-бикондиционале не будет прочитываться как классический бикондиционал.
Гупта и Белнап понимают эти допущения следующим образом.
Сигнификация Т
Прежде всего, они допускают, что сигнификацией Т, при наличии опорной модели М, будет ревизия самого правила τM. Как было отмечено в предыдущем абзаце, мы можем провести скрупулезный анализ статуса предложений и их отношений, основываясь на понятиях, непосредственным и естественным образом выведенных из правила ревизии τM. Итак, τM вполне может претендовать на роль сигнификации Т, поскольку τM вполне можно принять за "некоторую абстрактную сущность, которая несет в себе всю информацию обо всех расширенных отношениях [T]" в М (см. определение сигнификации Гупты и Белнапа, приведенное в Разделе 2).
Связка "если и только если" в Т-бикондиционалах
Связанное с предыдущим допущение Гупты и Белнапа касательно связки "если и только если" в Т-бикондиционалах состоит в том, что данную связку следует рассматривать не как классический бикондиционал, а как особый бикондиционал, используемый для определения ранее неопределенного понятия. Гупта и Белнап (1993) представляют ревизионную теорию истины в качестве особого случая ревизионной теории понятий, содержащих круг в определении. Допустим, что L — язык, содержащий одноместный предикат F и двухместный предикат R. Рассмотрим новое понятие, выраженное при помощи предиката G, представленное следующим определением:
Gx =df ∀y(Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃y(Ryx & Gx).
Допустим, что мы начинаем с области дискурса D, интерпретации предиката F и реляционного символа R. Предложенный Гуптой и Белнапом способ рассмотрения понятий, содержащих круг в определении, позволяет нам выносить категорические решения относительно того, удовлетворяют ли некоторые d (d ∈ D) предикату G или же нет. Прочие объекты будут неустойчивы относительно G: мы не сможем категорически утверждать, ни что d удовлетворяет G, ни что d не удовлетворяет G. В случае с истиной Гупта и Белнап приводят множество Т-бикондиционалов вида
T ‘A’ =df A, (10)
чтобы дать определение понятия истины. Именно их интерпретация ("если и только если" во вводном определении понятия), вкупе с Т-бикондиционалами вида (10) и определяют правило ревизии τM.
Парадоксальное умозаключение
Вспомним предложение лжеца (1), приведенное в начале статьи:
(1) не истинно (1)
В Разделе 1 мы утверждали, что РТИ была разработана, скорее, для того, чтобы смоделировать парадоксальные умозаключения относительно (1), а не чтобы их предотвратить. Однако мы отметили в примечании 2, что РТИ избегает противоречий в этих ситуациях. Можно представить это двумя способами. Во-первых, хотя РТИ допускает бикондиционал
(1) истинно, если и только если (1) не истинно,
соответствующая связка "если и только если" не является материальным бикондиционалом, как показано выше. Таким образом, отсюда не следует, что одновременно (1) истинно и (1) не истинно. Во-вторых, если мы будем помнить, что умозаключение в РТИ имеет, скорее, гипотетический, нежели категорический характер, тогда мы не станем делать заключений о каких-либо противоречиях, вытекающих из существования предложений вроде вышеприведенного (1).
Тезис о сигнификации
Допущения Гупты и Белнапа относительно сигнификации Т и интерпретации выражения "если и только если" в Т-бикондиционалах прекрасно согласуется с двумя тесно связанными идеями, изложенными в их совместной работе 1993 г. Первая идея, изложенная довольно расплывчато, состоит в том, что "Т-бикондиционалы являются аналитическими, и они устанавливают значение "истинно" (р. 6). В более точной формулировке эта идея превращается в так называемый тезис о сигнификации (р. 31): "Т-бикондиционалы устанавливают сигнификацию истины в каждом универсуме [где универсум представлен опорной моделью]" [6]. Учитывая способ прочтения определения связки «если и только если», предложенный РТИ, а также опорную модель М, Т-бикондиционалы (10), как было отмечено, действительно устанавливают предложенную сигнификацию Т, т.е. правило ревизии τM.
Супервентность семантики
Вторая идея связана с супервентностью сигнификации истины — своего рода потомком предложенной М. Кремером идеи супервентности семантики (1988). Эта идея довольно проста: предложения, подпадающие под понятие истины, должны устанавливаться (1) посредством интерпретации не-семантического словаря и (2) эмпирических фактов. В случаях, не содержащих порочного круга, эта идея особенно действенна: стандартной интерпретации терминов "снег" и "белый" и эмпирического факта, что снег бел, будет достаточно, чтобы определить, что предложение "снег бел" подпадает под понятие истины. Супервентность сигнификации истины — это тезис, согласно которому сигнификация истины, какой бы она ни была, устанавливается с помощью опорной модели М. Очевидно, что РТИ удовлетворяет данному принципу.
Стоит обратить внимание на то, каким образом теория истины может нарушить данный принцип. Рассмотрим предложение правдолюбца, т.е. предложение, утверждающее, что оно истинно:
(11) истинно (11)
Как было отмечено выше, трехзначная семантика Крипке допускает три истинностных значения: истина (t), ложь (f), ни истина, ни ложь (n). При наличии опорной модели M = <D, I > для языка истины L возможными интерпретациями Т будут трехзначные интерпретации, т.е. функции h : D → { t, f, n }. Учитывая трехзначную интерпретацию Т и схему для оценивания истинностного значения сложных предложений в терминах их составных частей, мы можем определить истинностное значение ValM+h(A) = t, f или n для каждого предложения А, входящего в L. Центральная теорема трехзначной теории гласит, что при наличии любой опорной модели М существует трехзначная интерпретация h о Т, такая что для каждого А мы будем иметь ValM+h(T ‘A’) = ValM+h(A) [7]. Мы будем называть такие интерпретации Т допустимыми интерпретациями. Наша идея здесь состоит в следующем: если существует такое "предложение правдолюбца", как в (11), тогда существует более, чем одна допустимая интерпретация Т; существуют три такие интерпретации: согласно первой, (11) истинно, согласно второй, (11) ложно, согласно третьей, (11) ни истинно, ни ложно. Таким образом, не существует одной единственной «правильной» интерпретации Т при наличии опорной модели М. Итак, выходит, что трехзначная семантика нарушает принцип супервентности семантики [8].
РТИ не приписывает истинностное значение предложению правдолюбца (11). Скорее, она предлагает анализ такого рода рассуждения, которое может быть произведено в отношении предложения правдолюбца: Если мы начнем с гипотезы h, согласно которой (11) истинно, тогда по проведении ревизии (11) останется истинным. Но если мы начнем с гипотезы, согласно которой (11) не является истинным, тогда по проведении ревизии (11) будет оставаться не истинным. И это всё, с чем оставляет нам это понятие истины. Учитывая такое поведение (11), РТИ говорит нам, что (11) не является ни категорически истинным, ни категорически ложным, однако этот вывод сильно отличается от вывода, что (11) ни истинно, ни ложно.
Не-супервентная интерпретация формализма
Стоит упомянуть об альтернативной интерпретации формализма РТИ. Якуб (1993) соглашается с Гуптой и Белнапом в том, что Т-бикондиционалы являются, скорее, описательными, нежели материальными бикондиционалами, и в том, что понятие истины, тем самым, содержит круг в определении. Однако Якуб предлагает особую трактовку этой особенности понятия истины. Он утверждает, что «раз условия истинности некоторых предложений предполагают некоторое существенное, нередуцируемое отношение к истине, эти условия могут выполняться или не выполняться в универсуме, который уже заключает в себе расширение предиката истинности. Таким образом, для того чтобы процесс ревизии мог определить расширение предиката истинности, должно быть установлено некоторое исходное расширение этого предиката. Это следует из наличия круга в определении и двузначности» (Yaqūb 1993: 40).
Вслед за Гуптой и Белнапом, Якуб отказывается утверждать какое-либо привилегированное расширение для Т. И подобно Гупта и Белнап он считает, что ревизионные последовательности расширений Т (при том, что каждая последовательность возникает из исходного гипотетического расширения) «способна примирить (и диагностировать) различного рода проблематические и непроблематические предложения рассматриваемого языка» (Yaqūb 1993: 41). Однако, в отличие от Гупты и Белнапа, из этих соображений он делает вывод, что «истина в двузначном языке не является супервентной» (1993: 39). Он приводит объяснение в сноске: чтобы истина была супервентна, истинное значение каждого предложения должно «полностью определяться не-семантическими фактами». Якуб и не использует понятие сигнификации открыто. Похоже, что Якуб придерживается идеи, что сигнификация Т — т.е. то, что определяет истинностный статус всякого предложения — задается некоторой ревизионной последовательностью. И никакая ревизионная последовательность не определяется не-семантическими фактами, т.е. одной лишь опорной моделью: ревизионная последовательность определяется, в лучшем случае, опорной моделью и исходной гипотезой [9].
Прочие проблемы
Трехзначная семантика
В рамках представленного выше обсуждения проблемы супервентности сигнификации истины мы лишь слегка затронули трехзначную семантику. Опираясь на язык истины L и опорную модель М, мы определили допустимую интерпретацию Т как интерпретацию h: D → { t, f, n }, такая что ValM+h(T‘A’) = ValM+h(A) для каждого предложения А языка L. В общем, при наличии опорной модели М, существует множество допустимых интерпретаций Т. Допустим, что каждая из них действительно является допустимой интерпретацией. В таком случае трехзначная семантика будет нарушать принцип супервентности сигнификации Т.
С другой стороны, допустим, что для каждой опорной модели М мы можем выделить привилегированную допустимую интерпретацию Т. Гупта и Белнап выдвинули ряд соображений против трехзначной семантики, понятой таким образом (см. Gupta & Belnap 1993, Chapter 3). Один из главных аргументов состоит в том, центральная теорема — для всякой опорной модели существует единственная допустимая интерпретация — выполняется лишь тогда, когда рассматриваемый язык каким-то образом значительно обеднен в своей выразительности: например, трехзначная теория неприменима, если в языке наличествует связка ~, так что можно построить следующую таблицу истинности:
Единственный знак отрицания, допустимый в рамках трехзначной теории, будет образовывать следующую таблицу истинности:
Тем не менее рассмотрим предложение лжеца, которое говорит о себе самом, что оно "не" истинно в таком значении "не". Гупта и Белнап настойчиво утверждают, что данное предложение «перестает быть парадоксальным для нашей интуиции» (Gupta and Belnap 1993: 100). Преимущество РТИ, на котором они настаивают, состоит в том, что она позволяет описать поведение действительно парадоксальных предложений: при семантическом анализе действительного предложения лжеца последнее оказывается неустойчивым: «Какую бы гипотезу о значении этого предложения мы не выдвинули бы, семантический анализ будет её отбрасывать». Трехзначная семантика применима лишь к «слабой версии» предложения лжеца, т.е. к предложению, которое лишь слабо отрицает самое себя и которое необязательно должно быть парадоксальным: «Есть предложения, которые выглядят как предложения лжеца, но их внешность обманчива».
Таким образом, рассмотрев два аргумента Гупты и Белнапа против трехзначной теории, перейдем к третьему: в трехзначных теориях истина, как правило, ведет себя как неклассическое понятие, даже тогда, когда в языке нет замкнутой референции. Не вдаваясь в определение терминов, отметим, что одна достаточно распространенная версия трехзначной теории предлагает считать правильной интерпретацией Т ту, которая задается «наименее жестким пунктом» так называемой сильной схемы Клина: оставив детали в стороне, скажем, что такая интерпретация всегда приписывает предложению ∀x(Tx ∨ ¬Tx) истинностное значение n, даже когда опорная модель не допускает никакой замкнутой референции (не говоря уже о порочном круге). Гупта и Белнап указывают данное преимущество РТИ: согласно этому подходу, говорят они, при отсутствии замкнутой референции истина всегда будет вести себя как классическое понятие.
Кремер (2010) оспаривает это утверждение, конкретизируя его в качестве некоторого формального утверждения, против которого можно пустить в ход отдельные ревизионные теории (например, T* или T#, см. Определение 3.11, приведенное выше) и отдельные трехзначные теории. Оказывается, в рамках многих трехзначных теорий при отсутствии замкнутой референции истина действительно ведет себя как классическое понятие: например, наименее фиксированная точка естественной версии супероценочной схемы (supervaluation scheme) всегда предписывает T классическую интерпретацию при отсутствии замкнутой референции. Конечно же, истина ведет себя как классическое понятие, когда в рамках теории Т* Гупты и Белнапа отсутствует замкнутая референция, однако, как утверждает Кремер, это не будет верно для теории T# (см. более подробное рассмотрение данной дискуссии в Wintein 2014).
Два значения?
В рамках данной статьи выдвигается предположение о противопоставлении так называемых двузначных теорий (таких как РТИ) и так называемых трехзначных теорий и прочих конкурирующих многозначных теорий. Можно подумать, что РТИ сама предлагает бесконечное множество семантических значений: скажем, по одному значению для каждой возможной ревизионной последовательности. Или мы могли бы извлекать по три семантических значения для предложения: категорическая истинность, категорическая ложность и некатегоричность.
В ответ на это необходимо, чтобы РТИ производила множество возможных статусов предложений. Аналогичным образом, трехзначные теории также, как правило, производят множество возможных статусов для предложений. Требование о двух возможных значениях не является требованием о возможных статусах предложений, скорее, это требование относится к истинностным значениям, предполагаемым во всей задаче в целом.
Поправки к РТИ
Укажем три возможных поправки к РТИ. Во-первых, мы могли бы ограничить круг допустимых гипотез. Нариме, Гупта и Белнап (Gupta & Belnap 1993) вводят теорию истины, Tc, основанную на непротиворечивых гипотезах: гипотеза h является непротиворечивой, если и только если множество {A : h(A) = t} является полным и непротиворечивым множеством предложений. Гупта и Белнап приводят сравнение достоинств T*, T# и Tc в своей книге (1993, Chapter 6).
Во-вторых, мы можем принять более строгую ограничительную политику, чем предлагают Гупта и Белнап. Вспомним вопрос, поставленный в Разделе 3: как следует определять Sη(d), если η — предельный ординал? Мы дали частичный ответ на этот вопрос: всякий объект, устойчиво истинный (или устойчиво ложный) вплоть до данного этапа, должен быть истинным (или, соответственно, ложным) на данном этапе. Мы также отметили, что если речь идет об объекте d ∈ D, значение которого не стало устойчивым к этапу η, Гупта и Белнап (1993) позволяют нам определять Sη(d) и как t, и как f. В аналогичном контексте Херцбергер (1982а, 1982b) приписывает неустойчивому объекту значение f. Изначально Гупта (1982) предлагал приписывать неустойчивым элементам то значение, которое они получали в исходной гипотезе S0
По сути, эти две возможные поправки к РТИ ограничивают понятие ревизионной последовательности, накладывая условия на то, какие из наших ревизионных последовательностей следует действительно считать допустимыми ревизионными последовательностями. Эти ограничительные условия в некотором смысле локальны: первое условие мы получаем, накладывая ограничения на перечень используемых гипотез; второе условие возникает из накладывания ограничения на то, что может происходить при предельных ординалах. Третья возможность будет заключаться в том, чтобы наложить более глобальное ограничение на то, какие вероятные ревизионные последовательности следует считать допустимыми. Якуб (1993) предлагает ввести правило ограничения, и тем самым допустимые решения относительно неустойчивых предложений на некотором этапе η будут зависеть от решений, принятых на прочих предельных этапах. Якуб утверждает, что эти ограничения позволяют нам избежать определенных «артефактов». Например, допустим, что в опорной модели M = <D, I > есть два независимых друг от друга предложения лжеца с различными именами α и β, где I(α) = ¬Tα и I(β) = ¬Tβ. Якуб утверждает, что это всего лишь «артефакт» ревизионной семантики, и мы наивно полагаем, что существуют ревизионные последствия, в которых предложение ¬Tα ≡ ¬Tβ будет устойчиво истинным, коль скоро два данные предложения лжеца независимы друг от друга. Он вводит свои глобальные ограничения, чтобы исключить подобные последовательности (см. более подробное изложение в Chapuis 1996).
Ревизионная теория для понятий, содержащих круг в определении
Как было указано в нашем анализе связки «если и только если» в Разделе 4, Гупта и Белнап представляют РТИ как особый случай ревизионной теории, рассматривающей понятия, содержащие круг в определении. Обратимся еще раз к примеру из Раздела 4. Допустим, что L — язык, содержащий одноместный предикат F и двухместный предикат R. Рассмотрим новое понятие, выраженное предикатом G, введенным через определение D следующим образом:
Gx = df A(x,G),
где A(x,G) — формула,
∀y(Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃y(Ryx & Gx).
В данном контексте опорной моделью будет классическая модель M = <D, I > языка L: мы начнем с области дискурса D и интерпретации предиката F, а также реляционного символа R. Мы хотели бы расширить М до интерпретации языка L + G. Итак, в данном контексте мы представим нашу гипотезу в качестве гипотетического расширения для только что введенного понятия G. Формальным выражением нашей гипотезы будет функция h : D → {t, f}. Основываясь на гипотезе h, мы примем M+h за классическую модель M+h = <D, I′ >, где I′ интерпретирует F и R так же, как и I, и где I′(G) = h. Основываясь на гипотетической интерпретации h, прилагаемой к G, мы произведем следующую новую интерпретацию G: объект является новым содержанием G в том случае, если определяющая формула A(x,G) является истинной для d в модели M+h, С формальной точки зрения мы используем опорную модель М и определение D для определения правила ревизии, δD,M, сопоставляя гипотезы между собой, т.е. гипотетические интерпретации G. В частности для всякой формулы В с одной свободной переменной х и d ∈ D мы можем стандартным способом определить истинностное значение ValM+h,d(B). Тогда
δD,M(h)(d) = ValM+h,d(A)
Основываясь на правиле ревизии δD,M, мы можем обобщить понятие ревизионной последовательности, которое теперь является последовательностью гипотетических содержаний G, а не Т. Мы можем обобщить понятие устойчиво истинного и почти устойчиво истинного предложения В и т.д., связанного с ревизионной последовательностью. Гупта и Белнап вводят системы S* b S#, аналогичные T* и T#, следующим образом [10] :
Определение 5.1
● Прелдложение В валидно согласно определению D в рамках опорной модели М в системе S* (обозначается как M ⊨*,D B)), если и только если В устойчиво истинно относительно каждой ревизионной последовательности для правила ревизии δD,M.
● Предложение В валидно согласно определению D в рамках опорной модели М в системе S# (обозначается как M ⊨#,D B), если и только если В почти устойчиво истинно относительно каждой ревизионной последовательности для правила ревизии M ⊨#,D B.
● Прелдложение В валидно согласно определению D в рамках опорной модели М в системе S* (обозначается как ⊨*,D B), если и только если для каждой классической опорной модели М мы получаем M ⊨*,D B.
● Прелдложение В валидно согласно определению D в рамках опорной модели М в системе S # (обозначается как ⊨#,D B), если и только если для всех классических опорных моделей М мы получаем M ⊨#,D B.
Один из наиболее важных вопросов, которые остаются неразрешенными для Гупты и Белнапа, это вопрос о том, существует ли завершенное исчисление для этих систем: т.е. возможна ли для каждого определения D рекурсивная аксиоматизация какого-либо из следующих множеств предложений: {B : ⊨*,D B} and {B : ⊨#,D B}. Кремер (Kremer 1993) доказывает, что это невозможно: он показывает, что существует определение D, такое что сложность каждого из этих множеств предложений будет составлять по крайней мере П12, тем самым определяя меньший предел сложности для S* и S# (Антонелли 1994а и 2002 показывает, что это также будет наивысшим пределом).
Доказательство Кремера опирается на тесную связь между содержащими круг определениями, истолковываемыми согласно ревизионной теории, и содержащими круг определениями, понимаемыми как индуктивные определения: теория индуктивных определений какое-то время достаточно хорошо прорабатывалась. В частности, Кремер доказывает, что всякое индуктивно определенное понятие можно определить в рамках ревизионной теории. Выразительной мощности и прочим аспектам ревизионного истолкования определений, содержащих круг, были посвящены многие интересные работы (см. предмет Welch 2001, Löwe 2001, Löwe, Welch 2001, Kühnberger et al. 2005).
Аксиоматические теории истины и ревизионная теория
РТИ представляет собой очень ясный пример семантически ориентированной теории истины. Совершенно иной подход основывается на поиске удовлетворительной аксиоматической теории истины. Учитывая, что мы не можем сохранить всю классическую логику и все наши интуитивно усматриваемые принципы относительно идеи истины, особенно если мы допускаем замкнутую референцию. Но, возможно, мы сумеем найти удовлетворительные аксиоматические системы для истины, которые будут включать, например, принцип непротиворечия и другие черты классической логики, но будут, тем не менее, исключать некоторые черты в том, что касается интуитивно усматриваемых принципов, связанных с истиной, таких как Т-бикондиционалы (в их классическом понимании); или же они будут включать принцип непротиворечия и все Т-бикондиционалы, но исключать лишь некоторые пункты классической логики. Хальбах (Halbach 2011) подробно изучает такие аксиоматические теории (в основном те, которые остаются верны классической логике), Хорстен (Horsten 2011) относится к той же традиции. Как в Главе 14 в работе Хальбаха (2011), так и в Главе 8 в тексте Хорстена (2011) представлен анализ отношения между теорией Фридмана-Шерда и ревизионной семантикой, а также приводятся некоторые интересные результаты этого анализа (дополнительные материалы, посвященные проблеме аксиоматических систем и РТИ, см. Hosten и др. 2012).
Филд (Field 2008) привносит небезынтересный вклад в разработку аксиоматических теорий истины, хотя, в основном, содержащаяся в книге позитивная работа состоит в построении моделей и, следовательно, семантики. В частности, Филда интересует построение теории, которая была бы как можно более близка к классической логике и которая в то же время сохраняла бы все Т-бикондиционалы (кондиционалы сами по себе будут неклассическими), а также могла бы некоторым образом выражать утверждение, что такие-то и такие-то предложения дефективны. Фильд использует инструментарий многозначной логики, фиксированной семантики, а также ревизионной теории, чтобы построить модели, показывающие, что привлекательная аксиоматическая система должна быть непротиворечива. Построение Филда представляет собой сложное переплетение конструкций с фиксированной точкой, используемых для успешной интерпретации Т, и ревизионных последовательностей, используемых для успешной интерпретации неклассического кондиционала — где эта последняя интерпретация определяется своего рода сверх-ревизионно-теоретическим процессом.
Применения
Учитывая предложенное Гуптой и Белнапом общее ревизионно-теоретическое истолкование содержащих круг определений — частным примером которого является их истолкование истины — можно было бы предположить, что идеи РТИ могут быть применимы и к другим понятиям. Антонелли (Antonelli 1994b) применяет эти идеи к нефундированным множествам: нефундированное множество Х можно представить как замкнутое, коль скоро для некоторого X0, …, Xn мы будем иметь X ∈ X0 ∈ … ∈ Xn ∈ X. Чапиус (Chapuis 2003) применяет идеи ревизионной теории к проблеме рационального принятия решений. (см. также обсуждение ревизионной теории и абстрактных объектов в Wang 2011; проблема ревизионной теории и неопределенности рассматривается в Asmus 2013).
В последние десятилетия можно наблюдать возрастающий интерес к проблеме преодоления разрыва между классическими спорами о природе истины (дефляционизм, корреспондентная теория, минимализм, прагматизм и т.д.) и формальными работами об истине, связанными с парадоксом лжеца. Благодаря Белнапу (Belnap 2006) РТИ связана с про-сентенциализмом, благодаря Якубу (Yaqūb 2008) — с дефляцонизмом, благодаря Ресталлу (by Restall 2005) — с минимализмом.
Следует также упомянуть работу Gupta 2006. В ней Гупта утверждает, что опыт не дает нам непосредственного предписания, как следует оценить пропозицию, но, скорее, дает гипотетическое предписание: как изложено в работе Беркера (Berker 2011), если субъект S располагает опытом е, и ему предписана точка зрения v (где точка зрения S представляет собой совокупность его идей, представлений и убеждений), тогда S предписывается убеждение в определенном классе перцептивных суждений — Γ(v). (Беркер использует формулировку «пропозиции» вместо «перцептивных суждений»). Однако отсюда возникает проблема: каким образом S получает предписание придерживаться некоторой точки зрения? Похоже, что здесь имеет место замкнутая взаимозависимость между предписаниями к точке зрения и предписаниями к перцептивным суждениям. Здесь Гупта апеллирует к общей форме ревизионной теории (обобщая ее за пределы теории истины и ревизионной теории понятий, содержащих круг в определении (см. Раздел 5.4)), для того чтобы показать, как «из гипотетических перцептивных предписаний могут возникать категорические предписания» (см. Berker 2011).
Открытый вопрос
Мы остановились на открытом вопросе, связанном с T* и T#. Как мы помним, приведенное выше Определение 3.11 определяет, когда предложение А, принадлежащее языку истины L, имеет значение в рамках опорной модели М при T* или T#. Мы будем говорить, что А имеет значение при T* [или при T#], если и только если А имеет значение в рамках опорной модели М при Т* [или при T#] для каждой опорной модели М. Вопрос, которой остается открытым, состоит в следующем: вакова сложность множества предложений, валидных благодаря T* [T#]?
Примечания
- 1. Крипке предпочитает рассматривать ни истинность, ни ложность (neither) не как третье истинностное значение, а как отсутствие истинностного значения.
- 2. РТИ разработана также для того, чтобы избежать противоречий в подобных ситуациях, так что последний шаг, при котором (1) было бы одновременно и истинным, и ложным, будет предотвращен. См. ниже Раздел 4.
- 3. Для доказательства этого пункта, конечно же, потребовалось бы детальное объяснение различных способов осуществления трехзначной теории.
- 4. Для n-местного предиката R стандартное представление классической модельной теории требуется I(R) — подмножество Dn. Условие (2с), очевидно, равнозначно этому требованию, однако несколько проще было бы обобщить до трехзначной логики.
- 5. То, что РТИ всегда утверждает, что не-предложения являются не-истинными, не составляет ее существенной черты. Мы могли бы допустить правило ревизии лишь для определения значения предложений, допуская, что не-предложения могут оказаться вне расширения Т — волей-неволей. Единственное затруднение, которое может здесь возникнуть, состоит в том, что правило не будет определять новую гипотезу в зависимости от первой, так как оно не будет определять решений, предпринимаемых новой гипотезой относительно не-предложений.
- 6. Определение сигнификации предиката или понятия см. Раздел 2.
- 7. Данная теорема выполняется, если наша схема оценивания истинности составных сложных предложений обладает неким замечательным свойством монотонности, которое мы не станем здесь определять.
- 8. Существуют общепринятые интерпретации трехзначной семантики, согласно которым одну из многих «допустимых» интерпретаций Т можно выбрать в качестве единственной правильной интерпретации. Таким образом можно восстановить супервентность семантики в крипкеанском контексте. М. Кремер (1988) утверждает, что эти интерпретации противоречат теории фиксированной точки, согласно которой понятие истины исчерпывается следующим: можно утверждать, что данное предложение истинно, если и только если это предложение можно утверждать, и истину этого предложения можно отрицать, если это предложение можно отрицать. В переписке с автором, Крипке согласился с истолкованием Кремера о трехзначной семантике.
- 9. И не только это: мы должны вынести определенные решения на этапах предельных ординалов.
- 10. Данные нами определения не совсем точно повторяют их определения, тем не менее, они им равнозначны.
Библиография
● Antonelli, G.A., 1994a, “The complexity of revision”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
● –––, 1994b, “Non-well-founded sets via revision rules”, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
● –––, 2002, “The complexity of revision, revised”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
● Asmus C.M., 2013, “Vagueness and revision sequences”, Synthese, 190: 953–974.
● Belnap, N., 1982, “Gupta's rule of revision theory of truth”, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
● –––, 2006, “Prosentence, Revision, Truth, and Paradox”, Philosophy and Phenomenological Research, 73: 705–712.
● Berker S., 2011, “Gupta’s gambit”, Philosophical Studies, 152: 17–39.
● Chapuis, A., 1996, “Alternate revision theories of truth”, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
● –––, 2003, “An application of circular definitions: rational decision”, in Löwe, Malzkorn, and Räsch (eds.), Foundations of the Formal Sciences II: Applications of Mathematical Logic in Philosophy and Linguistics, Dordrecht: Kluwer, 47–54.
● Field H., 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press.
● Gupta, A., 1982, “Truth and paradox”, Journal of Philosophical Logic, 11: 1–60.
● –––, 2006, Empiricism and Experience, Oxford: Oxford University Press.
● Gupta, A., and Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
● Halbach, V., 2011, Axiomatic Theories of Truth, Cambridge: Cambridge University Press.
● Hammer, E., 2003, “The Revision Theory of Truth”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2003 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/spr2003/entries/truth-revision/>.
● Herzberger, H.G., 1982, “Notes on naive semantics”, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
● –––, 1982, “Naive semantics and the liar paradox”, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
● Horsten, L., 2011, The Tarskian Turn: Deflationism and Axiomatic Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
● Horsten, L., Leigh, G.E., Leitgeb, H., and Welch, P., 2012, “Revision Revisited”, The Review of Symbolic Logic, 5: 642–665.
● Kremer, M., 1988, “Kripke and the logic of truth”, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
● Kremer, P., 1993, “The Gupta-Belnap systems S# and S* are not axiomatisable”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
● –––, 2010, “How Truth Behaves When There’s No Vicious Reference”, Journal of Philosophical Logic, 39: 345–367.
● Kripke, S., 1975, “Outline of a theory of truth”, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
● Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., and Welch, P., 2005, “Comparing inductive and circular definitions: parameters, complexity and games”, Studia Logica, 81: 79–98.
● Löwe, B., 2001 “Revision sequences and computers with an infinite amount of time”, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
● Löwe, B., and Welch, P., 2001, “Set-theoretic absoluteness and the revision theory of truth”, Studia Logica, 68(1): 21–41.
● Martin, R., and Woodruff, P., 1975, “On representing ‘True-in-L’ in L”, Philosophia, 5: 217–221.
● Restall, G., 2005, “Minimalists about Truth Can (and Should) Be Epistemicists, and it Helps if They Are Revision Theorists too”, in Deflation and Paradox, JC Beall and B. Armour-Garb (eds.), Oxford: Oxford University Press, 97–106.
● Wang, W., 2011, “Theories of abstract objects without ad hoc restriction”, Erkenntnis 74: 1–15.
● Welch, P., 2001, “On Gupta-Belnap revision theories of truth, Kripkean fixed points, and the Next stable set”, Bulletin for Symbolic Logic, 7: 345–360.
● Wintein, S., 2014, “Alternative Ways for Truth to Behave When There's no Vicious Reference”, Journal of Philosophical Logic 43: 665–690.
● Yaqūb, A., 1993, The Liar Speaks the Truth : A Defense of the Revision Theory of Truth, Oxford: Oxford University Press.
● –––, 2008, “Two types of deflationist”, Synthese, 165: 77–106.
8839
.jpg)
.jpg)
