ENвходрегистрация
философытеорииконцепциидиспутыновое времяматематикафизика
Поделиться статьей в социальных сетях:

Апории Зенона

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 30 Апреля 2002; содержательно переработано 11 июня 2018

Почти все, что известно о Зеноне Элейском, почерпнуто из первых страниц диалога Платона Парменид. Оттуда мы узнаем, что Зенону было около сорока лет, когда Сократ был еще молодым, примерно двадцатилетним человеком. Так как Сократ родился в  469 году до н.э., мы можем отнести рождение Зенона где-то к 490 до н.э. Помимо этого на деле мы знаем лишь то, что он был близок к Пармениду (Платон пересказывает слух, согласно которому в молодости Зенона они были любовниками), и что он написал книгу апорий, защищающих философию Парменида. К сожалению, эта книга до нас не дошла, и с ее аргументами мы знакомы лишь из вторых рук — в основном благодаря Аристотелю и его комментаторам (здесь нам в особенности важен Симпликий, который, хотя и писал через тысячу лет после Зенона, похоже, имел в распоряжении по крайней мере часть его книги). По всей видимости, существовало 40 «апорий множественности», призванных показать, что онтологический плюрализм — вера в существование многих вещей, а не одной — ведет к абсурдным следствиям. Лишь относительно двух из этих апорий мы можем с точностью утверждать, что они до нас дошли, хотя Зенону может быть приписана и еще одна. Аристотель говорит о еще четырех аргументах против движения (и, следовательно, против изменений в целом), все из которых он приводит и старается опровергнуть. К тому же, Аристотель приписывает Зенону еще две других апории. К сожалению, почти все апории цитируются комментаторами не дословно, а в пересказе.

Контекст

Прежде чем обратиться к самим апориям, было бы полезно обсудить их историческое и логическое значение.

Во-первых, Зенон стремился защитить Парменида, атакуя его критиков.

Парменид отрицал плюрализм и реальность каких-либо изменений: для него все было одной неизменной реальностью и любые свидетельства противоположного были иллюзиями, которые нужно развеять с помощью разума и откровения.

У этой философии, что неудивительно, нашлось много критиков, которые насмехались над предположением Парменида. В конце концов, оно противоречит нашим основным убеждениям о мире.

(Интересно, что общая теория относительности — особенно квантовой, — возможно, предоставляет новый — при условии, что новизна вообще возможна — аргумент в пользу парменидовского отрицания изменений: Belot and Earman, 2001.) В ответ на критику Зенон сделал то, что может показаться очевидным, но тем не менее оказало глубокое влияние на греческую философию, которое ощущается и сегодня: он постарался показать, что не менее абсурдные вещи логически следуют и из отрицания взглядов Парменида. Думаете, что существует множество вещей? Тогда вы должны также считать, что всё является бесконечно малым и большим одновременно! Думаете, что движение можно делить бесконечно? Отсюда следует, что в движении находится все! (В этом и состоит суть апории: в демонстрации того, что противоречия или абсурдные следствия вытекают из разумных на первый взгляд предположений).

Знакомясь с его аргументами, важно помнить об этом методе. Они всегда направлены на более-менее конкретную мишень: взгляды какого-то человека или какой-то школы. Нужно понимать, что эти аргументы являются аргументами ad hominem в латинском смысле, то есть в смысле направленности на «взгляды людей», но не ad hominem в обычном техническом смысле слова, подразумевающем атаку на людей, высказывающих взгляды, а не на сами взгляды. В них в полемических целях принимается, что утверждения оппонентов верны, а затем показывается, что из них вытекают абсурдные следствия – например, что ничто не движения. Это аргументы от «reductio ad absurdum» [сведения к абсурду], или диалектические аргументы (в тогдашнем значении слова). Если аргумент логически верен, а выводы признаются неверными, то неверными должны быть в конечном счете и посылки. Таким образом, рассматривая аргументы Зенона, мы должны задавать два связанных друг с другом вопроса: кого или чью позицию Зенон атакует и какие именно посылки он для этого принимает? Если мы видим, что Зенон принимает некие скрытые посылки, не подразумеваемые обсуждаемой позицией, то абсурдных следствий можно избежать, отрицая эти скрытые посылки, но продолжая принимать позицию в целом. Именно так комментаторы отвечали Зенону, начиная как минимум с Аристотеля.

Так чьи же взгляды Зенон критикует? Существует большое количество литературы,  где обсуждается, кто исторически был объектом его критики. Как мы увидим далее, некоторые говорят, что объектом была конкретная доктрина пифагорейцев, но большинство считает, что он опровергал обыденные понятия множественности и движения. Именно в таком духе мы подойдем к этим апориям, дав читателю указания на литературу о споре об интерпретациях.

При всем этом большинство сходится в том, что, пускай и с многочисленными оговорками, апории Зенона не могут быть разрешены без применения математического аппарата в том виде, в котором он был разработан в девятнадцатом веке (а, возможно, и более позднего). Это не обязательно означает, что современная математика необходима для ответа на те вопросы, которые напрямую хотел поставить Зенон. Можно сказать, что у Аристотеля и других античных мыслителей были ответы, которые удовлетворили бы — или должны бы были удовлетворить — Зенона. (Никаких конкретных заявлений о влиянии Зенона на историю математики мы делать не будем.)

Тем не менее с развитием математики внимание к апориям возобновилось, и появились новые трудности, для ответа на которые нужна была современная математика. Отчасти эти новые трудности возникли в результате эволюции нашего представления о том, насколько строгой должна быть математика: решения, которые удовлетворили бы Зенона, не удовлетворили бы нас. Так что некоторые из апорий мы сформулируем заново, — отходя от общепринятых трактовок, — так, чтобы их можно было решить с помощью современной математики. (Еще одно уточнение: мы предложим ответ на апории в терминах «стандартной» математики, но разрешить апории Зенона могут также и другие современные подходы, причем, вероятно, им удалось бы в большей степени отобразить его математические представления.)

Апория множественности

Аргумент от плотности

Если существует много вещей, то их должно быть столько, сколько есть, ни больше, ни меньше. Но если их столько, сколько есть, то их количество ограничено. Если же их много, то те, что есть – бесконечны. Ведь между существующими вещами всегда есть другие вещи, и между этими еще вещи, так что вещи бесконечны. (Симпликий (а) Комментарии к «Физике» Аристотеля, 140.29)

В первом аргументе Зенона, пересказанном Симпликием, предпринята попытка показать, что убежденность в существовании более, чем одной вещи, ведет к противоречию.

С одной стороны, он говорит, что каждый набор вещей должен содержать определенное количество вещей или, его словами, «ни меньше, ни больше». Но если у вас есть определенное количество вещей, то, делает вывод Зенон, оно должно быть конечно, «ограничено».

C другой стороны, представьте любой набор «множества» вещей — для точности представьте их выстроенными в одну линию на плоскости. Между любыми двумя, утверждает он, есть третья, а между этими тремя вещами — еще две; и еще четыре между этими пятью, и так далее без конца. То есть этот набор тоже бесконечен. Таким образом, наше изначальное предположение о множественности ведет к противоречию, а следовательно, ложно — значит, множества не существует. Во всяком случае, такова аргументация Зенона.

Давайте рассмотрим две составных части аргумента в обратном порядке.  Во-первых, верно ли то, что «между вещами всегда есть другие вещи»? (Если воспользоваться современной терминологией, должны ли вещи всегда быть «плотно» упорядочены?) Представим набор из десяти яблок, выставленных в линию.  Между шестым и восьмым яблоком действительно есть еще одно, но между седьмым и восьмым его нет! Что же имеет в виду Зенон, если предположить, что он не ошибается? В тексте об этом не говорится, но тут есть две возможности: во-первых, можно утверждать, что любые два объекта отличаются друг от друга, а не являются одним, когда между ними есть еще один, разделяющий их физически. И можно подумать, что для того, чтобы эти три объекта были отдельны, между ними должно быть еще два и так далее (такой взгляд предполагает, что то, что они состоят из разных веществ, еще не делает их отдельными). Так что, возможно, Зенон критикует множественность, исходя из определенной концепции физической раздельности. Но, во-вторых, можно считать, что у любого тела есть части, которые могут быть плотно упорядочены. Конечно, ½, ¼, 1/8 яблока и так далее не упорядочены плотно они скорее прилегают друг к другу, но могут быть достаточно маленькие части — назовем их «части-точки», — которые уже плотно упорядочены. В самом деле, если между двумя частями-точками лежит конечная дистанция, и если они могут быть сколь угодно близки, то они плотно упорядочены. Третья лежит между любыми двумя. В частности, таковы точки в геометрии. Так что, возможно, Зенон предлагает аргумент в пользу делимости тел. Как бы то ни было, предположение Зенона о плотности требует дальнейших предположений о множественности и, соотвественно, метит в его апории.

Но предположим, что некто считает определенное множество плотным, а значит, неограниченным или бесконечным. В первой части своей критики Зенон стремится показать, что раз множество содержит определенное количество элементов, оно также «ограниченно» или конечно. Можно ли избежать этого противоречия? Предположение о том, что любое определенное число конечно, кажется интуитивно верным, но сегодня мы знаем, благодаря работам Кантора девятнадцатого века, каким образом следует интерпретировать бесконечные числа так, чтобы они имели не меньшую определенность, чем числа конечные. Главная составляющая теории «трансфинитных чисел» Кантора — это точное определение того, когда два бесконечных множества имеют один размер, а когда одно больше другого.  С таким определением можно упорядочить бесконечные числа точно так же, как и конечные: к примеру, существуют различные определенные бесконечные числа отрезков и геометрических точек на прямой, хотя и те, и другие плотно упорядочены. (Вводную литературу об этих математических идеях и их истории см. в разделе «Дальнейшее чтение».) Так что, вопреки Зенону, можно осмысленно сравнивать бесконечные множества по количеству их элементов. Можно, например, выяснить, что в одном из них целых больше, чем десятичных, а четных столько же, сколько десятичных. Так что с математической точки зрения Зенон неубедителен, когда говорит, что раз множество имеет определенное количество чисел, то оно конечно, а значит, первая составная часть аргумента ошибочна. (Хотя, конечно, это показывает лишь то, бесконечные множества математически обоснованы, а не то, что они существуют физически.)

Аргумент от конечного размера

Ибо если прибавится к другому сущему, — говорит он, — то не сделает его ничуть больше: в самом деле, если величины у него нет никакой, но оно прибавилось [к сущему], [сущее] не может получить прирост по величине ни насколько. Уже отсюда следует, что прибавляемое ничто. Если же при убавлении [чего-то] другое [сущее] не станет ничуть меньше, равно как и не возрастет при прибавлении [того же], то ясно, что как прибавленное, так и убавленное было ничем. (Симпликий. Комментарии к Физике Аристотеля, 139.9 (цит. по Лебедев А.В (сост.) Фрагменты ранних греческих философов. М.: Наука. 1989).

Но если есть [многие?], то необходимо, чтобы каждое имело величину и толщину и чтобы из двух его частей одна была внеположна другой. Этот же довод относится и к той из двух частей, которая предшествует другой. Ведь и она будет иметь величину и что-то в ней будет предшествовать [остальному]. Все равно, сказать ли это один раз или повторять до бесконечности. Ибо ни одна из этих частей не будет ни последней, ни такой, у которой не было бы {описанного} отношения между частями. Таким образом, если сущие множественны, то необходимо, чтобы они были и малыми, и большими: настолько малыми, чтобы не иметь величины, настолько большими, чтобы быть беспредельными.

(Симпликий. Комментарии к Физике Аристотеля, 141,2 (цит. по Канто-Спербер М. (ред.). М.: Грекол-латинский кабинет Ю.А. Шичалина. 2006. С. 51))

И снова у нас есть собственные слова Зенона. Судя по его выводам, у аргумента есть три части, но сохранились только две. В первой — утерянной — части он стремится показать, что если существуют многие вещи, то у них не должно быть вообще никакого размера. Далее Зенон выводит из этого, что они не существуют вообще. Так как добавление (или изъятие) безразмерного объекта не приводит ни к какому изменению вообще, он заключает, что добавленный объект — это в прямом смысле ничто. На этой стадии аргумент представляет собой самодостаточное  опровержение плюрализма, но Зенон идет дальше, чтобы перед теми, кто продолжает настаивать на реальности множественности, поставить еще одну проблему. Третья часть аргумента сформулирована достаточно плохо, но, похоже, в ней имеется в виду нечто следующее: представим, что множественность существует, так что существуют и некоторые протяженные в пространстве объекты (в конце концов, Зенон только что утверждал, что непротяженных объектов не существует). Раз объект протяжен, то у него есть две пространственно разделенные части (одна из которых «предшествует» другой). Части тоже существуют, значит и они протяженны, значит и у них есть две отдельные части и так далее до бесконечности. Следовательно, согласно последнему шагу этого аргумента, если объект протяжен, то он протяжен бесконечно.

Как можно обосновать этот последний шаг? Не похоже, что из того, что у объекта есть две части, следует то, что он бесконечно велик! Не следует это и из других делений, которые Зенон здесь описывает. Четыре, восемь, шестнадцать, сколько угодно частей составляют одно целое. Опят же, Зенон, конечно, об этом знает, а значит, имеет в виду что-то другое. Скорее всего, нечто вроде следующего: он предполагает, что если бы бесконечная последовательность описываемых им делений была бы повторена бесконечное множество раз, то появилось бы определенное множество частей. Заметьте, что ему нужно предположить не то, что кто-то смог бы произвести эти деления — на это не хватит времени, да  и ножей таких острых не найдется, — но лишь то, что объект может быть геометрически разделен на такие части (ровно также он предполагает, что эти части — это не то, что мы по обыкновению назвали бы отдельными физическими объектами, такими как яблоки, клетки, молекулы, электроны и так далее, а части лишь в геометрическом смысле). Значит, если такие части существуют — с чем сторонник сторонник плюрализма мог бы согласиться, — то из второй части аргумента следует, что они протяженны. А бесконечная сумма конечных частей, как, похоже, предполагает Зенон, бесконечна.

Здесь нужно отметить, что Зенон мог представлять результаты этого бесконечного деления двумя способами.

Во-первых, можно считать, что он говорил о разделении объекта на 1/2-ые, потом о разделении одной из них — скажем, второй — на 1/4-ые, потом о разделении одной из 1/4-ых — скажем, снова второй — на 1/8-ые и так далее. В этом случае результатом бесконечного деления становится бесконечная последовательность частей размером с 1/2 общей длины, 1/4 общей длины, 1/8 общей длины  и т.д. Таким образом, общая длина равна 1/2+1/4 + 1/8 + 1/n длины, что, заключает Зенон, является бесконечной дистанцией, так что сторонник плюрализма принимает абсурдное утверждение, что конечные тела «настолько крупны, что не имею пределов»;

В ответ Зенону часто замечают, что он не приводит оснований того, почему сумму следует считать бесконечной, а не конечной.  Он мог считать, что любая бесконечная сумма конечных величин должна быть бесконечной, так как возрастает на каждом этапе. Но этот пример можно рассматривать как демонстрацию того, что некоторые бесконечные суммы все же конечны. Таким образом, вопреки тому, что считал Зенон, это не ведет к абсурдным выводам. Тем не менее не всегда уделяется достаточно внимания тому, что стороннику плюрализма рано засчитывать победу, ведь недостаточно сказать, что сумма может быть конечной, нужно также показать, что она должна быть конечной — без этого неясно, насколько обоснована позиция плюралиста. Рассмотрим в качестве примера следующую ситуацию: многие комментаторы рассуждают так, будто то, что сумма бесконечных частей равна 1, есть нечто самоочевидное, будто в бесконечном сложении нет никаких проблем. Но что насчет следующей суммы: 1 - 1 + 1–1+1–.... Конечно, кажется, что сумма может быть переписана как (1-1)+(1-1) + .... = 0 + 0 + ... = 0. Разумеется, это кажется столь же естественным, как сложение частей. Но такая сумма также может быть переписана как 1 – (1 –1+1 –1+...) = 1 – 0 =1. Интуиции о том, как осуществлять бесконечное сложение, ведут нас к тому, что  1 = 0. Пока не будет предоставлено теории бесконечного сложения, дающей удовлетворительный ответ на любую проблему, нельзя с точностью сказать, что бесконечная сумма Зенона конечна. Такая теория была разработана Огюстом Коши лишь в XIX веке. (В его системе 1/2 + 1/4  + ... = 1, но 1 –1 + 1 – .... не имеет определенного ответа.)

Во-вторых, Зенон может иметь в виду, что объект разделен на две половины, а потом каждая из них разделена еще на две половины, а потом эти четверти разделены еще на две половины и так далее. В таком случае на каждом этапе части имеют один и тот же конечный размер, а значит, можно сказать, что результатом этой бесконечной процедуры будут части одного размера, который, согласно Зенону, больше ноля. А вот бесконечность ра́вно протяженных частей будет действительно бесконечно большой.

Но на это можно найти возражения. Во-первых, предположим, что описанная процедура полностью делит объект на непересекающиеся части. (C этим предположением есть проблемы, как мы увидем ниже). Она подразумевает удвоение количества частей после каждого деления, так что после N делений остается 2n частей. Но получается, что для любого натурального или бесконечного числа N верно, что 2N>N, а значит, количество частей, получившихся в результате бесконечного деления, — это еще бо́льшая бесконечность. Тут еще не возникает сложности, потому что, как мы упоминали выше, бесконечности могут различаться по размеру. Количество делений на два может быть «исчислимым бесконечным»: бесконечность можно подсчитать, если объекты последовательности могут быть пронумерованы 1, 2, 3 и т.д. без последнего члена в конце. Но количество частей, производимое бесконечным делением, не поддается подсчету, то есть их нельзя пронумеровать 1, 2, 3 и т.д., не упустив некоторых из них — в действительности, не упустив бесконечное множество частей.  Но определение бесконечной суммы Коши применимо только к подсчитываемым бесконечным последовательностям чисел, а значит, не к тем частям, которые мы рассматриваем. Тем не менее мы можем рассмотреть только те, что поддаются подсчету, чья длина — согласно Зенону, утверждающему, что все они равны друг другу и больше нуля — будет в сумме давать бесконечную длину. Значит, длина всех частей не может быть меньше.

На этом этапе сторонник плюрализма, считающий, что деление Зенона полностью делит объекты на непересекающиеся части (см. следующий абзац) мог бы ответить, что на самом деле части не протяженны, хотя и существуют. Это бы сделало невозможным вывод о том, что конечные объекты бесконечны, но, кажется, привело бы сторонника плюрализма ко второй крайности аргумента Зенона, ведь как части нулевой длины могут образовывать ненулевое целое? (Заметьте, что, хотя, согласно Коши, 0 + 0 + 0 + 0 + .... = 0, это ничего нам здесь не дает, поскольку, как мы видели, к этой сумме можно прибавить неисчислимое множество частей, которые в нее не входят.) Мы отложим этот вопрос до обсуждения следующей апории, где он будет поставлен напрямую.

Вторая проблема, связанная с интерпретацией бесконечно деления как повторяемого деления всех частей, состоит в том, что, если объект составлен естественным путем, то оно не делит его на отдельные части. Чтобы увидеть это, давайте зададимся вопросом о том, какие части получены делением 1/2-ые, 1/4-ые, 1/8-ые, ...  Так как это деление повторяется без конца, мы не можем указать на последний элемент, так что нам следовало бы мыслить это как-то иначе. Если мы предположим, что объект может быть представлен как линия определенной длины, то деление создает набор сегментов, в котором первый сегмент — это либо вторая, либо первая половина целого, второй сегмент — это либо первая, либо вторая, либо третья, либо четвертая четверть, и в целом, сегмент произведенный N количеством делений — это либо первая, либо вторая половина предыдущего сегмента. К примеру, при записи сегмента с крайними точками a и b как [a, b], некоторые из множеств (с технической точки зрения называемые «цепями» из-за того, что их элементы упорядочены по размеру) начинались бы так {[0,1], [0, 1/2], [1/4, 1/2], [1/4, 3/8],...}. (Когда раннее мы утверждали, что деление Зенона производит неисчислимое множество частей, было бы правильнее сказать, что оно производит неисчислимое множество таких цепей.)

В таком случае вопрос о том, какие части выбираются при делении — это вопрос о том, какая часть выбирается при построении любой цепи. Естественно было бы сказать, что в цепи выбирается та часть линии, которая содержится в каждом из ее элементов. Представьте, например, цепь {[0, 1/2], [1/4, 1/2], [3/8, 1/2],...}, то есть, другими словами, цепь, которая начинается с левой половины линии и для которой каждый другой элемент — это правая половина предыдущего. Серединная точка содержится в каждом сегменте цепи — это его правая крайняя точка. Ни одна другая точка — включая, очевидно, те, что идут после середины — не содержится во всех элементах. Выберете любую точку p, расположенную перед серединой — если вы будете брать правые половины [0, 1/2] достаточное количество раз, левая часть сегмента всегда окажется справа от p. То есть серединная точка — это единственная часть линии, которая содержится во всех элементах цепи, так что именно эта часть линии выбирается для построения цепи. (Вообще говоря, из постулатов теории чисел следует, что есть именно одна точка, которая объединяет каждый элемент цепи). Проблема в том, что по такой же логике серединная точка выбирается и при построении другой цепи, в которой каждый сегмент после первого находится слева от предыдущего. Так что для обеих цепей выбирается одна часть линии — точка посередине. И это верно для многих других пар цепей. Таким образом, в аргументе Зенона, проинтерпретированном в терминах повторяемого деления всех частей пополам, линия не разделяется на отдельные части. Значит, если мы считаем, что объекты скомпонованы по тому же принципу, что и линии, то отсюда, вопреки видимости, следует, что в этой версии аргумента  объекты не делятся на части, размеры которых мы можем обсуждать.

(Можно подумать, что проблему можно решить, если считать элементами цепи те сегменты, для которых нет правой крайней точки. В таком случае первая из рассмотренных нами цепей больше не содержит серединную точку ни в одном из своих сегментов, а значит, она не выбирается для построения цепи. Теперь проблема в том, что не выбрана вообще никакая часть линии: предыдущие рассуждения показали, что здесь вообще не выбирается какая-либо точка, находящаяся слева или справа от серединной, а теперь не выбирается и серединная!)

Аргумент от полной делимости

… если [тело] по природе делимо повсюду, то ничего невозможного не будет, если оно разделится, даже если бы оно было разделено на несчетное множество [частей] (хотя, пожалуй, никто так не станет делить). Что же останется? Величина? Это невозможно, так как тогда осталось бы что-то неразделенное, тело же, [как было сказано], делимо повсюду. Но если не останется ни тела, ни величины, а будет [только] деление, то тело будет состоять либо из точек и его составные части окажутся не имеющими протяжения, либо вообще будет ничем, так что получится, что оно возникло и составлено из ничего и целое будет не чем иным, как видимостью. Равным образом если бы тело состояло из точек, то оно не было бы количеством. (Аристотель О возникновении и уничтожении цит. по Аристотель. Собрание сочинений в 4 томах. М.: Мысль. 1981. Том 3, 316a19)

Это слова Аристотеля, не Зенона. Более того, Аристотель даже не приписывает их Зенону. Тем не менее мы знаем, что Симпликий считал ((а) Комментарии к Физике Аристотеля, 139.4) Зенона автором этого аргумента, и поэтому его уместно здесь рассмотреть. Аристотель начинает с гипотезы о том, что некое тело полностью («повсюду») делимо. На втором шаге аргумента становится ясно, что под этим он имеет в виду, что оно делимо на части, которые сами по себе не имеют размера — части, у которых есть хоть какая-то величина, нельзя назвать полностью поделенными. (Опять же, здесь значимо не то, есть ли у кого-то время и способ разделить тело таким образом, но то, что оно действительно состоит из таких частей. И, как мы знаем из предыдущего раздела, эти части не возникают в результате деления каждой напополам.) Так что предположим, что тело разделено на не имеющие объема части. Эти части могут быть либо вовсе ничем — как утверждал Зенон выше, — либо «частями-точками». Если части — ничто, то и тело ничто, просто иллюзия. И, как говорится в заключении аргумента, если это точки, то, так как они лишены протяженности, тело тоже должно быть ее лишено. Бесспорно, что любая сумма нулей — пусть даже бесконечная — равна нулю.

Можно ли подвергнуть последнее предположению сомнению? Как было отмечено выше, оно следует из определения бесконечной суммы Коши. Однако Грюнбаум (1967) указал, что это определение применимо лишь к исчислимым суммам, а Кантор предоставил красивое «диагональное» доказательство того, что число точек в сегменте неисчислимо бесконечно. Нет способа пронумеровать все точки линии, а значит, в линии больше точек, чем слагаемых в сумме Коши. В общем, анализ, применимый к исчислимо бесконечным делениям, здесь не приложим.

Как подчеркивает Эрлих (Ehrlich 2014), мы даже можем предположить, что «неисчислимая сумма» нулей равно нулю, потому что длина линии не равна сумме длин содержащихся в ней точек (это отвечает на озвученную Шерри в 1988 году проблему того, что отказ от расширения определения – это ad hoc прием).Следовательно, если мы предполагаем, что длина линии есть сумма полного набора соответствующих частей, то значит, точки — это не части линии в полном смысле слова (в отличии от половин, четвертей  и так далее). Строго говоря, в современной теории меры (обобщающей рассуждения Грюнбаума), точки в линии несоизмеримы с ней, а постановка проблемы Аристотелем, предполагающая, что длина целого устанавливается посредством его точек, неверна.

Апория движения

Дихотомия

Первое рассуждение постулирует несуществование движения на том основании, что перемещающееся тело должно дойти до половины прежде, чем дойдет до конца. (см. Аристотель, «Физика», 239b11)

Эта апория известна как «дихотомия», потому что предполагает повторяемое деление на две половины (как и вторая апория множественности). Ее, как и другие парадоксы движения, мы знаем из Аристотеля, который стремился ее опровергнуть.

Предположим, что очень быстрый бегун — вроде мифической Аталанты — должен догнать автобус. Очевидно, что прежде, чем достигнуть автобуса, ему нужно пробежать половину пути, как говорит Аристотель. Здесь нет проблемы: при допущении, что скорость движения будет постоянной,  она пробежит половину пути за половину времени и оставшуюся часть пути — за еще одну половину. Она должна также пробежать половину половины пути, т.е. 1/4 общего расстояния, прежде, чем добежит до середины, но и тут у нее есть конечное число конечных расстояний, которые нужно пробежать, и достаточно времени для того, чтобы это сделать. А прежде, чем она пробежит 1/4 пути, ей нужно пробежать 1/2 от 1/4, то есть 1/8, а до этого 1/16 и так далее. Ни в одной из конечных точек этой последовательности не возникает проблемы, но что если деление напополам производится бесконечное количество раз? Получившаяся последовательность не содержит первого расстояния, которое нужно пробежать, ведь любое расстояние можно поделить пополам, а значит, оно не будет первым.

Тем не менее она все же содержит последнее расстояние — 1/2 пути, а также предпоследнее — 1/4 пути, предпредпоследнее — 1/8 пути и так далее. То есть последовательность дистанций, которые должна пробежать Аталанта — это …, потом 1/16 пути, потом 1/8 пути, потом 1/4 пути и, наконец, 1/2 пути (на данный момент мы думаем об ее пробеге как о непрерывном и состоящем из таких частей, а не предполагаем, что она останавливается в конце каждого сегмента, а потом начинает бежать в начале следующего). Возникает проблема: при таком описании ее пробега она преодолевает бесконечное количество конечных дистанций, что по мысли Зенона должно занимать бесконечное время, то есть пробег не будет закончен никогда. И так как аргумент не зависит от того, какой конкретно была дистанция или кто конкретно двигался, это означает, движение невозможно. (Заметьте, что апорию можно и перевернуть так, что Аталанте приходится сначала пробежать половину расстояния, потом половину половины и так далее, поэтому ей необходимо пробежать бесконечную последовательность делений: 1/2, 1/4, 18 ...)

Некоторые распространенные ответы на эту проблему неудовлетворительны. Можно просто начать молча ходить, отмечая таким образом, что согласно нашему общему опыту вещи все же движутся и что мы вполне неплохо знаем, что Аталанта без проблем добежала бы до остановки — так, согласно Симпликию ((a) Комментарии к Физике Аристотеля, 1012.2), сделал Диоген Синопский. Но это бы не впечатлило Зенона, который, как настоящий последователь Парменида, считал, что многие вещи не такие, какими кажутся. Нам может казаться, что Диоген идет или что Аталанта бежит, но видимости могут быть обманчивы, и у нас, конечно же, есть логическое доказательство того, что вещи неподвижны. Если же вас не убеждает доказательство Зенона, то вы должны указать на ошибку в его аргументации. Зенон предоставил доводы в пользу несуществования движения, а значит, для того, показать, что они неверны, нужен адекватный ответ. И недостаточно просто отметить, что мы каким-то образом можем так разделить дистанцию, которую бежит Аталанта, что проблемы исчезнут — напополам, например. Ведь если вы согласны со всеми шагами аргумента Зенона, то вы должны быть согласны и с выводом (если предположить, что его размышление следует логической дедукции). Продемонстрировать непроблематичное деление недостаточно, нужно еще показать, почему конкретное деление непроблематично.

Другой ответ — его дает Аристотель — это указание на то, что при делении преодоленного расстояния, нам нужно делить и время. На 1/2 уходит 1/2 времени, на 1/4 – 1/4 времени, на 1/8 – 1/8 и так далее. Таким образом, каждой доле расстояния соответствует соответствующая доля времени, которая нужна Аталанте на ее преодоление, а значит, расстояние может быть преодолено за конечное время. Аристотель считал, что этот ответ удовлетворил бы Зенона, но также понимал, что на этом дело может и не кончиться. Пока ограничимся тем, что время, которое нужно Аталанте для того, чтобы добежать до остановки, состоит из бесконечного количества конечных частей — ...., 1/8, 1/4, 1/2 общего времени — разве не получается бесконечное время?

Конечно,  можно было бы вновь указать на то, что у некоторых бесконечных сумм могут быть конечные значения (totals) и, в частности, на то, что сумма этих частей равна 1 × на общее время, которое, разумеется, конечно (и, опять же, полное решение потребовало бы проработанной концепции бесконечного сложения, такой как у Коши). Тем не менее Аристотель этого не делает. Вместо этого он проводит четкое различие между «непрерывной» линией и линией, разделенной на части. Представьте простое разделение линии надвое. С одной стороны, есть не разделенная линия, а с другой, линия, посередине которой находится точка, выбранная в качестве границы между двумя половинами. Аристотель утверждает, что это два разных объекта и второй можно лишь «потенциально» вывести из первого. Далее, Аристотель соглашается с обыденным взглядом, согласно которому время похоже на геометрическую линию, и спрашивает, какое время потребовалось на то, чтобы совершить пробег. Можно вновь выделить два типа случаев: непрерывное расстояние от старта до финиша и расстояние, разделенное на бесконечность полу-пробегов Зенона.

Последнее «потенциально бесконечно» в том смысле, что может дальше быть поделено на «актуальную бесконечность» частей. Здесь есть важный момент: Аристотель считает, что раз интервалы геометрически отдельны, они должны быть отдельны и физически. Но как это возможно? Он утверждает, что бегун должен делать в конце каждого сегмента остановку, чтобы сделать этот сегмент отдельным от предыдущего, а пробег в целом прерывистым. (Неясно, почему интервалы нельзя было бы делить каким-нибудь другим действием.) Полный ответ Аристотеля на апорию состоит в том, что вопрос о возможности бесконечных последовательностей пробега неоднозначен: потенциальная бесконечная последовательность разделенных на пополам пробегов возможна, а актуальная нет — Зенон правильно фиксирует эту невозможность, но она не описывает обычный способ преодоления дистанций!

Трудно понять (возможно, из-за нашей современной перспективы), как этот ответ может быть полностью удовлетворительным. Во-первых, он предполагает, что возможно четкое разделение на потенциальную и актуальную бесконечность, которое никогда не было достигнуто. Во-вторых, предположим, что апория Зенона строится на утверждении о том, что бесконечные суммы конечных количеств бесконечны во всех случаях. В таком случае проведенное Аристотелем различение будет полезно, только если у него получится объяснить, почему потенциально бесконечные суммы на самом деле конечны (разве нельзя было бы потенциально сложить 1 + 1 + 1 + …, сумму, не имеющую конечного результата?) или что они в действительности не существуют. Или же, возможно, Аристотель считал проблематичным не бесконечные суммы, а то, насколько метафизически, концептуально и физически возможна бесконечность конечных действий. Мы кратко обсудим этот вопрос — вопрос о «сверхзадачах» — ниже. Пока заметим, что возможно описать пробег, в котором этапы пути Аталанты отмечены конечными остановками, что, вероятно, показывает возможность выполнения бесконечной последовательности конечных задач за конечное время (Hugger 2010: 21-2). Наконец, различие между потенциальными и актуальными бесконечностями не играло в математике никакой роли с того момента, как Кантор «укротил» трансфинитные числа, и точно не играло роли в современных математических решениях апорий, обсуждаемых здесь.

Ахиллес и черепаха

«Ахиллесом» этот аргумент был назван по имени фигурирующего в нем Ахиллеса, который, как гласит аргумент, преследуя черепаху, не может ее догнать. В самом деле, необходимо, чтобы догоняющий прежде, нежели он догонит, сначала достиг черты, с которой стартовал убегающий. Но за то время, пока догоняющий приходит к ней, убегающий продвинется на какое-то расстояние, хоть и меньшее, чем пройденное [за то же время] догоняющим, так как бежит медленнее, но все ж таки продвинется, ибо не стоит на месте. И опять за то время, пока догоняющий будет проходить то расстояние, на которое продвинулся убегающий, за это время убегающий опять пройдет какое-то расстояние — настолько меньшее пройденного [им] в прошлый раз, насколько он [бежит] медленнее догоняющего. И так в каждый отрезок времени, в который догоняющий будет проходить то расстояние, на которое к этому моменту продвинулся убегающий, движущийся медленнее, в этот отрезок времени будет продвигаться на какое-то расстояние и убегающий. (Симпликий. Комментарии к Физике Аристотеля 1014.10 (цит. по Хрестоматия по философии. Ч. 1.)

Эта апория во многом строится на тех же соображениях, что и предыдущая. Представьте, что Ахиллес со скоростью 1/мс гонится за черепахой, а черепаха ползет со скоростью 0.1 м/с и начинает на 0.9м впереди Ахиллеса. На первый взгляд, Ахиллес должен догнать черепаху через 1с., на расстоянии метра от его стартовой позиции (а значит, на расстоянии 0.1м от стартовой позиции черепахи). Мы могли бы разбить движение Ахиллеса на половины, как поступили в случае Аталанты, или же размышлять следующим образом. Прежде, чем Ахиллес поймает черепаху, он должен достичь того места, с которого она стартовала. Но за то время, которое ему для этого понадобится, черепаха проползет чуть дальше. Теперь Ахиллес должен достичь новой точки. Но пока он двигается к этой точки, черепаха проползет еще немного вперед. И так до бесконечности: каждый раз, когда Ахиллес достигает места, в котором была черепаха, черепаха успевает продвинуться чуть дальше, так что, прежде чем ее догнать, Ахиллес должен будет пробежать бесконечно количество конечных дистанций. Следовательно, заключает Зенон, он никогда не догонит черепаху.

Один из аспектов этой апории состоит в том, что Ахиллес должен преодолеть бесконечные серии расстояний: сначала 0.9м, потом еще 0.09м, потом 0.009м и так далее. Это суть серии расстояний, которые достигает черепаха в конце каждого из «рывков» Ахиллеса. Если смотреть на апорию так, то она будет идентична Дихотомии, так как означает лишь то, что «перемещающееся [тело] должно дойти до [9/10 пути] прежде, чем до конца». Так что все сказанное выше применимо и тут.

Однако наиболее ярко эта апория высвечивает проблему выполнения последовательности действий, у которой нет последнего члена. В данном случае — бесконечной серии «рывков», нужных для того, чтобы догнать черепаху. Но в чем тут проблема? Возможно, в следующем: пробег Ахиллеса до точки, в которой он должен догнать черепаху, может, похоже, быть полностью разложен на последовательность дистанций, ни одна из которых не приводит его к черепахе. Следовательно, за свой пробег он вообще не догоняет черепаху. Но если это то, что имеет ввиду Зенон, то такая апория никуда не годится. Разумеется, Ахиллес не догоняет черепаху ни в одной из точек последовательности, ведь каждый пробег в этой последовательности случается до того момента, в который он должен ее поймать! Если говорить о тех точках, которые Ахиллес должен преодолеть за свой пробег, то точка «1 метр» просто отсутствует в последовательности 0.9м, 0.99м, 0.999м, поэтому, конечно же, он не догоняет черепаху в этой последовательности! (И такая же ситуация возникает в Дихотомии: в последовательности нет первой дистанции, значит, в ней нет той, с которой Аталанта стартует!). Таким образом, пробег не раскладывается полностью на последовательность дистанций: к нему должна быть добавлена последняя точка, в которой Ахиллес ловит черепаху. Так что же, есть ли здесь какая-то сложность? Вероятно, да.

Путь Ахиллеса проходит через точки 0.9м, 0.99м, 0.999м, ... , 1м. Но имеет ли такая странная последовательность — составленная бесконечностью членов плюс еще один — смысл с математической точки зрения? Если нет, то наше математическое описание пробега неверно. Но какое тогда верно? К счастью, теория трансфинитных чисел, открытая Кантором, убеждает нас, что такая последовательность вполне нормальна. Теперь мы знаем, что порядковые свойства бесконечных последовательностей устроены сложнее, чем свойства конечных последовательностей. Например, любой способ упорядочивания чисел 1,2, 3 дает последовательности, следующие одному шаблону. Однако есть много таких способов упорядочить натуральные числа (скажем 1,2,3, ... или ..., 3, 2, 1 или 4,2,1,3,5, ... или 2,3,4, ... ,1), которые похожи на последовательности позиций, которые должен преодолеть Ахиллес. Таким образом, теория трансфинитных чисел работает не только с «кардинальными» числам, зависящими лишь от количества элементов, но и с «ординальными», зависящими от их расположения. Так как использование ординальных чисел считается математически обоснованным, и так как в последовательности точек, которые должен пройти Ахиллес, есть ординальное число, мы должны признать, последовательность математически обоснована. (Опять же, обсуждение другого рода проблемы, которая может возникнуть в связи с Ахиллесом, см. ниже в разделе «Сверхзадачи»).

Стрела

Третье ... состоит в том, что летящая стрела стоит неподвижно, оно вытекает  из предположения, что время слагается из [отдельных] "теперь" ... Если всегда —  говорит он —  всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент "теперь" всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела  неподвижна. (Аристотель. Физика, 239b30)

Зенон, когда отрицает движение, говоря: "Движущееся тело не движется ни в том месте, где оно есть, ни в том, где его нет" (Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, Книга девята, 72)

Этот аргумент против движения строится на конкретном предположении о множественности — предположении, что время состоит из моментов («теперь») и ни из чего большего. Представьте стрелу, которая, как кажется, в каждый миг находится в движении. Сначала Зенон предполагает, что она не проходит в этот момент никакого расстояния — весь миг «оно находится в равном себе месте». Но все его движения состоит из таких мигов, в каждом из которых стрела не движется. Так что, заключает Зенон, она не движется вообще.

Сразу возникает вопрос о том, обосновано ли Зенон предполагает, что в любой момент стрела не двигается. Это так, если предположить, что каждый момент равен нулю — какой бы ни была скорость стрелы, она не прилетит никуда, двигаясь вне времени. Но что если предположить, что мельчайшие части времени конечны, хотя и малы, и стрела может преодолеть за момент какую-то дистанцию? Эту версию можно поддержать, предположив, что моменты неделимы. Представим теперь, что стрела действительно движется в течение момента. В начале и конце момента она находилась бы в разных местах, что означает наличие у момента «начала» и конца». Это в свою очередь означает, что у момента есть как минимум две части, а значит, вопреки предположению, он делим. (Заметьте, что этот аргумент говорит о невозможности движения в моменте, но не о том, что момент не может быть конечен.)

Выходит, что в моменте ничто не движется, а время полностью состоит из моментов, значит, вообще ничто не движется. Можно сразу ответить, что нахождение скорости стрелы подразумевает деление пройденного расстояния на время. Но если предположить, что у моментов нет длительности, то в применении к ним эта формула бессмысленна: стрела преодолевает 0м за 0с, но 0/0 м/с не дает вообще никакого числа. Поэтому ошибочно выводить то, что стрела не движется из того, что она не преодолевает за момент никакой дистанции. Находится ли она в движении или нет, зависит от того, преодолевает ли она расстояние за конечный интервал, включающий в себя рассматриваемый момент.

Это корректный ответ, но он подразумевает контринтуитивный вывод о том, что движение — это что-то совершающиеся не непрерывно, а за скорее за конечные периоды времени. Подумайте об этом следующим образом: время, как мы сказали, состоит только из моментов. Ни в одном из моментов не преодолевается никакого расстояния. Как же тогда движется стрела? Каким образом она оказывается в следующий момент в другом месте? Есть только один ответ: стрела перемещается из точки X в момент 1 в точку Y в момент 2 просто за счет того, что находится в следующих друг за другом промежуточных точках в следующие друг за другу промежуточные отрезки времени. Она меняет позицию в течение одного момента, а за составленные из моментов интервалы, занимая разные позиции в разные отрезки времени. Говоря известными словами Бергсона, которые, как он считал, выражают абсурдную точку зрения — «движение создано из неподвижных частей» (Бергсон 2001: 294). Перемещение от X к Y   предполагает, что объект занимает ровно одно промежуточное место в каждый момент времени. Последующее обсуждение этой концепции можно найти у Арцениуса (Arntzenius 2000) и Сальмона (Salmon 2001: 23-4).

Стадион (ристалище)

Четвертое  [рассуждение] относится  к  равным  предметам, движущимся по ристалищу с противоположных сторон мимо равных [неподвижных] предметов: одни [движутся]  с конца ристалища, другие от  середины,  имея  равную  скорость, откуда,  по  его мнению, получается, что  половина времени равна ее двойному количеству. (Аристотель. Физика, 239b33)

Аристотель продолжает развивать свою мысль и отвергает последнюю зеноновскую апорию движения. Его описание довольно запутанно, но его обычно интерпретируют следующим образом: представьте три группы соприкасающихся идентичных квадратов, находящихся в движении относительно друг друга.

Одна группа — кубы А — неподвижна, а две других — кубы B и C — движутся вправо (B) и влево (C). 

Предположите, что в какой-то момент самая правая B и самая левая C встают в одну линию со средней А, как показано на рисунке (три из которых изображены для простоты).

Так как B и С двигаются с одной скоростью, они пересекутся с А одновременно.

На этом этапе самая правая B прошла мимо всех C, но только мимо половины всех А. Поскольку все А одного размера, она прошла и некоторое расстояние, и половину расстояния. Отсюда, тем не менее, не следует противоречия, вероятно, потому, что ясно, что эти противоположные расстояния оцениваются относительно C и A соответственно.

В целом нет никакого противоречия в том, что некоторая вещь по-разному соотносится с разными вещами. Вместо этого переведем расстояния во время, разделив их на скорость B; половина расстояния при такой скорости занимает половину времени. Вот здесь возникает угроза противоречия, потому что время, прошедшее между этими состояниями, определяется безотносительно — выходит, что процесс занимает некое (превышающее ноль) время и одновременно половину этого времени.

Общее мнение таково, что в этой апории Зенон безнадежно запутался в проблеме относительных скоростей. Если B движется вправо относительно А со скоростью Sм/с, а C — влево с такой же скоростью, то С движется влево относительно B со скоростью S + S = 2м/с. Так что, разумеется, хотя B преодолевает в два раза большее расстояние, чем C и A, оно делает это вдвое быстрее относительно них, так что время остается таким же. Но мог ли Зенон настолько запутаться? (Cэттлер (Sattler 2015) выступает против этого и подобных традиционных толкований апории стадиона.)

Возможно (Davey 2007), Зенон имел в виду нечто вроде следующего (хотя в этой интерпретации Зенон и выглядит умнее, она не вполне сочетается с тем, что говорит Аристотель): предположим, что все А, B и С настолько малы, насколько это возможно, что они суть точки, и точки, если пространство непрерывно, не имеют размера или имеют конечный размер, если пространство «атомистично». Далее предположим, что межу разными А (или разными B или С) нет пространства. Во время движения передняя B проходит через все C и через половину А, так что половина составляет столько же А, сколько и С.

Теперь, когда точки двигаются непрерывно по непрерывной линии, то соответствие между моментами времени и точками на линии полное, то есть равно 1:1. Каждому моменту соответствует точка, а каждой точке — момент. Следовательно, количество А-моментов, нужное B, чтобы пройти через все А, равно половине C-моментов, которое нужно ей, чтобы пройти через С, хотя эти процессы занимают равное количество времени. Если, затем, мы сделаем важное предположение, что половина моментов равна половине времени, то выходит, что половина времени равна всему времени, то есть возникает противоречие.

Выше, в ходе нашей дискуссии о полной делимости, проблемность такого рассуждения проявилась в связи с непрерывными линиями: любой сегмент линии содержит одинаковое количество точек, так что это количество нам ничего не дает — из него совершенно точно нельзя вывести, что половина точки (или, как в этом случае, момента) означает половину расстояния (или времени). В такой формулировке апории не возникает. Но разве утверждение о том, что интервалы содержат одинаковое количество моментов, не противоречит тому шагу аргумента, который говорит, что А-моментов вдвое меньше, чем С-моментов? В случае бесконечных множеств эта проблема приобретает затейливую форму. Дадим другой пример: 1, 2, 3, … полностью (1:1) соответствует 2, 4, 6, …, так что в каждом множестве одно количество чисел. Именно в этом смысле соответствие 1:1 — подразумевающем строгое понятие «одинакового числа», используемого в математике — любая конечная линия содержит столько же точек, сколько другая. Однако, если говорить неформально, существует столько же четных чисел, сколько целых: пары (1,2), (3, 4), (5, 6), … могут быть приведены в полное соответствие с 2, 4, 6, …. Ровно так же существует, говоря неформально, вдвое меньше А-моментов, чем С-моментов: А-моменты находятся в соответствии 1:1  с C-моментами. Так что в количестве точек нет противоречия: неформальная половина равна взятому в строгом смысле целому (для атомистичной теории требуется другое решение, схожее с тем, что представлено в последнем абзаце этого раздела).

(Позвольте мне упомянуть схожую апорию движения – «мельничный жернов», приписываемую Маймониду. Представьте два присоединенные к одной оси колеса, одно в два раза больше другого по радиусу и окружности. Прокатим их по рельсам так, чтобы они провернулись один раз, приподняв одно колесо, дабы ось оставалась горизонтальной. Из-за оси они проворачиваются с одинаковой частотой. Каждая точка каждого колеса контактирует с одной точкой соответствующей рельсы, а каждая точка рельсы —  с одной точкой соответствующего колеса. Эта конструкция преодолела путь равный окружности большого колеса или маленького? Или чего-то другого? И почему? Эта проблема тоже требует некоего понимания непрерывности, но так как она не является апорией Зенона, мы оставим ее, положившись на смекалку читателя.)

Согласно последней интерпретация зеноновского «Стадиона», данная апория является аргументом против атомистичной теории пространства и времени, что интересно, так как современная физика использует данное воззрение при «квантовании» времени.

Представьте, что одна сторона каждого квадрата — это один «квант» расстояния и что два рассматриваемых момента разделены одним квантом времени.

В таком случае происходит нечто странное, ведь правая В и центральная С проходят мимо друг друга во время движения, но, тем не менее, нет ни одного момента, в котором они находятся на одном уровне: так как два момента разделены наименьшим возможным временем, между ними не может быть какого-то дополнительного момента, ведь он было бы меньше, чем наименьшее время, относящегося к рассматриваемому моменту.

И наоборот, если настаивать, что в случае, когда они проходят мимо друг друга, существует момент, в котором они выравниваются, то видно, что не может быть какого-то наиболее короткого конечного интервала — просто попробуйте его представить в рамках этого аргумента. Однако почему нужно настаивать на таких предположениях? Проблема в том, что для нас естественно рассматривать поделенное на кванты пространство как шахматную доску, на которой вся клетки находятся в одном положении в каждом кванте времени.

И, предположив это, мы удивляемся, почему, скажем, черная королева перемещается с одной клетки на другую или проходит мимо белой королевы, не оказавшись с ней на одном уровне. Но такая аналогия ведет нас в ложном направлении.

Лучше представлять составленное из квантов пространство как гигантскую матрицу из лампочек, которая выдает определенный паттерн освещения на каждый квант времени. В этой аналогии зажженная лампочка обозначает присутствие объекта: например, линия последовательно зажигающихся лампочек обозначает объект, движущийся по прямой линии. В таком случае у нас не возникает желания спросить, когда свет «переходит» из одной лампочки в другую или, аналогично, как тело передвигается из одного места в другое. (Здесь мы затрагиваем вопрос о том, как устроено существование объектов во времени — целостно ли оно или разделено на временные части.)

Еще две апории

Аристотель приписывает Зенону еще две апории, но делает это в контексте обсуждения других вопросов, из-за чего посыл Зенона сложно определить — даже тогда, когда они направлены против множественности и движения. Полноты ради, мы кратко их обсудим.

Апория места

… апория  Зенона  требует обсуждения; а  именно, если все существующее находится в некотором месте, то ясно, что должно быть и место места, и  так далее, до  бесконечности. (Аристотель. Физика, 209a23).

Закладывая основу своей теории места — ключевого пространственного понятия в его теории движения, — Аристотель перечисляет различные теории и проблемы, сформулированные его предшественниками по этому вопросу. Формулировка аргумента вновь поднимает вопрос о бесконечности, так как на втором шаге данного аргумента доказывается бесконечный регресс мест. Однако Аристотель представляет его как аргумент против самой идеи места, а не против множественности. Неясно, значим ли такой вывод. Почему не может быть бесконечной последовательности мест? Наверное, такая последовательность больше бы беспокоила того, кто (как Аристотель) считает, что актуальная бесконечность вещей не может существовать, ведь аргумент Зенона, похоже, показывает обратное. Но, как мы говорили выше, сегодня нас не должно это беспокоить: ничего проблематичного в актуальной бесконечности нет.

Счесть такой регресс проблематичным можно еще только в одном случае — если мы утверждаем, что у тел есть «абсолютные места», что на вопрос «где это?» можно всегда дать привилегированный, уникальный ответ. В таком случае, проблема не в бесконечности количества мест, но просто в том, что их много.

И Аристотеля это вполне могло беспокоить, ведь в его теории движения естественное движение тела определяется его отношением к центру вселенной. Такая концепция предполагает, что место всегда точно определено, потому что точно определено естественное движение.

(См. два общих  обзора взглядов Аристотеля на место в Sorabji 1988 и Morrison 2002, представляющих противоположные видения этой проблемы. Особенно обсуждение Аристотелем апорий Зенона в главе 3 второй книги).

Но если предположить, что место абсолютно, то где я нахожусь, когда я пишу? Если апория Зенона работает, то я на своем месте, но также на месте своего места, на месте своего места своего места и т.д. Так как я нахожусь на всех этих местах, то ответом на мой вопрос может быть любое из них. На это, в свою очередь, можено ответить различным образом: можно отказаться о понятия абсолютного места (так как в сегодняшней физике оно не нужно), разработать концепцию места, в которой оно сохраняет уникальность во всех случаях (по всей видимости, такого решение Аристотеля), или же утверждать, что места есть свои собственные места, тем самым останавливая бесконечный регресс!

Просяное зерно

Поэтому-то неправильно рассуждение Зенона,  что

любая часть просяного зерна произведет шум, так как  вполне возможно, что ни в какое время оно не приведет в движение воздух, который  привел  в движение при своем падении медимн. (Аристотель. Физика, 250а19)

Здесь Аристотель объясняет, что доля силы может не произвести такой же доли движения. Например, несмотря на то, что 100 бурлаков могут буксировать баржу, один бурлак не может сдвинуть ее даже на 1/100. Какое бы время он на это ни потратил, он не сдвинет ее на такое же  расстояние, как 100 батраков. (Мы приписываем это эффекту трения.) Аналогично, хотя бушель проса производит при падении свистящий звук, отсюда не следует, что его производит и каждое зерно. Сколько бы оно ни падало, оно не приведет в движение такое же количество воздуха, как бушель. Но хотя Аристотель и отрицает эту посылку, он не объясняет, какую роль она играла для Зенона. Нам остается лишь гадать. Неясно даже то, было ли это частью апории или относилось к какому-то другому спору. Хотел ли Зенон показать, что одновременно верно и то, что одно зерно не производит звука? Можно предположить, что, согласно нашим чувствам, одно зерно действительно его не производит, ведь мы этого не слышим. Если так, то ответ Аристотеля здесь к месту, ровно как и схожее возражение о том, что для слышимости требуется определенная степень интенсивности движения воздуха.

Влияние Зенона на философию

В последнем разделе мы кратко рассмотрим то, какое влияние Зенон оказал на различных философов. Взгляд на список литературы дает понять, что начатые им дискуссии продолжаются.

Пифагорейцы. Первую половину двадцатого века наиболее распространенным было прочтение Зенона, берущее начало у Таннери (Tannery 1885), согласно которому аргументы Зенона были направлены против доктрины пифагорейцев. Согласно этой интерпретации, пифагорейцы утверждали, что все вещи состоят из элементов, обладающих качествами однозначного числа, геометрической точки и физического атома. Такая позиция хорошо бы сочеталась с их убежденностью в том, что реальность в своей основе математична. Однако в середине века ряд комментаторов (обзор аргументации и ссылки см. в Vlastos 1967) убедительно доказали, что Зенон метил в обыденное представление о множественности и движении, укорененное в проистекающих из здравого смысла геометрических понятиях, а вышеупомянутая доктрина и вовсе не была важной частью философии пифагорейцев. Здесь мы предполагаем, что эти аргументы предлагают верную интерпретацию апорий. Несмотря на все это, у версии Таннери все еще есть защитники (см., например, Matson 2001).

Атомисты. Аристотель (О возникновении и уничтожении, 316b34) утверждает, что наш третий аргумент — о полной делимости — убедил атомистов в необходимости существования наименьших неделимых частей материи. Дальнейшую дискуссию о связи Зенона с атомистами можно найти у Абрахама (Abraham 1972).

Темпоральное становление. В начале двадцатого века несколько влиятельных философов попытались поставить аргументы Зенона на службу метафизики «темпорального становления», процесса, через который (предположительно) реализуется настоящее. Согласно таким мыслителям, как Бергсон (2001), Джеймс (James 1911, гл. 10-11) и Уайтхед (Whitehead 1929), апории Зенона показывают, что пространство и время устроены не как математический континуум: они утверждали, что мы можем сохранить реальность движения, отбросив идею о том, что движение и время составлены из точек и моментов. Тем не менее мы ясно видели, что инструменты современной стандартной математики вполне справляются с апориями, так что такие выводы представляются необоснованными. Если настоящее и в самом деле «становится», нет никаких причина думать, что этот процесс нельзя объяснить с помощью континуума.

Примененение математического континуума к физическому пространству и времени. Следуя за Расселом (Russell 1929: 182-198), некоторые философы, в первую очередь Грюнбаум (Grünbaum 1967), взялись показать, как современная математика способна справиться с апориями Зенона. Их работа глубоко повлияла на представленное здесь обсуждение его аргументов. Они поняли, что исключительно математического решения недостаточно — апории связаны не только с абстрактной математикой, но и с природой физической реальности.

Поэтому они искали аргумент, показывающий не только то, что Зенон не представляет угрозы математическому анализу бесконечности, но и то, что математика верно описывает объекты, время и пространство. Если бы применяемый нами математический аппарат не подходил бы для описания настоящего пространства, времени и движения, то мы едва ли смогли найти решение апорий.

Идея о том, что математический закон — скажем, закон всеобщего тяготения — может описывать реальность как верно, так и неверно, не нова, но некоторые аспекты математического анализа бесконечности — природа континуума, определение бесконечной суммы и так далее — кажутся настолько базовыми, что поначалу сложно увидеть, что для их применения нужны определенные условия.

Тем не менее это так: нет никакой априорной гарантии того, что пространство имеет структуру континуума или даже того, что сложение частей пространства происходит согласно определению Коши.

(Сальмон иллюстрирует это удачным примером: так как алкоголь распадается в воде, то если смешать их, на выходе получится меньше, чем сумма частей, то есть даже правила обычного сложения применимы не ко всякой системе.) Наша уверенность в том, что математическая теория бесконечности описывает пространство и время, оправдана в той мере, в какой это подтверждается законами физики и в которой они сами подтверждаются опытом. Почти все физические теории предполагают, что пространство и время в самом деле имеют структуру континуума.

Однако с большой долей вероятности из квантовых теорий гравитации следует, что это не так. Хотя неизвестно, к чему в итоге приведет этот поиск, вполне может оказаться, что пространство и время на самом фундаментальном уровне отличны от континуума, который мы здесь предполагали.

Стоит также заметить, что работа Грюнбаума продемонстрировала, что современная математика при описании пространства и времени прибегает не к эмпирическому подтверждению, а к чему-то иному. На данной момент преобладает взгляд, согласно которому научные термины имеют значение в той мере, в которой они относятся напрямую к объектам опыта — таким, скажем, как метровая линейка. Если же термины относятся к теоретическим, а не наблюдаемым являемым — таким, как «точка пространства» или «1/2 от 1/2 от … 1/2 гоночного трэка» — то они приобретают смысл благодаря логическим отношениям (опосредованным определениями и теоретическими законами) с терминами наблюдения. С таких позиций Грюнбаум разработал впечатляющую программу по прояснению значений всех терминов, присутствующих в современной теории бесконечности, проинтерпретированной как концепция пространства и времени.

Сверхзадачи. Еще одно направление мысли связано с тем, что Блэк (Black 1950-51) назвал «машинами бесконечности». Блэк и его последователи хотели показать, что хотя апории Зенона и не составляют проблемы для математики, они тем не менее показывают, что математика совершенно неприменима к пространству, времени и движению.

Наиболее ярко это проявляется в рассмотренных здесь решениях апорий Дихотомия и Ахиллес, которые предполагали, что пробег может быть разбит на бесконечную последовательность полупробегов. Но действительно ли возможно завершить бесконечную последовательность действий?

Завершить то, что стали называть «сверхзадачей»? Если это сделать нельзя, но Аталанта и Ахиллес свои дистанции пробегают, то их пробеги нельзя назвать  бесконечной последовательностью полупробегов, хотя так их описывает современная математика. Машины бесконечности призваны показать, что бесконечная последовательность задач не может быть выполнена, поэтому любую выполнимую задачу невозможно разбить на бесконечность маленьких задач, что бы об этом не говорила математика.

Бесконечно малые. Мы видели, как можно справиться с апориями при помощи современного математического аппарата, разработанного в девятнадцатом веке. Одним из важных преимуществ современной математики долго считалось то, что она смогла показать ненужность бесконечно малых, которые меньше любого конечного числа, но больше нуля. 

 (Исчисление Ньютона, к примеру, вполне успешно обращалось с ними, иногда приравнивая к нулю, а иногда — к конечной величине. Проблема с таким подходом в том, что в своем понимании числа он опирается на интуицию, а не следует научной строгости.)

Однако в двадцатом веке Робинсон показал, как можно ввести в математику бесконечно малые с помощью системы «нестандартного анализа» (обычная система действительных чисел, которой дал строгое обоснование Дедекинд, зовется просто «анализом). Схожим образом Белл (Bell 1988) объяснил, как бесконечно малые сегменты могут быть встроены в геометрию и как они связаны с Зеноном.

Более того, МакЛолин (McLaughlin 1992, 1994) показал, что апории Зенона могут быть решены с помощью нестандартного анализа. Они представляют для нестандартного анализа не бо́льшую угрозу, чем для стандартной математики, на которую мы опирались в данной статье. Однако стоит подчеркнуть, что, вопреки предположениям МакЛолина, апории можно решить и без нестандартного анализа — обе системы в этом одинаково успешны. (Ридер (Reeder 2015) утверждает, что нестандартный анализ непригоден для решения апории стрелы, и предлагает альтернативную концепцию, также использующую бесконечно малые величины).

Но принципы нестандартного анализа все же поднимают вопрос о его применимости к пространству и времени. Кажется убедительным, что все физические теории могут быть сформулированы как при помощи терминов стандартной математики, так и при помощи нестандартного анализа. Но и то, и другое не может быть верным одновременно — бесконечно малые либо существуют в пространстве, либо нет.

Дальнейшее чтение

Прочитав соответствующие статьи в этой энциклопедии, дальнейшее исследование стоит начать с Салмона (Salmon 2001), у которого можно найти наиболее важные статьи о Зеноне вплоть до 1970 и исчерпывающую библиографию англоязычных работ о нем, написанных в двадцатом веке.

Для поиска дальнейших источников и дискуссий можно также заглянуть в «Пространство от Зенона до Эйнштейна» Хаггета (Huggett 1993, Гл. 3) и его же «Везде и всегда» (Huggett 2010, Гл. 2-3). Для первичного ознакомления с математическими идеями, лежащими основе современных решений апорий, хорошим подойдет дополнение к «Апориям Зенона» Салмона (Salmon 2001) или «Бесконечность. Очень краткое введение» Стюарта (Stewart 2017). «Введение в математическую философию» Рассела  (Russel 1919) и «Что такое математика» (Courat et al. Гл. 2 и 9) — также замечательные источники. Наконец, есть  три собрания первоисточников апорий Зенона: у Ли (Lee 1936 [2015]) есть все, что вообще известно, много материала (на английском и греческом) с полезными комментариями можно найти у Кирка (Kirk et al (1983, Гл. 9), а основные отрывки также есть у Коэна (Cohen et al. 1995).

Благодарности

Эту статья посвящается Уэсли Салмону, который сделал столь многое, чтобы рассказать философам о значимости апорий Зенона. Знакомые с его работой увидят, что представленное здесь рассуждения обязаны ему очень многим. Надеюсь, он бы нашел их удовлетворительными. Представленный материал основывается на работе, поддержанной Грантом Национального Научного Фонда SES-0004375. Я бы также хотел поблагодарить Элиезера Дорра за то, что он обратил мое внимание на некоторые проблемы моей изначальной формулировки аргумента от конечного размера, и анонимного читателя за некоторые за ряд глубоких комментарий и Джорджа Синклера — за указание на ошибки в ранней версии. Кроме того, я пересмотрел обсуждение полной делимости в связи с познавательной статьей Филиппа Эрлиха (2014).

Библиография на русском

Аристотель О возникновении и уничтожении цит. по Аристотель. Собрание сочинений в 4 томах. М.: Мысль. 1981. Том 3 Аристотель. Физика // Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. Харьков.: ЭКСМО-Пресс. 1999

Берсон А. Творческая эволюция. М.: Канон-пресс. 2001

Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. — М.: Мысль, 1979.

Канто-Спербер М. (ред.). М.: Грекол-латинский кабинет Ю.А. Шичалина. 2006

Хрестоматия по философии. Ч. 1. (от Античности до Просвещения). Учебное пособие. / Под ред. проф. д.филос.н. Ивановой А.А. М.: ИПЦ МИТХТ. 2014

Библиография на английском

                      Abraham, W. E., 1972, ‘The Nature of Zeno’s Argument Against Plurality in DK 29 B I’, Phronesis, 17: 40–52.

                      Arntzenius, F., 2000, ‘Are There Really Instantaneous Velocities?’, The Monist, 83: 187–208.

                      Bell, J.L., 1988, ‘Infinitesimals’, Synthese, 75(3): 285–315.

                      Belot, G. and Earman, J., 2001, ‘Pre-Socratic Quantum Gravity’, in Physics Meets Philosophy at the Planck Scale: Contemporary Theories in Quantum Gravity, C. Callender and N. Huggett (eds), Cambridge: Cambridge University Press.

                      Black, M., 1950, ‘Achilles and the Tortoise’, Analysis, 11: 91–101.

                      Cohen, S. M., Curd, P. and Reeve, C. D. C. (eds), 1995, Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, Indianapolis/Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.

                      Courant, R., Robbins, H., and Stewart, I., 1996, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd Edition, New York, Oxford: Oxford University Press.

                      Davey, K., 2007, ‘Aristotle, Zeno, and the Stadium Paradox‘, History of Philosophy Quarterly, 24: 127–146.

                      Diogenes Laertius, 1983, ‘Lives of Famous Philosophers’, p.273 of The Presocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts, 2nd Edition, G. S. Kirk, J. E. Raven and M. Schofield (eds), Cambridge: Cambridge University Press.

                      Ehrlich, P., 2014, ‘An Essay in Honor of Adolf Grünbaum’s Ninetieth Birthday: A Reexamination of Zeno’s Paradox of Extension’, Philosophy of Science, 81(4): 654–675.

                      Grünbaum, A., 1967, Modern Science and Zeno’s Paradoxes, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.

                      Huggett, N. (ed.), 1999, Space from Zeno to Einstein: Classic Readings with a Contemporary Commentary, Cambridge, MA: MIT Press.

                      Huggett, N., 2010, Everywhere and Everywhen: Adventures in Physics and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.

                      James, W., 1911, Some Problems of Philosophy, New York: Longmans, Green & Co.

                      Kirk, G. S., Raven J. E. and Schofield M. (eds), 1983, The Presocratic Philosophers: A critical History with a Selection of Texts, 2nd Edition, Cambridge: Cambridge University Press.

                      Lee, H. D. P. (ed.), 1936 [2015], Zeno of Elea: A Text, with Translation and Notes, Cambridge: Cambridge University Press, reprinted 2015.

                      Matson, W. I., 2001, ‘Zeno Moves!’, in Essays in Ancient Greek Philosophy VI: Before Plato, A. Preus (ed.), Albany: State University of New York Press.

                      McLaughlin, W. I., 1994, ‘Resolving Zeno’s Paradoxes’, Scientific American, 271(5): 84–89.

                      McLaughlin, W. I., and Miller, S. L., 1992, ‘An Epistemological Use of Nonstandard Analysis to Answer Zeno’s Objections against Motion’, Synthese, 92: 371–384.

                      Morison, B, 2002, On Location: Aristotle’s Concept of Place, Oxford: Oxford University Press.

                      Newton, I., The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, I. B. Cohen and A. M. Whitman (trans.), Berkeley: University of California Press, 1999.

                      Plato, 1997, ‘Parmenides’, M. L. Gill and P. Ryan (trans), in Plato: Complete Works, J. M. Cooper (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.

                      Reeder, P., 2015, ‘Zeno’s Arrow and the Infinitesimal Calculus’, Synthese, 192: 1315–1335.

                      Russell, B., 1919, Introduction to Mathematical Philosophy, London: George Allen and Unwin Ltd.

                      Russell, B., 1929, Our Knowledge of the External World, New York: W. W. Norton & Co. Inc.

                      Salmon, W. C., 2001, Zeno’s Paradoxes, 2nd Edition, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.

                      Sattler, B., 2015, ‘Time is Double the Trouble: Zeno’s Moving Rows’, Ancient Philosophy, 35: 1–22.

                      Sherry, D. M., 1988, ‘Zeno’s Metrical Paradox Revisited’, Philosophy of Science, 55: 58–73.

                      Simplicius (a), ‘On Aristotle’s Physics’, in Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, S. M. Cohen, P. Curd and C. D. C. Reeve (eds.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc. pp. 58–59, 1995.

                      Simplicius (b), On Aristotle’s Physics 6, D. Konstan (trans.), London: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.

                      Sorabji, R., 1988, Matter, Space, and Motion Theories in Antiquity and Their Sequel, Ithaca: Cornell University Press.

                      Stewart, I., 2017, Infinity a Very Short Introduction, Oxford: Oxford University Press.

                      Tannery, P., 1885, ‘Le Concept Scientifique du continu: Zenon d’Elee et Georg Cantor’, Revue Philosophique de la France et de l’Etranger, 20: 385–410.

                      Vlastos, G., 1967, ‘Zeno of Elea’, in The Encyclopedia of Philosophy, P. Edwards (ed.), New York: The Macmillan Co. and The Free Press.

                      Whitehead, A. N., 1929, Process and Reality, New York: Macmillan Co.

Поделиться статьей в социальных сетях: