физика

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Принцип неопределенности

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 8 октября 2001 года; содержательно переработано 12 июля 2016 года.

Среди всех физических теорий квантовая механика считается наиболее полным и глубоким описанием физического мира. Используемый ей понятийный аппарат существенно отличается от представлений классической физики. В самом деле, переход от классической к квантовой физике знаменует подлинную революцию в нашем понимании материального мира.

Одно из наиболее ярких различий между классической и квантовой физикой состоит в следующем: классическая механика предполагает, что всем физическим величинам в одно и то же время могут быть приписаны точные значения, тогда как квантовая механика отрицает эту возможность. Хрестоматийный пример — положение и импульс частицы. Согласно квантовой механике, чем точнее известна координата частицы, тем менее точно можно сказать, каков ее импульс (и наоборот). Такова упрощенная и предварительная формулировка принципа неопределенности положения и импульса в квантовой механике. Данный принцип сыграл важную роль во многих дискуссиях на тему философского значения квантовой механики, в особенности в дебатах по поводу согласованности т.н. копенгагенской интерпретации, которой придерживались основоположники квантовой механики Вернер Гейзенберг и Нильс Бор.

Несомненно, принцип неопределенности вовсе не является единственным концептуальным различием между классической и квантовой физикой: представление квантовой механики о таких понятиях, как (не)локальность, запутанность и тождественность, полностью переворачивают классические воззрения на природу.

Введение

Принцип неопределенности, безусловно, является одним из наиболее известных положений квантовой механики. Его нередко считают наиболее отличительным моментом, в котором квантовая механика расходится с классическими теориями физического мира. Грубо говоря, принцип неопределенности (в отношении координаты и импульса) гласит, что невозможно сразу приписать точные значения как положению, так и импульсу физической системы. Напротив, эти величины поддаются установлению лишь через ряд характерных «неопределенностей», которые не могут стать сколь угодно малыми в одно и то же время. Но каков точный смысл данного тезиса и играет ли он на деле роль принципа в квантовой механике? (В своей первоначальной работе Гейзенберг говорит только о соотношениях неопределенности.) И как именно следует понимать утверждение о том, что величины можно установить лишь с некоторой долей неопределенности? Вот основные вопросы, которые мы рассмотрим в дальнейшем с упором на взгляды Гейзенберга и Бора. В работах по физике понятие неопределенности употребляется в нескольких различных смыслах. Оно может означать: недостаток сведений о величине у наблюдателя; неточность измерения, допущенную в ходе эксперимента; некоторую двусмысленность в определении величины; статистический разброс в ансамбле систем, приготовленных схожим образом. Кроме того, для подобных неопределенностей используются несколько различных наименований: неточность, разброс, расхождение, двусмысленность, неопределимость, неопределенность, диапазон и т.д. Как мы увидим, даже Гейзенберг и Бор не сумели прийти к единому обозначению квантово-механических неопределенностей. Предупреждая вопрос о том, какой термин является наиболее подходящим для квантовой механики, мы используем название «принцип неопределенности» просто потому, что оно наиболее распространено в литературе.

Гейзенберг

Как Гейзенберг пришел к соотношениям неопределенностей

Гейзенберг представил свои знаменитые соотношения в статье 1927 года Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik (Гейзенберг 2001). Частичный перевод этого названия выглядит так: «Об anschaulich содержании квантово-теоретической кинематики и механики». Здесь особенно важен термин anschaulich. По-видимому, это одно из немецких слов, которое не допускает однозначного перевода на другие языки. Уилер и Цурек (Wheeler и Zurek 1983) перевели заглавие данной статьи как «О физическом содержании…» (‘On the physical content…’) В собрании сочинений Гейзенберга (Heisenberg 1984) она фигурирует как «О воспринимаемом содержании…» (‘On the perceptible content…’), в то время как в биографии Гейзенберга (Cassidy 1992) работа упоминается как «О содержании восприятия…» (‘On the perceptual content…’) При буквальном истолковании дословным переводом термина anschaulich оказывается «поддающийся созерцанию, визуализации» (‘visualizable’). Однако в большинстве языков слова, относящиеся к созерцанию, не всегда воспринимаются буквально. Ви́дение широко используется в качестве метафоры понимания, особенно в контексте непосредственного понимания. Следовательно, anschaulich также означает «понятный» или «интуитивно ясный».

Почему наглядность (Anschaulichkeit) квантовой механики оказалась столь важной проблемой для Гейзенберга? Этот вопрос уже рассматривался рядом комментаторов (Jammer 1974, Miller 1982, de Regt 1997, Beller 1999). Оказывается, чтобы ответить на него, мы должны продвинуться в прошлое чуть дальше. В 1925 году Гейзенберг разработал для квантовой теории первый согласованный математический формализм (Heisenberg 1925). Его главная идея заключалась в том, что роль в теории должны играть только те величины, которые в принципе поддаются наблюдению, и что не следует пытаться сформировать картину происходящего внутри атома. В атомной физике данные наблюдения были получены из спектроскопии и затем сопоставлены с атомными переходами. Поэтому Гейзенберг рассматривал «величины перехода» в качестве одной из основных составляющих теории. В том же году Макс Борн несколько позднее понял, что величины перехода подчиняются правилам матричного исчисления — области математики, которая в то время была не столь широко известной, как в наши дни. В своей знаменитой серии статей Гейзенберг, Борн и Паскуаль Йордан развили эту идею и пришли к матричной механике как одному из способов математического представления квантовой теории.

Формально матричная механика сохраняет близость к классической механике. Основная идея заключается в том, что все физические величины должны быть представлены бесконечными самосопряженными матрицами (позднее их отождествили с операторами в гильбертовом пространстве). Предполагается, что матрицы Q и P, которые представляют канонические переменные положения и импульса частиц, удовлетворяют т.н. каноническому правилу коммутации

(1)     QP−PQ=iħ, 

где ħ = h / 2π; h обозначает постоянную Планка, а полужирный шрифт используется для обозначения матриц (или операторов). Новая теория достигла впечатляющего эмпирического успеха, поскольку сумела объяснить почти все известные в то время спектроскопические данные — особенно после того, как включила в свой понятийный аппарат представление о спине (собственном моменте импульса) электрона.

Поэтому, когда через год Эрвин Шрёдингер представил альтернативную теорию, ставшую известной как волновая механика, ее встретили с удивлением. Шрёдингер предположил, что электрон в атоме можно представить в виде осциллирующего облака зарядов, непрерывно формирующегося в пространстве и времени в соответствии с волновым уравнением. Дискретные частоты в атомных спектрах обусловлены не прерывистыми переходами (квантовыми скачками), как в матричной механике, а резонансным явлением. Шрёдингер также показал, что матричная и волновая механики эквивалентны.

Тем не менее, два подхода сильно различались по духу и предлагаемому им истолкованию квантовой теории. В то время как Гейзенберг избегал обращения к наглядным образам и принимал прерывистые переходы в качестве базового понятия, Шрёдингер заявлял, что его волновая теория превосходит матричную, поскольку является anschaulich. В словаре Шрёдингера это означало, что теория представляла данные наблюдения с помощью причинных процессов, которые непрерывно разворачиваются в пространстве и времени. Он считал условие Anschaulichkeit важным требованием к любой приемлемой физической теории. Шрёдингер был не одинок в оценке этой стороны своей теории. По той же причине волновая механика привлекла многих других ведущих физиков. В 1926 году, до того, как волновая механика столкнулась с серьезными трудностями, подход Шрёдингера, судя по всему, собрал больше сторонников в физическом сообществе, чем матричная механика.

По вполне понятным причинам Гейзенберг был недоволен таким развитием событий. В письме от 8 июня 1926 года к Паули он признавался: «Чем больше я думаю о физической составляющей теории Шрёдингера, тем более отвратительной ее нахожу»; «То, что Шрёдингер называет Anschaulichkeit своей теории… я рассматриваю как Mist» (Pauli 1979: 328). Опять же, последний немецкий термин переводится по-разному различными комментаторами: как «барахло» (Miller 1982), «мусор» (Beller 1999), «чепуха» (Cassidy 1992), «чушь собачья» (Bacciagaluppi & Valentini 2009) и, по-видимому, более буквально, как «дерьмо» (Moore 1989; de Regt 1997). Тем не менее, в опубликованных работах Гейзенберг выразил более взвешенное мнение. В статье в журнале Die Naturwissenschaften (1926) он резюмировал причудливую ситуацию одновременного возникновения двух соперничающих теорий. Хотя Гейзенберг заявил, что интерпретация Шрёдингера несостоятельна, он признал, что у матричной механики не было Anschaulichkeit, которая делала волновую механику столь привлекательной. Он пришел к выводу, что для получения непротиворечивой наглядной интерпретации нам по-прежнему недостает чего-то очень важного в представлении об устройстве материи. В статье 1927 года «О наглядном содержании…» Гейзенберг собирался изложить искомую характеристику.

Аргумент Гейзенберга

Настало время рассмотреть ход рассуждений, который привел Гейзенберга к открытию соотношений неопределенности. Гейзенберг начал с переопределения понятия Anschaulichkeit. В то время как Шрёдингер связывал этот термин с предоставлением причинной пространственно-временной картины явлений, Гейзенберг, напротив, заявил:

Мы думаем, что физическая теория понятна и наглядна (anschaulich) тогда, когда мы можем представлять себе ее качественные следствия для эксперимента во всех простых случаях, и вместе с тем тогда, когда мы уже убедились в том, что применение теорий не приводит к внутренним противоречиям. (Гейзенберг 2001: 209)

Тем самым, разумеется, Гейзенберг желал показать, что в этом новом смысле слова Anschaulichkeit матричная механика могла бы претендовать на наглядность в той же мере, что и волновая механика. Для этого Гейзенберг принял следующее рабочее допущение: такие термины, как «положение частицы», имеют смысл, только если указан подходящий эксперимент, в рамках которого можно измерить «положение частицы». Назовем подобное допущение принципом «измерение = значение». В общем случае даже в области атомной физики таких экспериментов предостаточно. Однако их результаты никогда не бывают полностью точными. Поэтому мы должны быть готовы согласиться с тем, что в целом значение величин устанавливается лишь с некоторой характерной неточностью.

В качестве примера Гейзенберг привел определение координаты электрона под микроскопом. Точность подобного измерения ограничена длиной волны света, освещающего электрон. Таким образом, в принципе такое измерение положения можно сделать сколь угодно точным, используя электромагнитное излучение очень короткой длины волны, например, γ-лучи. Однако при применении γ-лучей нельзя игнорировать эффект Комптона: взаимодействие электрона и освещения следует рассматривать как столкновение по меньшей мере одного фотона (кванта света) с электроном. При таком столкновении электрон испытывает отдачу, которая нарушает его импульс. Более того, чем короче длина волны, тем больше это изменение импульса. Таким образом, в тот момент, когда координата частицы определена точно, утверждает Гейзенберг, ее импульс точно узнать не представляется возможным:

В момент определения координаты, т.е. в момент времени, когда квант света дифрагирует на электроне, электрон изменяет свой импульс скачкообразно. Это изменение тем больше, чем меньше длина волны используемого света, т.е. тем точнее определяется координата. Поэтому в тот момент, когда координата электрона известна, его импульс может быть известен только с точностью до величин, соответствующих указанным скачкообразным изменениям; таким образом, чем точнее определена координата, тем с меньшей точностью известен импульс и наоборот… (Гейзенберг 2001: 211)

Такова первая формулировка принципа неопределенности. В своем нынешнем виде он выступает эпистемологическим принципом, поскольку ограничивает то, что мы можем знать об электроне. В соответствии с «элементарными формулами эффекта Комптона» (там же) Гейзенберг оценил «неточности» как величины порядка

(2)     δpδq~h 

Он продолжил: «…в этом [случае] мы видим непосредственное наглядное объяснение соотношения QP−PQ=iħ» (там же).

Далее он рассмотрел другие эксперименты, предназначенные для измерения иных физических величин и получения аналогичных соотношений для времени и энергии:

(3)    δtδE~h 

а также действия J и угла w

(4)       δwδJ~h, 

которые он рассматривал как соответствующие «известным уравнениям» (Гейзенберг 2001: 213)

(5)      tE−Et=iħ или wJ−Jw=iħ 

Однако обобщения подобного рода не столь непосредственны, как предполагал Гейзенберг. В частности, статус переменной времени в нескольких его примерах соотношения (3) не совсем ясен (Hilgevoord 2005; см. также раздел 2.5 далее).

Гейзенберг подытожил свои открытия в заключении общего характера: все понятия, используемые в классической механике, также получают достаточное определение в области атомных процессов. Однако в своем чистом соответствии с опытом (rein erfahrungsgemäß) эксперименты, которые служат для такого установления одной величины, подвержены ряду особых неопределенностей, подчиняясь соотношениям (2)–(4), которые запрещают им одновременное установление значений двух канонически сопряженных величин. Следует обратить внимание, что в этой формулировке акцент несколько сместился: Гейзенберг говорит об ограниченности наших понятий, т.е. о пределах не только нашего знания, но и области наших осмысленных высказываний о частице. Разумеется, эта более строгая формулировка вытекает из применения вышеизложенного принципа «измерение = значение»: если, как утверждает Гейзенберг, нет экспериментов, которые бы допускали точное измерение сразу двух сопряженных величин, то эти величины также не являются полностью определенными в один и тот же момент времени.

Работа Гейзенберга завершается любопытным «дополнением при корректуре» (Гейзенберг 2001: 227–228), где упоминаются критические замечания Бора, увидевшего статью только после того, как ее отправили издателю. Среди прочего Бор указал, что в опыте с микроскопом важно не само изменение импульса электрона, а скорее то обстоятельство, что это изменение нельзя точно определить в том же опыте. Улучшенная версия ответа на это возражение была дана Гейзенбергом в чикагских лекциях 1930 года «Физические принципы квантовой теории».

Здесь (Гейзенберг 1932: 21) предполагается, что электрон освещен светом длины волны λ и что рассеянный свет попадает в микроскоп с углом апертуры ε. По законам классической оптики, точность микроскопа зависит как от длины волны, так и от угла апертуры; критерий Аббе для «разрешающей способности» микроскопа, т.е. размера наименьших различимых деталей, дает

(6)      δq~(λ / sinε) 

С другой стороны, направление рассеянного фотона при его входе в микроскоп неизвестно в пределах угла ε; следовательно, изменение импульса электрона становится неопределенным на величину

(7)     δp~(hsinε / λ) 

и мы вновь приходим к результату (2).

Перейдем теперь к более тщательному разбору рассуждений Гейзенберга. Следует отметить, что даже в улучшенной версии аргументация Гейзенберга неполна. Согласно принципу Гейзенберга «измерение = значение», в данном контексте следует также указать значение фразы «импульс электрона», чтобы придать смысл утверждению о том, что импульс изменяется в зависимости от измерения координаты. Решение этой проблемы вновь обнаруживается в лекциях (Гейзенберг 1932: 20). Здесь Гейзенберг допускает, что изначально импульс электрона точно известен — к примеру, он был измерен в предыдущем эксперименте с погрешностью δpi, сколь угодно малой. Затем его положение измеряется с погрешностью δq, после чего конечный импульс измеряется с погрешностью δpf. Все три измерения могут выполняться с произвольной точностью. Таким образом, три величины δpi, δq и δpf можно сделать сколь угодно малыми. Если мы предположим далее, что начальный импульс до измерения положения не изменился, то до момента измерения координаты мы можем говорить о четко установленном импульсе. Более того, мы можем придать рабочее значение идее о том, что импульс изменяется в ходе измерения положения: результат второго измерения импульса pf будет в целом отличаться от начального значения pi. На самом деле, изменяя время между тремя измерениями, можно также показать, что это изменение скачкообразно.

Примем эту более сложную схему и попробуем оценить, можно ли дополнить аргументацию Гейзенберга. Теперь мы сумели придать эмпирический смысл «изменению импульса» электрона pf–pi. Гейзенберг утверждает, что порядок величины этого изменения по меньшей мере обратно пропорционален погрешности измерения координаты:

(8)       |pf − pi|δq~h 

Однако можно ли заключить, что импульс определяется неточно? Разумеется, нет. Перед измерением положения значение импульса составляло pi, после измерения — pf. Можно было бы заявить, что его значение в сам миг измерения координаты еще не определено, но это решается простым соглашением; например, в данный момент можно присвоить импульсу среднее значение (pi + pf) / 2. Но тогда импульс определяется точно во все моменты времени, и принцип неопределенности Гейзенберга больше не действует. Изложенная попытка завершить аргументацию Гейзенберга, таким образом, заходит слишком далеко.

Решение проблемы опять обнаруживается в лекциях. Гейзенберг признает, что положение и импульс могут быть с точностью известны. Он пишет:

…если сначала будет известна скорость электрона, а затем будет точно измерено положение, то возможно и для времени перед измерением положения электрона в точно вычислить положение электрона. Для этого прошедшего времени произведение δpδq меньше, чем обычная граница. (Гейзенберг 1932: 20)

Действительно, по Гейзенбергу «соотношения неопределенностей очевидно не относятся к прошлому» (там же).

По всей видимости, когда Гейзенберг говорит о неопределенности или неточности величины, он имеет в виду, что значение величины не может быть задано заранее. Возникновение неопределенности импульса после измерения положения в описанной последовательности измерений отсылает к идее о том, что значение импульса не фиксируется непосредственно перед окончательным измерением импульса. Как только это измерение выполняется и показывает значение pf, соотношение неопределенностей больше не действует; и тогда эти значения принадлежат прошлому. Ясно, что в этой ситуации Гейзенберга в первую очередь занимает непредсказуемость: проблема не в том, что измерение положения изменяет импульс частицы, а в том, что он изменяется на непредсказуемую величину. Тем не менее, всегда можно измерить, а значит и определить размер данного изменения при последующем измерении конечного импульса с произвольной точностью.

Хотя Гейзенберг признает, что мы можем без противоречия приписать значения импульса и координаты электрону в прошлом, он не видит в этом особого смысла. Он указывает, что эти значения никогда не смогут использоваться в качестве начальных условий в предсказании будущего поведения электрона и не подлежат экспериментальной проверке. Независимо от того, придаем мы им физическую реальность или нет, по его словам, это лишь вопрос вкуса. Сам Гейзенберг, разумеется, отрицает их реальность. Например, он пишет:

Похоже, что измерение не только придает величине значение, по мнению Гейзенберга, но и порождает его. Назовем данный тезис принципом «измерение = порождение». Речь идет об онтологическом принципе, поскольку он устанавливает, что именно является физически реальным.

Возникает следующая картина. Сначала мы очень точно измеряем импульс электрона. По принципу «измерение = значение», термин «импульс частицы» теперь четко определен. Более того, следуя принципу «измерение = порождение», мы можем сказать, что данный импульс физически реален. Далее координата измеряется с погрешностью δq. В этот момент положение частицы становится достаточно определенным, и, опять же, его можно рассматривать как физически реальный атрибут частицы. Однако теперь импульс изменился на величину, непредсказуемую на порядок |pf-pi|~h/δq. Значение и обоснованность этого заявления могут быть подтверждены последующим измерением импульса. Вопрос в том, какой статус мы припишем импульсу электрона непосредственно перед его окончательным измерением. Реален ли импульс? По словам Гейзенберга, нет. Перед окончательным измерением электрону можно приписать лишь размытый или нечеткий импульс. Эти термины понимаются здесь в онтологическом смысле, описывающем реальный атрибут электрона.

Интерпретация соотношений неопределенности Гейзенберга

Довольно скоро соотношения Гейзенберга стали считаться краеугольным камнем копенгагенской интерпретации квантовой механики. Всего несколько месяцев спустя Кеннард (Kennard 1927) назвал их «основным ядром» новой теории. Гейзенберг настаивал, что соотношения неопределенности предоставляют интуитивное содержание теории. Они также сыграли заметную роль в более поздних дебатах вокруг копенгагенской интерпретации. В силу этого господствующее влияние обрела точка зрения, в соответствии с которой соотношения неопределенности составляют главный принцип квантовой механики.

Интерпретация этих соотношений была предметом частых споров. Соотношения Гейзенберга ограничивают эксперименты, которые мы можем выполнять на квантовых системах, а следовательно, они затрагивают сведения, которые мы можем о них собрать — или же они касаются смысла понятий, которые мы используем для описания квантовых систем? Не идет ли речь об ограничениях онтологического характера: быть может, из соотношений неопределенности следует, что у квантовой системы попросту нет точных значений и координаты, и импульса в одно и то же время? Различие трактовок отчасти отражается в разных названиях, под которыми известны рассматриваемые соотношения, —так, говорят о соотношениях «неточности», «неопределенности», «неясности» или же «нечеткости». Вопрос об истолковании был затронут многими авторами, но так и не был решен окончательно. Пока здесь достаточно высказать только два общих замечания.

Во-первых, Гейзенберг, очевидно, полагал, что все вышеперечисленные вопросы возникают или исчезают вместе. Так, мы видели, что он принял рабочий принцип «измерение = значение», по которому наличие значения у физической величины эквивалентно наличию эксперимента, в котором можно измерить именно эту величину. Точно так же принцип «измерение = порождение» позволил Гейзенбергу приписать физическую реальность таким величинам. Следовательно, в своих работах Гейзенберг довольно свободно и ловко переходил от разговоров о неточностях экспериментов к вопросам онтологии или эпистемологии и обратно.

Однако онтологические вопросы, судя по всему, для него были менее интересны. Например, есть отрывок (Гейзенберг 2001: 227), где Гейзенберг обсуждает идею о том, что за данными наблюдения все же может скрываться реальность, в которой квантовые системы имеют конкретные значения положения и импульса, не зависящие от соотношений неопределенности. Он решительно отвергает этот взгляд как бесплодную и бессмысленную спекуляцию и говорит, что цель физики состоит лишь в описании наблюдаемых явлений. Точно так же в чикагских лекциях Гейзенберг предупреждает о том, что в человеческом языке допустимы высказывания, которые не имеют эмпирического содержания, но тем не менее порождают некую картину в нашем воображении. Он отмечает:

А значит, Гейзенберг также одобрил интерпретацию своих соотношений, отвергающую реальность, в которой частицы имеют определенные значения координаты и импульса в одно и то же время. Во-вторых, хотя для Гейзенберга экспериментальные, информационные, эпистемологические и онтологические формулировки соотношений были, так сказать, лишь разными сторонами одной и той же медали, отнюдь не все ученые разделяли его рабочие принципы или же его представления о задачах физики. Иные точки зрения — в которых, например, отвергается онтологическое прочтение соотношений неопределенности — также имеют право на существование. В текстах тридцатых годов зачастую встречается утверждение, согласно которому Гейзенберг доказал невозможность связать определенное положение и импульс с частицей. Разумеется, это не так. Однако точный смысл соотношений Гейзенберга в немалой степени зависит от интерпретации, избираемой для квантовой механики в целом. И поскольку по последнему вопросу согласие достигнуто не было, нельзя ожидать и консенсуса относительно значения соотношений неопределенности.

Соотношения неопределенности или принцип неопределенности?

Перейдем к другому вопросу о соотношениях Гейзенберга: выражают ли они принцип квантовой теории? Судя по всему, первым авторитетным автором, обозначившим их именно так, был Эддингтон, который в своих гиффордских лекциях 1928 года назвал их «принципом неопределимости» (principle of indeterminacy). В английской литературе наиболее распространенным стало наименование «принцип неопределенности» (principle of uncertainty). Оно использовалось Кондоном и Робертсоном (Condon 1929; Robertson 1929), а также в англоязычной версии чикагских лекций Гейзенберга (Heisenberg 1930), но, что примечательно, в оригинальной немецкой версии книги данное выражение не фигурирует (см. также Cassidy 1998). Действительно, Гейзенберг, похоже, никогда не желал называть открытые им соотношения «принципом». Его любимыми выражениями были «соотношения неточности» (Ungenauigkeitsrelationen) или «соотношения неопределенности» (Unbestimmtheitsrelationen). Нам известен лишь один отрывок из работ Гейзенберга, а именно из лекций «Физика и философия» (Гейзенберг 1989: 5–134), которые он читал в Гиффорде с 1955 по 1956 годы, где он упомянул, что его соотношения, как правило, «называются соотношением неточностей или принципом неопределенности» (Гейзенберг 1989: 17). Однако эти слова вполне можно трактовать как уступку сложившемуся порядку, а не свидетельство его предпочтения.

Однако можно ли соотношение (2) считать принципом квантовой механики? Несколько авторов, прежде всего Карл Поппер (Popper 1967), оспаривали эту точку зрения. По словам Поппера, соотношениям неопределенности нельзя придать статус принципа, поскольку они выводятся из теории и не могут сами послужить для нее основанием. (Его аргумент состоит в том, что нельзя вывести какое-либо уравнение, скажем, уравнение Шрёдингера или соотношение коммутации (1), из неравенства.)

Эйнштейн предложил эту знаменитую классификацию в статье «Что такое теория относительности?» (Эйнштейн 1965). Конструктивные теории постулируют существование простых объектов за наблюдаемыми явлениями. Они стремятся восстановить явления, создавая гипотезы об этих объектах. Фундаментальные теории, напротив, начинают с рассмотрения эмпирических принципов (общих утверждений об эмпирических закономерностях), не задействуя при этом теоретические термины или используя лишь минимальное их число. Задача заключается в построении теории из этих принципов: необходимо показать, каким образом они обеспечивают достаточные условия для введения дополнительных теоретических понятий и структур. Главным примером фундаментальной теории служит термодинамика. Здесь в роли эмпирических принципов выступают утверждения о невозможности построения различных видов вечных двигателей. Они рассматриваются как выражения грубого эмпирического факта, обеспечивающие соответствующие условия для введения понятий энергии, энтропии и их свойств. (У классификации Эйнштейна есть свои преимущества и недостатки, однако их разбор выходит за пределы нашей темы.)

Ясно, что как только формальная теория термодинамики выстроена, из нее можно вывести доказательства невозможности различных видов вечных двигателей. (Существование последних нарушит законы сохранения энергии и увеличения энтропии.) Но было бы ошибкой на основании этого считать, что такие доказательства не являются теоретическими принципами. Дело в том, что эмпирические принципы — это утверждения, значение которых не зависит от теоретических понятий (в данном случае энтропии и энергии). Истолкование принципов не требует опоры на понятия, более того, их обоснованность на эмпирическом уровне по-прежнему придает теории физическое содержание.

Схожим примером служит специальная теория относительности — другая фундаментальная теория, которую Эйнштейн сознательно выстраивал в соответствии с идеалом термодинамики. Здесь роль эмпирических принципов играют постулат постоянства скорости света и принцип относительности. Опять же, сразу после создания современного теоретического формализма теории (а именно пространства-времени Минковского) нетрудно доказать обоснованность этих принципов. Но это не значит, что в конечном итоге их нельзя называть принципами. Поэтому вопрос о том, применим ли термин «принцип» к соотношениям Гейзенберга, следует, на наш взгляд, понимать как вопрос о том, рассматриваются ли они как эмпирические принципы.

Можно с легкостью продемонстрировать, что Гейзенберг был недалек от этой идеи. Как мы уже видели, он представил свои соотношения как результат «чистого соответствия с опытом». Спустя несколько месяцев после публикации «О наглядном содержании…» Гейзенберг написал популярную статью «Об основных принципах квантовой механики» (Über die Grundprincipien der Quantenmechanik), где выразился еще более ясно. Здесь он описал свой недавний прорыв в интерпретации теории следующим образом: «Судя по всему, общий закон природы не позволяет нам определять положение и скорость одновременно с произвольной точностью». В действительности, вопреки своему названию, статья не устанавливает и не обсуждает «основные принципы» квантовой механики. Таким образом, подразумевалось, что читатели сразу поймут: по мнению Гейзенберга, соотношение неопределенности было основным принципом, навязанным нам в качестве эмпирического закона природы, а не результатом, вытекающим из формализма теории.

Такая интерпретация намерений Гейзенберга подтверждается тем фактом, что даже в статье 1927 года в применении своих соотношений он часто представляет выводы принципиальными. Например, он пишет: «В определенном стационарном состоянии атома фазы являются принципиально неопределенными» (Гейзенберг 2001: 213; курсив наш). В схожем ключе он описал содержание своих соотношений в статье 1928 года следующим образом:

Итак, хотя традицию называть соотношения неопределенности принципом заложил и не Гейзенберг, не было бы преувеличением сказать, что эти соотношения, с его точки зрения, представляют собой эмпирический принцип, способный служить основанием квантовой механики. Работа 1927 года, по сути, открыто выразила данную позицию:

Во-вторых, встает вопрос о том, действительно ли структура или количественные законы квантовой теории могут быть выведены на основании принципа неопределенности, как желал того Гейзенберг. Серьезные попытки построить квантовую механику в качестве фундаментальной теории на основании принципа неопределенности никогда не предпринимались. Гейзенберг мог только заявить в этом отношении, что соотношения неопределенности создают «пространство» (Гейзенберг 2001: 227) или «возможность» (Heisenberg 1931: 43) для введения некоторого неклассического способа описания экспериментальных данных, а не ведут нас однозначно к формализму квантовой механики. Убедительный способ рассмотрения квантовой механики как фундаментальной теории был недавно представлен в работах Bub 2000 и Chiribella and Spekkens 2016. Однако, что примечательно, этот способ не использует соотношение неопределенности в качестве одного из основных принципов теории. В-третьих, следует отметить, что в более поздние годы Гейзенберг несколько по-иному взглянул на свои соотношения. В автобиографии «Часть и целое» (Гейзенберг 1989: 135–360; Der Teil und das Ganze, 1969) Гейзенберг описывал, как обнаружил свои соотношения, вдохновленный изречением Эйнштейна о том, что «только теория решает, что именно можно наблюдать» (Гейзенберг 1989: 381) — тем самым отдав предпочтение теории, а не опыту. Несколько лет спустя Гейзенберг даже признал, что его знаменитые разборы мысленных экспериментов фактически были тривиальными, поскольку

Математическое исследование

Когда Гейзенберг представил свое соотношение, его аргументация опиралась только на качественные (т.е. не выраженные в количественной форме) примеры. Он не предоставил общий и точный вывод своих соотношений. Действительно, он даже не дал определения неопределенностей δq и т.п., возникающих в его соотношениях. Разумеется, это согласуется с объявленной целью статьи, а именно с обеспечением некоторого качественного понимания квантовой механики для простых экспериментов.

Первой математически точной формулировкой соотношений неопределенности мы обязаны Кеннарду. В 1927 году он доказал теорему, согласно которой для всех нормированных векторов состояния |ψ〉 выполняется следующее неравенство:

Завершим этот раздел тремя замечаниями. Во-первых, если соотношение неопределенности в самом деле выступает эмпирическим принципом, можно спросить, в чем состоит его непосредственное эмпирическое обоснование. В анализе Гейзенберга оно не упоминается. Приводимые им доводы касались мысленных экспериментов, в которых неявно принимается справедливость теории, по крайней мере на начальном уровне. Джеммер (Jammer 1974: 82) при обзоре литературы искал высокоточные эксперименты, которые могли бы подвергнуть соотношения неопределенности серьезной проверке, и пришел к выводу, что в 1974 году их все еще слишком мало. В действительности соотношения неопределенности получили эмпирическое обоснование в экспериментах, в которых неточности близки к квантовому пределу, лишь совсем недавно (см. Kaiser, Werner, and George 1983; Uffink 1985; Nairz, Andt, and Zeilinger 2002).

(9)        ΔψPΔψQ≥~ħ/2 

Здесь ΔψP и ΔψQ — это среднеквадратические отклонения положения и импульса в векторе состояния |ψ〉, т.е.

(10)

где 〈·〉 ψ = 〈ψ|·|ψ〉 обозначает математическое ожидание в состоянии |ψ〉. В качестве эквивалента мы можем использовать волновую функцию ψ(q) и ее преобразование Фурье:

(11) 

чтобы переписать в виде

Неравенство (9) было обобщено Робертсоном (Robertson 1929), который доказал, что для всех наблюдаемых (самосопряженных операторов) А и В:

(12)

где [A,B]:=AB−BA обозначает коммутатор.

Поскольку указанные выше неравенства (9) и (12) имеют точный характер, в отличие от исходной полуколичественной формулировки Гейзенберга, возникает соблазн рассматривать их как точный аналог соотношений Гейзенберга (2)–(4). Так посчитал и сам Гейзенберг. В чикагских лекциях (Гейзенберг 1932: 17–20) он представил кеннардовский вывод соотношения (9) и утверждал, что «этот вывод по своему математическому содержанию нисколько не отличается» от его полуколичественного аргумента, с той лишь разницей, что «доказательство формулы здесь произведено точно» (там же: 20).

Однако будет полезно отметить, что различие между неравенством Кеннарда и исходной формулировкой Гейзенберга (2) затрагивает как их статус, так и предполагаемую роль. Рассмотренные здесь неравенства — это не высказывания об эмпирических фактах, а теоремы формализма квантовой механики. А значит, они предполагают обоснованность этого формализма в целом и коммутационного соотношения (1) в частности, а не разъясняют их интуитивное содержание или создают «пространство» или «возможность» для обоснования формализма. В лучшем случае эти неравенства свидетельствуют о том, что формализм согласуется с эмпирическим принципом Гейзенберга.

Эта ситуация аналогична той, которая возникает в других фундаментальных теориях: как отмечается в разделе 2.4, зачастую обнаруживается, что наряду с эмпирическим принципом формализм также предоставляет соответствующую теорему. И равным образом данная ситуация вовсе не свидетельствует о том, что соотношение Гейзенберга нельзя рассматривать как принцип квантовой механики.

Существует второе значительное различие между (2) и (9). Гейзенберг не дал общего определения «неопределенностей» δp и δq. Наиболее конкретное его замечание по их поводу состояло в том, что их можно было бы счесть «примерно равными средней ошибке» (Гейзенберг 2001: 211). В ходе обсуждения мысленных экспериментов Гейзенберг и Бор всегда определяли неопределенности в каждом конкретном случае, отбирая ряд параметров, которые имели отношение к разбираемому эксперименту. Напротив, неравенства (9) и (12) используют одно конкретное выражение в качестве меры «неопределенности»: среднеквадратическое отклонение. В то время такой выбор был вполне естественным, если учесть, что выражение хорошо известно и широко применяется в теории ошибок и в описании статистических флуктуаций. Однако вопрос о том, подходит ли оно для формулировки соотношений неопределенности в общем виде, практически не обсуждался. Среднеквадратическое отклонение отражает разброс или ожидаемые флуктуации в последовательности измерений наблюдаемого параметра в данном состоянии. Связать это с представлением о «неточности» измерения, например, разрешающей способности микроскопа, оказывается не так просто. Хотя Гейзенберг и принял неравенство Кеннарда в качестве точной формулировки соотношения неопределенности, на деле они с Бором никогда не полагались на среднеквадратические отклонения в своих многочисленных разборах мысленных экспериментов. Более того, как показал ряд авторов (Uffink and Hilgevoord 1985; Hilgevoord and Uffink 1988), их разборы нельзя перевести на язык среднеквадратических отклонений.

Другая проблема состоит в том, что «известные» соотношения (5) фактически не наблюдаются, если энергия E и действие J оказываются положительными операторами (Jordan 1927). В этом случае самосопряженные операторы t и w не существуют — и нельзя вывести неравенства, подобные (9). Кроме того, эти неравенства не затрагивают углы и угловые моменты (Uffink 1990). Эти проблемы привели к появлению довольно обширного корпуса текстов, посвященного соотношениям неопределенности времени–энергии и угла–действия (Busch 1990; Hilgevoord 1996, 1998, 2005; Muga et al. 2002; Hilgevoord and Atkinson 2011; Pashby 2015).

Бор

Несмотря на то, что представления Гейзенберга и Бора о квантовой механике нередко объединяются в качестве (части) т.н. «копенгагенской интерпретации», их взгляды на соотношения неопределенности расходятся во многих важных аспектах.

От корпускулярно-волнового дуализма к дополнительности

Задолго до возникновения современной квантовой механики Бора занимала проблема корпускулярно-волнового дуализма: опытные данные о поведении как света, так и материи, в некоторых случаях требовали представления их в виде волн, а в других — в виде частиц. Однако эти представления исключают друг друга. Частица всегда локализована, тогда как понятия длины волны и частоты предполагают протяженность в пространстве и во времени. Более того, классическое корпускулярное представление несовместимо с характерным явлением интерференции.

Длительная борьба с корпускулярно-волновым дуализмом подготовила Гейзенберга к радикальному шагу, когда в 1926–1927 годах разразился спор между матричной и волновой механиками. Для основных его участников, Гейзенберга и Шрёдингера, на карту был поставлен вопрос о том, кто из них мог предоставить единый, согласованный и универсальный понятийный аппарат для описания результатов наблюдений. По сути, выбор стоял между описанием в терминах непрерывно распространяющихся волн и описанием в терминах частиц, совершающих прерывистые квантовые скачки. Напротив, Бор настаивал на том, что элементы обоих взглядов в равной мере важны и одинаково необходимы для исчерпывающего описания данных. Предлагаемый им выход из противоречия заключался в отказе от идеи, что понятийный аппарат должен однозначно и буквально соответствовать физической реальности. Применимость описаний должна была вместо этого зависеть от контекста экспериментов. Такова суть точки зрения, которую Бор назвал «дополнительностью».

Бор впервые задумал общий план аргумента о дополнительности в начале 1927 года, когда катался на лыжах в Норвегии. В то же время Гейзенберг писал работу о неопределенности. Когда Бор вернулся в Копенгаген и нашел рукопись Гейзенберга, у них завязалась бурная дискуссия. С одной стороны, Бор пришел в восторг от идей Гейзенберга, которые, судя по всему, прекрасно сочетались с основами его собственного мышления. Действительно, в последующих трудах Бор всегда представлял соотношения неопределенности как символическое выражение своей точки зрения дополнительности. С другой стороны, он критиковал Гейзенберга за предположение, согласно которому соотношения возникают из-за прерывистых изменений, совершающихся в ходе измерения. Бор утверждал, что верный вывод соотношений, скорее, изначально должен признать необходимый характер понятий частиц и волн. Он указал, что неопределенности в эксперименте возникают не только из-за отсутствия непрерывности, но и потому, что в эксперименте нам необходимо учитывать как теорию частиц, так и волновую теорию. Не неизвестное возмущение делает импульс электрона неопределенным — дело в том, что положение и импульс попросту нельзя одновременно определить в эксперименте (см. «дополнение при корректуре» — Гейзенберг 2001: 227–228).

Мы не будем глубже вникать в вопрос об интерпретации Бором квантовой механики, поскольку прежде всего нас интересует его мнение о принципе неопределенности. Более подробное обсуждение первого вопроса см. в работах Scheibe 1973, Folse 1985, Honner 1987 и Murdoch 1987. Однако полезно будет кратко обозначить некоторые из основных моментов. В соображениях Бора главное место занимает язык, используемый в физике. Независимо от того, насколько абстрактными и утонченными могут быть понятия современной физики, по сути они являются расширением нашего обыденного языка и средством выражения результатов наших экспериментов. Данные, которые были получены в четко определенных экспериментальных условиях, Бор называет «явлениями». Итак, для Бора явления — это «эффекты, наблюдаемые при заданных экспериментальных условиях» (Бор 1985: 351), вытекающие из совокупности физического объекта, измерительного прибора и взаимодействия между ними в конкретном опыте. Существенное различие между классической и квантовой физикой состоит в том, что в квантовой физике взаимодействие между объектом и прибором не может быть сделано сколь угодно малым; взаимодействие должно содержать по меньшей мере один квант. Такое положение дел выражается квантовым постулатом Бора:

…ее [формулировки квантовой теории] суть… может быть выражена, как мы увидим, в так называемом квантовом постулате. Согласно этому постулату, каждому атомному процессу свойственна существенная прерывность или, скорее, индивидуальность, совершенно чуждая классической теории и выраженная планковским квантом действия. (Бор II: 30)

Поэтому феномен является неделимым целым, а результат измерения нельзя рассматривать как автономное проявление свойств самого объекта независимо от контекста измерения. Квантовый постулат заставляет нас создать новый способ описания физических явлений:

В этой ситуации мы оказываемся перед необходимостью радикального пересмотра самих основ для описания и объяснения физических явлений. Прежде всего здесь нужно отчетливо сознавать, что как бы далеко ни выходили квантовые эффекты за пределы возможностей анализа классической физики, описание экспериментальной установки и регистрация результатов наблюдения всегда должны производиться на обычном языке, дополненном терминологией классической физики. (Бор II: 392)

Шайбе (Scheibe 1973) назвал данный тезис «буферным постулатом», поскольку тот препятствует проникновению кванта в классическое описание: феномен всегда должен описываться с помощью понятий классической физики; постоянная Планка в этом описании не фигурирует.

В совокупности эти два постулата (квантовый и буферный) приводят к следующему ходу мысли. В каждом явлении взаимодействие между объектом и прибором содержит по меньшей мере один квант. Однако описание явления должно прибегнуть к классическим понятиям, в которых кванту действия нет места. Следовательно, взаимодействие нельзя проанализировать в этом описании. С другой стороны, классический характер описания позволяет нам говорить о свойствах самого объекта. Вместо того, чтобы говорить «взаимодействие частицы с фотографической пластиной привело к появлению черного пятна в определенном участке пластины», мы вправе отказаться от упоминания прибора и сказать, что «в этом месте была найдена частица». Область осмысленных высказываний об объекте задается контекстом эксперимента, а вовсе не изменением или возмущением предсуществующих свойств объекта.

Поскольку взаимодействие между объектом и прибором в описании явления отсутствует, мы получаем не всю картину. Тем не менее, любая попытка расширить описание путем измерения другого наблюдаемого количественного показателя объекта или же измерительного прибора образует новое явление, и мы снова сталкиваемся с той же ситуацией. Из-за неанализируемости взаимодействия в обоих измерениях два различных описания нельзя объединить в общую картину. Бор называет их дополнительными описаниями:

Наиболее важным примером дополнительных описаний являются измерения координаты и импульса объекта. Если нужно измерить положение объекта относительно данной пространственной системы отсчета, следует жестко закрепить измерительный прибор на телах, определяющих систему отсчета. Но по этой причине исследовать обмен импульсом между объектом и прибором нельзя, вследствие чего мы отрезаны от получения какой-либо информации об импульсе объекта. С другой стороны, если требуется измерить импульс, прибор должен быть способен двигаться относительно системы отсчета. Бор здесь предполагает, что измерение импульса включает в себя регистрацию отдачи какой-либо подвижной части прибора и применение закона сохранения импульса. Поскольку часть прибора, с которой взаимодействует объект, не закреплена, прибор не может точно определить положение объекта. Прибор нельзя сразу и закрепить, и оставить подвижным, а потому эксперименты, используемые для точного определения координаты и импульса, исключают друг друга. Конечно, само по себе это не характерно для квантовой механики. Но поскольку нельзя ни проигнорировать, ни обнаружить взаимодействие между объектом и прибором во время измерения, результаты этих двух измерений объединить невозможно. А значит, при описании объекта встает выбор между установлением точной координаты и определением точной величины импульса.

Схожие соображения применимы и в случае измерения времени и энергии. Так же как пространственная система отсчета должна быть зафиксирована с помощью твердых тел, так и координата времени устанавливается с помощью невозмущенных синхронизированных часов. Однако такие условия не позволяют принять во внимание обмен энергией с измерительным прибором, если этого требует поставленная цель. И напротив, любое заключение об объекте, опирающееся на сохранение энергии, не позволяет проследить его развитие во времени. Отсюда следует вывод: в квантовой механике мы сталкиваемся с дополнительностью двух описаний, объединяемых в классическом представлении: пространственно-временного описания (или координации) процесса, а также описания, основывающегося на применимости динамических законов сохранения. Квант, который присутствует во взаимодействии, заставляет нас отказаться от классического способа описания (который Бор также называет «причинным», см. Бор II: 31): невозможно сформировать классическую картину происходящего, когда излучение взаимодействует с материей, как, например, при эффекте Комптона

И обратно, всякая попытка более точного определения места столкновения между фотоном и электроном сделала бы невозможным подведение более точного баланса энергии и количества движения; невозможность эта обусловлена неизбежным взаимодействием с неподвижными масштабами и часами, определяющими пространственно-временную систему отсчета. (Bohr 1949: 210; Бор II: 407)

Описать процесс причинным способом нельзя, а потому мы должны довольствоваться дополнительными описаниями. Бор считает, что «точка зрения дополнительности может рассматриваться как разумное обобщение самого идеала причинности» (там же: 408).

Бор говорит не только о дополнительных описаниях, но также о дополнительных явлениях и величинах. Положение и импульс, равно как время и энергия, являются дополнительными величинами.

Мы видели, что подход Бора к квантовой теории сосредотачивает внимание на языке, который физики используют для передачи экспериментальных наблюдений. По мнению Бора, язык должен оставаться классическим. В то же время он, судя по всему, был невысокого мнения об аргументах, чьей отправной точкой служил математический формализм квантовой теории. Подобного рода неформальный подход свойственен для всех рассуждений Бора о смысле квантовой механики. Можно сказать, что для Бора первостепенное значение имеет концептуальное разъяснение ситуации, тогда как формализм представляет собой лишь символическое представление ситуации.

Это примечательно, ведь в конечном итоге именно формализм нуждается в трактовке. Во многом из-за пренебрежения им так трудно понять, в чем состоит суть интерпретации Бором квантовой механики и почему она вызвала столько споров. Мы завершаем этот раздел цитатой из статьи 1948 года, которая показывает, какое значение имел формализм квантовой механики для Бора:

Весь формализм в целом следует рассматривать как инструмент, с помощью которого могут быть сделаны либо совершенно определенные предсказания, либо предсказания статистического характера — в отношении сведений, которые могут быть получены в определенных экспериментальных условиях, причем эти условия описываются на классическом языке и конкретно определяются некоторыми параметрами, входящими в алгебраические или дифференциальные уравнения, решением которых являются соответственно матрицы или волновые функции. Эти символы сами по себе не поддаются наглядной интерпретации, на что указывает уже использование мнимых чисел; и даже получаемые вещественные функции, подобные плотностям и токам, следует рассматривать как характеристики осуществления отдельных событий, которые могут наблюдаться в некоторых четко определенных экспериментальных условиях. (Бор II: 394)

Позиция Бора по поводу соотношений неопределенности

В лекции в г. Комо (Италия), опубликованной в 1928 году, Бор изложил свой метод вывода соотношений неопределенности координаты–импульса и времени–энергии. Он начал с соотношений

(13)     E=hν и p=h/λ, 

которые связывают понятия энергии E и импульса p корпускулярного представления с частотой ν и длиной волны λ волнового описания. Он отметил, что волновой пакет ограниченной пространственно-временной протяженности можно выразить лишь только посредством суперпозиции (наложения) ряда элементарных волн с большим диапазоном волновых чисел и частот. Обозначив пространственную и временную протяженности волнового пакета Δx и Δt, а протяженности в волновом числе σ: = 1 / λ и частоте Δσ и Δν, он показал, что из разложения Фурье в наиболее благоприятном случае следует ΔxΔσ≈ΔtΔν≈ 1. Далее, используя (13), можно получить соотношения

(14)     ΔtΔE≈Δx(Δp≈h 

Обратите внимание, что Δx, Δσ и т.п. — это не среднеквадратические отклонения, а неуточненные параметры размера волнового пакета. (Исходный текст содержит знаки равенства, а не приближенного равенства, но поскольку Бор не определяет разбросы точным образом, знаки приближенного равенства в большей мере соответствуют его описанию. Кроме того, сам Бор использовал знаки приближенного равенства в последующих выступлениях.) Согласно Бору, эти уравнения

Он также отметил следующее:

В позиции Бора по поводу соотношений неопределенности можно выделить ряд черт. Прежде всего, Бор не говорит о скачкообразных изменениях соответствующих величин в ходе измерения. Вместо этого он подчеркивает возможность определения величин. Такой взгляд заметно отличается от представлений Гейзенберга. Черновик лекции в Комо еще более подробно описывает разницу позиций Бора и Гейзенберга:

Эти взаимные соотношения неопределенности были представлены в недавней работе Гейзенберга в качестве выражения статистического элемента, который из-за особенности прерывности, подразумеваемой в квантовом постулате, характеризует любую интерпретацию наблюдений с помощью классических понятий. Следует, однако, помнить, что рассматриваемая неопределенность вытекает не просто из скачкообразного изменения энергии и импульса, скажем, во время взаимодействия между излучением и материальными частицами, происходящего в ходе измерения пространственно-временных координат объектов. В соответствии с приведенными соображениями, речь идет, скорее, о невозможности строго определить изменение, когда рассматривается пространственно-временная координация объектов. (Bohr 1985: 93)

Действительно, Бор отверг не только аргумент Гейзенберга, согласно которому соотношения связаны с прерывистыми возмущениями, обусловленными актом измерения, но и его представление о том, что процесс измерения порождает определенный результат:

Равным образом Бор скептически относился к формулировкам, которые исходят из проблем эпистемологии или опираются на понятие экспериментальных погрешностей:

В связи с этим, возможно, будет уместно предостеречь от неправильного понимания известных соотношений неопределенности Гейзенберга… когда все содержание соотношений неопределенности пытаются изложить фразой типа: «положение и импульс частицы не могут быть одновременно измерены с произвольной точностью». Такое высказывание наводит на мысль, что здесь все дело в добровольном отказе от измерения одного из двух четко определенных атрибутов объекта, и оставляет место для надежд на то, что в будущей, более полной теории оба этих атрибута будут приниматься в рассмотрение в соответствии с требованиями классической физики. (Бор II: 207)

Напротив, Бор всегда подчеркивал, что соотношения неопределенности выражают прежде всего дополнительность. Это может показаться странным, ведь дополнительность состоит в взаимоисключаемости двух разновидностей описания, тогда как соотношения неопределенности позволяют существовать и промежуточным ситуациям. Они «выражают» взаимоисключаемость в том смысле, что если мы определяем энергию и импульс абсолютно точным образом (как ΔE = Δp = 0), переменные координаты и времени совершенно не определены (Δx = Δt = ∞), и наоборот. Однако соотношения также допускают промежуточные ситуации, где упомянутые неопределенности являются ненулевыми и конечными. Этот более позитивный аспект соотношения неопределенности упоминается в лекции следующим образом:

И все же Бор не рассматривал возможность согласования двух взаимоисключающих режимов описания с точки зрения нечетко определенных величин всерьез. В самом деле, попытка такого согласования потребовала бы уделить большее внимание не понятиям классического языка, а формализму квантовой теории, что противоречило убеждениям Бора. Вместо этого в более поздних работах, судя по всему, Бор довольствовался утверждением, что соотношения неопределенности всего-навсего не поддаются однозначной интерпретации в классических терминах:

Наконец, отметим, что на более формальном уровне вывод Бора опирается не на коммутационные соотношения (1) и (5), а на разложение Фурье. Эти два подхода оказываются эквивалентными в случае соотношения положения и импульса, но не согласуются друг с другом при рассмотрении соотношения времени и энергии, поскольку большинство физических систем не имеют оператора времени. Так, в своей дискуссии с Эйнштейном (Бор II: 399–433) Бор представлял время как простую классическую переменную. В его знаменитом обсуждении мыслительного эксперимента «часы в ящике» время, определяемое часами в ящике, также рассматривается лишь с точки зрения классической общей теории относительности. Таким образом, в подходе, опирающемся на коммутационные соотношения, соотношения неопределенности координаты–импульса и времени–энергии оказываются в неравных условиях, что противоречит подходу Бора, основанному на разложении Фурье. (Подробнее см. Hilgevoord 1996, 1998.)

Минимальная интерпретация

В предыдущих двух разделах мы увидели, сколь большую роль Гейзенберг и Бор приписывали соотношениям неопределенности. Оба ученых утверждали, что эти соотношения значительно сужают область применения обычных классических понятий. Более того, они считали, что подобные ограничения неизбежны и навязываются нам объективно. Однако мы также убедились в том, что Гейзенберг и Бор пришли к таким выводам исходя из радикальных и спорных допущений. А значит, их радикальные выводы неубедительны для тех, кто отвергает подобные допущения. Действительно, принятая этими авторами операционалистско-позитивистская точка зрения давно утратила привлекательность в среде философов физики.

Поэтому можно поинтересоваться, какие альтернативные прочтения соотношений неопределенности по-прежнему заслуживают внимания. Разумеется, данный вопрос тесно связан с проблемой интерпретации волновой функции, а значит, и квантовой механики в целом. Поскольку физики и философы так и не пришли к единому истолкованию последней, было бы удивительно, если бы сформировался консенсус вокруг интерпретации соотношений неопределенности. В настоящем разделе мы лишь опишем точку зрения, называемую нами «минимальной интерпретацией», которая, судя по всему, разделяется как приверженцами копенгагенской интерпретации, так и сторонниками других взглядов.

В квантовой механике система должна описываться волновой функцией, также называемой ее квантовым состоянием или вектором состояния. Как только дан вектор состояния |ψ>, можно получить распределения вероятностей для всех физических величин, относящихся к системе, обычно называемых ее наблюдаемыми параметрами, таких как координата, импульс, момент вращения, энергия и т.п. Рабочее значение вероятностных распределений заключается в их соответствии распределению значений, полученных для величин посредством долгого ряда повторных измерений. Точнее, можно представить себе большое количество копий рассматриваемой системы, каждая из которых приготовлена тем же образом. В каждой копии измеряется, к примеру, импульс. Как правило, результаты измерений различаются, и мы получаем распределение результатов. Предполагается, что теоретическое распределение импульса, выведенное исходя из квантового состояния, совпадает с гипотетическим распределением результатов, полученным в бесконечном ряде повторных измерений импульса. Схожим образом дело обстоит и для всех остальных физических величин, относящихся к системе. Следует обратить внимание на то, что при определении рабочего значения распределений вероятностей не требуются одновременные измерения двух или более величин.

Разбираемые выше соотношения неопределенности можно рассматривать как утверждения о разбросах в распределениях вероятностей нескольких физических величин, проистекающих из одного состояния. Так, например, соотношение неопределенности положения и импульса системы указывает, что распределение по координате и импульсу не может быть сколь угодно узким — в некотором смысле этого слова — в любом квантовом состоянии. Неравенство (9) выступает примером соотношения, в котором мерой разброса служит среднеквадратическое отклонение. Из этой характеристики соотношений неопределенности следует, что для изучения соотношений неопределенности как таковых не требуется более подробная интерпретация квантового состояния, нежели та, что была приведена в предыдущем абзаце. Также оказываются избыточными онтологические или лингвистические истолкования идеи неопределенности как ограничения области применения наших понятий, заданного Гейзенбергом или Бором.

Конечно, такая минимальная интерпретация оставляет открытым вопрос о том, можно ли приписывать точные значения координаты и импульса отдельной системе. Некоторые интерпретации квантовой механики, например, истолкования Гейзенберга и Бора, говорят о том, что делать это нельзя; тогда как другие, например, интерпретации де Бройля и Бома, настаивают на том, что каждая отдельная система имеет определенное положение и импульс (см. статью о механике Бома). Единственное необходимое условие гласит, что (в соответствии с опытом) невозможно приготовить чистые ансамбли, в которых все системы имеют одинаковые значения величин, или ансамбли, в которых разбросы меньше, чем допускается квантовой теорией. Хотя интерпретации квантовой механики, в которых каждая система имеет определенные значения положения и импульса, по-прежнему живы, это не значит, что у них нет никаких странных особенностей — все они не подразумевают возвращения к классической физике.

В заключение сделаем несколько замечаний об этой минимальной интерпретации. Во-первых, следует отметить, что такая интерпретация соотношений неопределенности укладывается в эмпирическое значение неравенства (9). А значит, подобная позиция разделяет многие ограничения, накладываемые на неравенство, которые были описаны нами выше. В самом деле, нетрудно связать разброс в статистическом распределении результатов измерений с погрешностью, присущей этому измерению и связанной, к примеру, с разрешающей способностью микроскопа, или с возмущением состояния системы, вызванным актом измерения. Более того, минимальная интерпретация не затрагивает вопрос о том, можно ли одновременно производить точные измерения положения и импульса.

На самом деле можно показать, что стандартный формализм квантовой механики не допускает таких одновременных измерений. Однако соотношение (9) здесь ни при чем. Скорее, их невозможность проистекает из того обстоятельства, что этот формализм просто не содержит подходящих измеримых параметров. Расширение этого формализма, позволяющее представлять наблюдаемые параметры при помощи положительных операторнозначных мер (ПОЗМ), допускает формальное введение параметров, описывающих совместные измерения (см. также раздел 6.1). Но и здесь при рассмотрении положения и импульса обнаруживается, что такие измерения должны быть «нечеткими», а следовательно, их нельзя трактовать как одновременные и точные.

Если же любая удовлетворительная формулировка принципа неопределенности должна так или иначе учитывать погрешность измерения или возможность одновременных измерений, следует искать другие способы выразить этот принцип. Некоторые из них будут обсуждаться в разделе 6. Сначала мы рассмотрим варианты формулировок, которые придерживаются минимальной интерпретации и отличаются от (9) лишь тем, что применяют не среднеквадратическое отклонение, а иные меры неопределенности.

Другие меры неопределенности

Хотя среднеквадратическое отклонение является наиболее известным количественным показателем неопределенности или разброса в распределении вероятностей, оно не является единственным. В самом деле, у него имеются отличительные недостатки, которые могут отсутствовать у других мер. Из определения среднеквадратических отклонений (11) видно, к примеру, что плотность вероятности |ψ(q)|2 взвешивается квадратичным множителем q2, который все больше подчеркивает хвосты его кривой распределения. Следовательно, значение ΔψQ будет зависеть в основном от того, как эта плотность ведет себя на хвостах статистического распределения: если это распределение имеет быстро спадающие хвосты, как у гауссовского, оно будет малым, но если хвосты будут медленно снижаться, то среднеквадратическое отклонение может быть весьма значительным, даже когда наибольшая вероятность сосредоточена в малом интервале.

Из подобного возражения следует, что само наличие нижней оценки произведения среднеквадратических отклонений по координате и импульсу, устанавливаемых соотношением неопределенности Гейзенберга–Кеннарда (9), еще не исключает состояния, при котором плотность вероятности для положения и импульса чрезвычайно сконцентрирована — в том смысле, что более чем (1-ε) их вероятности сосредотачивается в области размером меньше δ при любом выборе ε,δ> 0. На наш взгляд, это означает, что соотношение (9) в действительности не может выразить то, что большинство физиков восприняло бы как основную идею принципа неопределенности.

Один из способов отвести это возражение заключается в рассмотрении альтернативных мер количественной оценки разброса или неопределенности, связанных с плотностью вероятности. Далее мы обсудим два таких решения.

5.1 Соотношения неопределенности Ландау–Поллака

Наиболее простая альтернатива — выбор некоторого значения α, близкого к единице, скажем, α = 0,9, и запрос ширины наименьшего интервала, который поддерживает долю α от общего распределения вероятностей по координате и аналогично по импульсу:

(15)

В предыдущей работе (Uffink and Hilgevoord 1985) мы назвали такие оценки объемной шириной (bulk widths), потому что они указывают, насколько сконцентрирован «объем» (bulk, т.е. доля α или β) распределения вероятности. Ландау и Поллак (Landau and Pollak 1961) получили соотношение неопределенности в виде этих объемных показателей.

(16)

Это неравенство Ландау–Поллака показывает, что если выбор α,β не слишком мал, то существует независимая от состояния нижняя граничная оценка произведения объемных показателей распределения положения и импульса для любого квантового состояния.

Заметим, что на показатели объемной ширины поведение хвостов распределений влияет не так сильно, и потому приведенное возражение не затрагивает неравенство Ландау–Поллака. Таким образом, это неравенство накладывает на квантово-механические состояния ряд ограничений, не содержащихся в соотношении (9). Кроме того, по известному неравенству Биенэме–Чебышёва

(17)

так что из неравенства (16) следует (при выборе оптимальных α, β), что ΔψQΔψP≥0,12ħ. Очевидно, что это отнюдь не лучшая нижняя оценка произведения среднеквадратических отклонений, однако здесь важно отметить, что неравенство Ландау–Поллака (16) в виде показателей объемной ширины подразумевает существование нижней границы произведения среднеквадратических отклонений, тогда как, напротив, равенство Гейзенберга–Кеннарда (9) не накладывает никаких ограничений на произведение объемных показателей. Обобщение этого подхода, которое учитывает некоммутативные наблюдаемые параметры в конечномерном гильбертовом пространстве, обсуждается в работе Uffink 1990.

5.2 Энтропийные соотношения неопределенности

Другой способ выражения принципа неопределенности использует энтропийные меры неопределенности. Основным примером таких мер выступает энтропия Шеннона, которая для распределения координаты и импульса данного вектора состояния |ψ> может быть определена как:

(18)

Затем можно показать (см. Beckner 1975; Białinicki-Birula and Micielski 1975), что 

(19)     H(Q,ψ)+H(P,ψ)≥ln(eπħ) 

Приятная особенность этого энтропийного соотношения неопределенности состоит в том, что она обеспечивает надежное улучшение соотношения Гейзенберга–Кеннарда. Т.е. можно показать (независимо от квантовой теории), что для любой функции плотности вероятности p(x) 

(20)

Применяя это к неравенству (19), получаем:

(21)

Таким образом, энтропийное соотношение неопределенности включает соотношение неопределенности Гейзенберга–Кеннарда. Недостаток такого подхода заключается в том, что он не полностью избегает приведенного выше возражения (т.е. эти энтропийные меры неопределенности могут стать сколь угодно большими, тогда как 1-ε вероятности в распределении сосредоточено на очень малом интервале). Однако примеры, необходимые для демонстрации его провала, по общему признанию, скорее надуманны.

При рассмотрении некоммутативных измеримых параметров в n-мерном гильбертовом пространстве можно аналогичным образом задать энтропийную неопределенность распределения вероятностей |〈ai|ψ〉|2 для данного состояния |ψ〉 и полное множество собственных состояний |ai〉, (i = 1, ..., n) наблюдаемого параметра A:

(22)

и схожим образом для наблюдаемого B в терминах распределения вероятностей |〈bj|ψ〉|2 для полного множества собственных состояний |b〉, (j = 1, ..., n). Тогда мы получаем соотношение неопределенности (Maassen and Uffink 1988):

(23)

которое было в дальнейшем обобщено и усовершенствовано (см. Frank and Lieb 2012). Наиболее важное преимущество указанных соотношений состоит в том, что нижняя граница в них является положительной постоянной, не зависящей от состояния, в отличие от неравенства Робертсона (12).

Соотношения неопределенности для неточностей и возмущений

Как среднеквадратическое отклонение, так и альтернативные меры неопределенности, рассмотренные в предыдущем подразделе (и многие другие, которые мы не упоминали!), предназначены для указания ширины или разброса одного заданного распределения вероятностей. Применительно к квантовой механике, где распределения вероятностей по положению и импульсу получены из данного вектора квантового состояния, их можно использовать для выражения соотношений неопределенности, характеризующих разброс в этих распределениях для любого заданного состояния. Полученные неравенства затем накладывают ограничения на приготовления состояний, допустимые в квантовой механике. Таким образом, они выражают то, что можно назвать принципом неопределенности приготовления:

В квантовой механике невозможно приготовить какую-либо систему в состоянии |ψ>, чтобы ее положение и импульс были точно предсказуемыми в том смысле, что как ожидаемый разброс в измерении положения, так и разброс в измерении импульса окажутся сколь угодно малыми.

Соотношения (9, 16, 19) все принадлежат этой категории; единственное различие заключается в том, что в них используются разные меры разброса: среднеквадратическое отклонение, объемная ширина или энтропия Шеннона.

Обратите внимание, что такая формулировка вообще не упоминает ни одновременные или совместные измерения, ни какое-либо понятие точности, связанной, скажем, с разрешающей способностью измерительного прибора. Она также не затрагивает вопрос о том, насколько система в измеряемом состоянии возмущается актом измерения. Данный раздел посвящен формулировкам, которые выходят за рамки принципа неопределенности приготовления.

Недавние дебаты о соотношениях ошибка–возмущение

Как мы помним, в 1927 году Гейзенберг утверждал, что измерение (например, положения) обязательно должно возмущать сопряженную переменную (в данном случае импульс) на величину, которая обратно пропорциональна неточности измерения первой. Мы также видели, что эта идея не нашла себе выражения в соотношении неопределенности Кеннарда (9), принятом Гейзенбергом (Heisenberg 1930; Гейзенберг 1932) и вошедшим в большинство учебников.

Возникает вполне естественный вопрос — существуют ли в квантовой механике другие неравенства, которые более непосредственно передавали бы исходную мысль Гейзенберга, т.е. учитывали бы, насколько одна переменная нарушена точным измерением другой. Далее мы рассмотрим формулировки, в которых устанавливается требование, которое можно было бы назвать принципом неопределенности измерения.

В квантовой механике отсутствует процедура измерения, посредством которой можно точно измерить положение системы, не возмущая ее импульс, — в том смысле, что некоторая мера неточности в координате и некоторая мера возмущения импульса системы в ходе измерения не могут быть одновременно сколь угодно малыми.

Данная формулировка принципа неопределенности всегда вызывала вопросы. Соотношения неопределенности, которые выражали бы этот предполагаемый принцип, часто называются соотношениями «погрешность–возмущение» или «шум–возмущение». Мы рассмотрим два последних проекта по нахождению таких соотношений (Ozawa 2003; Busch, Lahti and Werner 2013).

В подходе Озавы мы предполагаем, что интересующая нас система S в состоянии |ψ〉 связана с измерительным прибором M в состоянии |χ〉, а их взаимодействие описывается унитарным оператором U. В гильбертовом пространстве совместной системы наблюдаемый параметр Q системы S представлен формулой

(24)

По итогам взаимодействия мы получим (неточное) измерение данной величины посредством снятия наблюдаемого показания Q′ измерительного прибора. Далее этот неточный показатель можно представить в виде

(25)

Мера шума в ходе измерения Q затем выбирается следующим образом:

(26)

Сравнение начального импульса Pin = P⊗1 и полученного после измерения конечного импульса Pout=U†(P⊗1)U производится путем выбора меры возмущения P актом измерения:

(27)

Озава вывел неравенство, где фигурируют эти две меры, однако последние занимают в нем более значительное место, чем предыдущие соотношения неопределенности. Но в нашем контексте важнее то, что Озава показал: произведение εψ(Q)ηψ(P) не имеет положительной нижней границы. Отсюда он заключил, что описанное Гейзенбергом соотношение шум–возмущение нарушено.

Однако вопрос о том, действительно ли Озава сумел перевести в количественные термины качественное обсуждение Гейзенбергом возмущений и точности в примере с микроскопом, остается открытым. (См. Busch, Lahti and Werner 2013, а также 2014 в разделе прочих интернетов-ресурсов и Ozawa 2013 там же.)

Было выдвинуто возражение, что величина наподобие 〈(Q'out-Qin)2〉1/2 очень мало говорит о том, насколько хорошо может выступать в качестве неточного измерения Qin параметр Q'out. Прежде всего здесь следует обратить внимание на то, что эти операторы обычно не коммутируют и что измерения Q'out, Qin и их разности потребуют сразу трех различных контекстов. Заявление, что εψ(Q) обращается в ноль, к примеру, означает лишь только то, что приготовленное состояние принадлежит линейному подпространству, которое соответствует нулевому собственному значению оператора Q'out-Qin, а значит, 〈Q'out〉ψ = 〈Qin〉ψ, однако отсюда не следует, что распределение вероятности Qout в состоянии ψ в пренебрежимо малой степени отличается от распределения вероятности Qin. Но в таком случае никто не сочтет Qout точным измерением Qin, так что определение εψ(Q) не выражает того, для чего его сконструировали. Аналогичное возражение можно выдвинуть и против ηψ(P).

Также следует заметить, что заключение Озавы об отсутствии нижней границы у его произведения погрешность–возмущение вовсе не удивительно. Даже без исследования системы измерительным прибором можно показать, что такой границы не существует. Если начальное состояние системы приготовлено в момент времени t = 0 как гауссовский квазимонохроматический волновой пакет с 〈Q0〉ψ=0, который движется свободно, мы можем прибегнуть к измерению времени пролета частицы, чтобы узнать ее более позднюю координату. Как говорит нам теорема Эренфеста: 〈Qt〉ψ=(t/m)〈P〉ψ.

Следовательно, в качестве приближенного измерения положения Qt можно было бы предложить наблюдаемый параметр Q′t=(t/m)P. Известно, что при указанных условиях (и при больших m и t) это приближение выполняется очень хорошо, т.е. мы имеем не только 〈Q′t−Qt〉ψ=0, но и сколь угодно близкое 〈(Q′t−Qt)2〉≈0. Но так как Q′t представляет собой лишь импульс, умноженный на константу, то его измерение, очевидно, не нарушит импульса всей системы. Другими словами, в этом примере у нас имеется сколь угодно малый εψ(Q) с нулевым возмущением импульса. Поэтому любые надежды на то, что у произведения εψ(Q)ηψ(P) есть положительная нижняя граница, судя по всему, отбрасываются даже при простейшей из схем измерений, т.е. свободного движения.

Из результатов, полученных Озавой, еще не следует, что разбор Гейзенбергом аргумента микроскопа был неверен. Скорее, они ставят под сомнение обоснованность определений, которые Озава использовал для формализации неформального аргумента Гейзенберга.

Совершенно другой подход к проблеме обоснования соотношения неопределенности измерений был предложен Бушем, Лахти и Вернером (Busch, Lahti and Werner 2013). Авторы рассматривают измерительный прибор М, который производит совместное нечеткое измерение положения и импульса. Для описания таких измерений они используют расширенный современный формализм, в котором наблюдаемые объекты описываются не самосопряженными операторами, а положительными операторнозначными мерами (ПОЗМ). В данном случае это означает, что акт измерения описывается посредством набора положительных операторов M(p,q), где пара p,q представляет переменные результата измерения и

(28)

Два маргинальных (крайних) результата таких ПОЗМ

(29)

также сами являются ПОЗМ и представляют нечеткое положение Q' и нечеткий импульс P' наблюдаемых объектов соответственно. (Следует отметить, что они не указывают на самосопряженный оператор!)

Для системы, приготовленной в состоянии |ψ>, совместная плотность вероятности получения результатов (p,q) в совместном нечетком измерении (28) тогда равна

(30)

а маргинальные результаты этого совместного распределения вероятностей дают распределения для Q' и P'.

(31)

Поскольку в квантовой механике совместное четкое измерение положения и импульса невозможно, полученные из М распределения (31) будут отличаться от идеальных измерений Q и P в интересующей нас системе в состоянии |ψ>. Однако можно указать, насколько такие маргинальные результаты отклоняются от отдельных точных измерений координаты и импульса в состоянии |ψ> путем попарного сравнения (31) с точными распределениями

(32)

В этой связи Буш, Лахти и Вернер вводят функцию расстояния D между вероятностными распределениями. Так, D(μ,μ′) сообщает нам, в какой степени маргинальное распределение координат μ′(q) для нечеткого положения Q′ соответствует точному распределению μ(q) при четком измерении положения, а D(ν,ν′) схожим образом говорит нам, в какой степени маргинальное распределение импульсов ν′(p) для P′ соответствует точному распределению импульсов ν(p). Расстояние, которое они выбрали, — метрика Вассерштейна-2, также известная как earth-movers distance (букв. «расстояние между бульдозерами»).

Определение (метрики Вассерштейна-2)

Пусть μ(x) и μ'(y) — любые два распределения вероятностей на оси, а γ(x,y) — любое совместное распределение вероятностей, где μ' и μ выступают в качестве маргинальных исходов. В таком случае:

(33)

Применив определение к рассматриваемому случаю, т.е. попарно к квантово-механическим распределениям μ′(q) и μ(q), ν′(p) и ν(p) в (31) и (32), авторы предпринимают последний шаг: берут супремум (точную верхнюю границу) по всем возможным входным состояниям | ψ>, что дает

(34)

Из этих определений они выводят

(35)

Полагая, что Δ(Q,Q') обеспечивает разумную меру неточности или шума относительно положения, а Δ(P,P') — меру возмущения импульса любым таким совместным нечетким измерением, авторы заключают, в противовес Озаве, что соотношение неопределенности ошибки–возмущения не нарушается и, следовательно, им удалось предоставить «замечательное оправдание интуиций Гейзенберга» по поводу мысленного эксперимента с микроскопом.

При сравнении решения Озавы с подходом Буша, Лахти и Вернера следует отметить несколько положительных черт последнего. Прежде всего, сделав упор на расстояние (33), этот подход сравнивает целые распределения вероятностей, а не просто ожидания различий операторов. Когда это расстояние очень мало, мы вправе заключить, что в ходе измерения распределение изменилось незначительно. А значит, произведенные измерением ошибка или возмущение малы. Во-вторых, из введения верхней границы по всем состояниям для получения Δ(Q,Q') следует, что когда это последнее выражение невелико, измеренное распределение μ' мало отличается от точного распределения μ независимо от состояния системы. По словам авторов, отсюда следует, что Δ(Q,Q') можно рассматривать как показатель качества измерительного прибора, и в этом смысле он аналогичен разрешающей способности микроскопа.

Но мы также считаем, что у подхода Буша, Лахти и Вернера есть одна нежелательная особенность. Она связана с тем, что верхняя граница над состояниями появляется дважды: как в Δ(Q,Q'), так и в Δ(P,P'). Эта особенность, по нашему мнению, лишает их результаты практической применимости. Для ясности: в конкретных приложениях можно было бы приготовить систему в некотором (не известном точно) состоянии и выполнить данный акт M совместного измерения Q' и P'. Если задано, скажем, что Δ(Q,Q') очень мало, можно смело заключить, что Q было измерено с небольшой погрешностью, поскольку это гарантирует, что измеренное распределение положения незначительно отличается от того, что даст точное измерение положения независимо от состояния системы. Хотелось бы заключить, что в таком случае возмущение импульса P из P' должно быть значительным для приготовленного состояния. Но подход Буша, Лахти и Вернера дает нам только:

Но отсюда не вытекает никаких следствий для рассматриваемого состояния! Таким образом, соотношение неопределенности Буша и др. не исключает того, что для некоторых состояний возможно осуществить совместное измерение, при котором как D(μ,μ'), так и D(ν,ν') были бы очень малы и в этом смысле вносили бы пренебрежимую ошибку и возмущение. Представляется преждевременным говорить о том, что подход авторов оправдывает интуиции Гейзенберга.

Подводя итоги, мы подчеркиваем, что между анализом Буша, Лахти и Вернера и анализом Озавы нет никакого противоречия: где Озава утверждает, что произведение двух величин для некоторых состояний может быть меньше обычного предела, Буш и др. показывают, что произведение разных величин удовлетворяет этому пределу. Разногласия касаются не математической обоснованности, а вопроса о том, имеет ли смысл считать, что эти величины отражают гейзенберговские соображения качественного характера. По мнению авторов настоящей работы, анализ Озавы в данной ситуации нельзя признать убедительным. С другой стороны, мы также считаем, что соотношение неопределенности Буша и др. является неудовлетворительным. Кроме того, мы хотели бы отметить, что в обоих подходах применяются меры, которые весьма схожи со среднеквадратическими отклонениями в отношении их чувствительности к поведению хвостов вероятностных распределений. Таким образом, оба этих подхода сталкиваются с возражением, аналогичным упомянутому в разделе 5. Последнее слово в этом споре, на наш взгляд, заключается в том, что принцип неопределенности измерения не достигнут.

Библиография

На русском языке

Бор Н. (1985) Проблема причинности в атомной физике // Успехи физических наук. 1985. Т. 147. № 2. С. 343–355.

–—. Квантовый постулат и новейшее развитие атомной теории // Избранные научные труды: В 2 тт. М.: Наука, 1970. Т. 2 [Бор II]. С. 30–53.

–—. О понятиях причинности и дополнительности // Бор II. С. 391–398.

–—. Дискуссии с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике // Бор II. С. 399–433.

Гейзенберг В. (2001) О наглядном содержании квантово-теоретической кинематики и механики // Избранные труды. М.: Эдиториал УРСС. С. 209–228.

–—. Физические принципы квантовой теории. М.; Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1932.

–—. Физика и философия. Часть и целое. М.: Наука, 1989.

Эйнштейн А. (1965) Что такое теория относительности? // Собр. науч. трудов: В 4 тт. М.: Наука. Т. 1. С. 677–681.

На английском и немецком языках

Bacciagaluppi, G. and A. Valentini, 2009, Quantum Theory at the Crossroads; reconsidering the 1927 Solvay Conference, Cambridge: Cambridge University Press.

Beller, M., 1999, Quantum Dialogue, Chicago: University of Chicago Press.

Beckner, W., 1975, “Inequalities in Fourier analysis”, Annals of Mathematics, 102: 159–182.

Białinicki-Birula, I. and J. Micielski, 1975, “Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics”, Communications in Mathematical Physics, 44: 129–132.

Bohr, N., 1928, “The Quantum postulate and the recent development of atomic theory”, Nature, (Supplement) 121: 580–590. Also in Bohr 1934, Wheeler and Zurek 1983, and Bohr 1985.

–––, 1929, “Introductory survey”, in Bohr 1934: 1–24.

–––, 1934, Atomic Theory and the Description of Nature, Cambridge: Cambridge University Press. Reissued in 1961. Appeared also as Volume I of The Philosophical Writings of Niels Bohr, Woodbridge, CT: Ox Bow Press, 1987.

–––, 1937, “Causality and complementarity”, Philosophy of Science, 4: 289–298.

–––, 1939, “The causality problem in atomic physics”, in New Theories in Physics, Paris: International Institute of Intellectual Co-operation. Also in Bohr 1996: 303–322.

–––, 1948, “On the notions of causality and complementarity”, Dialectica, 2: 312–319. Also in Bohr 1996: 330–337.

–––, 1949, “Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics”, in Albert Einstein: philosopher-scientist. The library of living philosophers Vol. VII, P.A. Schilpp (ed.), La Salle: Open Court, pp. 201–241.

–––, 1985, Collected Works, Volume 6, J. Kalckar (ed.) Amsterdam: North-Holland.

–––, 1996, Collected Works, Volume 7, J. Kalckar (ed.) Amsterdam: North-Holland.

Bub, J., 2000, “Quantum mechanics as a principle theory”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 31B: 75–94.

Busch, P., 1990, “ On the energy-time uncertainty relation”, Foundations of Physics, 20: 1–32, 33–43.

Busch, P., P. Lahti, and R. Werner, 2013, “Proof of Heisenberg’s error-disturbance relation”, Physical Review Letters, 111, 160405. doi:10.1103/PhysRevLett.111.160405

Cassidy, D.C., 1992, Uncertainty, the Life and Science of Werner Heisenberg, New York: Freeman.

–––, 1998, “Answer to the question: When did the indeterminacy principle become the uncertainty principle?”, American Journal of Physics, 66: 278–279.

Chiribella, G. and R.W. Spekkens, 2016, Quantum Theory, Informational Foundations and Foils, Dordrecht: Springer.

Condon, E.U., 1929, “Remarks on uncertainty principles”, Science, 69: 573–574.

Eddington, A., 1928, The Nature of the Physical World, Cambridge: Cambridge University Press.

Einstein, A., 1919, “My Theory”, The Times (London), November 28, p. 13; reprinted as “What is the theory of relativity?”, in Ideas and Opinions, New York: Crown Publishers, 1954, pp. 227–232.

Folse, H.J., 1985, The Philosophy of Niels Bohr, Amsterdam: Elsevier.

Frank, R.L. and E.H. Lieb, 2012, “Entropy and the uncertainty principle”, Annales Henri Poincaré, 13: 1711–1717.

Heisenberg, W., 1925, “Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen”, Zeitschrift für Physik, 33: 879–893.

–––, 1926, “Quantenmechanik”, Die Naturwissenschaften, 14: 899–894.

–––, 1927, “Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik and Mechanik”,Zeitschrift für Physik, 43: 172–198. English translation in Wheeler and Zurek 1983: 62–84.

–––, 1927, “Ueber die Grundprincipien der ‘Quantenmechanik’ “ Forschungen und Fortschritte, 3: 83.

–––, 1928, “Erkenntnistheoretische Probleme der modernen Physik”, in Heisenberg 1984: 22–28.

–––, 1930, Die Physikalischen Prinzipien der Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel. English translation The Physical Principles of Quantum Theory, Chicago: University of Chicago Press, 1930.

–––, 1931, “Die Rolle der Unbestimmtheitsrelationen in der modernen Physik”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 365–372.

–––, 1958, Physics and Philosophy, New York: Harper.

–––, 1969, Der Teil und das Ganze, München : Piper.

–––, 1975, “Bemerkungen über die Entstehung der Unbestimmtheitsrelation”, Physikalische Blätter, 31: 193–196. Translation in Price and Chissick, 1977.

–––, 1984, Gesammelte Werke, Volume C1, W. Blum, H.-P. Dürr, and H. Rechenberg (eds), München: Piper.

Hilgevoord, J., 1996, “The uncertainty principle for energy and time I”, American Journal of Physics, 64: 1451–1456.

–––, 1998, “The uncertainty principle for energy and time II”, American Journal of Physics, 66: 396–402.

–––, 2002, “Time in quantum mechanics”, American Journal of Physics, 70: 301–306.

–––, 2005, “Time in quantum mechanics: a story of confusion. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 36: 29–60.

Hilgevoord, J. and D. Atkinson, 2011, “Time in quantum mechanics”, in The Oxford Handbook of Philosophy of Time, C. Callender (ed.), Oxford: Oxford University Press, pp. 647–662.

Hilgevoord, J. and J. Uffink, 1988, “The mathematical expression of the uncertainty principle”, in Microphysical Reality and Quantum Description, A. van der Merwe et al. (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 91–114.

–––, 1990, “A new view on the uncertainty principle”, in Sixty-Two years of Uncertainty, Historical and Physical Inquiries into the Foundations of Quantum Mechanics, A.E. Miller (ed.), New York: Plenum, pp. 121–139.

–––, 1991, “Uncertainty in prediction and inference”, Foundations of Physics, 21: 323–341.

Honner, J., 1987, The Description of Nature: Niels Bohr and The Philosophy of Quantum Physics, Oxford: Clarendon Press.

Jammer, M., 1974, The Philosophy of Quantum Mechanics, New York: Wiley.

Jordan, P., 1927, “Über eine neue Begründung der Quantenmechanik II”, Zeitschrift für Physik, 44: 1–25.

Kaiser, H., S.A. Werner, and E.A. George, 1983, “Direct measurement of the longitudinal coherence length of a thermal neutron beam”, Physical Review Letters, 50: 560.

Kennard, E.H., 1927, “Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen”, Zeitschrift für Physik, 44: 326–352.

Landau, H.J. and H.O. Pollak, 1961, “Prolate spheroidal wave functions; Fourier analysis and uncertainty II”, Bell Systems Technical Journal, 40: 63–84.

Maassen, H. and J. Uffink, 1988, “Generalized entropic uncertainty relations”, Physical Review Letters, 60: 1103–1106.

Miller, A.I., 1982, “Redefining Anschaulichkeit”, in: A. Shimony and H.Feshbach (eds) Physics as Natural Philosophy, Cambridge, MA: MIT Press.

Moore, W., 1989, Schrödinger, Life and Thought, Cambridge: Cambridge University Press, p. 221.

Muga, J.G., R. Sala Mayato, and I.L. Egusquiza (eds.), 2002, Time in quantum mechanics, Berlin: Springer.

Muller, F.A., 1997, “The equivalence myth of quantum mechanics”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 28: 35–61, 219–247; ibid. 30(1999): 543–545.

Murdoch, D., 1987, Niels Bohr’s Philosophy of Physics, Cambridge: Cambridge University Press.

Nairz, O., M. Andt, and A. Zeilinger, 2002, “Experimental verification of the Heisenberg uncertainty principle for fullerene molecules”, Physical Review A, 65, 032109. doi:10.1103/PhysRevA.65.032109

Ozawa, M., 2003, “Universally valid formulation of the Heisenberg uncertainty relation on noise and disturbance in measurement. Physical Review A, 67: 042105.

Pashby, T., 2015, “Time and quantum theory: A history and a prospectus”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 52: 24–38.

Pauli, W., 1979, Wissentschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a., Volume 1 (1919–1929) A. Hermann, K. von Meyenn and V.F. Weiskopf (eds) Berlin: Springer.

Popper, K., 1967, “Quantum mechanics without ‘the observer’”, in Quantum Theory and Reality, M. Bunge (ed.), Berlin: Springer.

Price, W.C. and S.S. Chissick (eds), 1977, The Uncertainty Principle and the Foundations of Quantum Mechanics, New York: Wiley.

Regt, H. de, 1997, “Erwin Schrödinger, Anschaulichkeit, and quantum theory”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 28: 461–481.

Robertson, H.P., 1929, “The uncertainty principle”, Physical Review, 34: 573–574; reprinted in Wheeler and Zurek 1983: 127–128.

Scheibe, E., 1973, The Logical Analysis of Quantum Mechanics, Oxford: Pergamon Press.

Uffink, J., 1985, “Verification of the uncertainty principle in neutron interferometry”, Physics Letters, 108 A: 59–62.

–––, 1990, Measures of Uncertainty and the Uncertainty Principle, Ph.D. thesis, University of Utrecht, available online with online errata.

–––, 1993, “The rate of evolution of a quantum state”, American Journal of Physics, 61: 935–936.

–––, 1994, “The joint measurement problem”, International Journal of Theoretical Physics, 33: 199–212.

Uffink, J. and J. Hilgevoord, 1985, “Uncertainty principle and uncertainty relations”, Foundations of Physics, 15: 925–944.

von Neumann, J., 1932, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin: J. Springer.

Wheeler, J.A. and W.H. Zurek (eds), 1983, Quantum Theory and Measurement, Princeton, NJ: Princeton University Press.