концепции

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Парадокс Лжеца

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 20 января 2011 года; содержательно переработано 12 декабря 2016 года.

Первое предложение настоящей статьи ложно. В таком высказывании есть нечто странное, как известно со времен античности. Ведь всякая ложь неистинна. Истинно ли наше первое предложение? Если да, тогда оно ложно, так что оно неистинно. И наоборот, предположим, что оно неистинно. Мы (то есть авторы) произнесли его, и обычно вещи высказываются с тем, чтобы в них поверили. Высказывать таким образом нечто неистинное означает ложь. Но учитывая, что говорится в предложении, в конце концов оно оказывается истинным!

На протяжении всей истории философии люди зачастую обнаруживали странности в подобных предложениях. Их обсуждали в период классики, прежде всего представители Мегарской школы, но также Аристотель и Цицерон. Будучи примером «инсолюбилии» (так в Средние века называли логические парадоксы), эти предложения обстоятельно исследовались такими средневековыми логиками, как Жан Буридан. В современную эпоху проработка данной темы во многом сформировала новую математическую логику — и впоследствии стала самостоятельным предметом изучения. Парадокс, кроящийся в подобных предложениях, нередко зовут парадоксом Эпименида: традиция приписывает первое предложение такого рода Эпимениду Критскому, который якобы сказал, что все критяне лжецы. Высказывание одного критянина оказалось не менее важным, чем Новый Завет!

Эту головоломку обычно именуют парадоксом Лжеца (далее: Лжец), хотя данный термин покрывает целое семейство парадоксов, которые ассоциируются с нашей разновидностью озадачивающих предложений. Это название весьма уместно, поскольку парадоксы приводят к противоречивым заключениям, таким как «всё истинно». В самом деле, кажется, будто Лжец позволяет нам приходить к таким заключениям на основании логики и некоторых весьма очевидных положений, иногда рассматриваемых в качестве логических принципов. Итак, мы сталкиваемся с довольно непривычной ситуацией, когда только лишь нечто сродни или наподобие логики ведет к противоречию. Быть может, это наиболее опасное ответвление парадокса, и его рассмотрение было важнейшей задачей логики с момента ее появления.

В настоящей статье мы рассмотрим несколько важных разновидностей парадоксов Лжеца и ряд важных представлений о способах их разрешения. За прошедшие пару тысяч лет подобных способов накопилось целое множество, и мы не сумеем охватить их все; вместо этого мы сосредоточимся на проектах, которые оказались наиболее значимыми.

Парадокс и более широкий феномен

Лжец с простой ложностью

Рассмотрим предложение (назовем его FЛжец), которое говорит о своей (т.е. FЛжеца) ложности:

— FЛжец: FЛжец ложно.

Судя по всему, оно ведет к противоречию. Ведь если предложение «FЛжец ложно» истинно, то с учетом сказанного FЛжец ложно, но если FЛжец и есть предложение «FЛжец ложно», отсюда следует, что если FЛжец истинно, то FЛжец ложно. И наоборот, если оно ложно, то предложение «FЛжец ложно» истинно. Опять-таки, FЛжец — это предложение «FЛжец ложно», так что мы можем заключить, что если FЛжец ложно, то FЛжец истинно. А значит, FЛжец ложно, если и только если FЛжец истинно. Однако если любое предложение либо истинно, либо ложно, само FЛжец тоже либо истинно, либо ложно, но в нашем случае — учитывая все сказанное выше — оно и истинно, и ложно. Это противоречие. В соответствии со многими логическими теориями (классической логикой, интуиционистской логикой и множеством других), противоречия ведут к абсурдной тривиальности, согласно которой любое предложение истинно.

Очевидное решение заключается в отказе от представления, будто любое предложения является либо истинным, либо ложным, то есть в отказе от принципа двузначности. В разделе 4 мы увидим несколько ответвлений данной идеи, сохраняющей значимое место в современной литературе по проблеме Лжеца. Даже если и так, простая разновидность предложения Лжеца показывает, что это непосредственное решение отнюдь не исчерпывает проблему.

Лжец с простой неистинностью

Вместо того, чтобы оперировать ложностью, мы можем построить предложение Лжеца со сложным предикатом «не истинно». Так, рассмотрим предложение под названием UЛжец (U — ‘un-true’, «неистинно»), которое говорит о себе, что оно не истинно.

— UЛжец: UЛжец не истинно.

Как и в случае с FЛжец, рассуждение показывает, что предложение приводит к противоречию. Вкратце: если UЛжец истинно, то оно не истинно; если же оно не истинно, тогда оно истинно. Однако если любое предложение либо истинно, либо не истинно, то само UЛжец истинно либо не истинно, а в нашем случае и истинно, и не истинно. Это противоречие. В соответствии со многими логиками, противоречие подразумевает абсурдную тривиальность.

Рассмотренные нами две разновидности парадокса Лжеца так или иначе опираются на эксплицитную самореференцию: предложения прямо и открыто высказываются о самих себе. Такой эксплицитной самореференции можно избежать, как показывает следующее семейство парадоксов.

Циклы Лжеца

Рассмотрим очень краткий (по предложению на участника) диалог между братом и сестрой.

 — Макс: Заявление Агнес истинно.

—  Агнес: Заявление Макса не истинно.

Реплика Макса истинна тогда и только тогда, когда реплика Агнес истинна. Однако сказанное Агнес («Заявление Макса не истинно») истинно, если и только если сказанное Максом не истинно. Таким образом, реплика Макса истинна, если и только если сказанное им не истинно. Но если сказанное Максом истинно либо не истинно, то оно и истинно, и не истинно. Как и в случаях FЛжец и UЛжец, перед нами противоречие, ведущее, согласно многим логическим теориям, к абсурду.

Парадоксы Лжеца можно образовать и при помощи более сложных по структуре предложений, а не сложных способов референции. В одном из таких предложений используются булевы связки.

Булевы связки

Булевы связки могут по-разному входить в предложения Лжеца. Один из сравнительно простых вариантов приводится ниже. Рассмотрим предложение DЛжец (D обозначает дизъюнкцию).

— DЛжец: Либо DЛжец не истинно, либо 1 = 0.

Во-первых, мы видим, что если DЛжец не истинно, то оно должно быть истинным. Если DЛжец не истинно, то по уже знакомым нам соображениям можно сделать вывод, что левый дизъюнкт DЛжец истинен. Но дизъюнкция истинна, если истинен какой-либо из ее дизъюнктов, так что DЛжец истинно. Следовательно, если DЛжец не истинно, оно истинно и не истинно сразу — это противоречие. По сведению мы получаем, что оно должно быть истинно, так что и один из его дизъюнктов истинен. Если речь идет о первом из них, то перед нами противоречие, так что истинным должен быть второй дизъюнкт; мы можем заключить, что 1 = 0. Мы доказали, что 1 = 0. Более того, предложение «1 = 0» не играло никакой роли в нашем рассуждении. Мы можем заменить его на любое другое предложение и тем самым доказать истинность последнего.

Мы остановились на случае DЛжец, поскольку он связан с другим важным парадоксом — парадоксом Карри, который затрагивает условные предложения, высказывающие о себе только то, что из их (т.е. самих условных предложений, или импликаций) истинности следует истинность какого-либо абсурда: «если это предложение истинно, тогда 1 = 0», «если это предложение истинно, всё на свете истинно» и т.д. DЛжец оказывается эквивалентным предложению Карри «DЛжец истинен ⊃ 1 = 0»; по крайней мере это справедливо для языков, в которых импликация является материальной (т.е. где A⊃B эквивалентно ¬A\/B). Между парадоксами устанавливается некоторая связь, однако мы остановились на DЛжец с тем, чтобы отметить их важное отличие друг от друга. Парадокс Карри более всего значим тогда, когда импликация является чем-то большим, нежели материальной импликацией или ее модализированной разновидностью. В подобных контекстах парадокс Карри не несет в себе отрицание, как это делает DЛжец. Подробный его разбор см. в статье про парадокс Карри.

Бесконечные последовательности

Логики обстоятельно рассматривали вопрос о том, действительно ли Лжец содержит в себе порочный круг. Циклы Лжеца (такие как диалог Макса и Агнес, см. выше) показывают, что эксплицитная самореференция необязательна. И все же ясно, что такие циклы сами по содержат круговую референцию. Ябло (Yablo 1993b) продемонстрировал, что более сложная разновидность парадокса со многими предложениями дает Лжеца без порочного круга.

Парадокс Ябло основывается на бесконечной последовательности заявлений A0, A1, A2, …, где в каждом Ai говорится, что все «бóльшие» Ak (Ak такие, что k>i) неистинны. (Иными словами, в каждом заявлении говорится, что все остальные неистинны.) Поскольку последовательность бесконечна, данная разновидность парадокса, похоже, избегает порочного круга, который присутствовал в уже рассмотренных нами примерах. Однако здесь все равно возникает противоречие. Если A0 истинно, то все «бóльшие» Ak неистинны, тогда a fortiori (тем более) A1 неистинно. Но в таком случае имеется как минимум одно истинное Ak, большее, чем A1 (такое Ak, что k>1), что противоречит A0. И наоборот, если A0 неистинно, тогда есть по меньшей мере одно истинное Ak, большее, чем A0. Допустим, что это Am (истина, бóльшая, чем A0); в таком случае Am+1 неистинно, а значит, имеется некоторая истина, бóльшая, чем Am+1. Однако это противоречит Am. В итоге мы получаем, что если A0 (т.е. первое заявление в бесконечной последовательности) либо истинно, либо неистинно, то оно и истинно, и неистинно. Как и ранее, перед нами противоречие.

Вопрос о том, действительно ли парадокс Ябло избегает самореференции, подробно обсуждается в литературе по данной теме. См., напр., Barrio 2012, Beall 2001; Cook 2006, 2014; Ojea 2012, Picollo 2012, Priest 1997, Sorensen 1998 и Teijeiro 2012.

Основные составляющие

Мы уже видели, какого рода рассуждениями сопровождается Лжец. Мы также выявили общую структуру во всех наших парадоксах (например, наличие предикатов истинности) и нечто наподобие отрицания. Далее мы разберем элементы Лжеца, сосредоточившись на основных Лжецах. Из-за чего возникает парадокс и какие именно из рассмотренных головоломок следует признать «основными» — вопрос спорный. Разные подходы решают его по-разному. Поэтому в нашу задачу входит лишь прояснение общих мотивов различных парадоксов Лжеца, а не установление подлинного источника парадокса.

Мы выделяем три аспекта Лжеца: роль предикатов истинности, разновидности требуемых принципов рассуждения об истинности и тот способ, посредством которого на их основании можно вывести парадокс.

Предикат истинности

Первый компонент, требующийся для построения Лжеца — это предикат истинности, который мы далее будем записывать в виде Tr. Мы следуем обычной логической конвенции и рассматриваем его как предикат предложений. Однако следует помнить, особенно когда мы разбираем способы разрешения Лжеца, что такой подход применяется скорее в целях изложения — мы не выдвигаем никаких предположений о том, чем являются носители истинности (truth bearers).

Допустим, что наряду с предикатом истинности мы располагаем подходящими именами предложений. Для данного предложения A предположим, что его именем выступает ⌜A⌝. Предицирование истинности этому предложению будет записываться как Tr(⌜A⌝).

Мы будем говорить, что предикат Tr(x) служит предикатом истинности для языка L, только если Tr(⌜A⌝) правильно построено для каждого предложения A языка L. Обычно мы ожидаем, что Tr будет подчиняться ряду принципов, управляющих его поведением в отношении предложений данного языка. К ним мы сейчас и перейдем.

Принципы истинности

Альфред Тарский (Tarski 1935) положил начало традиции, утверждающей, что поведение предиката истинности Tr можно описать в виде следующей двусторонней импликации:

Tr(⌜A⌝)↔A.

Здесь у Тарского двусторонняя импликация оказывается на деле материальной двусторонней импликацией классической логики. Обычно ее называют Т-схемой. Дальнейшие сведения о Т-схеме и концепции истинности Тарского см. в статьях об Альфреде Тарском и определениях истины по Тарскому.

Парадокс Лжеца разбирался прежде всего в контексте рассуждений о неклассических логиках (мы уже видели намек на них в идее, что следует отвергнуть двузначность как составляющую разрешения Лжеца). Таким образом, нам следует рассмотреть вопрос о том, каким принципам должен подчиняться предикат Tr при условии, что классическая логика здесь больше не подходит.

Т-схему предлагается заменить главным образом двумя видами «правил» (напр., двумя видами «правил вывода» в некотором смысле) или принципов, которые описывают предикат истинности. Если у вас есть предложение A, то из него можно вывести Tr(⌜A⌝), то есть A можно «захватить» предикатом истинности. И наоборот, если у вас есть Tr(⌜A⌝), из него A можно вывести, то есть можно «высвободить» A от предиката истинности. В ряде логик захват и высвобождение оказываются эквивалентными Т-схеме, однако зачастую полезно их разводить:

— Захват. А влечет Tr(⌜A⌝). (Можно также записать это в виде A⊢Tr(⌜A⌝).)

— Высвобождение. Tr(⌜A⌝) влечет A. (Можно также записать это в виде Tr(⌜A⌝)⊢A.)

Влечет означает здесь логическое понятие. Однако вопрос о том, какое именно понятие импликации здесь подразумевается и каковы принципы его работы, зависит от того, из какой логики мы исходим. В целях дискуссии мы выразим понятие в так называемой форме правила: умозаключение от A к B валидно. Мы будем обозначать его, как и выше, с помощью знака турникета. В некоторых логических контекстах (напр., классической логики, в которой действует т.н. теорема дедукции) оно эквивалентно доказуемости импликации, однако в других нет. Как бы то ни было, захват и высвобождение, взятые вместе, делают A и Tr(⌜A⌝) логически эквивалентными в смысле их взаимовыводимости. В своих сильных формах захват и высвобождение в экстенсиональных контекстах могут привести к полной взаимозаменимости A и Tr(⌜A⌝). Как мы покажем в разделе 4.1, это весьма важно для некоторых представлений о природе истины. Итак, ⊢ используется здесь как схематичное обозначение целого множества различных логических представлений, и каждое из них снабжает нас понятием валидного вывода в некоторой логической теории.

(Существует ряд логических тонкостей, которые мы не можем тут осветить, например, вопросы о том, как формулируются правила и какие из них непротиворечивы. Логическая сила различных формулировок также значительно варьируется. Обзор того, как непротиворечивые формы захвата и высвобождения могут быть сформулированы в рамках классической логики, см. в статье об аксиоматических теориях истины. В терминологии Фридмана и Шерда (Friedman and Sheard 1987) формы правил захвата и высвобождения называются T-Intro и T-Elim, а кондициональные формы — T-In и T-Out. Мы предпочитаем более широкую терминологию, поскольку она выделяет общую форму поведения, свойственную большому диапазону предикатов и операторов, например, знание высвобождает, но не захватывает, возможность захватывает, но не высвобождает, и т.п., а истина делает и то, и другое, что и составляет ее особенность.)

Лжец в кратком изложении

Лжец начинается с языка, содержащего предикат истинности, который подчиняется некоторой форме захвата и высвобождения. Теперь мы можем более подробно остановиться на вопросе о том, как эти допущения приводят в итоге к парадоксу Лжеца.

Существование «лжеподобных» предложений

Если отставить в сторону парадоксы в духе Ябло, Лжец опирается на некоторую разновидность самореференции: либо прямую, как в случае простых Лжецов, либо косвенную, как в циклах Лжеца. Для большинства естественных языков саморефенция строится просто. Один из примеров — первое предложение настоящей статьи. Самореференция может быть случайной — к примеру, когда кто-то пишет на доске «Единственное предложение на доске в аудитории 101 не истинно», случайно оказавшись в аудитории 101 (как отмечалось в работе C. Parsons 1974).

В формальных языках самореференция также строится довольно-таки просто. Любой язык, способный выражать некоторый базовый синтаксис, может порождать самореферентные предложения при помощи так называемой диагонализации (если несколько точнее, любой язык наряду с соответствующей теорией синтаксиса или арифметики). Язык, содержащий предикат истинности и подобный базовый синтаксис, будет иметь в своем составе предложение L такое, что L влечет ¬Tr(⌜L⌝) и наоборот:

L⊣⊢¬Tr(⌜L⌝).

Такова «неподвижная точка» (составного предиката) ¬Tr — и это, в сущности, как раз наш Лжец с простой неистинностью.

(С технической точки зрения проще всего представить свойство с неподвижной точкой с помощью импликаций, как мы сделали это здесь. Но интуиция подсказывает, что L неким образом «просто есть» ¬Tr(⌜L⌝). Мы можем уточнить данное положение, если представим, что такое предложение Лжеца L возникает из имени c, обозначающего предложение ¬Tr(c). В таком случае мы можем помыслить существование Лжеца в виде тождества c=⌜¬Tr(c)⌝. Дальнейшие сведения о таком подходе см. в Heck 2012.)

Другие логические «законы»

Другие значимые составляющие в привычных парадоксах Лжеца затрагивают логическое поведение базовых связок или же свойств импликации. Вот несколько важных в нашем контексте принципов:

— Исключенное третье (LEM): ⊢A\/¬A.

— Эксплозия (EFQ): A, ¬A⊢B.

— Принцип дизъюнкции (DP): Если A⊢C и B⊢C, то A\/B⊢C.

— Адъюнкция: Если A⊢B и A⊢C, то A⊢B/\C.

(Это отнюдь не единственные логические свойства, входящие в состав большинства парадоксов Лжеца, но, судя по всему, из всех значимых ингредиентов именно они более всего важны.)

Абстрактное представление Лжеца

Перечислив составляющие Лжеца, мы теперь можем придать парадоксу более абстрактный вид. (Таким образом мы надеемся Ход рассуждений, в соответствии с которым наше предложение L влечет противоречие, выглядит следующим образом.

Ход рассуждений, в соответствии с которым наше предложение L влечет противоречие, выглядит следующим образом.

1.Tr(⌜L⌝)\/¬Tr(⌜L⌝) [LEM]

2.Первый случай

a.Tr(⌜L⌝)

b.L [2a: высвобождение]

c.¬Tr(⌜L⌝) [2b: определение L]

d.¬Tr(⌜L⌝)/\Tr(⌜L⌝) [2a, 2c: адъюнкция]

3.Второй случай:

a.¬Tr(⌜L⌝)

b.L [3a: определение L]

c.Tr(⌜L⌝) [3b: захват]

d.¬Tr(⌜L⌝) [3a, 3c: адъюнкция]

4.¬Tr(⌜L⌝)/\Tr(⌜L⌝) [1–3: DP]

Это лишь одна из множества разновидностей Лжеца. В несколько более сложных версиях, к примеру, можно пренебречь захватом либо высвобождением в пользу другого фонового допущения. Имеются также интуиционистские разновидности Лжеца, хотя здесь мы не будем рассматривать интуиционистскую логику.

Мы показали, что с данными составляющими наше предложение Лжеца L влечет за собой противоречие (тем самым мы формализовали ход рассуждений, связанный с UЛжецом). Отсюда недалеко до полного абсурда — если одного противоречия для него еще не достаточно. Мы привлекаем EFQ для завершения доказательства. (Мы также допустили, что A/\B влечет A и B, то есть симплификация валидна в L; однако на деле это допущение необязательно.)

5.B [4: EFQ]

Здесь B может быть любым — каким вам угодно (или не угодно, как может статься) — предложением! EFQ — принцип, согласно которому из противоречия следует любое предложение; он позволяет нам перейти от единичного противоречия к полной тривиальности логики.

Под угрозой подобной абсурдности (тривиальности) мы делаем вывод, что в рассуждении Лжеца есть нечто неправильное. Вот только что именно? Такой вопрос поднимает парадокс Лжеца.

Значение парадокса

Мы увидели, что ряд элементарных допущений касательно истины и логики порождает логическую катастрофу. Каково же общее значение подобного результата? 

То и дело утверждалось, что Лжец открывает нам нечто предельно философское. К примеру, по словам Грима (Grim 1991), парадокс показывает, что мир в некотором смысле сущностно «неполон» и что в нем не может быть существ, обладающим всеведением. Макги (McGee 1991) и другие авторы предполагали, что Лжец демонстрирует неясный (vague) характер понятия истины. По мнению Гланзберга (Glanzberg 2001), Лжец раскрывает нам нечто важное по поводу природы контекстной зависимости в языке, в то время как с точки зрения Экланда (Eklund 2002) Лжец проливает свет на природу семантической компетентности и языков, на которых мы разговариваем. Гупта и Белнап (Gupta and Belnap 1993) заявляют, что Лжец демонстрирует важные свойства общего понятия определения. Делались и другие выводы (и предлагались вариации на тему этих заключений).

Однако в первую очередь нас будет занимать то, что показывает нам Лжец относительно природы основных принципов, которым подчиняется истина, и самой логики. Сам Тарский (Tarski 1935, Тарский 1944), судя по всему, в скептическом духе полагал, что Лжец демонстрирует несогласованность обычного понятия истины и необходимость его замены на более научное. (Подробнее о Тарском см. в статьях о Тарском и определениях истины по Тарскому. Цели и задачи Тарского также подробно излагались в Heck 1997.) Наиболее распространенным и, вероятно, преобладающим в целом решением парадокса Лжеца является идея о том, что основные принципы, управляющие истинностью, устроены куда тоньше, нежели чем Т-схема.

Лжец также помог сформировать аргументативную базу против классической логики, коль скоро некоторые ключевые особенности классической логики позволяют захвату и высвобождению вести к абсурду. Наиболее значимые доводы в данном контексте — доводы в пользу параполных логик (напр., Kripke 1975, Field 2008), а также паранепротиворечивых логик (напр., Asenjo 1966; Priest 1984, 2006). Тем не менее Рипли (Ripley 2013b) утверждает, что вполне можно остаться в пределах классической логики, устранив эти ее проблемные особенности.

Во многих случаях комментаторы, руководствуясь более широкими взглядами на значение парадокса, пытались так или иначе разрешить парадокс. Далее мы переходим к рассмотрению предложенных ими решений.

Некоторые семейства решений

В настоящем разделе мы представим краткий обзор различных попыток разрешить парадокс Лжеца. Мы соберем предложенные решения в семейства и постараемся объяснить их основные идеи. Во многих случаях полное их изложение включает массу технических деталей, в которые мы вдаваться не будем. Заинтересованные читатели могут обратиться к источникам, которые мы цитируем при обсуждении каждой основной идеи.

Параполные и паранепротиворечивые логики

Одна из главных идей о разрешении парадокса Лжеца состоит в том, что Лжец раскрывает нам нечто о самой логике, причем нечто весьма серьезное. Суть заключается в том, что принципы захвата и высвобождения представляют собой фундаментальные понятийные принципы, которым подчиняется истина и которые не подлежат изменению. Для того чтобы избежать логической катастрофы, о которой говорилось в разделе 2, следует сменить классическую логику на какую-либо из неклассических логик.

Один из важных доводов в пользу привлечения неклассических логик состоит в указании на некоторый вид дефляционизма касательно истины. В подобны подходах нечто наподобие Т-схемы выступает в качестве определяющей черты истины, как таковой не подлежащей изменению (см., напр., Horwich 1990). Если говорить более строго, в так называемых прозрачных («просвечивающих») концепциях истины или теориях «чистого раскавычивания» (напр., Field 1994, 2008; Beall 2005) определяющим свойством истинности считается взаимозаменимость А и Tr(⌜A⌝) во всех не-непрозрачных (non-opaque) контекстах. Таким образом, захват и высвобождение в своих неограниченных формах, применимых ко всем предложениям языка, становятся условиями истины (по крайней мере, когда мы имеем A⊢A или более сильное ⊢A→A). Дальнейшие сведения см. в статье об истине.

Если зафиксировать захват и высвобождение и расширить область их применения до всех предложений без ограничения, мы придем к тривиальности лишь только при том условии, что логика является классической. Есть два главных подсемейства неклассических (прозрачных) теорий истинности, а именно — параполные и паранепротиворечивые. Далее мы изложим лежащие в их основе идеи.

Параполные логики

Согласно параполным подходам к Лжецу, главный урок Лжеца состоит в том, что LEM в некотором смысле «не срабатывает». Иными словами: Лжец учит нас тому, что некоторые предложения (а именно Лжецы!) «ни выполняются, ни не выполняются» (в том или ином смысле), так что они ни истинны, ни ложны. В конечном итоге логика истины оказывается неклассической.

Такой подход представляется наиболее естественным ответом на Лжеца с простой ложностью. Возникает соблазн заявить, будто бы есть некое третье положение, отличное от истины и лжи, и предложение Лжеца L как раз его и занимает. Однако этого будет недостаточно для, скажем, Лжеца с простой неистинностью, ведь в нем не говорится о ложности. Скорее, в некотором смысле базовый ход рассуждений, рассмотренный нами в разделе 2.3, должен оказаться неверным, и, с параполной точки зрения, его изъян составляет LEM. Вхождения LEM в Лжеца «не срабатывают» (в некотором смысле), согласно параполному подходу; такие предложения оказываются в «зазоре» между истиной и ложью (если использовать известную метафору).

Выдвигалось множество проектов по использованию подобного рода неклассических логик для разрешения Лжеца. Одним из первых к ним прибегнул ван Фраассен (van Fraassen 1968, 1970). Однако в последние годы наиболее влиятельными стали труды Сола Крипке — причем не только в контексте подходов к Лжецу с опорой на неклассические логики, но и в контексте ряда других подходов, которые мы рассмотрим в свою очередь в разделе 4.2. Далее мы вкратце обрисуем понятийный аппарат Крипке.

Теория Крипке

Логики, где LEM не срабатывает, сами по себе не так уж и сложны для понимания. Среди многих таких логик есть трехзначные логики, в которых предложения могут иметь третье значение помимо истинности и ложности. Предложения наподобие Лжецов принимают третье значение. Одна из наиболее широко применяемых логик такого типа — сильная логика Клини K3. Мы не будем вдаваться в подробности K3, а лишь отметим те свойства, которые нам требуются. (Дальнейшие сведения см. в статье о многозначных логиках или же в Priest 2008.) В первую очередь мы имеем:

⊬K3A\/¬A.

LEM не срабатывает. На самом деле в соответствии с K3 не существует логических истин (или валидных предложений). (Мы вернемся к этому уже после обсуждения вопроса о «подходящих кондиционалах».)

Применение K3 для наполнения содержанием параполной теории ограничивается следующим: требуется объяснить, как нечто вроде захвата и высвобождения (даже в качестве форм правил) может быть выполнено и (если вы придерживаетесь дефляционистской линии) как можно их выполнить в полном и неограниченном виде. Важную работу Kripke 1975 (и связанный с ней труд Martin and Woodruff 1975) можно рассматривать как попытку такого объяснения.

Крипке начинает с полностью классического языка L0, который не содержит предиката истинности (и в целом семантических термов). (Напомним, что по нашему допущению язык имеет схему оценки. Для L0 она является классической.) Затем он расширяет его до языка L0+, который содержит предикат истинности Tr. Предикат в его понимании применяется к любому предложению расширенного языка L0+, включая предложения исходного L0. Таким образом, это самоприменимый предикат истинности (как бы того потребовали представления, продиктованные дефляционизмом), пускай даже мы начинаем с языка без предиката истинности.

Мы можем представить L0 в интерпретации классической модели M0. Крипке показывает, как построить интерпретацию M0+ для расширенного языка. Главное новшество состоит в том, что предикат истинности рассматривается здесь как частичный. Он не просто имеет объем: он имеет объем (множество вещей, относительно которых он истинен) и антиобъем (множество вещей, относительно которых он ложен). Объем и антиобъем взаимно исключают друг друга, но они необязательно исчерпывают вместе область M0. Патологические предложения наподобие L не попадают ни в объем, ни в антиобъем Tr. (На самом деле мы могли бы проинтерпретировать язык-основу L0 и с помощью частичной модели, однако в предполагаемом ее приложении частичность возникает лишь для семантических предикатов вроде Tr.)

Непопадание Tr в объем и антиобъем похоже на обладание третьим значением, и мы можем проинтерпретировать L0+ так: он ведет себя как язык со схемой оценки K3. Рассматривая язык таким образом, Крипке выстраивает весьма правдоподобные объем и антиобъем для Tr, обычно обозначаемые E и A. Важное свойство обновленной и расширенной модели ⟨M0,⟨E, A⟩⟩ состоит в том, что значения истинности любого предложения A и Tr(⌜A⌝) в точности совпадают друг с другом. A истинно, ложно или ни то, ни другое лишь в том случае, если таковым является Tr(⌜A⌝). Более того, интерпретируя расширенный язык L0+ как язык K3, мы получаем для K3 следование A⊣⊢Tr(⌜A⌝), как мы и хотели.

Крипке демонстрирует, как можно построить объем и антиобъем с помощью индуктивного процесса. Мы начинаем с «приближения» к объему и антиобъему Tr, а затем последовательно его улучшаем, пока процесс улучшения не перестанет быть продуктивным (то есть не достигнет «неподвижной точки»). В действительности для решения с опорой на K3 было бы естественно начать с пустого объема и антиобъема, а затем вбросить в них предложения, которые являются истинными в последовательных фазах процесса.

Построение Крипке может быть применено ко многим различным логикам, включая многозначные логики наподобие «слабой Клини» и логики сверхоценки. См., напр., разборы в Burgess 1986 и McGee 1991. Построения в стиле Крипке содержат немало математических тонкостей. Более обстоятельный доступный обзор см. в Soames 1999. Более математически насыщенное изложение см. в McGee 1991.

Подходящие кондиционалы

Логики наподобие K3 страдают от недостатка естественных или «подходящих» кондиционалов (особенно тех, что удовлетворяют A,A→B⊢B и ⊢A→A). Здесь мы видим ограничение крипкеанского подхода к Лжецу. Язык L+0 не может изложить свойства захвата и высвобождения самой истины в условной форме (то есть в виде Т-бикондиционалов): Tr прозрачен в таком представлении, так что Tr(⌜A⌝) и A полностью взаимозаменимы. В этой теории ¬A\/A не оказывается истинной для всех предложений A, а следовательно, не для всех A справедливо ¬Tr(⌜A⌝)\/A. Но ¬Tr(⌜A⌝)\/A в этой теории эквивалентно Tr(⌜A⌝)→A, поскольку (в теории) → является просто материальной импликацией. Рассматриваемому построению Крипке, таким образом, никак не удается вместить в себя все Т-бикондиционалы, которые могли бы вполне естественно выразить в теории базовые свойства захвата и высвобождения истины.

Филд недавно проделал важный шаг, восполнив аппарат Крипке подходящим кондиционалом. Теория Филда представляет собой значительный шаг вперед, однако достаточно сложна, так что ее изложение останется за рамками данного (весьма элементарного) введения. Заинтересованные читатели могут обратиться к разбору самого Филда, чтобы получить представление о том, как именно осуществить подобную модификацию. См. Field 2008 и дальнейшее обсуждение в Beall 2009.

Одно из важных применений кондиционалов в логике относится к формализации ограниченной всеобщей квантификации, которая выражает связь между A и B в «Все A суть B». В последние годы она занимала главное место во множестве дискуссий о кондиционалах и парадоксах; см., напр., Beall et al. 2006, Beall 2011, Field 2014 и Ripley 2015.

Паранепротиворечивые логики

Как мы уже сказали, два неклассических подхода, предлагающих разрешение парадокса Лжеца, опираются на параполные и паранепротиворечивые логики. Параполный подход описан выше. Теперь мы переходим к паранепротиворечивой версии. Его основная идея состоит в том, чтобы допустить противоречия (например, на протяжении всего хода рассуждения вплоть до шага 4 из вывода в разделе 2.3.3), но изменить саму логику, отвергая EFQ — избегая таким образом абсурда на шаге 5.

Как и параполный подход, паранепротиворечивые подходы к Лжецу вполне естественно вытекают из прозрачных или прочих подходящих «минималистических» воззрений на истину, которые требуют полной взаимозаменимости A и Tr(⌜A⌝) и потому не могут наложить ограничения на захват и высвобождение. Тем не менее паранепротиворечивые подходы могут быть также продиктованы антидефляционистскими воззрениями, наследующими Даммиту, в которых роль истины как цели утверждения воспринимается очень серьезно (ср. Dummett 1959). В самом деле, Грэм Прист (Priest 2006) настаивает, что его (не-прозрачная) концепция истинности правдоподобно объясняет как Т-схему, так и LEM, из чего следует, что предложение Лжеца L и истинно, и не истинно одновременно. А значит, в соответствии с таким диалетеическим направлением (согласно которому по меньшей мере одно предложение сразу и истинно, и не истинно) единственный выход, который у нас остается, — это отвергнуть EFQ.

Диалетеизм

Прист (Priest 1984, 2006) был одной из ведущих фигур, которые отстаивали паранепротиворечивый подход к решению парадокса Лжеца. Им была предложена паранепротиворечивая (и при этом не-параполная) логика, ныне известная как LP («Логика Парадокса»), в которой сохраняется LEM, но не EFQ. Ее особенность, которую Прист называет диалетеическим подходом к истине, состоит в допущении истинных противоречий. (См. дальнейший обзор в статье о диалетеизме.)

В формальном отношении LP можно рассматривать в качестве трехзначной логики, однако если у K3 были зазоры в значениях истинности, то у LP наоборот — переборы. Так, предложения в LP могут быть и истинными, и ложными. Тем не менее, как мы далее увидим в разделе 4.1.3, вопрос о том, как нам следует описывать зазоры и переборы, является довольно тонким. На данном этапе мы ограничимся общим замечанием: если о K3 можно сказать, что в ней есть зазоры, поскольку она обладает третьим истинностным значением, то в схожем ключе о LP можно сказать, что в ней есть переборы.

Как и ранее, мы можем применить техники в стиле Крипке для интерпретации предиката истинности, начиная с классического языка L0, не содержащего этот предикат. Опять же, предикату Tr приписываются объем и антиобъем. В то время как в исходном построении Крипке объем и антиобъем не пересекались, но вместе с тем не исчерпывали область модели (так воплощается идея зазоров), в этом случае объем и антиобъем пересекаются, но мы предполагаем, что они исчерпывают область (идея переборов). Для построения объема и антиобъема Tr могут применяться иные техники, связанные с методом Крипке. В результате мы получаем интерпретацию, где A и Tr(⌜A⌝) получают одно и то же значение истинности в модели.

Это построение не проводилось самим Крипке, однако его версии предлагались целым рядом авторов (в том числе: Dowden 1984; Leitgeb 1999; Priest 1984, 2006; Visser 1984; Woodruff 1984).

Сочетание параполноты и паранепротиворечивости

Мы разграничили параполные и паранепротиворечивые подходы к разрешению Лжеца, однако они вполне совместимы друг с другом. И действительно, взглянув на них (если угодно) как на теории отрицания, мы можем увидеть, что отрицание в них не является ни исчерпывающим, ни «эксплозивным», то есть не удовлетворяет ни LEM, ни EFQ. Подобный подход — это (прозрачная) концепция истины с опорой на FDE, обсуждаемая в Dunn 1969, Gupta and Belnap 1993, Leitgeb 1999, Visser 1984, Woodruff 1984, Yablo 1993a и — по сути — в Brady 1989.

(Теории с опорой на LP и теории, основанные на K3, являются — по меньшей мере на одном (стандартном первопорядковом) уровне — попросту усиленными логиками более широкой логики FDE. Общий разбор подобных аппаратов см., напр., в Priest 2008.)

Выразительная сила и «реванш»

Работая в рамках классической логики, Тарский (Tarski 1935) вывел из парадокса Лжеца знаменитое заключение о том, что язык не может определить собственный предикат истинности. В более общем плане он предполагал, что Лжец учит нас следующему: языки неспособны выразить весь диапазон семантических понятий, которые описывают их устройство. Одна из главных целей и задач неклассических подходов к Лжецу, разобранных нами ранее, состоит в том, чтобы избежать подобного заключения, которое многие авторы считают чересчур радикальным. Тем не менее вопрос об успешности данных подходов остается дискуссионным.

В некотором смысле и параполные, и паранепротиворечивые подходы достигают своей цели: они предоставляют языки, которые содержат предикаты истинности, применимые к предложениям этих языков, и A и Tr(⌜A⌝) в их рамках обладают одинаковым значением истинности. То есть можно сказать, что они дают нам языки, которые содержат собственные предикаты истинности.

Вопрос о том, достаточно ли этого, горячо обсуждался в случае параполного подхода, согласно которому предложение Лжеца L ни истинно, ни ложно, из-за чего удерживается непротиворечивость. Однако следует заметить, что рассмотренный нами параполный подход неспособен констатировать это, поскольку не может выйти так, что ¬Tr(⌜L⌝) истинно. Если бы так вышло, то L было бы истинным, а значит, и Tr(⌜L⌝) тоже, и мы бы вернулись к противоречию.

Отсюда следует еще один пункт. Как мы упоминали выше, из всего этого вытекает, что K3 с предикатом истинности неспособна констатировать «зазорный» статус зазоров, тогда как LP способна констатировать свойства как зазоров, так и переборов. А значит, как мы уже говорили, положение зазоров и переборов может оказаться еще более запутанным.

Что касается случая реванша (revenge), основная проблема в том, что параполный подход неспособен точно изложить свое решение Лжеца. Исследователи много спорили о том, как же именно здесь следует поступить. Можно с уверенностью сказать, что в данном случае множество истинных предложений в модели того же типа, что и предложенная Крипке, не включает в себя ¬Tr(⌜L⌝). Вследствие этого некоторые авторы, в том числе Макги (McGee 1991), Т. Парсонс (T. Parsons 1984) и Соамс (Soames 1999), предположили следующее: тот факт, что предложение Лжеца не оказывается истинным, является обстоятельством дополнительным (так что предикату истинности вовсе не требуется его выражать) и потому нерелевантным для оценки успешности решения. (На самом деле у подхода Макги есть и другая сторона, которую мы обсудим в разделе 4.2.3.)

И все же представляется, что имеется важный семантический факт об истине в параполном языке, тесно связанный, если даже не совпадающий, с фактом об истине как таковой, который невозможно выразить в языке. Таким образом, утверждалось, что нам не удалось достичь полностью адекватной теории истины. Сам Крипке отмечает, что некоторые семантические понятия попросту невозможно выразить; на этом также настаивал Чарльз Парсонс (C. Parsons 1974).

Что же не хватает в параполном языке? Один из вариантов решения вводит в него новое понятие определенности (determinateness), в соответствии с которым Лжец не является определенно истинным (determinately true). Параполный язык Крипке неспособен выразить это понятие. Некоторые подходы, привлекающие параполные идеи, восполняли подход Крипке при помощи понятий об определенной истине. Макги (McGee 1991) делает это в рамках классической логики. В неклассическом, параполном контексте Филд (Field 2008) восполняет базовый параполный подход бесконечным множеством различных операторов «определенно», каждый из которых задается через «подходящий кондиционал» Филда и предоставляет свое, отличное от других (сильное) понятие «истины». (См. также ряд статей в Beall (ed.) 2008.)

В пользу паранепротиворечивых подходов зачастую высказывался следующий довод: они без каких-либо проблем «характеризуют» статус Лжецов, а именно одновременную истинность и ложность (то есть: они истинны, и их отрицание тоже). Теории, основанные на LP, могут его констатировать. С другой стороны, в работах Littman and Simmons 2004 и S. Shapiro 2004 высказывалась мысль о том, что здесь есть и вторая трудность — проблема описания «нормальных» предложений, которые не являются одновременно истинными и ложными. (Эта предполагаемая проблема иногда именуется проблемой описания «просто истинности» предложения.) Составляет ли она в действительности проблему — это вопрос, который мы оставим открытым. (См. обсуждение в Field 2008 и Priest 2006.)

В этом контексте возникает и другая трудность — так называемый «парадокс реванша». Проиллюстрируем его на примере Лжеца с простой ложностью. Предположим, мы начинаем с него как с эталонного парадокса Лжеца и предлагаем простое решение, в котором отвергается двузначность. В ответ нам демонстрируют Лжеца с простой неистинностью, который отметает простое решение. Такова схема «реванша»: решение парадокса отвергается на основе того, что можно понять как несколько видоизмененную версию парадокса. Парадоксы реванша часто выдвигаются для параполных решений: многие моменты, в которых параполному языку не удается выразить некоторое семантическое понятие, закладывают фундамент для построения проблем реванша. Один из таких моментов — неспособность правильно определить статус Лжеца с простой неистинностью. Другой пример касается понятия определенности. Если мы его примем и припишем предложению Лжеца статус «не является определенно истинным», вполне можно выстроить проблему реванша с помощью предложения, которое говорит о себе, что оно не определенно истинное.

В схожем ключе иногда отмечается, что паранепротиворечивые подходы сталкиваются с подобной проблемой реванша, поскольку им приходится иметь дело с парадоксом Карри (см. раздел 1.4) в отрыве от Лжеца. Это довольно сложный технический момент, так как все зависит от природы кондиционала, используемого в целях формулировки предложения Карри. Если кондиционал подчиняется свойству отделимости, в его случае не может идти речь о переборе, который случается со Лжецом в паранепротиворечивом контексте. Однако неясно, является ли это верным подходом к кондиционалу. См. дальнейшее обсуждение в Beall 2014, 2015.

Итак, по меньшей мере ряд подходов (напр., McGee 1991; в некоторых отношениях T. Parsons 1984 и Soames 1999) отвергает проблему реванша, в то время как другие решают ее с помощью дополнительного аппарата (напр., Field 2008). Как мы увидим в разделе 4.3, контекстуалистские подходы, представленные, к примеру, в работах Burge 1979, Glanzberg 2004a и C. Parsons 1974, склонны рассматривать реванш не как отдельную проблему, но как сердцевину феномена Лжеца. Дальнейшее обсуждение реванша и его природы см. в статьях из сборника Beall (ed.) 2008 и в L. Shapiro 2006.

Субструктурные логики

Имеется еще одна точка зрения, в соответствии с которой парадокс возникает в силу неверных допущений, которые лежат в основе стандартных логик. Проблема заключается вовсе не в какой бы то ни было конкретной связке или части словаря, но в структурных правилах, управляющих отношением следования. Такие подходы, основывающиеся на так называемых субструктурных логиках, можно разделить на три основные категории: без сокращений, нетранзитивные и нерефлексивные. (Разумеется, субструктурные логики куда более разнообразны — многие из них не подпадают ни под одну из этих категорий либо подпадают сразу под несколько. Но именно эти три логики представляются наиболее подходящими для работы с парадоксами, которые нас здесь занимают.)

Логики без сокращений

Наиболее проработанный субструктурный подход к парадоксам атакует структурное правило сокращения. Сокращение — принцип, гласящий, что во всех случаях, когда Γ,A,A⊢B, верно Γ,A⊢B; то есть мы вправе использовать одни и те же посылки несколько раз, вместе с тем считая, что прибегли к ним лишь один. Вернувшись к аргументации, изложенной в разделе 2, мы увидим, что в двух случаях для прихода к заключению допущение применялось два раза: допущение 2a использовалось дважды на пути к 2d, а также допущение 3a было применено два раза на пути к 3d. Излагая эту аргументацию, мы не обращали на это внимание, однако именно на данном моменте сосредоточится подход, опирающийся на логики без сокращений.

Детали решения будут зависеть от того, как интерпретируются связки, которые мы записывали в виде ‘\/’ и ‘/\’; в отсутствие сокращения каждая из конъюнкций и дизъюнкций обретает «аддитивный» и «мультипликативный» оттенки, и различные авторы — сторонники подхода, опирающегося на логики без сокращений — расходятся в вопросе о том, какие из них каждый из них признает. Разница между аддитивной и мультипликативной конъюнкциями такова: аддитивная может выполнять работу любого из своих конъюнктов, тогда как мультипликативная — лишь совместную работу обоих конъюнктов. При наличии сокращения аддитивная конъюнкция достаточна для мультипликативной: ее можно использовать один раз для выполнения роли первого конъюнкта и затем вновь для выполнения роли второго конъюнкта. Сокращение позволяет счесть эти два применения за единственное. Без сокращения, однако, аддитивной конъюнкции оказывается недостаточно для мультипликативной. (Мультипликативная конъюнкция достаточна для аддитивной при наличии структурного правила под названием «ослабление», которое не разбиралось в нашей статье.) Ситуация с дизъюнкцией двоякая: при наличии сокращения аддитивная дизъюнкция достаточна для мультипликативной, но в другом случае это не нужно.

Двойное применение окажется наиболее значимым, если связки прочитываются в мультипликативном ключе: если 2d требуется выполнить работу ¬Tr(⌜L⌝) и Tr(⌜L⌝), вместе взятых, тогда ему нужны две копии 2a, по одной на каждый конъюнкт. При аддитивном прочтении 2d и 3d это мнимое двойное применение не должно нас беспокоить, поскольку самому 2d требуется лишь исполнить работу одного из конъюнктов. Хотя речь может идти о любом из них, каким бы он ни был, будет достаточно единичного применения 2a. При таком прочтении сомнительными оказываются принципы LEM и EFQ; к примеру, с аддитивной /\ требуется два вхождения одного и того же противоречия для того, чтобы из него последовало произвольное предложение (поскольку необходимо использование обоих конъюнктов), в то время как вывод выше дает лишь одно вхождение. (Ситуация с 3d и 3a схожа в обоих случаях.) Более нам не следует вдаваться в подробности; дальнейший разбор этих выборов и подходов с опорой на логики без сокращений в целом см.: Beall and Murzi 2013; Grishin 1982; Petersen 2000; Restall 1994; Ripley 2015; L. Shapiro 2011a, 2015; Zardini 2011, 2013. (Некоторые авторы сосредотачиваются на парадоксах, которые возникают в теории множеств, а не в теории истины, однако многие из трудностей схожи. См. также статью о парадоксе Рассела.)

Нетранзитивные логики

Другая разновидность субструктурного подхода подвергает атаке различные структурные правила, связанные с транзитивностью следования. Наиболее известным из них является правило сечения, которое позволяет перейти от Γ⊢B и Δ,B⊢C к Δ,Γ⊢C. Однако также стоит рассмотреть и иные свойства, связанные с транзитивностью, такие как простая транзитивность, которая описывается в Weir 2015 и ведет от A⊢B и B⊢C к A⊢C. (Простая транзитивность — это частный случай сечения, при котором Δ пусто, а Γ представляет собой синглетон, множество с единичным элементом.)

Некоторые нетранзитивные подходы могут рассматриваться как трехзначные модели, как в случае K3 и LP (опять-таки, отсылаем читателя к статье о многозначных логиках, где проводится разбор этой темы). Разница состоит в том, как в таких моделях задается следование. Во всех случаях следование сводится к отсутствию контрмодели, однако было предложено несколько различных ответов на вопрос о том, какой должна быть модель, чтобы считаться контрмоделью для аргумента. В зависимости от того, какого понимания контрмодели мы придерживаемся, одни и те же трехзначные модели будут приводить к параполной логике K3, паранепротиворечивой LP, параполной и паранепротиворечивой логике, которую иногда называют S3 или FDRM, либо — что нас и интересует — к двум различным логикам, которые включают в себя контрпримеры для правила сечения и которые стали известны нам как нетранзитивные.

Одна разновидность подхода без сечения была разработана и отстаивалась в Weird 2005, 2015 (и для наивной теории множеств в Weir 1998, 1999); мы называем ее «неоклассической». Согласно ей третье значение в моделях считается не истинным и не ложным, а контрмодель для умозаключения от Г к B должна либо сделать каждое предложение в Г истинным и B неистинным, либо сделать B ложным и каждое предложение в Г — за исключением одного — истинным (оставшееся предложение будет считаться неложным). Основная идея данного подхода состоит в следующем: валидные аргументы должны сохранять не только истину, но и (в некотором смысле) задним числом ложность. Если все посылки валидного аргумента истинны за исключением одной, а заключение ложно, то оставшаяся посылка должна быть ложной. Тем самым оказываются возможными контрпримеры для сечения, но не для простой транзитивности, и удерживается непротиворечивость. Получившаяся логика будет слабее, чем классическая. В нашей версии парадокса Лжеца проблема заключается в LEM: подход Вейра допускает контрпримеры к исключенному третьему.

Другая разновидность подхода без сечения разрабатывалась и изучалась в работах: Barrio et al. 2015; Cobreros et al. 2013, 2015; Fjellstad 2016; Ripley 2013a, 2015. Согласно ей контрмодель для аргумента не может приписывать третье значение любому предложению, входящему в аргумент. То есть контрмодель для умозаключения от Г к В должна делать то, что делает классическая контрмодель в отношении аргумента. Если она приписывает третье значение какому бы то ни было предложению, это предложение не может находиться в Г и не может быть В. Тем самым оказываются возможными контрпримеры не только для сечения, но и для простой транзитивности, в отличие от подхода Вейра. У данной разновидности подхода без сечения есть еще одна примечательная особенность: каждый аргумент, валидный в классической логике, остается валидным. То есть все контрпримеры для сечения и для простой транзитивности прибегают к захвату, высвобождению или другим особым формам поведения предиката истинности. Несмотря на свою мнимую классичность, подобный подход также является диалетеистским; утверждение, что предложение Лжеца и истинно, и не истинно одновременно, оказывается теоремой. Такое утверждение вынуждено принять третье значение, и поэтому для любого аргумента, в чей состав оно входит, не может существовать контрмодели.

Вероятно, из-за важности правила сечения для теории доказательств нетранзитивные подходы зачастую изучаются через системы доказательств, а не посредством моделей. Важное значение применения свойств транзитивности в парадоксальных выводах было отмечено в Tennant 1982; подход к парадоксам, который отвергает и сечение, и простую транзитивность, в общем случае можно найти в Hallnäs 1991; Hallnäs and Schroeder-Heister 1991; and Schroeder-Heister 2004. Полезные философские замечания о сечении можно найти в Schroeder-Heister 1992, где также отмечается некоторая взаимосвязь подходов без опоры на сокращение и нетранзитивных подходов.

Нерефлексивные логики

Третий вариант субструктурного подхода к парадоксам подвергает атаке рефлексивность — принцип, согласно которому всякое предложение влечет само себя. Рефлексивность и транзитивность во многом схожи (как объясняется в работах: Frankowsski 2004; Girard et al. 1989: 28; Ripley 2012). Поэтому такая разновидность подхода в некоторых отношениях подобна нетранзитивному семейству. Нерефлексивные подходы к парадоксам куда менее исследованы, однако данное направление исследований кажется многообещающим; подробнее см. в French 2016 и Meadows 2014. См. также Malinowski 1990, общее исследование по нерефлексивным логикам.

Классическая логика

До сих пор мы рассматривали варианты разрешения парадокса Лжеца, опирающиеся на пересмотр базовой логики. Существует также ряд подходов, которые оставляют классическую логику неизменной и пытаются обнаружить другие способы ослабить парадокс.

Большинство подобных подходов отличается, в частности, готовностью каким-либо образом ограничить сферу применения захвата и высвобождения с тем, чтобы не допустить появления парадокса. Она противоположна той разновидности дефляционизма в отношении истины, который мы обсуждали в разделе 4.1, однако согласуется с другой концепцией истины. Для последней основной характеристикой истины является то, что она сообщает о нетривиальном семантическом свойстве предложений (напр., о соответствии фактам в мире или об обладании значением в модели). Многие подходы в рамках классической логики воплощают идею о том, что правильное понимание данной характеристики допускает ограниченные виды захвата и высвобождения, и это, в свою очередь, позволяет блокировать парадокс без какого бы то ни было отхода от классической логики.

Далее мы рассмотрим ряд значимых подходов к парадоксу в рамках классической логики, большинство из которых воплощают эту идею в том или ином виде.

Иерархия языков по Тарскому

Традиционно основным способом разрешения парадокса в рамках классической логики выступает иерархия языков и метаязыков по Тарскому. На основании парадокса Тарский пришел к выводу о том, что ни один язык не может содержать собственный предикат истинности (в его терминологии: ни один язык не может быть «семантически замкнут»).

Вместо этого, по словам Тарского, предикат истинности для языка обнаруживается лишь в расширенном метаязыке. К примеру, мы начинаем с интерпретированного языка L0, который не содержит предиката истинности. Затем мы «поднимаемся» к расширенному языку L1, содержащему предикат истинности, который применим, однако, лишь к предложениям языка L0. При таком ограничении можно легко определить предикат истинности, который полностью выражает значения истинности каждого предложения в L0, подчиняется захвату и высвобождению, а также не приводит к парадоксу. Разумеется, процесс восхождения не останавливается. Если мы хотим описать истину в L1, нам придется подняться к L2, чтобы получить предикат истинности для L1, и так далее, и тому подобное до бесконечности. На каждой ступени производится новый классический интерпретированный язык, который выражает истину для языков более низких ступеней. (О математике такой иерархии языков рассказывается в Halbach 1997.)

Почему же в такой иерархии языков не возникает парадокс Лжеца? Потому что ограничение, согласно которому ни один предикат истинности нельзя применить к предложениям его же языка, реализовано в качестве синтаксического. Любое предложение L, эквивалентное ¬Tr(⌜L⌝), с точки зрения синтаксиса построено неправильно. Парадокс Лжеца не возникает, потому что для него нет соответствующего предложения Лжеца. См. статьи о Тарском и определениях истины по Тарскому.

Иерархический подход Тарского неоднократно подвергался критике. Одно из возражений заключается в том, что в свете естественно возникающих случаев самореференции его представление предложений Лжеца в качестве неправильно построенных выглядит чрезмерно резким. Хотя самого Тарского больше занимало разрешение Лжеца для формальных языков, его решение кажется неправдоподобным применительно ко множеству естественных употреблений термина «истинно». На другую важную проблему обратил внимание Крипке (Kripke 1975). Он отмечает, что любое синтаксически фиксированное множество уровней делает чрезвычайно трудным, если не невозможным, иерархическое размещение различных непарадоксальных утверждений. К примеру, утверждение Джейси о том, что все произносимое Майклом истинно, должно располагаться на более высоком уровне, чем все, что говорит Майкл. Но если среди того, что говорит Майкл, встречается утверждение, что все заявления Джейси истинны, то оно оказывается на более высоком уровне, чем все слова Джейси. Таким образом, некоторые из утверждений Майкла должны быть выше, чем некоторые утверждения Джейси, и наоборот. Но это невозможно. К тому же трудно объяснить, на каком уровне иерархии производится высказывание, когда ему действительно можно приписать уровень. Почему в нем имеется истина на этом уровне, а не на другом?

Иерархия Тарского сталкивается еще с одной проблемой: как объяснить, что мы не можем просто определить истину для всей иерархии посредством квантификации над уровнями? Ведь у нас бы тогда был предикат вроде «истинно на некотором уровне». Если такие предикаты будут разрешены, мы вернемся к парадоксу, так что поборники иерархии по Тарскому должны отрицать саму их возможность. Объяснения такого рода — проблема всех иерархических представлений. (Дальнейшее обсуждение см. в Glanzberg (2015).)

В свете перечисленных проблем многие комментаторы пришли к выводу, что иерархия языков и метаязыков по Тарскому разрешает парадокс Лжеца за счет весьма неправдоподобных ограничений.

Закрытое построение Крипке

Ввиду критики теории Тарского многие подходы к решению Лжеца стремились удержать классическую логику, но при этом сохранить в некоторой мере самоприменимость предиката истинности. Как мы узнали из рассуждения в 2.3, в таком случае потребуются некоторые ограничения на захват и высвобождение. Задача тогда состоит в том, чтобы выяснить, какие из них хорошо обоснованы и как именно их следует внедрять.

Один из вариантов был предложен самим Крипке. Аппарат Крипке, вкратце рассмотренный нами в разделе 4.1.1, выступает теперь не в качестве составляющей неклассического логического подхода, а как промежуточная ступень, ведущая к построению классической интерпретации самоприменимого Tr.

Как мы помним, Крипке начинает построение с классического языка L0 без предиката истинности. Затем он переходит к расширенному языку L0+, но, в отличие от метаязыка в духе Тарского, L0+ содержит предикат истинности Tr, применимый ко всем предложениям L0+. Крипке показывает, как можно выстроить частичную интерпретацию Tr, снабдив этот предикат объемом E и антиобъемом A. Однако затем можно обратиться к рассмотрению классической модели ⟨M0, E⟩, используя лишь объем. Это — «закрытое» построение, поскольку зазор между объемом и антиобъемом закрывается путем подведения всего, что попало в зазор, под категорию лжи классической модели.

Мы знаем, что такая интерпретация не может сделать истинными все захваты и высвобождения (не говоря уже о полной взаимозаменимости A и Tr(⌜A⌝)), но она делает истинными их ограниченные формы. В закрытой модели справедливо следующее:

[Tr(⌜A⌝)\/Tr(⌜¬A⌝)]→[Tr(⌜A⌝)↔A].

Захват и высвобождение (в форме Т-схемы) справедливы для предложений с правильным поведением (то есть они удовлетворяют Tr(⌜A⌝)\/Tr(⌜¬A⌝)).

Что же здесь происходит с предложением Лжеца? Как и в случае с трехзначной моделью, тут предполагается, что Лжец попадает в зазор. L не находится ни в E, ни в A. Таким образом, оно выпадает из области, где поведение Tr полагается правильным. Поскольку ситуация классическая и ⌜L⌝∉E, мы знаем, что ¬Tr(⌜L⌝) истинно в закрытой модели; равно как и ¬Tr(⌜¬L⌝).

В случае предложений с правильным поведением мы имеем свойство с неподвижной точкой, в соответствии с которым A и Tr(⌜A⌝) обладают одинаковым истинностным значением, так что семантика L0+ и семантика, которую он приписывает Tr, в точности друг другу соответствуют. В случае патологических предложений наподобие L такого соответствия нет — и не может быть, ведь в противном случае выйдет тривиальность.

Относительно закрытого построения Феферман (Feferman 1984) выказал следуюдщее замечание: при осторожном обращении с отрицанием мы можем вообще отказаться от A. Таким образом, построение может быть проделано без подспудных обращений к многозначной логике. Связанные с этим соображения по поводу построения Крипке обсуждаются Макги (McGee 1991).

Пересмотр определенности

В разделе 4.1.3 мы заметили, что параполные подходы к парадоксу уязвимы перед «парадоксами реванша», основывающимися на идее о неопределенной истине или нехватке истинностного значения. Схожая трудность возникает и в классическом случае. Разберем несколько примеров.

Обоснование

Закрытое построение Крипке может помочь претворить в жизнь идею оператора «определенно», которая обсуждалась в разделе 4.1.3. Вместо оператора оно позволяет нам задать предикат D(⌜A⌝) через Tr(⌜A⌝)\/Tr(⌜¬A⌝). D представляет «определенно» в том смысле, что его применение к предложениям, обладающим значением истинности в соответствии с Tr, как бы «определяется» моделью, произведенной построением Крипке. И, как мы уже видели, он применяется ко всем предложениям с правильным поведением — то есть подчиняющимся Т-схеме (захвата и высвобождения).

В формальном отношении предложениями, к которым применим D в рамках модели, порожденной построением Крипке, выступают те, которые попадают в E, или же те, отрицания которых попадают в E (что эквивалентно попаданию в A). Крипке назвал такие предложения обоснованными (grounded).

Часто отмечалось, что имеется и более неформальное понятие определенности или обоснования, которому более или менее соответствует формальное понятие, выраженное предикатом D (ср. Herzberger 1970). Идея состоит в том, что определенными являются предложения с правильно заданными семантическими свойствами. Когда мы не имеем хорошо заданных семантических свойств, нам не следует ожидать, что предикат истинности будет сообщать о чем бы то ни было с правильным поведением или что все еще будут выполняться свойства наподобие захвата или высвобождения. Конструкция Крипке выстраивает E поэтапно, начиная с предложения без семантических термов, и на каждом этапе она повышает семантическую сложность. Мы достигаем E в пределе этого процесса, что позволяет нам рассматривать E как показатель предела, до которого хорошо заданный процесс приписывает семантические значения. Так, иногда говорят, что формальное понятие обоснования, предоставленное D, отражает ту степень, в которой предложения имеют хорошо заданные семантические свойства.

Понятие обоснования породило собственную тематическую литературу. Главную роль в этом сыграла работа Leitgeb 2005. См. также Bonnay and van Vugt 2015, Meadows 2013, Schindler 2014.

Макги об истине и заданной истине

Другой подход, прибегающий к форме определенности, отстаивает Макги (McGee 1991). Теория Макги, как и многие другие, которые были рассмотрены в настоящей статьей, чересчур сложна, так что мы не сумеем в полной мере воздать ей должное. В ней имеется много компонентов, в том числе математически изощренные подходы к истине, связанные с обсуждавшимися нами ранее крипкеанскими идеями, функционирующие в контексте, придерживающегося классической логики.

Макги основывает свой подход на двух понятиях — истине и дефинитной (definite) истине. Дефинитная истина — разновидность идеи, которую мы ранее обозначили как «определенность». Однако Макги описывает ее с помощью весьма изощренных логических техник. Мы кратко их упомянем для тех, кто знаком с технической подоплекой. В формальном отношении дефинитная истина отождествляется для Макги с доказуемостью в частично интерпретированном языке посредством расширения классической логики, принимающей во внимание факты о частичной интерпретации и также известной как A-логика. Следовательно, она отличается от понятия обоснования, которое мы обсуждали ранее. Макги рассматривает «дефинитно» как предикат наряду с предикатом истинности, а не как оператор над предложениями, в отличие от прочих подходов. Макги показывает, что при наличии верного понятия дефинитной истины частично интерпретированный язык, содержащий собственный предикат истинности, отвечает ограниченным формам захвата и высвобождения, понятых через дефинитную истину. Назовем предикат дефинитности Def. Макги пытается показать, как связать друг с другом истину и дефинитную истину, демонстрируя, как следует валидировать:

Def(⌜A⌝), если и только если Def(⌜Tr(⌜A⌝)⌝)

Def(⌜¬A⌝), если и только если Def(⌜¬Tr(⌜A⌝)⌝)

В самом деле, Макги показывает, что эти условия могут быть удовлетворены в рамках теории и истины, и дефинитной истины: истина удовлетворяет соответствующим формам захвата и высвобождения, а формальное утверждение двузначности истины оказывается дефинитно истинным. Итак, Макги предоставляет нам теорию, в которой имеются сильно самоприменимая истина и дефинитная истина, заданные в классическом контексте.

Истина может удовлетворять формальному свойству двузначности, однако для подхода Макги крайне важно, чтобы истина оставалась открытым понятием, которое можно усилить (в формальном плане: посредством усиления частично интерпретированного языка). Так, дефинитная истина удовлетворяет захвату и высвобождению более слабым, чем сама истина. (Некоторые вхождения Def(⌜A⌝)→A оказываются дефинитно истинными, согласно Макги.) Более того, Макги предполагает, что такое поведение истины и дефинитной истины делает истину неясным (vague) предикатом. Остается открытым вопрос, избегает ли теория Макги проблем реванша, с которыми сталкиваются другие крипкеанские подходы.

Другие классические подходы

Мы рассмотрели несколько важных подходов разрешения Лжеца в рамках классической логики. Существуют и другие, причем многие задействуют довольно сложную математику. Мы упомянем самые важные из них, но в силу их математической сложности ограничимся простым перечислением.

Аксиоматические теории истины

В теории доказательств существует важное направление, которое занималось разработкой аксиоматических теорий самоприменимой истины в рамках классической логики (см. работы: Cantini 1996; Feferman 1984, 1991; Friedman and Sheard 1987; Halbach 2011; Horsten 2011). Его задача — найти способы выражения правил наподобие захвата и высвобождения, которые сохраняют непротиворечивость. Варианты включают уделение большего внимания формулировке теоретико-доказательных правил вывода и ограниченных правил. Основные идеи обсуждаются в статье об аксиоматических теориях истины, к которым мы отсылаем читателя.

Истина и индуктивные определения

Наработки Крипке по теме истины развивались вместе с рядом важных идей по поводу индуктивных определений (как мы уже видели, к примеру, в поздних частях Kripke 1975). Связи между ними рассматривались в Burgess 1986 и McGee 1991. Также следует упомянуть работу Aczel 1980, где совмещаются идеи об индуктивных определениях и лямбда-исчислениях.

Контекстуалистские подходы

Еще одно семейство предложенных решений — контекстуализм. Он также использует классическую логику, но при этом основывает решения в первую очередь на идеях философии языка. В соответствии с контекстуализмом, суть Лжеца заключается в том, что предикаты истинности демонстрируют некоторую форму контекстной зависимости даже в не-контекстно-зависимых фрагментах языка. Контекстуалисты стремятся объяснить, как это возможно, и представить на этом основании решение проблем, с которыми мы сталкиваемся из-за Лжеца.

Контекстуалистские теории разделяют со многими разобранными нами подходами представление о том, что в нашем предложении Лжеца L присутствует нечто неопределенное или семантически неправильно построенное. Однако контекстуалисты отводят особую роль проблемам «реванша» и нехватки выразительной силы.

Нестабильность и реванш

Неправильное поведение предиката истинности по отношению к предложению Лжеца можно было бы истолковать следующим образом: предложение Лжеца на самом деле не предоставляет нам правильно заданный носитель истинности. Чтобы яснее себе это представить (как предлагает C. Parsons 1974), предположим, что носителями истинности служат пропозиции, которые выражены предложениями в контекстах, и что предложению Лжеца не удается выразить пропозицию. Так начинается объяснение того, почему Лжец оказывается необоснованным либо в том или ином смысле неопределенным. По меньшей мере нам не следует ожидать, что Tr будет правильно себя вести тогда, когда предложениям не удается выразить пропозиции.

Однако это нестабильный подход. Мы можем рассуждать так: если предложению Лжеца не удается выразить пропозицию, ему также не удается выразить истинную пропозицию. В духе парадокса реванша, если наше предложение Лжеца изначально утверждало «это предложение не выражает истинную пропозицию», выходит, что оно к нам возвращается. Мы показали, что в нем высказывается нечто истинное, так что оно выражает истинную пропозицию. Так, из допущения, в соответствии с которым наше предложение Лжеца неопределенно или не обладает семантическим статусом, следует вывод, что оно должно обладать соответствующим семантическим статусом и на деле высказывать нечто истинное. Мы вернулись к парадоксу.

Контекстуалисты вовсе не рассматривают эту ситуацию как новый парадокс «реванша» — для них она составляет существо проблемы, которую поднимает Лжец. Прежде всего, когда предложения контекстно-зависимы, естественная формулировка истинного утверждения всегда подразумевает выражение истинной пропозиции или связанное с ним корректное в семантическом отношении применение предиката истинности. Но что еще более важно, для контекстуалиста главная проблема Лжеца воплощена в демонстрируемом здесь рассуждении. Речь идет о двух важных моментах. Во-первых, это приписывание Лжецу семантически дефектного статуса — т.е. неспособности выразить пропозицию или же какой-либо иной неопределенности. Во-вторых, это заключение на основании первого шага, что в конце концов Лжец должен быть истинным, а не неопределенным или неспособным выразить пропозицию. Оба момента представляются на первый взгляд обоснованными ходами в рассуждении, так что оба заключения должны быть истинными. Основная проблема Лжеца, согласно контекстуализму, заключается в следующем: нам требуется объяснить, как такое возможно и как второй момент может не быть парадоксальным. (Подобное рассуждение рассматривается в Glanzberg 2004c и C. Parsons 1974. Критический разбор см. в Gauker 2006.)

Итак, контекстуалисты пытаются объяснить, как предложение Лжеца может иметь нестабильный семантический статус, переключающийся с дефектного на недефектный при осуществлении вывода. Они делают посредством указания на роль контекста в установлении семантического статуса предложений. Предложения могут иметь разный семантический статус в различных контекстах. Таким образом, по мнению контекстуалистов, контекст так или иначе должен оказывать некоторое нетривиальное воздействие на предложение Лжеца и в целом на предицирование истины.

Контекстуальные параметры предикатов истинности

Один из видных контекстуалистских подходов, отстаиваемый в Burge 1979 и развиваемый в Koons 1992 и Simmons 1993, начинает с идеи о том, что иерархия Тарского уже сама позволяет рассмотреть предикат истинности как контекстно-зависимый. Иерархия Тарского постулирует иерархию истинностных предикатов Tri. Что если i не просто указывает уровень в иерархии, но выступает подлинным контекстуальным параметром? В таком случае предложение Лжеца фактически зависело бы от контекста: оно бы имело форму ¬Tri(⌜L⌝), где i устанавливается контекстом. Контекст устанавливал бы уровень предиката истинности.

Эта идея может рассматриваться как улучшение первоначального подхода Тарского в нескольких отношениях. Во-первых, при наличии контекстуального параметра отпадает необходимость настаивать на том, что предложения Лжеца всегда построены неправильно. Следовательно, мы вправе полагать, что у каждого Tri есть некоторый ограниченный диапазон применимости к предложениям его языка. Прибегая к крипкеанским техникам наподобие закрытого построения, рассмотренного выше, мы можем построить предикаты вроде Tri так, что они будут настолько же самоприменимыми, насколько и предикаты Крипке. (В Burge 1979 и в постскриптуме C. Parsons 1974 кратко обсуждается возможность применения крипкеанских техник в этих условиях. Идеи Гэйфмена (Gaifman 1988, 1992), хоть он и работает в совершенно других условиях, могут указывать на еще более тонкие возможные интерпретации контекстно-зависимого предиката истинности.)

При надлежащем внимании можно избежать и других трудностей, возникающих при использовании иерархии Тарского. Бёрдж предлагает, чтобы параметр i в Tri устанавливался грайсеанским прагматическим процессом. В сущности, говорящие подразумевают, что i должно быть установлено на уровне, на котором дискурс, внутри которого они производят высказывания, может когерентно интерпретироваться (с максимально когерентным объемом Tri). Таким образом, истина действительно обнаруживает собственный уровень, а потому возражение Крипке, согласно которому установление уровней для непарадоксальных предложений затруднительно, можно парировать.

Данный подход наполняет содержанием идею о том, что предложение Лжеца контекстно-зависимо. Любое предложение, содержащее Tri, будет зависеть от контекста и заодно наследовать контекстуальный параметр. Тем самым проясняются доводы в пользу нестабильности семантического статуса, которыми и руководствовался контекстуализм. В исходном контексте мы фиксируем некоторый уровень i. Это уровень, на котором L подвергается интерпретации. Назовем интерпретацию Li. Li гласит, что ¬Tri(⌜Li⌝). Как и в предшествующих рассуждениях о Лжеце, мы показываем, что у Li должен отсутствовать определенный семантический статус или что Li не удается выразить пропозицию. Далее, как мы говорили, мы заключаем, что L должно оказаться истинным. Согласно рассматриваемому контекстуалистскому подходу, это заявление о том, что Li истинно в соответствии с некоторым другим контекстом, в рамках которого задействован более широкий предикат истинности. То есть Li истинно на некоем более высоком уровне иерархии. Мы можем заключить, например, что предложение Лжеца, высказанное на уровне i, истинно в соответствии с более широким уровнем k>i. Отсюда Trk(⌜Li⌝), где k>i.

Данная разновидность контекстуализма, таким образом, полагает, что как только мы увидели контекстную зависимость поведения Tri, мы вполне можем придать смысл нестабильности L. Судя по всему, речь идет об улучшении как концепции Тарского, так и реализации техник классической логики, которые мы разбирали в разделе 4.2. В зависимости от того, как именно подход Бёрджа осуществляется технически, мы будем иметь либо полные захват и высвобождение на каждом уровне, либо захват и высвобождение с теми же самыми ограничениями, что и в закрытом построении Крипке.

Подход, устанавливающий контекстуальные параметры предиката истинности, сталкивается с некоторыми сложностями. К примеру, справедливости ради следовало бы спросить, почему мы считаем, что у предиката истинности действительно есть такие параметры, в особенности если мы подразумеваем под ним тот же предикат, что мы используем в естественном языке. От вопроса этого нельзя отделаться одним лишь замечанием, что параметр избегает парадокса, коль скоро отсюда не следует, что такой параметр наличествует и в естественном языке. Более того, идея, согласно которой истина распределяется по уровням, будь то зависящим от контекста или нет, остается спорной. (Не все авторы, предлагающие такие параметры, соглашаются относительно роли иерархии. К примеру, Симмонс (Simmons 1993) отстаивает взгляд, который он называет «теорией сингулярности» и который, по его заявлению, избегает обращения к откровенно иерархическим структурам.) Наконец, бёрджевское обращение к грайсеанским механизмам в целях установления уровней истины неоднократно подвергалось критике. (Так, Гэйфмен (Gaifman 1992) спрашивает, действительно ли грайсеанский процесс играет сколько-нибудь значимую роль в концепции Бёрджа.)

У контекстуализма есть множество разновидностей, каждая из которых задействует несколько различные аппараты. В рамках контекстуалистских теорий выбор зачастую продиктован соображениями не только логики, но и философии языка. Как мы уже отметили, Гэйфмен (Gaifman 1988, 1992) предлагает другое направление развития контекстуалистских идей. Далее мы обратимся к обзору нескольких других альтернатив.

Контекстуальное воздействие на области кванторов

Другой контекстуалистский подход, начало которому положил труд Чарльза Парсонса (C. Parsons 1974), пытается выстроить контекстную зависимость предложения Лжеца и в конечном итоге контекстную зависимость предиката истинности из более базовых составляющих. Идея состоит в том, что контекстная зависимость предложения Лжеца выводится из контекстной зависимости областей действия кванторов.

Когда мы размышляем на детм, как объяснить предицирование истины, если предложения демонстрируют контекстную зависимость, мы вспоминаем о квантификации. В таких условиях было бы глупо предицировать истину предложениям напрямую. Не все из них имеют подходящие определенные семантические свойства, позволяющие им считаться носителями истины; или, как мы говорили ранее, не все предложения будут выражать пропозиции. Однако в таком случае сказать, что предложение S истинно в контексте c, означает сказать, что существует пропозиция p, выражаемая S в c, и что данная пропозиция истинна.

Данный контекстуалистский подход начинает с наблюдения о том, что области действия кванторов в естественном языке, как правило, являются контекстно-зависимыми. Когда мы говорим «все здесь», мы не имеем в виду всех в мире, но лишь всех в некой контекстно обозначенной подобласти. Согласно такому взгляду контекстная зависимость входит в Лжеца благодаря контекстуальным воздействиям на область действия пропозиционального квантора ∃p.

В частности, область должна расширяться по мере рассуждения о семантическом статусе Лжеца. В изначальном контексте ∃p должен пробегать достаточно небольшую область, чтобы у предложения L не было пропозиции для выражения. В последующем контексте область расширяется, так что L начинает выражать некоторую истинную пропозицию. О том, как происходит такое расширение и как следует моделировать предикат истинности и отношение выражения пропозиции при наличии Лжеца, пишет Глензберг (Glanzberg 2001, 2004a), основываясь на труде Парсонса (C. Parsons 1974). Сторонники данного подхода полагают, что он куда лучше справляется с установлением источника контекстной зависимости, чем подход, опирающийся на параметры, задаваемые на предикатах истинности.

Теория ситуаций

Другая вариация на тему контекстуализма для разрешения Лжеца была предложена в работах Barwise and Etchemendy 1987 и Groeneveld 1994, которые основываются на теории ситуации, а не областях действия кванторов, с тем чтобы установить источник контекстной зависимости. Теория ситуаций — это обстоятельно проработанная часть философии языка, так что мы ограничимся здесь скудным наброском ее устройства.

Ситуация — это частичное состояние, в котором может оказаться мир: нечто наподобие «быть/оказаться/стать F». Классификация ситуаций опирается на так называемые ситуационные типы. Пропозиция задействует классификацию ситуации в соответствии с некоторым ситуационным типом. Так, пропозиция {s; [σ]} сообщает нам, что ситуация s принадлежит типу σ. Ситуация s здесь выполняет несколько функций, в том числе предоставляет контекст.

Когда дело доходит до рассмотрения Лжеца, Бэрвайз и Этчименди истолковывают пропозиции Лжеца как пропозиции с формой fs ={s; [Tr,fs; 0]}, соотнесенной с исходной ситуацией s. Это пропозиция fs, которая говорит о себе, что ее ложность представляет собой факт, принадлежащий s. (В рамках системы обозначений Бэрвайза и Этчименди 0 указывает на ложность, так что ситуационный тип здесь обозначает то положение вещей, при котором выполняется ложность пропозиции. Пропозиция утверждает, что это факт, который принадлежит s.) В некотором смысле эту пропозицию нельзя выразить. В частности, положение вещей ⟨Tr,fs; 0⟩ не может входить в s. (На самом деле Бэрвайз и Этчименди говорят, что эта пропозиция выразима, но останавливаются на том, что называют F-замыканием s. Однако оба замечания разделяют одно ключевое наблюдение, так что нюансы для нас здесь не столь важны.) Есть также отдельная ситуация s' = s∪{⟨Tr,fs; 0⟩}, и пропозиция {s'; [Tr,fs; 0]}, соотнесенная с этой новой ситуацией — то есть новым «контекстом», — истинна.

Легко заметить, что лежащая в основе данного подхода имеет много общего с ограничением областей действия кванторов, которое предлагается в рассмотренном нами ранее подходе: оба подхода пытаются показать способ расширения области содержаний, выразимых в контекстах, с целью объяснить нестабильность предложения Лжеца. Обсуждение отношений между ситуационно-теоретическим и кванторно-областным подходами см. в Glanzberg 2004a. Бэрвайз и Этчименди говорят о связи между их ситуационным и более традиционным подходом в Barwise and Etchemendy 1987: ch. 11. Подробное сопоставление аппарата Бэрвайза и Этчименди и аппарата Бёрджа, опирающегося на индексированные предикаты истинности, см. в Koons 1992.

Проблемы контекстуализма

Главная задача контекстуалистов — предоставить полное и обоснованное описание источника и характера изменения контекста, которое происходит в случае Лжеца, хотя, разумеется, многие контекстуалисты считают, что они с этой задачей справились. В пользу контекстуалистского подхода свидетельствует то обстоятельство, что основной проблемой он полагает феномен реванша и поэтому в значительной степени не зависит от привносимых им сложностей, с которыми сталкиваются другие рассмотренные нами подходы. Однако, быть может, существует другая опасная разновидность реванша. Для удержания непротиворечивости контекстуалисты должны налагать ограничения на такие квантификационные выражения, как «все контексты». Чтобы этого достичь, по-видимому, требуется отрицать существование каких-либо абсолютно неограниченных кванторов. В Glanzberg 2004b, 2006 утверждается, что это верное заключение, однако весьма спорное. Обзор наработок в данной области см. в статьях Rayo and Uzquiano 2006.

Ревизионная теория

Другой подход, отстаиваемый в работах Gupta 1982, Herzberger 1982, Gupta and Belnap 1993 и многих других, — это ревизионная теория истины. Она разделяет некоторые черты с концепциями, которые рассматривались в разделе 4.3, поскольку она также берет за основу классическую логику. Мы также полагаем, что в ряде отношений она сходится с воззрениями, разобранными нами в разделе 4.4, коль скоро она переосмысляет некоторые базовые аспекты семантики. Однако этот подход отличается от всех прочих. Далее мы изложим главные его идеи. Обзор основ ревизионной теории и ее связей с контекстуализмом см. в L. Shapiro 2006. Дальнейшие подробности и ссылки можно найти в статье о ревизионной теории истины.

Ревизионная теория истины начинает с предположения, согласно которому мы должны принять Т-схему в том виде, в каком она была сформулирована. В самом деле, Гупта и Белнап (Gupta and Belnap 1993) следуют мысли Тарского (1944) о том, что вхождения Т-схемы можно рассматривать в качестве частичных определений истины. По-видимому, это касается всех вхождений для правильного языка или семейства языков, составляющих полное определение. В то же время ревизионная теория придерживается классической логики. Таким образом, мы уже знаем, что у нас имеется парадокс Лжеца для любого языка, обладающего достаточными выразительными средствами для производства предложений Лжеца.

В ответ на парадокс ревизионная теория предлагает иной способ рассмотрения семантических свойств предиката истинности. Как и ранее, мы начнем с классической модели M0 для языка L0 без предиката истинности, а затем посмотрим, что произойдет, если мы прибавим предикат истинности Tr для образования расширенного языка L0+. Этот язык содержит полный самоприменимый предикат истинности, так что он может произвести предложение Лжеца L.

Для построения классической модели L 0+ нам потребуется объем Tr. Выберем множество: назовем его H в честь гипотезы о том, каким может быть объем Tr. H может оказаться ∅, полной областью M0 или чем-то еще. Ему вовсе не требуется быть хорошим приближением к семантическим свойствам Tr.

Даже если она таковой и не является, ⟨M0,H⟩ все же дает нам классическую модель, в которой можно проинтерпретировать L 0+. Теперь мы можем применить Т-схему, соотнесенную с нашей гипотезой H, и посмотреть, что у нас получится. Если говорить точнее, мы позволим τ(H)={⌜A⌝|A быть истинным в ⟨M0,H⟩}. τ(H) в общем и целом представляет собой лучшую гипотезу, чем H, о том, что же именно в нашем языке является истинным. По меньшей мере ясно, что если в H были глупые догадки по поводу истинности предложения из свободного от истины фрагмента L 0, то они будут исправлены в τ(H), которая содержит все из L 0, что истинно в M0. Следовательно, ⟨M0,τ(H)⟩ представляет собой лучшую модель L 0+, чем ⟨M0,H⟩.

Лучшей во многих отношениях. Тем не менее, когда дело доходит до парадоксальных предложений наподобие L, мы становимся свидетелями чего-то другого. В качестве начальной гипотезы давайте примем H=∅. Посмотрим, что произойдет с истинностью L, если мы применим τ:

n

значение истинности L в ⟨M0,τn(∅)⟩

0

истина

1

ложь

2

истина

3

ложь

4

истина

⋮

⋮

Предложение Лжеца в ходе процесса так и не стабилизируется. Мы достигаем чередования истинностных значений, которое будет продолжаться до бесконечности. Согласно ревизионной теории, это свидетельствует о том, что истина представляет собой окольное, основанное на порочном круге понятие. Как таковое оно не имеет объема в привычном смысле этого термина. Скорее, у него есть правила для ревизии объемов, которые никогда не стабилизируются.

В терминологии ревизионной теории τ представляет собой правило ревизии. Оно ведет нас от одной гипотезы об интерпретации Tr к другой. Последовательности значений, генерируемых такими правилами, начиная с нашей исходной гипотезы, называются ревизионными последовательностями. Мы оставляем в стороне важную проблему правильного определения трансфинитных ревизионных последовательностей. (См. более полное изложение этой насыщенной теории в статье о ревизионных теориях истины.)

Отличительное свойство парадоксальных предложений наподобие предложения Лжеца состоит в том, что они нестабильны в таких ревизионных последовательностях: не существует той точки, в которой бы они достигли устойчивого истинностного значения. Выходит, предложения разделяются на стабильно истинные, стабильно ложные и нестабильные. Ревизионная теория развивает понятия следования, основанные на этих и других представлениях.

Точка зрения противоречивости

В разделе 2.3.3 мы увидели, что парадокс Лжеца в классической логике при наличии неограниченных захвата и высвобождения приводит к противоречию. Пока мы придерживаемся EFQ (вслед за классической логикой), на выходе будет получаться тривиальность. Большинство из предложенных решений, рассмотренных нами (за исключением ревизионной теории), пыталось так или иначе избежать этого исхода — либо путем ограничения захвата и высвобождения, либо посредством отхода от классической логики. Тем не менее иногда высказывалось и иное соображение, согласно которому парадокс Лжеца просто-напросто демонстрирует, что языки, на которых мы говорим и которые содержат собственные предикаты истинности, противоречивы.

Данный подход не так просто сформулировать. Хотя сам Тарский склонялся к чему-то подобному (в случае естественных языков), в работе Herzberger 1967 было высказано предположение, что такие противоречивые языки невозможны.

Напротив, Экланд (Eklund 2002) всерьез рассматривает идею о том, что наши семантические интуиции, выраженные, к примеру, в виде неограниченных захвата и высвобождения, на самом деле являются противоречивыми. Экланд допускает, что идея не имеет смысла, если эти интуиции проистекают попросту из нашего понимания условий истинности предложений. Однако он предлагает альтернативное представление семантической компетентности, которое делает эту идею осмысленной (и которое тесно связано с концепциями значения, основывающимися на концептуальных ролях). Экланд полагает, что мы мыслим семантическую компетентность с точки зрения ряда принципов, которые говорящие склонны принимать в силу знания языка. Такие принципы могут оказаться противоречивыми. Но даже в этом случае они определяют семантические значения. Семантические значения — это то, что ближе всего подходит к удовлетворению принципов, что делает их максимально корректными, даже если ничто не может удовлетворить им всем из-за содержащейся в них противоречивости.

Таким образом, Экланд поддерживает идею, высказанную в работе Chihara 1979. Главной задачей последней было предоставить (как выражается автор) диагноз парадокса, который бы смог объяснить его возникновение и кажущуюся убедительность. Однако вместе с тем предполагается, что источник парадокса кроется в нашем принятии Т-схемы (судя по всему, по традиции), несмотря на ее противоречивость.

Паттерсон (Patterson 2007, 2009) предлагает связанную с этой, хотя и несколько отличную точку зрения. По его словам, языковая компетентность подразумевает когнитивное состояние, соотнесенное с противоречивой теорией, которая включает неограниченную Т-схему и подчиняется классической логике. Паттерсон пытается исследовать вопрос о том, как же такое когнитивное состояние позволяет нам успешно коммуницировать несмотря на то, что оно соотносит нас с ложной теорией.

Другая разновидность теории с опорой на противоречивость отстаивается Шарпом (Scharp 2013). Шарп полагает, что истина — это противоречие понятие наподобие дорелятивистского понятия массы. Как таковое оно не подходит для обстоятельного теоретизирования. Что нам требуется сделать, по его словам, так это заменить противоречивое понятие истины семейством непротиворечивых понятий, которые функционируют лучше. Шарп разрабатывает именно такое семейство понятий и предлагает для них теорию.

Заключение

О парадоксе Лжеца можно было бы рассказать еще очень многое: существует гораздо больше подходов, чем мы упомянули, и куда больше связанных с ним парадоксов, касающихся денотации, свойств и т.д. Имеются также более важные технические результаты и более важные философские следствия и приложения. Задача настоящей статьи состояла, скорее, в привлечении внимания к проблеме, чем в ее исчерпывающем изложении, и мы надеемся, что сумели дать читателю представление о парадоксе Лжеца и его возможных последствиях.

Библиография

Тарский, Альфред, 1944, «Семантическая концепция истины и основания семантики», Аналитическая философия: становление и развитие, Москва: Дом интеллектуальной книги, Прогресс-Традиция, 1998, с. 90–129.

Achourioti, Theodore, Henri Galinon, José Martinez Fernández, and Kentaro Fujimoto (eds), 2015, Unifying the Philosophy of Truth, Berlin: Springer.

Aczel, Peter, 1980, “Frege structures and the notions of proposition, truth and set”, in The Kleene Symposium, J. Barwise, H.J. Keisler, and K. Kunen (eds), Amsterdam: North-Holland, 31–59.

Anderson, Alan Ross, 1970, “St. Paul’s epistle to Titus”, in Martin 1970: 1–11.

Asenjo, F.G., 1966, “A calculus of antinomies”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 7(1): 103–105. doi:10.1305/ndjfl/1093958482

Barrio, Eduardo, 2012, “The Yablo paradox and circularity”, Análisis Filosófico, 32(1): 7–20.

Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt, and Diego Tajer, 2015, “The logics of strict-tolerant logic”, Journal of Philosophical Logic, 44(5): 551–571. doi:10.1007/s10992-014-9342-6

Barwise, Jon and John Etchemendy, 1987, The Liar, Oxford: Oxford University Press.

Beall, Jc, 2001, “Is Yablo’s paradox non-circular?”, Analysis, 61(3): 176–187. doi:10.1111/1467-8284.00292

–––, 2005, “Transparent disquotationalism”, in Beall and Armour-Garb 2005: 7–22.

––– (ed.), 2008, Revenge of the Liar, Oxford: Oxford University Press.

–––, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press.

–––, 2011, “Adding to relevant restricted quantification”, Australasian Journal of Logic, 10: 36–44. [Beall 2011 available online]

–––, 2014, “End of inclosure”, Mind, 123(491): 829–849. doi:10.1093/mind/fzu075

–––, 2015, “Free of detachment: logic, rationality, and gluts”, Noûs, 49: 410–423. doi:10.1111/nous.12029

Beall, Jc and Bradley Armour-Garb (eds), 2005, Deflationism and Paradox, Oxford: Oxford University Press.

Beall, Jc, Ross T. Brady, Allen P. Hazen, Graham Priest, and Greg Restall, 2006, “Relevant restricted quantification”, Journal of Philosophical Logic, 35(6): 587–598. doi:10.1007/s10992-005-9008-5

Beall, Jc and Michael Glanzberg, 2008, “Where the paths meet: Remarks on truth and paradox”, in Midwest Studies in Philosophy Volume XXXII: Truth and its Deformities, P.A. French and H.K. Wettstein (eds), Boston: Wiley-Blackwell.

Beall, Jc and Julien Murzi, 2013, “Two flavors of Curry’s paradox”, Journal of Philosophy, 110(3): 143–165. doi:10.5840/jphil2013110336

Bonnay, Denis, and Floris Tijmen van Vugt, 2015, “Groundedness, truth, and dependence”, in Achourioti et al. 2015: 355–368. doi:10.1007/978-94-017-9673-6_18

Brady, Ross T., 1989, “The non-triviality of dialectical set theory”, in Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, G. Priest, R. Routley, and J. Norman (eds), Munich: Philosophia Verlag, 437–470.

Burge, Tyler, 1979, “Semantical paradox”, Journal of Philosophy, 76(4): 169–198. doi:10.2307/2025724 Reprinted in Martin 1984: 83–117.

Burgess, John P., 1986, “The truth is never simple”, Journal of Symbolic Logic, 51(3): 663–681. doi:10.2307/2274021

Cantini, Andrea, 1996, Logical Frameworks for Truth and Abstraction: An Axiomatic Study, Amsterdam: Elsevier.

Chihara, Charles, 1979, “The semantic paradoxes: A diagnostic investigation”, Philosophical Review, 88(4): 590–618. doi:10.2307/2184846

Cobreros, Pablo, Paul Egré, David Ripley, and Robert van Rooij, 2013, “Reaching transparent truth”, Mind, 122(488): 841–866. doi:10.1093/mind/fzt110

–––, 2015, “Vagueness, truth, and permissive consequence”, in Achourioti et al. 2015: 409–430. doi:10.1007/978-94-017-9673-6_21

Cook, Roy, 2006, “There are non-circular paradoxes (but Yablo’s isn’t one of them)”, The Monist, 89(1): 118–149. doi:10.5840/monist200689137

–––, 2014, The Yablo Paradox, Oxford: Oxford University Press.

Dowden, Bradley H., 1984, “Accepting inconsistencies from the paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 13: 125–130. doi:10.1007/BF00453017

Dummett, Michael, 1959, “Truth”, Proceedings of the Aristotelian Society, 59(1): 141–162. doi:10.1093/aristotelian/59.1.141 Reprinted in his 1978, Truth and Other Enigmas, Cambridge: Harvard University Press, 1–24.

Eklund, Matti, 2002, “Inconsistent languages”, Philosophy and Phenomenological Research, 64(2): 251–275. doi:10.1111/j.1933-1592.2002.tb00001.x

Feferman, Solomon, 1984, “Toward useful type-free theories, I”, Journal of Symbolic Logic, 49(1): 75–111. doi:10.2307/2274093 Reprinted in Martin 1984: 237–287.

–––, 1991, “Reflecting on incompleteness”, Journal of Symbolic Logic, 56(1): 1–49. doi:10.2307/2274902

Field, Hartry, 1994, “Deflationist views of meaning and content”, Mind, 103(411): 249–285. doi:10.1093/mind/103.411.249

–––, 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press.

–––, 2014, “Naive truth and restricted quantification: Saving truth a whole lot better”, Review of Symbolic Logic, 7(1): 147–191. doi:10.1017/S1755020313000312

Fjellstad, Andreas, 2016, “Naive modus ponens and failures of transitivity”, Journal of Philosophical Logic, 45(1): 65–72. doi:10.1007/s10992-015-9351-0

Frankowski, Szymon, 2004 “Formalization of a plausible inference”, Bulletin of the Section of Logic, 33(1): 41–52.

Friedman, Harvey and Michael Sheard, 1987, “An axiomatic approach to self-referential truth”, Annals of Pure and Applied Logic, 33: 1–21. doi:10.1016/0168-0072(87)90073-X

French, Rohan, 2016, “Structural reflexivity and the paradoxes of self-reference”, Ergo, 3(5): 113–131. doi:10.3998/ergo.12405314.0003.005

Gaifman, Haim, 1988, “Operational pointer semantics: Solution to self-referential puzzles I”, in Proceedings of the Second Conference on Theoretical Aspects of Reasoning about Knowledge, M.Y. Vardi (ed.), Los Altos: Morgan Kaufmann, 43–59.

–––, 1992, “Pointers to truth”, Journal of Philosophy, 89(5): 223–261. doi:10.2307/2027167

Gauker, Christopher, 2006, “Against stepping back: A critique of contextualist approaches to the semantic paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 35(4): 393–422. doi:10.1007/s10992-006-9026-y

Girard, Jean-Yves, Paul Taylor, and Yves Lafont, 1989, Proofs and Types, Cambridge: Cambridge University Press.

Glanzberg, Michael, 2001, “The Liar in context”, Philosophical Studies, 103(3): 217–251. doi:10.1023/A:1010314719817

–––, 2004a, “A contextual-hierarchical approach to truth and the Liar paradox”, Journal of Philosophical Logic, 33(1): 27–88. doi:10.1023/B:LOGI.0000019227.09236.f5

–––, 2004b, “Quantification and realism”, Philosophy and Phenomenological Research, 69(3): 541–572. doi:10.1111/j.1933-1592.2004.tb00518.x

–––, 2004c, “Truth, reflection, and hierarchies”, Synthese, 142(3): 289–315. doi:10.1007/s11229-005-3718-7

–––, 2006, “Context and unrestricted quantification”, in Rayo and Uzquiano 2006: 45–74.

–––, 2015, “Complexity and hierarchy in truth predicates”, in Achourioti et al. 2015: 211–243. doi:10.1007/978-94-017-9673-6_10

Grim, Patrick, 1991, The Incomplete Universe, Cambridge: MIT Press.

Grishin, Viacheslav Nikolaevich, 1982, “Predicate and set-theoretic calculi based on logic without contractions”, Mathematics of the USSR—Izvestiya, 18(1): 41–59. doi:10.1070/IM1982v018n01ABEH001382

Groeneveld, Willem, 1994, “Dynamic semantics and circular propositions”, Journal of Philosophical Logic, 23(3): 267–306. doi:10.1007/BF01048483

Gupta, Anil, 1982, “Truth and paradox”, Journal of Philosophical Logic, 11(1): 1–60. doi:10.1007/BF00302338 Reprinted in Martin 1984: 175–235.

Gupta, Anil and Nuel Belnap, 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge: MIT Press.

Halbach, Volker, 1997, “Tarskian and Kripkean truth”, Journal of Philosophical Logic, 26(1): 69–80. doi:10.1023/A:1017977304199

–––, 2011, Axiomatic Theories of Truth, Cambridge: Cambridge University Press.

Hallnäs, Lars, 1991, “Partial inductive definitions”, Theoretical Computer Science, 87(1): 115–142. doi:10.1016/S0304-3975(06)80007-1

Hallnäs, Lars and Peter Schroeder-Heister, 1991, “A proof-theoretic approach to logic programming II: Programs as definitions”, Journal of Logic and Computation, 1(5): 635–660. doi:10.1093/logcom/1.5.635

Heck, Richard G., Jr., 1997, “Tarski, truth, and semantics”, Philosophical Review, 106(4): 533–554. doi:10.2307/2998511

–––, 2007, “Self-reference and the languages of arithmetic”, Philosophia Mathematica, 15(1): 1–29. doi:10.1093/philmat/nkl028

–––, 2012, “A Liar paradox”, Thought, 1(1): 36–40. doi:10.1002/tht3.5

Herzberger, Hans G., 1967, “The truth-conditional consistency of natural language”, Journal of Philosophy, 64(2): 29–35. doi:10.2307/2023768

–––, 1970, “Paradoxes of grounding in semantics”, Journal of Philosophy, 67(6): 146–167. doi:10.2307/2023885

–––, 1982, “Notes on naive semantics”, Journal of Philosophical Logic, 11(1): 61–102. doi:10.1007/BF00302339 Reprinted in Martin 1984: 133–174.

Horsten, Leon, 2011, The Tarskian Turn: Deflationism and Axiomatic Truth, Cambridge: MIT Press.

Horwich, Paul, 1990, Truth, Oxford: Basil Blackwell.

Koons, Robert C., 1992, Paradoxes of Belief and Strategic Rationality, Cambridge: Cambridge University Press.

Kripke, Saul, 1975, “Outline of a theory of truth”, Journal of Philosophy, 72(19): 690–716. doi:10.2307/2023885 Reprinted in Martin 1984: 54–81.

Leitgeb, Hannes, 1999, “Truth and the Liar in De Morgan-valued models”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40(4): 496–514. doi:10.1305/ndjfl/1012429715

–––, 2005, “What truth depends on”, Journal of Philosophical Logic, 34(2): 155–192. doi:10.1007/s10992-004-3758-3

Littmann, Greg and Keith Simmons, 2004, “A critique of dialetheism”, in Priest, Beall, and Armour-Garb 2004: 314–335.

Malinowski, Grzegorz, 1990, “Q-consequence operation”, Reports on Mathematical Logic, 24: 49–59.

Martin, Robert L. (ed.), 1970, The Paradox of the Liar, Atascadero: Ridgeview.

––– (ed.), 1984, Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, Oxford: Oxford University Press.

Martin, Robert L. and Peter W. Woodruff, 1975, “On representing ‘true-in-L’ in L”, Philosophia, 5: 213–217. Reprinted in Martin 1984: 47–51.

McGee, Vann, 1991, Truth, Vagueness, and Paradox, Indianapolis: Hackett.

Meadows, Toby, 2013, “Truth, dependence and supervaluation: Living with the ghost”, Journal of Philosophical Logic, 42(2): 221–240. doi:10.1007/s10992-011-9219-x

–––, 2014, “Fixed points for consequence relations”, Logique et Analyse, 57(227): 333–357.

Ojea, Ignacio, 2012, “The structural collapse approach reconsidered”, Análisis Filosófico, 32(1): 61–68.

Parsons, Charles, 1974, “The Liar paradox”, Journal of Philosophical Logic, 3(4): 381–412. doi:10.1007/BF00257482 Reprinted in his 1983 Mathematics in Philosophy, Ithaca: Cornell University Press, 221–250.

Parsons, Terence, 1984, “Assertion, denial, and the Liar paradox”, Journal of Philosophical Logic, 13(2): 137–152. doi:10.1007/BF00453019

Patterson, Douglas, 2007, “Understanding the Liar”, in Beall 2007: 197–224.

–––, 2009, “Inconsistency theories of semantic paradox”, Philosophy and Phenomenological Research, 79(2): 387–422. doi:10.1111/j.1933-1592.2009.00283.x

Petersen, Uwe, 2000, “Logic without contraction as based on inclusion and unrestricted abstraction”, Studia Logica, 64(3): 365–403. doi:10.1023/A:1005293713265

Picollo, Lavinia, 2012, “The old-fashioned Yablo paradox”, Análisis Filosófico, 32(1): 21–29.

Priest, Graham, 1984, “Logic of paradox revisited”, Journal of Philosophical Logic, 13(2): 153–179. doi:10.1007/BF00453020

–––, 1997, “Yablo’s paradox”, Analysis, 57(4): 236–242. doi:10.1111/1467-8284.00081

–––, 2006, In Contradiction, Oxford: Oxford University Press, second ed.

–––, 2008, An Introduction to Non-Classical Logic, Cambridge: Cambridge University Press, second edition.

Priest, Graham, Jc Beall, and Bradley Armour-Garb (eds), 2004, The Law of Non-Contradiction, Oxford: Oxford University Press.

Rahman, Shahid, Tero Tulenheimo, and Emmanuel Genot (eds.), 2008, Unity, Truth and the Liar: The Modern Relevance of Medieval Solutions to the Liar Paradox, Berlin: Springer Verlag.

Rayo, Agustín and Gabriel Uzquiano (eds.), 2006, Absolute Generality, Oxford: Oxford University Press.

Read, Stephen, 2002, “The Liar paradox from John Buridan back to Thomas Bradwardine”, Vivarium, 40(2): 189–218. doi:10.1163/156853402320901812

–––, 2006, “Symmetry and paradox”, History and Philosophy of Logic, 27(4): 307–318. doi:10.1080/01445340600593942

Restall, Greg, 1994, On Logics Without Contraction, Ph.D. Thesis, University of Queensland.

–––, 2008, “Modal models for Bradwardine’s theory of truth”, Review of Symbolic Logic, 1(2): 225–240. doi:10.1017/S1755020308080180

Ripley, David, 2012, “Conservatively extending classical logic with transparent truth”, Review of Symbolic Logic, 5(2): 354–378. doi:10.1017/S1755020312000056

–––, 2013a, “Paradoxes and failures of cut”, Australasian Journal of Philosophy, 91(1): 139–164. doi:10.1080/00048402.2011.630010

–––, 2013b, “Revising up: Strengthening classical logic in the face of paradox”, Philosophers’ Imprint, 13(5): 1–13. [Ripley 2013b available online]

–––, 2015, “Comparing substructural theories of truth”, Ergo, 2(13): 299–328. doi:10.3998/ergo.12405314.0002.013

Scharp, Kevin, 2013, Replacing Truth, Oxford: Oxford University Press.

Schindler, Thomas, 2014, “Axioms for grounded truth”, Review of Symbolic Logic, 7(1): 73–83. doi:10.1017/S1755020313000282

Schroeder-Heister, Peter, 1992, “Cut-elimination in logics with definitional reflection”, in Nonclassical Logics and Information Processing, D. Pearce and H. Wansing (eds), Berlin: Springer, 146–171.

–––, 2004, “On the notion of assumption in logical systems”, in Selected Papers Contributed to the Sessions of GAP5, R. Bluhm and C. Nimtz (eds), Paderborn: Mentis, 27–48.

Shapiro, Lionel, 2006, “The rationale behind the revision theory”, Philosophical Studies, 129(3): 477–515. doi:10.1007/s11098-004-2497-1

–––, 2011a, “Deflating logical consequence”, Philosophical Quarterly, 61(243): 320–342. doi:10.1111/j.1467-9213.2010.678.x

–––, 2011b, “Expressibility and the Liar’s revenge”, Australasian Journal of Philosophy, 89(2): 297–314. doi:10.1080/00048401003695156

–––, 2015, “Naive structure, contraction, and paradox”, Topoi, 34(1): 75–87. doi:10.1007/s11245-014-9235-x

Shapiro, Stewart, 2004, “Simple truth, contradiction, and consistency”, in Priest, Beall, and Armour-Garb 2004: 336–354.

Simmons, Keith, 1993, Universality and the Liar, Cambridge: Cambridge University Press.

Soames, Scott, 1999, Understanding Truth, Oxford: Oxford University Press.

Sorensen, Roy A., 1998, “Yablo’s paradox and kindred infinite Liars”, Mind, 107(425): 137–155. doi:10.1093/mind/107.425.137

–––, 2003, A Brief History of Paradox, Oxford: Oxford University Press.

Tarski, Alfred, 1935, “Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen”, Studia Philosophica, 1: 261–405. References are to the translation by J.H. Woodger as “The concept of truth in formalized languages” in his 1983, Logic, Semantics, Metamathematics, Indianapolis: Hackett, second edition, Edited by J. Corcoran with translations by J.H. Woodger, 152–278.

Teijeiro, Paula, 2012, “Circularity is still scary”, Análisis Filosófico, 32(1): 31–35.

Tennant, Neil, 1982, “Proof and paradox”, Dialectica, 36(2–3): 265–296. doi:10.1111/j.1746-8361.1982.tb00820.x

van Fraassen, Bas C., 1968, “Presupposition, implication, and self-reference”, Journal of Philosophy, 65(5): 136–152. doi:10.2307/2024557

–––, 1970, “Truth and paradoxical consequence”, in Martin 1970: 13–23.

Visser, Albert, 1984, “Four valued semantics and the Liar”, Journal of Philosophical Logic, 13(2): 181–212. doi:10.1007/BF00453021

Weir, Alan, 1998, “Naive set theory, paraconsistency, and indeterminacy: Part I”, Logique et Analyse, 41(161–163): 219–266.

–––, 1999, “Naive set theory, paraconsistency, and indeterminacy: Part II”, Logique et Analyse, 42(167–168): 283–340.

–––, 2005, “Naive truth and sophisticated logic”, in Beall and Armour-Garb 2005: 218–249.

–––, 2015, “A robust non-transitive logic”, Topoi, 34(1): 99–107. doi:10.1007/s11245-013-9176-9

Woodruff, Peter W., 1984, “Paradox, truth, and logic part 1: Paradox and truth”, Journal of Philosophical Logic, 13(2): 213–232. doi:10.1007/BF00453022

Yablo, Stephen, 1993a, “Hop, skip, and jump: The agonistic conception of truth”, Philosophical Perspectives, 7: 371–396. doi:10.2307/2214130

–––, 1993b, “Paradox without self-reference”, Analysis, 53(4): 251–252. doi:10.2307/3328245

Zardini, Elia, 2011, “Truth without contra(di)ction”, Review of Symbolic Logic, 4(4): 498–535. doi:10.1017/S1755020311000177

–––, 2013, “Naive modus ponens”, Journal of Philosophical Logic, 42(4): 575–593. doi:10.1007/s10992-012-9239-1