Парадокс познаваемости Фитча
Впервые опубликовано 7 октября 2002 года; содержательно переработано 28 октября 2013 года.
Парадокс познаваемости — логическое рассуждение, при котором предполагается, что если любое истинное высказывание в принципе может быть познано, то все истинные высказывания с необходимостью актуально известны. Согласно его контрапозиции, если имеет место неизвестное истинное высказывание, то имеет место истинное высказывание, которое невозможно познать. В частности, если p — это истинное высказывание, которое никогда не было познанным, то нельзя познать, что p является неизвестной истиной. Это доказательство использовалось для опровержения разновидностей антиреализма, придерживающихся тезиса о том, что любая истина является познаваемой. Очевидно, что существуют неизвестные истины, ведь мы не обладаем всеведением, будь то по отдельности или вместе. Согласно основному результату, таким образом, утверждение о познаваемости всех истин является ложным. Отсюда также делались выводы более общего характера о границах человеческого познания. И все же ряд авторов считает данное доказательство некорректным, поскольку оно разрушает, судя по всему, довольно умеренный антиреализм, преобразуя его в явно неправдоподобный и наивный идеализм.
Краткая история
Тексты, посвященные парадоксу познаваемости, появляются в ответ на доказательство, впервые изложенное Фредериком Фитчем в знаменитой статье «Логический анализ некоторых концепций значимости» (“A Logical Analysis of Some Value Concepts”, 1963). В статье была приведена так называемая «Теорема 5», угрожающая стереть ряд модальных и эпистемических различий. Пусть незнание — это неспособность познать некоторую истину. Тогда Теорема 5 превращает всякое случайное незнание в необходимое, поскольку она показывает, что из существования фактически неизвестных истин следует существование истин, неизвестных с необходимостью. В формальном изложении:
(Теорема 5) ∃p(p ∧ ¬Kp) ⊢ ∃p(p ∧ ¬◊Kp)
Обратная теорема тривиальна (если из истины следует возможность). Таким образом, Фитч чуть ли не стер логическое различие между существованием случайного незнания и существованием необходимой непознаваемости.
Точнее, именно контрапозицию Теоремы 5, как правило, называют парадоксом:
(Парадокс познаваемости) ∀p(p → ◊Kp) ⊢ ∀p(p → Kp)
Если любую истину можно познать, то любая истина фактически является известной. Этот парадокс обращает сложный антиреализм в наивный идеализм, различие между которыми в философском отношении нам хотелось бы сохранить, даже если мы не испытываем симпатии к антиреализму.
Первую версию доказательства передал Фитчу анонимный рецензент в 1945 году. Недавно выяснилось, что им был Алонзо Чёрч (Salerno 2009b) — теперь две рецензии Чёрча можно прочитать полностью (Church 2009). Фитч опубликовал доказательство в 1963 году, чтобы устранить «ошибку кондиционала» (“conditional fallacy”), которая угрожала его анализу значения, основанному на теории информированного желания. В общих чертах, в ходе анализа утверждается следующее: x значимо для s только в том случае, если имеет место такая истина p, что s при знании ее пожелал бы x. Существование непознаваемых истин в конечном счете объясняет, почему для Фитча область применения пропозициональных переменных ограничивается познаваемыми высказываниями: непознаваемая истина создает невозможный антецедент в контрфактическом высказывании Фитча и в итоге делает анализ тривиальным. Поскольку парадокс главным образом обсуждается независимо от теории значения Фитча, мы больше не будем ее здесь затрагивать.
Результат был переоткрыт в работах Hart and McGinn (1976), Hart (1979) и был воспринят в качестве опровержения верификационизма, согласно которому все обладающие значением высказывания (а тем самым и все истины) поддаются эмпирической проверке (то есть верификации). В конце концов, принять принцип познаваемости ∀p(p → ◊Kp) — значит согласиться с абсурдным заявлением, что все истины известны. Мэки (Mackie 1980) и Рутли (Routley 1981), как и другие комментаторы того времени, указывают на ряд сложностей, вытекающих из такого общего вывода, однако соглашаются, что доказательство Фитча опровергает заявления, что все истины можно познать, и ставит под удар различные виды верификационизма. Тем не менее, с начала 1980-х предпринимались многочисленные попытки представить это доказательство как парадокс. В конце концов, почему выходит так, что эпистемическая теория истины обращает возможное знание в дейсвительное знание? Интуитивно понятно, что позиция, согласно которой истину следует рассматривать с точки зрения эпистемических способностей не-всеведущих агентов, по меньшей мере согласованна: она не совпадает с тезисом о том, что все истины известны, и является более правдоподобной. Кроме того, многим казалось странным, что утонченные разновидности эпистемической теории истины должны стать жертвой столь поспешного заключения. Поэтому доказательство Чёрча–Фитча стали называть парадоксом познаваемости.
Не существует единого мнения о том, является ли доказательство ошибочным и в чем именно заключается ошибка, если оно неверно. В настоящей статье мы изложим само доказательство и ряд его рассмотрений.
Парадокс познаваемости
Рассуждение Фитча включает применение кванторов в предложениях. Наши пропозициональные переменные p и q в качестве подставляемых выражений будут принимать декларативные утверждения. Пусть K — эпистемический оператор «кому-либо в некий момент времени известно, что». Пусть ◊ — модальный оператор «возможно, что».
Примем принцип познаваемости (ПП), по которому все истины познаваемы кем-либо в некое время:
(ПП) ∀p(p → ◊Kp).
Затем предположим, что вместе мы не обладаем всеведением (условие не-всеведения, «НеВ») и что существует неизвестная истина:
(НеВ) ∃p(p ∧ ¬Kp).
Если это утверждение о существовании истинно, то истинно и выражение из скобок:
(1) p ∧ ¬Kp.
Теперь рассмотрим выражение из скобок в ПП и заменим в нем переменную p на строку 1:
(2) (p ∧ ¬Kp) → ◊K(p ∧ ¬Kp)
Поскольку возможность познания конъюнкции, выраженной в строке 1, мы получаем заключение:
(3) ◊K(p ∧ ¬Kp)
Однако независимо от этого можно показать, что такую конъюнкцию невозможно познать. А значит, высказывание из строки 3 ложно.
Независимый результат предполагает принятие двух довольно умеренных эпистемических принципов. Согласно первому принципу, знание конъюнкции подразумевает знание всех ее членов. В соответствии со вторым, знание утверждения подразумевает его истинность. Соответственно,
(А) K(p ∧ q) ⊢ Kp ∧ Kq
(Б) Kp ⊢ p
Кроме того, заранее принимаются два умеренных модальных принципа. Первый: все теоремы обладают необходимостью. Второй: «необходимо, что не-p» означает, что p невозможно. Соответственно,
(В) Если ⊢ p, то ⊢□p.
(Г) □¬p ⊢ ¬◊p.
Рассмотрим независимый результат:
(4)
K(p ∧ ¬Kp)
— допущение (для довода от обратного, reductio);
(5)
Kp ∧ K¬Kp
— следует из (4) в соответствии с (А);
(6)
Kp ∧ ¬Kp
—из (5), для правого члена конъюнкции применяется (Б);
(7)
¬K(p ∧ ¬Kp)
— из (4)–(6) (согласно reductio), противоречит допущению (4);
(8)
□¬K(p ∧ ¬Kp)
— из (7) в соответствии с (В);
(9)
¬◊K(p ∧ ¬Kp)
—из (8) в соответствии с (Г).
Выражение 9 противоречит выражению 3. Таким образом, из ПП и НеВ вытекает противоречие. Сторонник познаваемости всех истин должен отрицать наше не-всеведение:
(10) ¬∃p(p ∧ ¬Kp).
А следует это из того, что все истины в действительности известны:
(11) ∀p(p → Kp).
Сторонник мнения о познаваемости всех истин вынужден согласиться с абсурдным утверждением, что каждая истина в некий момент кем-либо познана.
Логические рассмотрения
В этом разделе мы исследуем перспективы рассмотрения доводов Фитча как неверных. Является ли эпистемическое рассуждение Фитча приемлемым? Является ли логика познаваемости классической логикой? И что самое главное, вытекают ли из принципа познаваемости особые соображения, которые оправдывают пересмотр классической логики? Если это так, то опровергнет ли подобный логический пересмотр доказательство Фитча? Если же его результат недействителен, то существуют ли близкие парадоксы, которые угрожают принципу познаваемости без того, чтобы при этом нарушались соответствующие логические стандарты?
Эпистемическое рассмотрение
Проблема рассуждения Фитча не связана с эпистемическими выводами А или Б. Хотя ряд авторов утверждал, что знание конъюнкции не подразумевает знание ее членов (Nozick 1981), Уильямсон (Williamson 1993) показал, что для некоторых разновидностей парадокса такое дистрибутивное допущение не требуется. Можно также достаточно быстро разрешить проблему фактивности K, поскольку близкие парадоксы показывают, что можно заменить фактивный оператор «известно, что» нефактивными операторами, такими как «разумно предполагается, что» (Mackie 1980: 92; Edgington 1985: 558–559; Tennant 1997: 252–259; Wright 2000: 357).
Глубокий и интересный разбор эпистемических операторов и/или темпоральных аналогов см. в работах Burgess (2009), van Benthem (2009), Kelp and Pritchard (2009), Linsky (2009) и Proietti and Sandu (2010).
Интуиционистское рассмотрение
Уильямсон (Williamson 1982) утверждает, что доказательство Фитча не противоречит антиреализму, а скорее является причиной, по которой антиреалисту необходимо принять интуиционистскую логику. Следуя за прочтением операции отрицания и квантора существования в рамках верификационизма (или конструктивизма), интуиционистская логика не принимает ни снятие двойного отрицания,
¬¬p ⊢ p,
ни следующее правило замены квантора:
¬∀xP[x] ⊢ ∃x¬P[x].
Без снятия двойного отрицания нельзя вывести заключение Фитча «все истины познаваемы» (строка 11) из положения «не существует истины, которая была бы неизвестной» (10). Рассмотрим выражение 10:
¬∃p(p ∧ ¬Kp).
Отсюда мы можем вывести интуитивистским методом:
∀p¬(p ∧ ¬Kp).
Однако обратите внимание, что без снятия двойного отрицания из выражения
¬(p ∧ ¬Kp)
не следует
p → Kp.
Пусть
¬(p ∧ ¬Kp)
и предположим p для введения кондиционала. Также предположим ¬Kp для доказательства от обратного. Мы можем соединить p и ¬Kp, чтобы получить:
p ∧ ¬Kp
Эта конъюнкция противоречит нашему первоначальному допущению. Таким образом, мы получаем от обратного ¬¬Kp. Без снятия двойного отрицания мы не можем вывести Kp и, следовательно, не можем ввести кондиционал
p → Kp
Тем не менее интуиционист полагает, исходя из правила ввода кондиционала, что
p → ¬¬Kp.
Существуют различные мнения о том, является ли это следствие достаточно проблематичным. Однако интуиционист-антиреалист находит утешение в том, что ему не приходится соглашаться с откровенно абсурдным утверждением, что все истины известны.
Проблемы интуиционистского рассмотрения
Поскольку доказательство Фитча интуиционистски верно до выражения 10, интуиционист-антиреалист должен принять тот факт, что не существует неизвестных истин: ¬∃p(p ∧ ¬Kp). Можно утверждать, что такая ситуация достаточно опасна, поскольку антиреалист не может обосновать трюизм, в соответствии с которым мы (будь то по отдельности или вместе) не всеведущи. Уильямсон в ответ заявляет, что интуиционист-антиреалист может вполне естественным образом выразить наше не-всеведение как «не все истины известны»:
(12) ¬∀p(p → Kp)
Это утверждение классически — однако не интуиционистски — эквивалентно тезису о не-всеведении
∃p(p ∧ ¬Kp),
поскольку в интуиционистской логике правило замены квантора, ¬∀xP[x] ⊢ ∃x ¬P[x], не является верным безо всяких ограничений. Важно заметить, что выражение не-вседения в строке 12, ¬∀p(p → Kp), только классически (а не интуиционистски) противоречит строке 10, ¬∃p(p ∧ ¬Kp). Таким образом, интуиционист-антиреалист может последовательно выразить трюизм, согласно которому мы не всеведущи (выражение 12), в то же время принимая интуиционистское следствие, полученное в строке 10. Фактически антиреализм допускает оба утверждения: нет неизвестных истин и не все истины можно познать. Справедливость этого вывода в интуиционистском контексте продемонстрировал Уильямсон (Williamson 1988, 1992).
3.4 Парадокс познаваемости, связанный с неразрешимостью
Утверждается, что интуиционист-антиреалист сталкивается и с более сложной проблемой. Парадокс Фитча опирается на допущение, что существуют неизвестные истины. Однако рассмотрим интуиционистски более слабое допущение, что существуют неразрешимые утверждения (НУ). Например, существует такое p, относительно которого неизвестно как само p, так и его отрицание ¬p. Строго говоря,
I. (НУ) ∃p(¬Kp ∧ ¬K¬p)
Если НУ истинно, то истинно и выражение из скобок:
II. ¬Kp ∧ ¬K¬p.
Обратите внимание, что интуиционистски приемлемое заключение в строке 10, ¬∃p(p ∧ ¬Kp), интуиционистски эквивалентно утверждению всеобщности
III. ∀p(¬Kp → ¬p).
Выводя ¬Kp → ¬p и ¬K¬p → ¬¬p из III и применяя к ним левый и правый члены конъюнкции II соответственно, мы приходим к противоречию: ¬p ∧ ¬¬p. Интуиционист-антиреалист вынужден признать абсурдность положения, что не существует неразрешимых утверждений:
IV. ¬∃p (¬Kp ∧ ¬K¬ p)
Указанная аргументация была предложена Персивалем (Percival 1990: 185). В силу своей интуиционистски приемлемости она показывает шаткость рассуждений интуициониста-антиреалиста.
В ответ антиреалист может снова прибегнуть к стратегии Уильямсона с тем, чтобы подвергнуть логику ревизии и воспроизвести выражение эпистемического трюизма. Примем только интуиционистские следствия ПП (в данном случае — о несуществовании неразрешимых утверждений) и выразим трюизм о неразрешимости, заявив, что не все утверждения решены:
V. ¬∀p(Kp ∨ K¬p).
Благодаря перепрочтению неразрешимости в строке V мы получаем утверждение, которое классически, но при этом не интуиционистски эквивалентно НУ. Таким образом, оно только классически, а не интуиционистски входит в противоречие с результатом в строке IV.
Парадоксы познаваемости, связанные с неразрешимостью, обсуждаются в работах: Wright 1987: 311; Williamson 1988: 426; Brogaard and Salerno 2002: 146–148. Парадоксы неразрешимости дают антиреалисту более весомый повод пересмотреть классическую логику в пользу интуиционистской. С переистолкованием наших эпистемически умеренных принципов вновь возникает логическое пространство для антиреализма.
Все это предполагает, что интуиционистский антиреализм внутренне согласован. Однако хорошо ли обоснован такой подход? Уместна в данном случае версия классической логики или же ловкая переинтерпретация наших эпистемических представлений?
Доводы в защиту предполагаемого права антиреалиста заменить классическую логику интуиционистской отстаивались независимо. Своим появлением они обязаны работам Даммита (Dummett 1976 и др.) Более поздние интерпретации аргументации антиреалистов, касающиеся пересмотра логики, появляются в работах: Wright 1992: ch. 2; Tennant 1997: ch. 7; Salerno 2000. Подробное изложение доводов в пользу пересмотра логики, а также их достоинств и недостатков, заслуживает отдельной статьи, поэтому здесь мы эту тему затрагивать не будем. На данный момент достаточно указать, что для антиреалиста угроза парадокса Фитча — не единственная причина принятия неклассической логики.
Как насчет новой интерпретации наших эпистемических представлений? Хорошо ли обоснован такой шаг? Согласно Кванвигу (Kvanvig 1995), нет. Почему мы должны допускать, что рассмотрение не-всеведения и неразрешимости с интуиционистской точки зрения лучше, чем наша исходная точка зрения, опирающаяся на здравый смысл? И как антиреалист сумеет отделаться от кажущейся тривиальности подходов, основанных на здравом смысле? На эти вопросы пока ответов нет.
Кроме того, некоторые интуиционистские следствия ПП считаются достаточно плохими. Даже если высказывания «не существует неизвестных истин» или «не существует неразрешимых утверждений» интуиционистски приемлемы, следующее высказывание, как представляется, таковым не является: если p неизвестно, то ¬p. В формальном виде: ¬Kp → ¬p. Высказывание интуиционистски вытекает из p → ¬¬Kp, которое ранее уже было получено нами как интуиционистское следствие ПП. В то же время ¬Kp →¬p ложно для эмпирического рассуждения. Почему факт, что никто никогда не знает p, должен быть достаточным для ложности p? Дальнейший разбор этой и других проблем, касающихся приложения интуиционистского антиреализма к эмпирическому рассуждению, см. в работах Percival 1990 и Williamson 1988. Иная точка зрения представлена в работе DeVidi and Solomon 2001. Авторы утверждают, что интуиционистские следствия не являются неприемлемыми для всякого сторонника эпистемической теории истины, поскольку они занимают в ней важное место.
По этим причинам обращение к самой интуитивистской логике в общем случае считается неудовлетворительным для рассмотрения парадоксов познаваемости. Исключениями являются работы Burmüdez 2009, Dummett 2009, Rasmussen 2009 и Maffezioli, Naibo and Negri forthcoming.
Паранепротиворечивая логика
Другой логический подход к разрешению парадокса Фитча, упоминается Рутли (Routley 1981) и отстаивается Биллом (Beall 2000). Идея заключается в том, что корректная логика познаваемости паранепротиворечива. В паранепротиворечивой логике теория не становится тривиальной из-за противоречий, так как они не «подрывают» ее. А именно: в паранепротиворечивой логике произвольный вывод заключения r из противоречия p ∧ ¬p, будет неверным. Благодаря такому подходу некоторые противоречия допускаются и считаются возможными.
Билл настаивал на двух пунктах. Во-первых, доказательство Фитча опирается на допущение, что для всех утверждений p противоречие Kp ∧ ¬Kp является невозможным. Во-вторых, независимо от этого у нас имеется основание полагать конъюнкцию Kp ∧ ¬Kp для некоторого p. Такое основание нам предоставляет парадокс познающего (the paradox of the knower), который не следует путать с парадоксом познаваемости. Соответствующую его версию можно продемонстрировать, рассмотрев следующее самореференциальное (то есть указывающее на само себя) утверждение:
(k) k неизвестно.
Допустим, что k известно. Тогда при условии, что знание подразумевает истинность, можно утверждать, что k истинно. Однако, согласно k, k неизвестно. Таким образом, k неизвестно. Следовательно, k одновременно известно и неизвестно. Но тогда можно доказать, что наше допущение (что k известно) ложно. И при условии, что доказанная ложность значит познанную ложь, нам становится известно, что k неизвестно. Иными словами, известно, что k. Однако мы уже показали, что если известно, что k, то k и известно, и неизвестно. А значит, доказывается, что k одновременно известно и неизвестно. Это тот случай, когда полное описание нашего знания включает и K(k), и ¬K(k). Таков парадокс познающего.
Согласно Биллу, познающий предоставляет нам некоторое независимое основание полагать конъюнкцию Kp ∧ ¬Kp для некоторого p, а значит, полное описание человеческого знания имеет интересную особенность: оно противоречиво. Благодаря паранепротиворечивой логике мы можем принять ее, и при этом теория не станет тривиальной. Итак, Билл полагает, что нам следует принять паранепротиворечивость и рассмотреть Kp ∧ ¬Kp в качестве истинного следствия принципа познаваемости. Билл делает вывод, что рассуждение Фитча, не уделяя должного внимания познающему, терпит неудачу в своей борьбе с принципом познаваемости, поскольку оно, по всей видимости, зависит от допущения, что для всех p невозможна конъюнкция Kp ∧ ¬Kp.
Обратите внимание, что в нашем изложении рассуждения Фитча не упоминается явным образом допущение о невозможности Kp ∧ ¬Kp. Мы хотим точно определить, в каком месте рассуждение Фитча сбивается с пути в соответствии с указанным подходом. В строке 9 (из первого раздела этой статьи) утверждается, что K(p ∧ ¬Kp) невозможно. Разумеется, из K(p ∧ ¬Kp) вытекает противоречие Kp ∧ ¬Kp. Поэтому в случае, если для Фитча K(p ∧ ¬Kp) невозможно в силу невозможности противоречий, Билл критикует непосредственно его доводы. Однако следует отметить, что здесь представлен немного другой аргумент, который заключается в следующем: K(p ∧ ¬Kp) влечет за собой противоречие Kp ∧ ¬Kp; от обратного следует, что K(p ∧ ¬Kp) является ложью. По условию необходимости можно сделать вывод, что K(p ∧ ¬Kp) ложно с необходимостью. В зависимости от того, на какую разновидность паранепротиворечивой логики он опирается, ее последователь может возражать против использования доказательства от обратного или же других выводов. Заявление о невозможности K(p ∧ ¬Kp) (строка 9) выводится из утверждения, что K(p ∧ ¬Kp) с необходимостью ложно. Для последователей паранепротиворечивой логики это может оказаться проблематичным. При допущении противоречий весьма трудно принять, что противоречивое утверждение невозможно, даже если оно по необходимости ложно. В конце концов, при таком подходе необходимо ложное утверждение вполне может оказаться одновременно и ложным, и истинным в некотором мире, и в этом случае утверждение является одновременно необходимо ложным и истинным. Если это так, то вывод ¬◊p из □¬p имеет контрпримеры и может не применяться для вывода ¬◊K(p ∧ ¬Kp) из □¬K(p ∧ ¬Kp).
Подход Билла опирается на (1) силу независимого доказательства истинных эпистемических противоречий, (2) адекватность предложенных решений парадокса познающего, (3) постановку вопроса о том, является ли рассуждение Фитча неэффективным без решения парадокса познающего и (4) интерпретацию операторов □ и ◊, которая лишает силы соответствующий вывод (из □¬p следует ¬◊p), но при этом позволяет сохранить роль оператора ◊ в принципе познаваемости. Мы оставим эти проблемы для дальнейшего рассмотрения, однако укажем, что в работе Wansing 2002 для отвода парадокса предлагается паранепротиворечивая конструктивная релевантная модальная логика с сильным отрицанием.
В работах Beall 2009 и Priest 2009 можно ознакомиться с последними достижениями паранепротиворечивого подхода.
Семантические ограничения
Из решений парадокса познаваемости нам осталось рассмотреть стратегии ограничения. Они по-новому истолковывают ПП за счет ограничения квантора всеобщности. На практике стратегии ограничения приводят к тому, что рассуждение Фитча опровергается за счет запрета подстановок выражения, входящего в ПП, которые и приводят к парадоксу. В данном разделе мы рассмотрим семантические доводы в пользу ограничения квантора всеобщности в ПП.
Ситуации и жесткие операции
Дороти Эджингтон (Edgington 1985) предлагает ситуационно-теоретическое рассмотрение парадокса Фитча. Согласно ей, проблема кроется в смешении «знания в ситуации, что p» и «знания, что в ситуации верно p». В последнем ситуация составляет (по крайней мере отчасти) сам предмет знания. В случае первого речь идет о ситуации, в которой имеется знание. Например, в своей действительной ситуации я вполне могу знать, что мне было бы больно в контрфактической ситуации, в которой мне бы вырывали зуб. Важно, что ситуация, в которой знание имеет место, может не совпадать с ситуацией, которая составляет предмет моего знания. В ситуации, в которой мой зуб не вырывают, мне могут быть известны факты, сопровождающие ситуацию, в которой мой зуб вырывают.
Что представляют собой ситуации? Примеры выше указывают на то, что ситуации — это миры. Однако ситуации могут быть менее полными, чем миры. Другими словами, они необязательно должны иметь истинностные значения, зафиксированные для утверждений, которые не связаны с контекстом. Рассмотрим пример Линстёма. В данной перцептивной ситуации s я могу знать, что у Джона (одного из участников карточной игры) на руках хорошие карты и что никто из игроков об этом не знает. В этом случае мое знание соответствует ситуации s* (карточной игре), однако получаю я его в другой ситуации s (моей перцептивной ситуации). Ситуация s* не просто определена: релевантная ей информация ограничена контекстом карточной игры. Ситуация s зафиксирована и ограничена контекстом перцептивной ситуации. Эджингтон предпочитает говорить о ситуациях, а не мирах, поскольку знание о недействительных ситуациях, в отличие от знания о недействительных мирах, не требует знания бесконечного числа подробностей.
Проведя четкое ситуационно-теоретическое разделение между «знанием в» и «знанием о», мы можем переинтерпретировать принцип познаваемости: для каждого утверждения p и ситуации s, если p истинно в s, существует ситуация s*, в которой известно, что p истинно в s. Для Эджингтон познаваемость подразумевает менее общий тезис: если p истинно в текущей ситуации s, то существует возможная ситуация s*, в которой известно, что p истинно в s. Назовем его Э-познаваемостью (E-knowability), или принципом познаваемости Эджингтон (ППЭ):
(ППЭ) Ap → ◊KAp,
где A — оператор действительности, который читается как «в некоторой действительной ситуации», а ◊ — оператор возможности, читающийся как «в некоторой возможной ситуации».
Как мы видим, ППЭ ограничивает принцип познаваемости областью действительных истин — в нем утверждается, что p действительно истинно только тогда, когда существует возможная ситуация, в которой известно, что p действительно истинно.
Важное нововведение состоит в следующем: как может быть действительное знание о контрфактическом положении вещей, так может быть и контрфактическое знание о действительном положении вещей. Собственно, ввиду результата Фитча Э-познаваемость Эджингтон требует существования подобного рода недействительного знания. Давайте рассмотрим, почему это так.
Действительные истины вида p ∧ ¬Kp должны быть Э-познаваемы. Однако о положении p ∧ ¬Kp мы не можем в действительности знать, что оно действительно. Аргументация здесь полностью аналогична рассуждению Фитча.
Можно сделать следующий вывод: поскольку для некоторого p положение p ∧ ¬Kp является действительным, Э-познаваемость позволяет нам считать, что возможное знание p ∧ ¬Kp является действительным. Так как это знание не может быть действительным, для Э-познаваемости требуется недействительное знание о том, какое положение действительно. Затем Э-познаваемость отвергает следующее допущение: при заданном утверждении p, если известно, что p в ситуации s, то в ситуации s известно, что p. Согласно анализу Эджингтон, именно это имплицитное (то есть скрытое) допущение уводит с верного пути рассуждение Фитча. Без него парадокса можно избежать.
Проблемы ситуаций
Поскольку оператор действительности жестко обозначает действительные ситуации, значения истинности утверждений вида Ap не будут различаться по возможным ситуациям. Ap подразумевает «в любой ситуации Ap». Следовательно, как понимает и сама Эджингтон, если Ap, то необходимо, что Ap. Отсюда уже возникают трудности для ППЭ. Подход Эджингтон можно подвергнуть критике за недостаточно общий характер. Всякий, кто склонен придерживаться принципа познаваемости, скорее всего считает, что принцип распространяется на все истины, а не только на необходимые истины, включающие оператор действительности. Выходит, что ППЭ весьма ограничен, поскольку он неспособен распространить эпистемические ограничения на область случайных истин (Williamson 1987a).
Дальнейшие замечания возникают, когда мы стараемся высказать нечто информативное о том, что именно составляет недействительное знание о действительном положении. Если существует подобное знание, то существует недействительная мысль о действительной ситуации. Следовательно, недействительный мыслитель неким образом обладает понятием о действительной ситуации. Но как именно недействительный мыслитель может получить точное понятие о ситуациях в действительном мире? Будет недостаточно выразить мысль «действительно p», ведь «действительно» жестко обозначит лишь ситуации в его мире. Более того, поскольку не существует причинной связи между действительным миром w1 и связанным недействительным миром w2, непонятно, как недействительная мысль в w2 может однозначно описывать w1 (Williamson 1987a: 257–258). А потому неясно, как же может существовать недействительное знание о действительном положении вещей.
Разумеется, действительное знание о недействительном представляет собой не лучший способ выделения миров. Особая трудность для недействительного познающего заключается в том, что содержание его мысли должно совпадать с содержанием, которое мы схватываем при рассмотрении истинности Ap. Будучи в действительном мире, мы способны однозначно выделить этот мир. Когда мы рассматриваем истину Ap, наш контекст фиксирует содержание A конкретным образом. Если Ap действительно познаваемо для недействительного познающего, то при схватывании Ap он должен постигать то же самое понятие, которое схватываем мы. Однако такая возможность остается проблематичной.
Дальнейшая критика подхода Эджингтон развернулась в работах: Wright 1987; Williamson 1987b, 2000b; Percival 1991. Формальная его проработка, обращающая внимание на некоторые из рассмотренных здесь трудностей, представлена в работах Rabinowicz and Segerberg 1994, Lindström 1997, Rückert 2003, Edgington 2010, Fara 2010 и Proietti and Sandu 2010.
Модальные ошибки и нежесткие утверждения
Кванвиг (Kvanvig 1995) обвиняет Фитча в совершении модальной ошибки. Ошибка заключается в неправомерной подстановке в модальный контекст. Рассмотрим хорошо известную модальную ошибку. Для всех людей x существует возможный мир, в котором x не является изобретателем бифокальных очков (даже Бенджамин Франклин, который изобрел их в действительности, мог и не оказаться их изобретателем). Следовательно, существует возможный мир, в котором изобретатель бифокальных очков не является изобретателем бифокальных очков. Это умозаключение можно представить формально. Так, кванторы будут относиться к людям. Пусть i — это нежесткий десигнатор «изобретатель бифокальных очков». В итоге мы получим следующее рассуждение:
∀x ◊¬(x = i)
Следовательно,
◊¬(i = i)
Любой человек может не быть изобретателем бифокальных очков, однако отсюда вовсе не следует, будто бы возможно, что изобретатель бифокальных очков не тождественен изобретателю бифокальных очков (это было бы ложью). В конце концов, необходимо, чтобы изобретатель бифокальных очков был изобретателем бифокальных очков.
Вывод следующий: подстановка в модальные контексты должна производиться с учетом некоторых ограничений. Можно сказать, что она правомерна, только если подставляемые термы являются жесткими десигнаторами. В случае Фитча термами являются предложения. Принцип познаваемости ∀p(p → ◊Kp) будто бы позволяет нам подставлять вместо p любое предложение. Однако обратите внимание, что относительно ◊ наш квантор имеет широкий объем. Как мы полагаем, что справедливо для модальной логики с квантификацией, то верно и для пропозициональной модальной логики с квантификацией. Если это так, тогда мы не вправе подставлять вместо p какое бы то ни было нежесткое выражение.
По оценке Кванвига, проблема доводов Фитча заключается в том, что Фитч подставляет конъюнкцию p ∧ ¬Kp вместо p в ПП (строка 2) и при этом не устанавливает, является ли p ∧ ¬Kp жестким. Как утверждает Кванвиг, p ∧ ¬Kp — нежесткое выражение. Таким образом, доказательство Фитча ошибочно в силу неразрешенной подстановки в модальный контекст. Тем не менее, конъюнкцию p ∧ ¬Kp можно сделать жесткой — и тогда парадокс исчезает.
Решение Кванвига состоит в том, чтобы кванторные выражения не были жесткими. Он объясняет это тем, что кванторы обозначают разные объекты в разных возможных мирах. «Все студенты из группы Джона по логике должны сдать итоговый экзамен» — это выражение описывает разных учащихся в разных возможных мирах. Если бы Сьюзи училась в этой группе, то выражение описывало бы ее. Но она решила не брать этот предмет, и потому выражение к ней не относится. Kp — это условное обозначение для «кому-то в некое время известно, что p». Таким образом, Kp имплицитно содержит кванторы. Его можно эксплицировать в виде ∃x∃t(Kxpt), что читается как «существуют некто x и время t такие, что x знает, что p, в момент времени t». Соответственно, в рамках данного подхода кванторное выражение, которое кратко обозначается Kp, является нежестким. ∃x∃t(Kxpt) описывает разных людей в разные моменты времени и в разных модальных контекстах. Например, выражение ∃x∃t(Kxpt) относится к действительным людям и моментам времени. Однако встроенное в модальный контекст, скажем, ◊∃x∃t(Kxpt), оно относится к возможным людям и моментам времени. В нем говорится, что «существует возможный мир, в котором существуют некто x и момент времени t такие, что x знает, что p, в момент времени t».
Теперь рассмотрим соответствующий вид тезиса Фитча о не-всеведении — p ∧ ¬Kp. Его расширенная формулировка: p ∧ ¬∃x∃t(Kxpt). То есть «p истинно, но никто никогда не знает, что p». Кванторное выражение, с этой точки зрения, является нежестким десигнатором. Будучи высказанным в действительном мире, оно относится к действительным людям и моментам времени. Однако при включении в объем оператора возможности, как полагает Кванвиг, обозначение меняется: речь теперь идет о возможных людях и моментах времени. Когда Фитч в ПП подставлял истинную конъюнкцию p ∧ ¬∃x∃t(Kxpt) вместо p, он подставлял нежесткий десигнатор, тем самым меняя референцию (предметное значение) конъюнкции и совершая модальную ошибку.
Как вариант, Кванвиг предлагает сделать жестким выражение Kp, чтобы указать следующее: «существует действительный человек x и действительный момент времени t такие, что x в момент времени t знает, что p». Поскольку это выражение обозначает жестко (то есть указывает на действительный мир вне зависимости от того, в каком модальном контексте оно появляется), его можно подставить вместо p в ПП. Конъюнкция при такой интерпретации не меняет десигнации, будучи включенной в объем ◊. Более того, при таком прочтении парадокс разрешается. Представляется возможным познать, является ли истинной конъюнкция, понятая в подобном ключе. Мы также не придем к противоречию, предположив следующее: некий возможный человек в некий возможный момент времени знает, что p истинно, но при этом оно никогда не познается действительным человеком в действительный момент времени. Парадокс разрешается.
Дальнейший разбор модальных ошибок и нежестких выражений производится в работах Brogaard and Salerno 2008 и Kennedy 2013.
Проблемы нежесткости
Уильямсон (Williamson 2000b) отстаивает правомерность рассуждений Фитча. Он утверждает, что у Кванвига нет оснований считать, что конъюнкция Фитча p ∧ ¬∃x∃t(Kxpt) не имеет жесткой десигнации. Уильямсон объясняет это следующим образом. Выражение является нежестким, если, будучи высказанным в фиксированном контексте, оно меняет свою референцию в зависимости от обстоятельств, в которых оно оценивается. Однако Кванвиг не приводит убедительных доводов в пользу того, что конъюнкция Фитча, будучи произнесенной в фиксированном контексте, меняет значение таким образом. Он лишь показал, что ее референция меняется в меняющихся контекстах, поскольку суть его аргумента состоит в следующем: будучи высказанным в разных мирах, кванторное утверждение будет относиться к разным объектам. По мнению Уильямсона, рассматривать это как критерий нежесткости означает путать нежесткость и индексальность. Важно, что индексальность не подразумевает нежесткость. Например, «я устал» указывает на меня и продолжает меня описывать, когда я оцениваю истинностное значение этой фразы в контрфактических обстоятельствах. Предложение могло бы быть ложным. Если бы я выспался, я бы не устал. Произнесенное в фиксированном контексте, слово «я» обладает жесткой десигнацией, хотя и является индексальным выражением. Если бы оно было произнесено в другом контексте кем-либо еще, то оно описывало бы кого-то другого, а не меня. Точно так же, даже если кванторные выражения индексальны, из этого еще не следует их нежесткость. И даже если конъюнкция Фитча индексальна, у нас не было причины полагать, что она нежесткая. Если это верно, то у нас нет оснований полагать, что Фитч совершил модальную ошибку.
Кванвиг отвечает на критику и развивает другие интересные темы в книге «Парадокс познаваемости» (Knowability Paradox, Kvanvig 2006), которая до сих пор остается единственной монографией по теме.
Синтаксические ограничения
Вышеизложенные стратегии ограничения задействовали семантические доводы в пользу ограничения квантора общности. Ограничение ПП производилось в контексте соображений о ситуациях, возможных мирах или жесткой десигнации. Другая разновидность стратегий ограничения — синтаксическая. В ней объем квантора всеобщности ограничивается теми формулами, которые имеют определенную логическую форму или состоят в определенном отношении доказуемости. В более широком смысле:
p → ◊Kp, где ‘p’ обладает логическим свойством F.
F — логическое свойство, в котором теоретик познаваемости принципиально заинтересован.
Картезианские высказывания
Теннант (Tennant 1997) сосредоточился на картезианских высказываниях: высказывание p является картезианским тогда и только тогда, когда можно доказать, что утверждение Kp непротиворечиво. Соответственно, он ограничивает область применимости ПП картезианскими утверждениями. Назовем ограниченный принцип Теннанта Т-познаваемостью (T-knowability) или ППТ:
(ППТ) p → ◊Kp, где p — картезианское высказывание.
Обратите внимание: при Т-познаваемости обсуждаемые нами парадоксы не возникают. ППТ избегает парадокса Фитча и связанных парадоксов неразрешимости. Ведь оба результата подставляют проблематичную конъюнкцию Фитча p ∧ ¬Kp на место переменной p → ◊Kp и получают (p ∧ ¬Kp) → ◊K(p ∧ ¬Kp). То есть высказывание p ∧ ¬Kp, согласно им, должно быть познаваемым, если оно истинно (строка 2 доказательства Фитча). Однако высказывание p ∧ ¬Kp не является картезианским, поскольку можно доказать, что K(p ∧ ¬Kp) противоречиво (так как оно приводит к противоречию в строке 6). ППТ фактически представляет собой наиболее приемлемое ограничение, необходимое для запрета спорной подстановки. Приемлемым оно является по той причине, что исключает подстановку лишь тех высказываний, которые логически невозможно познать.
Базисные высказывания
Даммит (Dummett 2001) соглашается, что ошибка теоретика познаваемости кроется в том, что тот недостаточно ограничивает свое определение истины. Даммит также согласен с тем, что такого рода ограничение должно быть синтаксическим. Он ограничивает область применимости ПП «базисными» утверждениями и определяет истину индуктивно. Согласно Даммиту:
p
если и только если
◊Kp (где p — базисное утверждение);
p и q
если и только если
p ∧ q;
p или q
если и только если
p ∨ q;
если p, то q
если и только если
p → q;
неверно, что p
если и только если
¬p;
F[нечто]
если и только если
∃xF[x];
F[все]
если и только если
∀xF[x],
где логическая константа, расположенная с правой стороны каждого бикондиционала, подчиняется законам интуиционистской логики.
Принцип познаваемости Даммита, или ППД, избегает парадоксов познаваемости по той же причине, что и принцип Теннанта. ППД ограничивает класс утверждений, на которые распространяется принцип познаваемости. В случае Даммита проблематичная конъюнкция Фитча p ∧ ¬Kp, будучи составной, а потому не базисной, неспособна заменить переменную в выражении p → ◊Kp. В итоге парадокс исключается.
Проблемы синтаксических ограничений
Теннант в статье (Tennant 2002) сравнивает достоинства своего ПП и принципа Даммита. Ограничение Теннанта менее требовательно, поскольку оно запрещает подстановку лишь логически непознаваемых утверждений, а следовательно, только тех, которые приводят к парадоксам. Ограничение Даммита, однако, запрещает подстановку не только подобного рода высказываний, но и логически сложных пропозиций, которые очевидно познаваемы. Теннант также указывает, что если ПП выступает для антиреалистов главнейшим поводом пересмотреть классическую логику, то ограничение области применимости ПП базисными утверждениями приводит к отказу от классического понимания сложных высказываний.
Основные возражения против использования стратегий ограничения делятся на две группы. В первой мы обнаруживаем рассуждения, в соответствии с которыми синтаксическое ограничение принципа познаваемости не является принципиальным. Во второй группе мы встречаем формулировки парадоксов, сходные с парадоксом Фитча, которые, однако, не устраняются синтаксическими ограничениями области познаваемых истин.
Начнем с первой группы. Так, Хенд и Кванвиг (Hand and Kvanvig 1999) утверждали, что ППТ не был ограничен принципиальным образом: помимо угрозы возникновения парадокса фактически не имелось веских оснований ограничивать область применимости ПП картезианскими высказываниями. (То же самое можно сказать и по поводу принципа познаваемости Даммита.) В своем ответе Хенду и Кванвигу Теннант (Tennant 2001b) задался общим вопросом о приемлемости ограничений для концептуального анализа и философского разъяснения. Сравнивая свои ограничения с рядом других, признанных приемлемыми, Теннант утверждает, что картезианское ограничение не является произвольным. Он также указывает, что ППТ, в отличие от неограниченного ПП, служит более интересным камнем преткновения для семантического реалиста и антиреалиста, так как реалист полагает, что истина может быть в принципе непознаваемой. В лучшем случае результат Фитча показывает существование структурной непознаваемости, производной исключительно от логических соображений. Однако имеется ли более существенный тип непознаваемости, например, производный от неосознаваемости нелогических предметных составляющих? Реалист, осуждающий произвольный характер ППТ или ППД, оказывается неспособным вступить в спор о реализме с теоретиком познаваемости.
Мнения о том, что стратегия ограничений Теннанта недостаточно обоснованна, также высказываются в работах DeVidi and Kenyon 2003 и Hand 2003. Хенд предлагает способ ограничения познаваемости в соответствии с установленным принципом.
Рассмотренные проблемы могут быть решены в том случае, если прибегнуть к рассмотрению версий парадокса, в которых не нарушаются предложенные ограничения применимости ПП. Уильямсон (Williamson 2000a) предлагает рассмотреть следующий парадокс. Пусть p — разрешимое предложение «На этом месте есть фрагмент римской керамики». Пусть n жестко обозначает число книг, в действительности находящихся сейчас на моем столе. Пусть E — предикат «является четным». Уильямсон строит конъюнкцию
p ∧ (Kp → En)
и заявляет, что она картезианская. Знание о ней, по всей видимости, не влечет за собой противоречия. Если он прав, то мы можем применить к конъюнкции ППТ и получить
1. (p ∧ (Kp → En)) → ◊K(p ∧ (Kp → En)).
Кроме того, если p истинно, а Kp ложно, то конъюнкция Уильямсона истинна. Таким образом,
2. (p ∧ ¬Kp) → (p ∧ (Kp → En)).
Из выражений (1) и (2) получаем:
3. (p ∧ ¬Kp) → ◊K(p ∧ (Kp → En)).
Используя скромные эпистемические ресурсы, задействованные в рассуждении Фитча, можно доказать следующую теорему:
4. K(p ∧ (Kp → En)) → En.
Рассмотрим, почему это можно сделать. Конъюнкция известна, только когда известны ее члены. Таким образом, если верно K(p ∧ (Kp → En)), то верно Kp. При этом могут быть известны только истины. Таким образом, если K(p ∧ (Kp → En)), то Kp → En. Разумеется, что из выражений Kp и Kp→ En, взятых вместе, следует En. Значит, Теорема 4 верна в том случае, когда верны эпистемические ресурсы Фитча. Раз речь идет о теореме, значит, она выполняется во всех возможных мирах. И потому ее консеквент (следствие) возможен, если возможен антецедент (основание):
5. ◊K(p ∧ (Kp → En)) → ◊En.
Из 3 и 5 выводим:
6. (p ∧ ¬Kp) → ◊En.
Поскольку n обладает жесткой десигнацией, четность n не является случайной. Затем из выражения 6 мы получаем:
7. (p ∧ ¬Kp) → En.
По аналогии заменим «нечетный» на «четный» и получим:
8. (p ∧ ¬Kp) → ¬En.
Но тогда мы приходим к противоречию, вытекающему из ППТ и конъюнкции Фитча: p ∧ ¬Kp. Доказательство включает в себя подстановки p ∧ (Kp → En) и p ∧ (Kp →¬En) вместо p в ППТ, однако Уильямсон полагает, что ни одна из них не нарушает картезианское ограничение. Вновь возникает парадокс.
Теннант (Tennant 2001a) оспаривает заявление Уильямсона о том, что p ∧ (Kp → En) является картезианским выражением. В случае, когда n нечетно, En выражает необходимую ложность (например, «13 является четным»). Однако в строке 4 утверждается, что K(p ∧ (Kp → En)) подразумевает нечто с необходимостью ложное. А если ложность выражения «13 является четным» логически необходима, то выражение p ∧ (Kp → En) не может быть правомерно познано и потому не является картезианским. В итоге, когда n нечетно, первая часть доказательства Уильямсона (включающая в себя предикат «является четным») в действительности нарушает картезианское ограничение. Конъюнкция Уильямсона, напротив, является картезианской, когда En истинно. Однако если по аналогии предположить, что истина En опирается на логическую необходимость, то выражение p ∧ (Kp → ¬En) не может быть правомерно познано и, следовательно, не является картезианским. Поэтому, когда n четно, вторая часть доказательства Уильямсона (в которой задействуется предикат «является нечетным») нарушает картезианское ограничение. Как бы то ни было, по мнению Теннанта, Уильямсону не удалось показать неадекватность подхода ППТ к парадоксу Фитча.
Спор продолжается в работах Williamson 2009 и Tennant 2010.
Брогаард и Салерно (Brogaard and Salerno 2002) создают другие парадоксы, аналогичные парадоксу Фитча, которые обходят стратегии ограничения. Необходимо отметить, что принцип познаваемости Даммита является бикондициональным — p ↔ ◊Kp, где p — базисное утверждение. Теннант (Tennant 2002) соглашается, что ПП должен сохранить фактивный характер ◊K. Поэтому Брогаард и Салерно начинают со следующего усиленного принципа познаваемости, или УПП:
(УПП) p ↔ ◊Kp, где p удовлетворяет соответствующим синтаксическим условиям.
Более того, учитывая неизбежность разбора логики K, вполне вероятно, что сторонник интуиционистской познаваемости захочет прибегнуть к принципу знания знания (KK-principle), или ЗЗ:
(ЗЗ) □(Kp → KKp).
Согласно этому принципу, если p известно, то с необходимостью известно, что p известно. Используется еще один ресурс, а именно принцип замкнутости, согласно которому антецедент необходимого кондиционала возможен, только если возможен консеквент.
Если эти принципы выполняются, то результат Фитча можно вывести, не нарушая картезианское ограничение Теннанта:
(1)
p ∧ ¬Kp
допущение (конъюнкция Фитча);
(2)
Kp → KKp
из ЗЗ;
(3)
p → ◊Kp
из УПП (слева направо);
(4)
◊Kp
из 1 и 3;
(5)
◊KKp
из 4 и 2 по принципу замкнутости;
(6)
◊KKp → Kp
из УПП (справа налево);
(7)
Kp
из 5 и 6;
(8)
Kp ∧ ¬Kp
из 1 и 7;
УПП применяется в выражениях 3 и 6 к p и Kp соответственно. Эти подставляемые выражения не нарушают картезианское ограничение. Ни Kp, ни KKp не противоречат сами себе. Тем не менее, антиреалист вынужден согласиться с нелогичным утверждением, что не существует неизвестной истины.
Вероятно, этот результат также приводит к нарушению принципа ограниченной познаваемости Даммита. Но все зависит от того, применяется ли данный принцип только к базисным утверждениям. p — это базисное утверждение, однако даммитовское описание истины недоопределяет статус Kp. Возможно, оно является базисным, поскольку Kp не является сложным относительно функции истинности. Тем не менее проблему нельзя решить, не обсудив K.
Брогаард и Салерно указывают на другие парадоксы, с которыми сталкиваются стратегии ограничения. Эти дополнительные результаты не предполагают следование принципу ЗЗ и всецело зависят от того, какой интерпретации ◊ придерживается теоретик познаваемости. Когда ◊ представляет собой метафизическую возможность или подчиняется логике, равной по силе как минимум S4, сильный принцип познаваемости (ограниченный должным образом), взятый в качестве необходимого тезиса, подразумевает, что не существует неизвестных истин. Когда ◊ представляет собой эпистемическую возможность, а принцип познаваемости берется как известный необходимый тезис, из последнего следует, что с необходимостью не существует неразрешимых утверждений. В отличие от парадоксов неразрешимости из работ Wright (1987), Williamson (1988), и Percival (1990), доказательство Брогаарда и Салерно не нарушает картезианское ограничение Теннанта. Ответ Брогаарду и Салерно появляется в Rosenkranz (2004). Более детальный разбор картезианского ограничения производится в работах Brogaard and Salerno (2006, 2008). Теннант продолжает развивать и отстаивать картезианскую стратегию в Tennant (2009).
Многое из того, что написано о парадоксе познаваемости, представляет собой попытки выразить соответствующий вид антиреализма без возникновения парадокса. Среди недавних работ можно назвать публикации: Chalmers 2002; Dummett 2009; Edgington 2010; Fara 2010; Hand 2009, 2010; Jenkins 2005; Kelp and Pritchard 2009; Linsky 2009; Restall 2009; Tennant 2009; Alexander 2013; а также Dean and Kurokawa forthcoming.
Например, Чалмерс (Chalmers 2002; 2012: ch. 2) отстаивает следующую идею: получив достаточно качественной информации о мире, мы могли бы в принципе знать значение истинности любого утверждения. Так, согласно его тезису вычитываемости (scrutability thesis), если D — это полное качественное описание мира, то для всех T известно априори, что D (материально) имплицирует T. Важно отметить: парадокс познаваемости не противоречит утверждению, что истинные конъюнкции Фитча априори выводимы из полного описания мира.
Даммит рассматривает ∀p(p → ¬¬Kp) в качестве лучшего выражения для его версии антиреализма и принимает все вытекающие из него интуиционистские следствия. Эджингтон защищает свой принцип познаваемости (если действительно p, то возможно знать, что действительно p), приводя убедительные доводы в пользу некоторой трансмировой познаваемости — а именно в тех случаях, когда сугубо возможный познающий разделяет соответствующую каузальную историю с действительным миром. Хенд защищает антиреализм, указывая на различие верификационного типа и исполнений его токенов, и утверждает, что существование типа верификации не влечет за собой ее исполняемость. Отсюда вывод: антиреалисту следовало бы определять истину не через исполняемость процедур верификации, а через существование типов верификации. Наконец, Лински сводит эпистемические принципы и рассуждения с теорией типов. Споры вокруг подходящего определения семантического антиреализма выходят далеко за рамки данной статьи. Что касается самого доказательства познаваемости — не существует единого мнения о том, является ли доказательство ошибочным и в чем именно заключается ошибка, если оно неверно.
Библиография
Alexander, S., 2013. “An axiomatic version of Fitch's paradox,” Synthese, 190: 2015–2020.
Beall, J.C., 2000. “Fitch's Proof, Verificationism, and the Knower Paradox,” Australasian Journal of Philosopohy, 78: 241–247.
–––, 2009. “Knowability and Possible Epistemic Oddities,” in Salerno (ed.) 2009, 105–125.
van Benthem, J., 2004. “What One May Come to Know,” Analysis, 64(2): 95–105.
–––, 2009. “Actions that Make us Know,” in Salerno (ed.) 2009, 129–146.
Brogaard, B., 2009. “On Keeping Blue Swans and Unknowable Facts at Bay: a Case Study on Fitch's Paradox,” in Salerno (ed.) 2009, 241–251.
Brogaard, B. and Salerno, J., 2002. “Clues to the Paradoxes of Knowability: Reply to Dummett and Tennant,” Analysis, 62: 143–150.
–––, 2006. “Knowability and a Modal Closure Principle,” American Philosophical Quarterly, 43: 261–270.
–––, 2008. “Knowability, Possibility and Paradox,” in V. Hendricks and D. Pritchard (eds.), New Waves in Epistemology, New York: Palgrave Macmillan.
Bermüdez, J., 2009. “Truth, Indefinite Extensibility, and Fitch's Paradox, ” in Salerno (ed.) 2009, 76–90.
Bueno, O., 2009. “Fitch's Paradox and the Philosophy of Mathematics,” in Salerno (ed.) 2009, 252–280.
Burgess, J., 2009. “Can Truth Out?,” in Salerno (ed.) 2009, 147–162.
Chalmers, D.J., 2002. “Does Conceivability Entail Possibility?,” in Gendler and Hawthorne (eds.), Conceivability and Possibility, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2012. Constructing the World, Oxford: Oxford University Press.
Church, A., 2009. “Referee Reports on Fitch's "A Definition of Value",” in Salerno (ed.) 2009, 13–20.
Costa-Leite, A. 2006. “Fusions of Modal Logics and Fitch's Paradox,” Croatian Journal of Philosophy, 6: 281–90.
Cozzo, C., 1994. “What We Can Learn from the Paradox of Knowability,” Topoi, 13: 71–78.
Dean W. & Kurokawa H., forthcoming. “From the knowability paradox to the existence of proofs,” Synthese.
DeVidi, D. and Kenyon, T., 2003. “Analogues of Knowability,” Australasian Journal of Philosopohy, 81(4): 481–495.
DeVidi, D. and Solomon, G., 2001. “Knowability and Intuitionistic Logic,” Philosophia, 28: 319–334.
Dummett, M., 1959. “Truth,” Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 141–162.
–––, 1975. “The Philosophical Basis of Intuitionistic Logi,c” in H. Rose and J. Shepherdson (eds.), Logic Colloquium '73, Amsterdam: North-Holland.
–––, 1976. “What is a Theory of Meaning? (II),” in G. Evans and J. McDowell (eds.), Truth and Meaning, Oxford: Clarendon Press, Chapter 4.
–––, 2001. “Victor's Error,” Analysis, 61: 1–2.
–––, 2009. “Fitch's Paradox of Knowability,” in Salerno (ed.) 2009, 51–52.
Edgington, D., 1985. “The Paradox of Knowability,” Mind, 94: 557–568.
–––, 2010. “Possible Knowledge of Unknown Truth,” Synthese, 173: 41–52.
Fara, M., 2010. “Knowability and the Capacity to Know,” Synthese, 173: 53–73.
Fitch, F., 1963. “A Logical Analysis of Some Value Concepts,” The Journal of Symbolic Logic, 28: 135–142; reprinted in Salerno (ed.) 2009, 21–28.
Hand, M. 2003. “Knowability and Epistemic Truth,” Australasian Journal of Philosophy, 81(2): 216–228.
–––, 2009. “Performance and Paradox,” in Salerno (ed.) 2009, 283–301.
–––, 2010. “Antirealism and Universal Knowability,” Synthese, 173: 25–39.
Hand, M. and Kvanvig, J., 1999. “Tennant on Knowability,” Australasian Journal of Philosophy, 77: 422–428.
Hart, W. D., 1979. “The Epistemology of Abstract Objects: Access and Inference,” Proceedings of the Aristotelian Society, 53 (Supplementary): 153–165.
–––, 2009. “Invincible Ignorance,” in Salerno (ed.) 2009, 320–323.
Hart, W. D. and McGinn, C., 1976. “Knowledge and Necessity,” Journal of Philosophical Logic, 5: 205–208.
Jenkins, C., 2005. “Realism and Independence,” American Philosophical Quarterly, 42: 199–209.
–––, 2009. “The Mystery of the Disappearing Diamond,” in Salerno (ed.)302–319.
Kelp, C. and Pritchard, D., 2009. “Two Deflationary Approaches to Fitch-Style Reasoning,” in Salerno (ed.) 2009, 324-338.
Kennedy, N., forthcoming. “Defending the Possibility of Knowledge,” Journal of Philosophical Logic.
Kvanvig, J., 1995. “The Knowability Paradox and the Prospects for Anti-Realism,” Noûs, 29: 481-499.
–––, 2006. The Knowability Paradox. Oxford: Oxford University Press.
–––, 2009. “Restriction Strategies for Knowability: Some Lessons in False Hope,” in Salerno (ed.) 2009, 205–222.
–––, 2010.“The Incarnation and the Knowability Paradox,” Synthese, 173: 89–105
Lindström, S., 1997. “Situations, Truth and Knowability: A Situation-Theoretic Analysis of a Paradox of Fitch,” in E. Ejerthed and S. Lindström (eds.), Logic, Action and Cognition: Essays in Philosophical Logic. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 183–210.
Linsky, B., 2009. “Logical Types in Arguments about Knowability and Belief,” in Salerno (ed.) 2009, 163–179.
Mackie, J. L., 1980. “Truth and Knowability,” Analysis, 40: 90–92.
Maffezioli, P., Naibo, A. & Negri, S., forthcoming. “The Church-Fitch knowability paradox in the light of structural proof theory,” Synthese.
Melia, J., 1991. “Anti-Realism Untouched,” Mind, 100: 341–342.
Nozick, R., 1981. Philosophical Explanations, Cambridge, MA: Harvard University Press, Chapter 3.
Percival, P., 1990. “Fitch and Intuitionistic Knowability,” Analysis, 50: 182–187.
Percival, P., 1991. “Knowability, Actuality and the Metaphysics of Context-Dependence,” Australasian Journal of Philosophy, 69: 82–97.
Priest, G., 2009. “Beyond the Limits of Knowledge,” in Salerno (ed.) 2009, 93–104.
Proietti, C. and Sandu, G., 2010. “Fitch's Paradox and Ceteris Paribus Modalities,” Synthese, 173: 75–87.
Rabinowicz, W. and Segerberg, K., 1994. “Actual Truth, Possible Knowledge,” Topoi, 13: 101–115.
Rasmussen, S., 2009. “The Paradox of Knowability and the Mapping Objection,” in Salerno (ed.) 2009, 53–75.
Rasmussen, S. A. and Ravnkilde, J., 1982. “Realism and Logic,” Synthese, 52: 379–437.
Restall, G., 2009. “Not Every Truth Can Be Known (at least, not all at once),” in Salerno (ed.) 2009, 339–354.
Rosenkranz, S., 2004. “Fitch Back in Action Again?,” Analysis, 64(1): 67–71.
Routley, R., 1981. “Necessary Limits to Knowledge: Unknowable Truths,” in M. Edgar, N. Otto, and Z. Gerhard (eds.), Essays in Scientific Philosophy. Dedicated to Paul Weingartner/Philosophie als Wissenschaft. Paul Weingartner gewidmet, Bad Reichenhall: Comes Verlag, 93–115.
Rückert, H., 2003. “A Solution to Fitch's Paradox of Knowability,” in Gabbay, Rahman, Symons, Van Bendegem (eds.), Logic, Epistemology and the Unity of Science, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Salerno, J., (ed.) 2009. New Essays on the Knowability Paradox, Oxford: Oxford University Press.
Salerno, J., 2009b. “Knowability Noir: 1945–1963,” in Salerno (ed.) 2009, 29–48.
–––, 2000. “Revising the Logic of Logical Revision,” Philosophical Studies, 99: 211–227.
Tennant, N., 1997. The Taming of the True, Oxford: Oxford University Press, Chapter 8.
–––, 2001a. “Is Every Truth Knowable? Reply to Williamson,” Ratio, XIV: 263–280.
–––, 2001b. “Is Every Truth knowable? Reply to Hand and Kvanvig,” Australasian Journal of Philosophy, 79: 107–113.
–––, 2002. “Victor Vanquished,” Analysis 62, 135–142.
–––, 2009. “Revamping the Restriction Strategy,” in Salerno (ed.) 2009, 223–238.
–––, 2010. “Williamson's Woes,” Synthese, 173: 9–23.
Wansing, H., 2002. “Diamonds are a philosopher's best Friend: The Knowability Paradox and Modal Epistemic Relevance Logic,” Journal of Philosophical Logic, 31(6): 591–612.
Williamson, T., 1982. “Intuitionism Disproved?,” Analysis, 42: 203–207.
–––, 1987a. “On the Paradox of Knowability,” Mind, 96: 256–61.
–––, 1987b. “On Knowledge of the Unknowable,” Analysis, 47: 154–8.
–––, 1988. “Knowability and Constructivism,” Philosophical Quarterly, 38: 422–432.
–––, 1992. “On ntuitionistic Modal Epistemic Logic,” Journal of Philosophical Logic, 21: 63–89.
–––, 1993. “Verificationism and Non-Distributive Knowledge,” Australasian Journal of Philosophy, 71: 78–86.
–––, 2000a. “Tennant on Knowable Truth,” Ratio, XIII: 99–114.
–––, 2000b. Knowledge and its Limits, Oxford: Oxford University Press, Chapter 12.
–––, 2009. “Tennant's Troubles,” in Salerno (ed.) 2009, 183–204.
Wright, C., 1987. Realism, Meaning and Truth, Oxford: Blackwell.
–––, 1992. Truth and Objectivity, Cambridge, MA: Harvard University Press, Chapter 2.
–––, 2000. “Truth as Sort of Epistemic: Putnam's Peregrinations,” Journal of Philosophy, 97: 335–364.
11205
.jpg)
