диспуты

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Структурализм в философии математики

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 18 ноября 2019 года.

Структурализм в философии математики выдвигает два взаимосвязанных тезиса: «математика занимается общим исследованием различных структур»; в ходе такого исследования мы можем «абстрагироваться от природы объектов, экземплифицирующих эти структуры». (Как таковой структурализм противостоит нескольким общим подходам к математике, в частности, традиционной точке зрения, что математика представляет собой науку о числах и количествах, или позиции, согласно которой математика — пустой формализм, применявшийся изначально для вычислений; структурализм также противостоит позиции, согласно которой математика исследует базовый теоретико-множественный универсум.) Как мы попытаемся показать в настоящей статье, эти тезисы в силу своей неоднозначности нуждаются в прояснении. Неслучайно существующие интерпретации сильно разнятся между собой или даже друг другу противоречат.

Принято считать, что формирование структуралистских позиций в философии математики датируется шестидесятыми годами XX века и связано, прежде всего, с работами Пола Бенасеррафа и Хилари Патнэма. Направление обрело популярность в восьмидесятые и девяностые, когда в дискуссии вступили такие фигуры, как Майкл Резник, Стюарт Шапиро, Джоффри Хеллман, Чарльз Парсонс и др. За последние двадцать лет поле обсуждений снова изменилось в своих очертаниях, не в последнюю очередь благодаря выявлению некоторых философских проблем структурализма и введению прочих вариаций, включая теоретико-категорную версию структурализма. Помимо ознакомления читателя с общей темой «структурализм в философии математики», вторая главная задача настоящей работы — составить новую, более всеохватную классификацию существующих на сегодняшний день структуралистских концепций.

Элиминативный и неэлиминативный структурализм

Зарождение дискуссий вокруг структурализма в 1960-х гг.

Дискуссии вокруг структурализма как одного из наиболее влиятельных направлений в англо-саксонской философии математики, как принято считать, возникли в 1960-х гг. Ключевой работой в этом контексте является статья Пола Бенасеррафа «Каких чисел не может быть» (Benacerraf 1965, см. также Benacerraf 1996). Статья опиралась на главенствующую в то время позицию, согласно которой аксиоматическая теория множеств может служить основанием для современной математики, в том числе благодаря тому, что все математические объекты могут быть отождествлены со множествами. Например, натуральные числа 0, 1, 2, … можно приравнивать к конечным ординалам фон Неймана (при этом ∅ обозначает 0, и используется функция следования f:x→x∪{x}); аналогичным образом действительные числа можно приравнивать к дедекиндовым сечениям в теоретико-множественном построении. Истинные арифметические высказывания в таком случае будут высказываниями об этих теоретико-множественных объектах; этот принцип распространяется на прочие математические теории, объекты которых также можно рассматривать в виде множеств.

Согласно Бенасеррафу, такая фундаменталистская трактовка теории множеств искажает структуралистский характер арифметики в частности и математики в целом.

Во-первых, вместо того, чтобы работать с конечными ординалами фон Неймана, мы также можем иметь дело с конечными ординалами Цермело (опять же, принимая ∅ за 0, но применяя альтернативную функцию следования f:x→{x}). Существует бесконечное множество других вариантов, которые были бы вполне равнозначны приведенным. Аналогичным образом вместо того, чтобы работать с теоретико-множественными построениями действительных чисел через дедекиндовы сечения, мы можем работать с построениями, основанными на классах эквивалентности последовательностей Коши на рациональных числах, как предлагали делать Кантор и др. С этим основополагающим соображением сложно поспорить, и даже некоторые фундаменталисты согласны с данной точкой зрения (о чем еще пойдет речь далее). Однако Бенасерраф выводит дополнительные, более спорные заключения из этих основополагающих соображений.

В частности, Бенасерраф утверждает, что натуральные числа не следует отождествлять с какими-либо теоретико-множественными объектами; в сущности, их и вовсе не стоит принимать за какие бы то ни было объекты. Напротив, числа следует рассматривать в качестве некоторых «позиций в структуре» — например, в «структуре натуральных чисел» или в «структуре действительных чисел» и т.д. Для таких позиций принципиальное значение играют лишь их структурные свойства, то есть те свойства, которые «вытекают из образующихся между отношений, благодаря их расположению в последовательности» (Benacerraf 1965: 70), — в отличие от теоретико-множественных свойств ординалов фон Неймана, дедекиндовых сечений и т.д. В этом смысле в современной математике мы исследуем и пытаемся описать не что иное, как соответствующие «абстрактные структуры». Именно в этом ключе Бенасерраф выдвигает структуралистский подход к математике. Впрочем, отдельные вопросы, связанные с этим подходом, остаются открытыми и не до конца проработанными. В частности, нам мало что известно об абстрактных структурах Бенасеррафа помимо того, что их не следует отождествлять с реляционными системами теории множеств (которые состоят из множеств как областей, при этом на них определяются теоретико-множественные отношения и функции).

Вторая статья, сыгравшая важную роль в становлении структурализма, — «Математика без оснований» Хилари Патнэма (Putnam 1967). Как и в случае с Бенасеррафом, для Патнэма камнем преткновения оказался теоретико-множественный фундаментализм. Некоторые (впрочем, далеко не все) математики трактуют данную позицию в реалистическом ключе (напр., Гёдель), то есть как описание независимой области абстрактных объектов, а именно универсума множеств, характеризуемого аксиомами Цермело-Френкеля. Патнэм противопоставляет этой позиции своего рода «если-то-изм» (который можно связать с идеями Бертрана Рассела). Такую альтернативу, опять же, можно проиллюстрировать с помощью натуральных чисел. Как в таком случае следует понимать арифметическое высказывание «2+3=5»? В нем следует усматривать следующую форму:

Для всех реляционных систем М, если М — модель аксиом Дедекинда — Пеано [т.е. базовых аксиом арифметики], то 2М+3М=5М (где 2М, 3М и 5М как бы «играют роль» 2, 3 и 5 в модели М). Аналогичным образом следует рассматривать примеры с действительными числами (подробнее см. Reck & Price 2000).

Помимо использования термина «если-то-изм», мы могли бы описать позицию Патнэма как своего рода «универсалистский структурализм» (см. также Reck & Price 2000), так как его подход предполагает применение квантора общности в соответствующих системах, а также поскольку эта концепция, по-видимому, удовлетворяет двум тезисам, приведенным в начале статьи. Против данной позиции часто выдвигают возражение, связанное с т.н. «проблемой не-пустоты». Эта проблема возникает из наблюдения, что высказывания вида «если…, то…» бессодержательно истинны (vacuously true), если не существует элементов, удовлетворяющих антецеденту, например, если не существует такой модели аксиом Дедекинда-Пеано (как, напр., в случае с выражением «2+3=6», где конечный результат явно нежелателен). Мы могли бы, в свою очередь, прибегнуть к аксиоматической теории множеств, в которой можно найти искомую модель. Однако, с точки зрения Патнэма, у такого хода есть два недостатка: во-первых, он опирается на реалистическое и фундаменталистское понимание теории множеств, что, по-видимому, подрывает доверие к если-то-изму. Во-вторых — что более важно — этот ход принуждает нас рассматривать теорию множеств иначе, нежели другие математические теории, под угрозой порочного круга. В качестве разрешения этой дилеммы Патнэм предлагает применять модальную логику. Тем не менее некоторые частные проблемы этого подхода все еще остаются открытыми и мало исследованными, в особенности в случае теории множеств.

Закрепление основных идей и дальнейшее развитие в 1980-х гг.

Одна из возможных интерпретаций идей Бенасеррафа, изложенных в его статье 1965 года, состоит в том, что он предлагает рассматривать структуру натуральных чисел как некую новую разновидность абстрактных сущностей, отличных от теоретико-множественных объектов и систем объектов. В таком случае все зависит от того, что к каким шагам нас это приводит, в том числе — следует ли рассматривать такие структуры как сами объекты, тем самым овеществляя их неким содержательным, но все же нуждающимся в проработке образом, или нет. Сам Бенасерраф не был склонен к таким шагам, и эта тенденция согласовывалась с его общими сомнениями касательно понятия «математических объектов».

Одним из более поздних авторов, подхвативших идеи Бенасеррафа в начале восьмидесятых и предпринявших попытки их дальнейшего развития, избегая при этом трактовки структур как полноценных объектов, был Майкл Резник (ср. Resnik 1981; 1982; 1988, более систематическое изложение — Resnik 1997). По мнению Резника, так же как для Бенасеррафа, современная математика подразумевает некую «структуралистскую перспективу», которая, в свою очередь, требует нечто вроде распознания паттерна. Так, одной из важнейших задач Резника было дальнейшее развитие соответствующей эпистемологии. Согласно Бенасеррафу, математические объекты следует рассматривать как «позиции» в соответствующих паттернах, что должно позволить нам воспринимать математические выражения буквально, в том смысле, что мы можем рассматривать «0», «1», «2» и т.д. как единичные термины, указывающие на эти позиции. В то же время отсюда не следует, будто мы должны овеществлять структуры, стоящие за этими терминами, что означало бы, что мы уточняем конкретные критерии тождества для них, — чего Резник сознательно избегал. В этом плане он называл себя последователем Куайна и следовал его девизу: No entity without identity! [нет сущности без тождества, нет предмета без идентичности].

Стюарт Шапиро — еще один философ математики, который пытался развивать идеи Бенасеррафа (см. Shapiro 1983, 1989; наиболее систематическое изложение — Shapiro 1997). Сосредотачиваясь скорее на метафизических вопросах и отбросив сомнения, связанные с рассмотрением структур в качестве объектов, Шапиро ставит своей целью дать наиболее обстоятельное обоснование для реалистической версии математического структурализма, тем самым отказываясь от номиналистской и конструктивистской трактовки «позиций» (подробнее об этом будет сказано ниже). Такой реализм включает в себя семантический аспект, о котором говорилось ранее (т.е. буквальное понимание математических выражений). Однако Шапиро также стремится привнести бóльшую ясность в понятие «позиций в структуре». Так, он выделяет две возможные перспективы. С точки зрения первой, данные позиции рассматриваются как своего рода «отделения», то есть ячейки, которые могут заполнять или занимать различные объекты (напр., позицию нуля в структуре натуральных чисел в последовательности конечных ординалов фон Неймана занимает ∅). Вторая перспектива предполагает, что сами позиции рассматриваются как «объекты»; так же обстоят дела и с абстрактными структурами.

Поэтому, как полагает Шапиро, эти структуры характеризуются двойственной природой: они являются «универсалиями» в том смысле, что структура натуральных чисел, скажем, может быть представлена посредством различных реляционных систем (систем, состоящих из конечных ординалов фон Неймана, или из ординалов Цермело, и т.д.); однако они также — «партикулярии», которые должны обозначаться единичными терминами и рассматриваться как отдельные объекты. Для того чтобы более убедительно обосновать последний тезис, Шапиро развивает общую теорию структур, то есть аксиоматическую теорию, в которой уточняется, какие структуры могут существовать. Хотя эта теория основывается на теории множеств, ее обоснование производится независимо (подробнее об этом речь пойдет ниже). В сущности, данная теория должна служить обоснованием для так называемого «структурализма ante rem». Используемая Шапиро терминология («ante rem против in re») явно отсылает к средневековым дискуссиям вокруг проблемы универсалий. В контексте нашего обсуждения ключевую роль играет тот факт, что структуры, о которых говорится в его теории, должны быть онтологически независимыми от их экземплификаций или инстанциаций (и даже должны им предшествовать). Иными словами, структуры не просто существуют в своих инстанциациях, но также существует отдельно от них и прежде них.

Структуралистские концепции Резника и Шапиро иногда отождествляют; и, учитывая указанные различия между их позициями, из-за такого смешения может возникать путаница. Тем не менее они во многом схожи.

Кроме того, и для Резника, и для Шапиро понятие изоморфизма ключевую роль (а также связанное с ним более общее понятие эквивалентности; см. Resnik, 1997 и Shapiro, 1997). Иными словами, оба полагают, что соответствующая структура/паттерн может инстанцироваться любым соответствующим классом изоморфных реляционных систем. Такое предположение согласуется с тем фактом, что рассматриваемые аксиоматические системы для натуральных чисел, действительных чисел и аналогичных случаев являются категорными (или квазикатегорными, как в случае с теорией множеств). Конечно же, это свойство присуще далеко не всякой аксиоматической системе в математике, например, аксиоматические системы для теории групп или теории колец предусматривают лишь неизоморфные инстанциации или модели. Резник и Шапиро также сходятся в том, что с такими «алгебраическими теориями» следует работать иначе; продвигаемый ими структуралистский подход следует применять прежде всего к «неалгебраическим», образцово арифметическим теориям.

Существует еще одна структуралистская концепция, возникшая в восьмидесятые, и она довольно сильно отличается от прочих структуралистских теорий, резко противостоя реалистической перспективе —концепция Джеффри Хеллмана (см. Hellman 1989, 1996, а также более поздние статьи). В то время как для Резника и Шапиро источником вдохновения служила статья Бенасеррафа 1965 года, для Хеллмана отправной точкой была статья Патнэма 1967 года. По сути, «модельный структурализм» Хеллмана задумывался в качестве систематической разработки идеи «если-то-изма» Патнэма. В концепции Хеллмана более детально и основательно прорабатывается модальный аспект, в том числе для случая теории множеств (основываясь на работах Цермело и др.). С точки зрения Хеллмана, такое выражение, как «2+3=5», следует анализировать следующим образом:

Для всех рациональных систем М, если М — модель в аксиоматической системы Дедекинда — Пеано, то необходимо, что 2М+3М=5М.

Во избежание проблемы не-пустоты Хеллман добавляет следующее допущение:

Вероятно, существует система М, такая что М является моделью в аксиоматике Дедекинда — Пеано.

(Чуть ниже мы вернемся к обоснованию этих утверждений.)

Действительно, позиция Хеллмана представляет собой некоторую форму номинализма, то есть он стремится избавиться от всякого рода абстрактных сущностей (не только от абстрактных структур, но также и от множеств и т.п.). Но в то же время эта позиция не опирается на possibilia, то есть на возможные объекты, существующие в некотором «туманном» смысле. Все это приводит Хеллмана к весьма специфическому пониманию модальностей. Эти модальности должны считаться базовыми в том смысле, что соответствующие возможные и необходимым образом существующие сущности нельзя свести к чему-либо еще. С другой стороны, эти модальности формулируются не иначе, как в терминах законов модальной логики (в системе S5).

Перспективы первой классификации структуралистских концепций

Начиная с конца восьмидесятых концепции Шапиро и Хеллмана утверждались в качестве двух основных направлений структурализма (это также отражено в недавно вышедшей работе Hellman & Shapiro 2019). Поскольку их позиции разительно отличаются, это уже служит достаточным основанием для того, чтобы не выделять «структурализм в философии математики» в качестве отдельной позиции или единой концепции, даже если они разделяют некоторые общие тезисы. Кроме того, с конца восьмидесятых и начала девяностых все большую значимость стали приобретать другие версии структурализма (включая различные виды «теоретико-множественного структурализма», которые, как мы увидим, берут начало еще до шестидесятых). Соответственно, структуралистские концепции становятся все насыщеннее и сложнее.

Чарльз Парсонс предложил первую классификацию структуралистских концепций (или, во всяком случае, разграничил две основные разновидности данной позиции), направленную на то, чтобы прояснить сложившуюся ситуацию (Parsons 1990). А именно: существуют «элиминативные» формы структурализма, образцовой иллюстрацией которых служит позиция Хеллмана; с другой стороны, можно выделить «неэлиминативные» формы, как в случае структурализма Шапиро. («Элиминация» в данном случае означает, что мы постулируем структуры в качестве абстрактных объектов или же вовсе избегаем того, чтобы говорить о них как об отдельных объектах.)

Помимо Шапиро и Резника (с приведенными выше характеристиками их позиций) еще одним сторонником неэлиминативного вида структурализма является сам Парсонс (см. Parsons 1990, 2004; более систематическое изложение — Parsons 2008); в качестве еще одного представителя элиминативного вида структурализма можно привести пример Чарльза Чихара (см. Chihara 2004).

Тем не менее был велик соблазн — и до сих пор мы часто встречаем его в литературе по этой теме — приравнивать неэлиминативный структурализм к позиции Шапиро, то есть с его реалистическим структурализмом ante rem. Действительно, критики порой пренебрегают «философским структурализмом» в целом, называя его ошибочной формой метафизики, тем самым отождествляя такой образ структурализма с реалистической концепцией Шапиро (такой взгляд кажется особенно привлекательным для математиков и для философов, глубоко погруженных в математические практики; дискуссии вокруг проблемы см. в работах Awodey 1996 и Carter 2008). Более подробное рассмотрение парсоновской концепции неэлиминативного структурализма покажет, что такой вывод чересчур поспешен, а в конце концов, не очень-то и верен.

В отличие от Шапиро, Парсонс не выдвигает новой, философски обоснованной теории структур в качестве фундамента своей концепции. С его точки зрения, нам следует держаться поближе к математическим практикам (в том виде, в каком они оформлялись в конце XIX — начале XX веков). Действительно, структурализм скорее следует рассматривать как теорию, возникшую на основе этих практик, нежели как концепцию, как бы «извне» приложенную к области математики. По мнению Парсонса, отсюда следует, помимо всего прочего, что мы должны считать, что абстрактные структуры вводятся непосредственно через категорные системы аксиом — эту практику, опираясь на идеи Куайна, он в дальнейшем развивает в «метаязыковом» ключе (см. Parsons 2008). Отсюда также следует, что нам следует воздержаться от полагания «кросс-структурных тождеств» (примеры чего можно найти в ранних работах Шапиро), например, не стоит отождествлять натуральное число «1» и действительное число «1». Такие мнимые тождества следует оставлять неопределенными, ведь именно так поступают математики в своей практике.

Совершенно ясно, что структуралистская концепция Парсонса, как и позиция Резника, весьма далека от реализма Шапиро. Кроме того, он прямо говорит, что «структуралистский взгляд на математические объекты» не следует связывать с дихотомией реализма и номинализма. Как следствие, с точки зрения Парсонса, можно быть сторонником неэлиминативного направления структурализма, не будучи при этом реалистом в сколь-либо строгом смысле слова; примером тому служит его собственная позиция. Тем не менее в структурализме Парсонса допустима буквальная трактовка математических высказываний (как было показано выше), так что в этом минимальном семантическом смысле концепция остается реалистической.

Последующие наработки и расширение классификации

Метафизические и эпистемологические проблемы

Итак, мы проследили развитие структурализма в философии математики от Бенасеррафа и Патнэма, работавших в 1960-е гг., до Резника, Шапиро, Хеллмана, Чихара и Парсонса, высказывавших свои идеи в 1980-е и 1990-е гг. За последние 20 лет к этой теме стал обращаться ряд новых философов. В этом разделе мы обратимся к их дискуссиям, начиная с рассмотрения ряда эпистемологических и метафизических проблем, с которыми столкнулся структурализм. Некоторые из них связаны только с неэлиминативным структурализмом, в частности они касаются структурализма Шапиро (что, опять же, свидетельствует о влиятельности концепции Шапиро, вплоть до того, что его зачастую отождествляют с так называемым «философским структурализмом»). Прочие проблемы имеют более общий характер; сюда входит различие исходных положений различных видов структурализма. В дальнейшем мы не станем пытаться целиком охватить все эти вопросы, но представим несколько показательных примеров.

Неэлиминативный структурализм, представленный Шапиро и другими, включает в себя тезис, согласно которому в математических объектах существенны лишь их структурные, а не внутренние свойства.

Как было отмечено несколькими критиками к 2000 году, этот пункт подводит структуралистов к «проблеме тождества» (см. Keränen 2001 и более раннюю работу Burgess 1999). Особенно остро эта проблема встает перед нестрогими системами или структурами, то есть допускающими нетривиальные автоморфизмы. В таких случаях речь идет, вероятно, о различных объектах, которые являются в известном смысле неразличимыми. Широко известен случай с системой комплексных чисел (с сопряженными числами i и -i); однако в геометрии и теории графов, помимо прочего, можно найти и другие примеры. Простейшим примером, по-видимому, является непомеченный граф, состоящий из 2 элементов без ребер, две вершины которого будут структурно неразличимыми.

Как можно решать такие проблемы исходя из структуралистской точки зрения? Может быть, структурализм (этой разновидности) просто-напросто обнаруживает внутренние противоречия, сталкиваясь с критическими проблемами? Или, по крайней мере, он не применим, когда мы имеем дело с нестрогими структурами, что значительно ограничивает его область исследования? В литературе можно найти несколько предложенных способов решения данной проблемы. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы сделать структуры «более строгими» за счет расширения применяемого словаря, например, прибавив символ постоянной «i» для комплексных чисел (либо к исходному языку, либо к языку «настройки», который используется в соответствующем контексте; см. Halmai 2019). Однако это все еще кажется проблематичным для случаев со многими другими неразличимыми объектами, вероятно даже, что таких случаев бесконечное множество. Другое предложенное решение заключается в том, чтобы считать тождество примитивным понятием (как часто поступают сами математики). Однако и в этом случае остается целый ряд нерешенных вопросов (см. Ladyman 2005, Button 2006, Leitgeb & Ladyman 2008, Shapiro 2008, Ketland 2011, а также Menzel 2018).

Вторая и более фундаментальная проблема, с которой имеет дело структурализм, опять же, возникает из представления о том, что единственными существенными признаками математических объектов являются их структурные свойства. В связи с неэлиминативным структурализмом данный тезис иногда усиливается за счет допущения, что позиции в математических структурах, так же как и сами абстрактные структуры, «обладают только структурными свойствами». При недостаточно аккуратных формулировках мы можем наткнуться на контрпримеры (см. Reck 2003).

В обоих примерах, очевидно, говорится о неструктурных свойствах. И вновь мы видим, что структурализм обнаруживает внутренние противоречия или, по крайней мере, нуждается в прояснении.

Первое, что приходит в голову в качестве решения данной проблемы, — необходимо переопределить исходный тезис структурализма, например, уточнив, что абстрактные структуры «сущностно» обладают лишь структурными свойствами, то есть что лишь такие свойства являются для них «конститутивными» или вроде того. При этом мы признавали бы, что они также обладают и другими свойствами (см. Reck 2003, Schiemer & Wigglesworth forthcoming). Это подводит нас к вопросу о том, какое именно решение нам следует принять в данном случае. Однако даже если мы согласимся с тем, что такой ответ вполне приемлем, остается нерешенной другая проблема: как следует различать «структурные» и «неструктурные» свойства? На этот вопрос, в свою очередь, было предложено несколько ответов. Например, структурные свойства — это свойства, которые можно определить специфическим образом, или же это такие свойства, которые остаются неизменными при определенных морфизмах. Тем не менее в этом вопросе также не было достигнуто консенсуса (см. Korbmacher & Schiemer 2018, а также предложенные ими ссылки на прочие источники).

Третья проблема также связана прежде всего (или даже сугубо) с неэлиминативным структурализмом. С точки зрения структурализма, всякая позиция существует в структуре, иными словами, структура первична, а позиция вторична. Следовательно, отдельный математический объект, такой как натуральное число 2, кажется «онтологически зависимым» от структуры, в которую он вписан, — в данном случае это структура натуральных чисел. (То обстоятельство, что, по структуралисту, было бы заблуждением полагать, что число 2 существует само по себе, весьма показателен в этом отношении. Он также иллюстрирует основное различие между структуралистским и логицистским взглядом на теоретико-множественный фундаментализм.) Но как нам следует понимать онтологическую зависимость? Следует ли понимать ее в терминах «фундированности» (grounding) или иных понятий из современного дискурса аналитической метафизики? В связи с этим также остается множество неразрешенных вопросов, вокруг которых возникли оживленные споры (см. Linnebo 2008, а также MacBride 2005 и Wigglesworth 2018).

Четвертая серьезная проблема структурализма (также связанная прежде всего с неэлиминативной концепцией) — это вопрос о том, каким образом нам «доступны» структуры в качестве абстрактных объектов (ср., помимо прочего, работу Hale 1996). Эта проблема в известной мере оживила более старые и более общие обсуждения такого рода объектов. Изначальный ответ, данный Резником, Шапиро и Парсонсом (все они опираются на Куайна) заключается в том, что мы лишь «постулируем» структуры, тем самым проблема доступа якобы исчезает.

Приемлемый ответ должен опираться на «когерентность» соответствующих теорий — условие, которое после доказательства теорем о неполноте Гёделя стало применяться вместо доказательства непротиворечивости соответствующей теории. Однако что именно означает «когерентность»? Интересно, что по итогам дискуссий вокруг этой проблемы Шапиро и Хеллман, исходя из весьма различных предпосылок, в конце концов пришли к весьма схожим выводам (см. Hellman 2005). Таким образом, в плане некоторых базовых положений — это предельные условия существования в случае Шапиро и условия возможности в случае Хеллмана — их подходы любопытным образом совпадают. (Совпадение может служить аргументом в пользу обоих подходов, однако, с другой стороны, также может ставить под сомнение дихотомию реализма и номинализма.)

В литературе, опубликованной за последние 20 лет, можно найти и другие проблемы, возникшие в контексте структурализма в математике. Хотя, как правило, они связаны с обозначенными вопросами, некоторые из них имеют более далеко идущие следствия. Так, поднимались частные вопросы относительно семантики, используемой в структурализме (опять же, эти вопросы в основном касаются неэлиминативной версии структурализма; см. Button & Walsh 2016, Assadian 2018 и др.) Мы не станем освещать их, рассчитывая на то, что приведенные нами примеры служат достаточной иллюстрацией разного рода обсуждений, имевших место в современной литературе.

Некоторые дополнительные версии структурализма

Как упоминалось ранее, во многих дискуссиях, связанных со структурализмом, начиная с 1980-х вплоть до начала 2000-х гг. и позднее, центральную позицию стали занимать лишь всего несколько подходов, а именно концепции Шапиро и Хеллмана, иногда к ним прибавляют позицию Резника. Однако в течение последних десятилетий появлялись и другие версии структурализма, которые также заслуживают упоминания и уже стали привлекать к себе внимание. Не претендуя на исчерпывающее изложение, мы хотели бы упомянуть несколько достойных примеров. Наиболее значимый, истоки которого можно проследить еще в 1960-х, — так называемый «теоретико-множественный структурализм» (ср. Reck & Price 2000). Чтобы представить его, рассмотрим еще раз приведенный в статье Бенасеррафа 1965 года центральный пример с натуральными числами.

Как утверждал Бенасерраф, неверно отождествлять «натуральные числа» с определенной теоретико-множественной системой или, по крайней мере, неверно утверждать это в неком абсолютном смысле. Вывод Бенасеррафа состоял в том, что числа не представляют собой множества или какого-либо рода объекты; скорее, числа — это позиции в некоторой структуре. Но даже если мы согласимся практически со всеми утверждениями Бенасеррафа, мы все еще можем отождествлять «натуральные числа» с некоторой теоретико-множественной системой в менее абсолютном смысле. В таком случае мы можем допустить, что любая другая модель аксиом Дедекинда — Пеано «тоже могла бы подойти», то есть что мы могли бы выбрать любую другую модель (ограничения могли бы быть связаны, разве что, с прагматическими соображениями, напр., возможностью обобщения до трансфинитных чисел). Отсюда следует, что то, что определяется как натуральные числа, зависит от исходного, предварительного и в известной мере произвольного выбора. В математике для многих задач такого прагматического определения вполне достаточно.

Основанием тому служит тот факт, что данный подход не предусматривает необходимости давать какое-либо окончательное («абсолютное») определение натуральных чисел (см. Burgess 2015).

Суть теоретико-множественного структурализма — в том виде, в каком мы его только что охарактеризовали, — состоит в том, чтобы выбрать одну из нескольких изоморфных систем в качестве прагматического референта для «натуральных чисел» (аналогичным образом — для действительных чисел и т.д.). В каком-то смысле то, как мы говорим о «натуральных числах», а также о «числе 0», «числе 1» и т.д., зависит от этого исходного выбора. Такой подход представляется непроблематичным, поскольку какой бы выбор мы ни сделали, мы получим одни и те же теоремы в арифметике (благодаря категоричности системы аксиом, которая предполагает ее семантическую полноту). В качестве подспорья мы, опять же, можем задействовать систему аксиом Цермело — Френкеля. Однако мы также можем слегка расширить наш подход, допуская существование «атомов» или «праэлементов» — то есть объектов, которые не являются множествами. Таким образом, мы можем включить в нашу область Юлия Цезаря или какую-нибудь пивную кружку, при этом любой из этих элементов может «быть» числом 2 в том смысле, что он будет занимать «позицию 2» в модели арифметики, с которой мы выбрали работать. Благодаря этому свойству данный подход можно назвать «релятивистским структурализмом» (ср. Reck & Price 2000). Также следует отметить, что данный подход, в особенности его теоретико-множественную версию, явно или неявно принимают многие математики. Вероятно даже, что именно эта разновидность структурализма является наиболее распространенной.

В теоретико-множественном структурализме и в релятивистском структурализме в целом единственными математическими объектами, находящимися в обращении, будут объекты, которые нам позволяет вводить аксиоматика теории множеств с учетом возможных праэлементов. Нам нет надобности дополнительно постулировать абстрактные структуры. По этой причине данную позицию можно причислить к разновидностям элиминативного структурализма (хотя она не вполне вписывается в элиминативный структурализм, поскольку в ней допустимы множества). Вообще в этом контексте предполагается, что сами теоретико-множественные реляционные системы (теоретико-множественные модели теорий) представляют собой соответствующие структуры (собственно, во многих учебниках математики именно такие реляционные структуры и называются «структурами»). Тем не менее в связи с последним возможен и другой расклад. А именно, мы также можем отождествлять структуру натуральных чисел, скажем, с (высокопорядковым) понятием, определяемым аксиомами Дедекинда — Пеано; аналогичным образом можно поступить и с другими (категорными) системами аксиом. Это подводит нас к еще одной элиминативной форме структурализма — так называемому «концептуальному структурализму» (см. Isaakson 2010, Feferman 2014, а также Ketland 2015; см. также раздел «Прочие интернет-ресурсы» в конце статьи).

Согласно концептуальному структурализму, в современной аксиоматической математике на самом деле существенную роль играют не объекты, в частности не проблематичные абстрактные объекты; скорее, принципиальную важность имеют математические понятия, например, понятие «система натуральных чисел» (или понятие «модель аксиом Дедекинда — Пеано», понятие «последовательность»). Аналогичным образом дела обстоят с понятием «полное упорядоченное поле» и т.д. (В Ketland 2015, а также в текстах из «Прочих интернет-ресурсов», такие понятия эксплицируются через интенсиональные пропозициональные функции, в то время как Айзексон и Феферман не придают им такой специфики.) Точнее, в конечном итоге важно то, что вытекает из этих понятий, в плане того, какие следствия мы можем вывести из соответствующих аксиом. Верно, что зачастую способ рассуждения в математике зависит от того, как мы трактуем объекты, подпадающие под соответствующие понятия (и сторонники концептуального структурализма согласились бы с этим). Концептуальный структурализм такого вида (а также прочих аналогичных форм) также является достаточно распространенной позицией среди математиков и логиков, хотя до недавнего времени этой концепции не придавали большого значения в дискуссиях.

С целью сделать наш обзор более всеохватным мы хотели бы пойти дальше. Следующим шагом будет рассмотрение двух форм структурализма, тесно связанных с релятивистским и концептуальным структурализмом, однако несколько отличающихся (обе концепции, о которых пойдет речь, как мы увидим далее, относятся к так называемому «абстракционистскому структурализму»). Начнем, опять же, с понятия высокого порядка, определяемого системой аксиом, — «система натуральных чисел» — вкупе с подпадающими под нее теоретико-множественными системами. Однако вместо того, чтобы отождествлять соответствующую структуру с понятием или с некоторой подпадающей под него системой, выбранной из прагматических соображений, мы сосредоточимся на целом классе эквивалентности, определяемым данным понятием.

Здесь мы можем последовать по одному из двух путей, предполагаемых «абстракционизмом». Во-первых, мы можем просто-напросто приравнять соответствующую структуру к классу эквивалентности (с «понятием в объеме», как иногда говорят). Таким образом, сообразно понятию «система натуральных чисел» и подпадающим под него теоретико-множественным системам, таким как конечные ординалы фон Неймана, имеет место целый класс эквивалентности соответствующих моделей, образующий третью сущность. (Нас прежде всего интересуют, опять же, категорные системы аксиом, однако данный подход можно обобщить.) Этот класс мы будем называть «структурой натуральных чисел». Строго говоря, он не является множеством, а представляет собой собственный класс; тем не менее его также можно исследовать в логико-математическом ключе.

То есть к классу всех систем, изоморфных данной — в категорном случае. Можно считать, что этот ход предполагает своего рода «абстракцию», в частности в значении расселовского «принципа абстрагирования» (Russell 1903; понятие также заимствовал Рудольф Карнап и др.). В итоге мы получаем концепцию «абстракционистского структурализма».

Мы можем пойти и по другому пути, придя в итоге ко второй версии абстракционистского структурализма, которая также стала предметом современных дискуссий вокруг структурализма. Однако, как и в случае с первой версии, истоки этой концепции также можно отыскать в отдаленном прошлом. Начнем мы, опять же, с соответствующего понятия высокого порядка или с системы аксиом, определяющей данное понятие, вместе с произвольно выбранной реляционной системой, подпадающей под него (это будет теоретико-множественная система, которая, например, может включать праэлементы). Новое допущение будет звучать так: мы «абстрагируемся от конкретной природы ее элементов» так, чтобы прийти к новой, обособленной реляционной системе, которая заслуживает носить название «системы натуральных чисел» (см. Dedekind 1888, в частности в интерпретации, предложенной в Reck 2003).

Кроме того, совокупность этих объектов формирует систему, изоморфную той, с которой мы начали (в отличие от класса эквивалентности, который мы рассматривали). Наконец, последнюю мы будем считать соответствующей абстрактной структурой.

Описанная выше вторая альтернатива в некотором плане близка к концепции структурализма ante rem, предложенной Шапиро (который сам иногда использует «абстрагирование»; см., напр., Shapiro 1997); эта концепция также схожа с неэлиминативным структурализмом Парсонса. Тем не менее в этой альтернативе не задействована теория отдельных структур à la Шапиро или метаязыковая процедура Парсонса. Напротив, абстрактные структуры вводятся «через абстрагирование» от более конкретных систем, например, от теоретико-множественных реляционных систем. Данную процедуру абстрагирования можно точнее описать в терминах «оператора абстрагирования» и соответствующего «принципа абстрагирования». Само собой напрашивается сравнение с применением принципов абстрагирования в современном неологицизме. Действительно, об этой связи уже говорили Линнобо и Петтигрю в своей совместной работе (Linnebo & Pettigrew 2014), а также Рек (Reck 2018а). В итоге мы приходим к абстракционистской форме неэлиминативного структурализма. С другой стороны, упомянутая нами ранее первая альтернатива представляет собой абстранционистскую форму элиминативного структурализма (принимая во внимание исторические корни этих концепций, их можно назвать соответственно «расселов абстракционистский структурализм» и «дедекиндо абстракционистский структурализм»; см. Reck 2018a).

На этом перечень более частных структуралистских концепций не оканчивается. Мы кратко приведем еще пять примеров, не вдаваясь в детали (впрочем, к ним, несомненно, можно было бы прибавить еще несколько). Во-первых, Ури Нодельман и Эдвард Залта представили свою концепцию неэлиминативного структурализма, наряду с концепцией Шапиро, опираясь на так называемую «теорию объектов», вдохновленную Мейнонгом, для описания абстрактных структур (Nodelman & Zalta 2014). Вместе с тем можно также использовать и другие фундаментальные теории для представления абстрактных структур, тем самым производя новые версии неэлиминативного структурализма. В качестве второго примера можно привести Ханнеса Ляйтгеба, который построил свою версию неэлиминативного структурализма на основе теории графов (Leitgeb forthcoming). Третий пример — концепция Леона Хорстена, построенная на теории «произвольных объектов» Кита Файна, в результате чего возникла аналогичная концепция так называемого «общего структурализма» (Horsten forthcoming). Четвертый пример — упомянутый нами ранее Чарльз Чихара и его «элиминативный» структурализм, несколько отличающийся от концепции Хеллмана (см. Chihara 2004). Наконец, в качестве пятого примера можно привести целое семейство «категорных концепций структурализма», основанных на различных аксиоматических системах теории категорий, которые стали привлекать к себе все больше внимания.

Мы ненадолго отложим наше обсуждений категорных концепций структурализма и вернемся к ним в разделе 3, во-первых, поскольку это направление значимо с точки зрения математики, а потому заслуживает отдельного рассмотрения, во-вторых, из-за сложности его сопоставления с прочими видами структурализма. Перед тем мы хотели бы предложить более богатую и всеохватную классификацию структуралистских концепций. Эта классификация будет достаточно широкой, чтобы вместить все упоминавшиеся до сих теории; и даже выйти за их пределы, начиная с представления базовой дихотомии между «метафизическим» и «методологическим» структурализмом.

Расширенная классификация структуралистских концепций

Все версии структурализма, о которых мы говорили до сих пор, относятся к «философскому структурализму» или, точнее, к «метафизическому структурализму». Данные концепции ориентированы на то, чтобы дать ответы на вопросы, связанные с определением математических структур (сюда относятся элиминативные подходы к решению данных вопросов), включая вопросы об их существовании, степени абстрактности, тождества, зависимости и т.д. Итак, мы можем отделить все это разнообразие философских концепций от того, что иногда называют «математическим структурализмом» или, точнее, «методологическим структурализмом» (см. Reck & Price 2000, а также более раннюю работу Awodey 1996).

Помимо прочего, это разграничение облегчает наше понимание категорного структурализма (см., напр., Corry 2004 и Marquis 2009).

Как видно из названия, методологический структурализм касается методологии математики, а следовательно, и математических практик. Или, иначе говоря, методологический структурализм — это определенный «стиль» занятий математикой. Такого рода стиль может заключаться в изучении целых систем или структур объектов через их глобальные, реляционные или структурные свойства, пренебрегающим при этом внутренней природой объектов, о которых идет речь. Такое изучение ведется двумя основными способами, которые зачастую совмещаются на практике: исходя из аксиоматики, то есть посредством вывода теорем из базовых аксиом в рассматриваемой системе; посредством изучения морфизмов (гомоморфизмов, изоморфизмов и т.д.), между ними наряду с инвариантами для этих морфизмов. Поскольку этот подход зачастую подразумевает работу с бесконечными множествами, неразрешимыми свойствами и классической логикой, его часто противопоставляют более «вычислительному» и «конструктивному» стилям занятия математикой (обширный исторический обзор — Reck & Schiemer forthcoming).

Такая структуралистская методология и соответствующие формы методологического структурализма разделяют общее допущение относительно предмета математики, а именно что математика — это дисциплина, которая занимается изучением структур. Однако принятие этого допущения само по себе не предполагает приверженности каким-либо дополнительным представлениям касательно природы этих структур, во всяком случае в сколь-либо конкретизированном или же философски нагруженном виде. С другой стороны, все виды метафизического структурализма, которые мы успели рассмотреть, как раз направлены на то, чтобы выстроить такие представления, благодаря чему им и удается выйти за рамки методологического структурализма, от которого они зачастую отталкиваются.

Применительно к таким метафизическим концепциям введенное Парсонсом различие между элиминативным и неэлиминативным структурализмом сохраняет справедливость (впрочем, вторую разновидность лучше было бы определять в положительном ключе, как, например, «структурализм со структурами»). Тем не менее есть и другие различия между метафизическими видами структурализма. Ограничиваясь лишь разделением Парсонса, мы рискуем упустить некоторые важные различия. Как уже говорилось ранее, структурализм ante rem Шапиро — отнюдь не единственная концепция неэлиминативного структурализма, так же как и концепция Хеллмана не исчерпывает собой элиминативную разновидность структурализма. Теперь мы хотели бы предложить несколько более скрупулезное различение с тем, чтобы ввести бóльшую ясность и упорядоченность в дискуссию.

Взглянем сперва еще раз на неэлиминативные виды структурализма. В некоторых теориях, подпадающих под этот ярлык, абстрактные структуры представлены посредством базовых теорий. Сюда входит теория структур Шапиро, но также, например, и объектная теория Нодельмана и Залты, и адаптация теории графов Ляйтгеба. Все эти концепции представляют собой различные версии структурализма ante rem, однако между ними наличествуют важные различия. Кроме того, существуют также версии неэлиминативного структурализма, которые, напротив, основаны на принципе абстрагирования — их мы выше назвали «абстракционистскими формами структурализма». Среди последних мы выделили две разновидности — расселовы и дедекиндовы — по принципу определения типов структур, полученных в результате абстрагирования (если мы реконструируем подобную процедуру абстрагирования в виде математических операций или функций, их аргументы будут теми же, однако значения будут различаться). Отсюда можно заключить, что существуют абстракционистские и неабстракционистские версии неэлиминативного структурализма.

Если хорошенько подумать об этих альтернативах, становится ясна роль последующей базовой дихотомии (среди неэлиминативных видов структурализма) — между структурализмом ante rem и структурализмом in re (или post rem). Позиция Шапиро явным образом относится к структурализму ante rem. Расселов абстракционистский структурализм, с другой стороны, можно отнести к структурализму post rem, так как классы эквивалентности, используемые в соответствующих структурах, как таковые «состоят из» элементов, относительно которых они как бы «постериорны» (posterior). В дедекиндовом абстракционистском структурализме также имеет место некоторый вид постериорности. Здесь мы также начинаем с более конкретных реляционных систем, как правило, это системы множеств или праэлементов, и затем на их основе вводим абстрактные структуры. Однако отношение приорности и постериорности теперь иное: оно основывается не на отношении элемента к классу, а на более базовом отношении аргумента к значению функции. Кроме того, в итоге мы приходим к абстрактным структурам, которые не являются ни стандартными множествами, ни классами.

В рамках элиминативного структурализма также следует провести дальнейшее разграничение. Опять же, существуют радикальные элиминативные концепции, в которых исключены всякие онтологические обязательства в отношении абстрактных объектов. Модальный структурализм Хеллмана изначально задумывался в качестве такой радикальной концепции.

Хорошим примером служит теоретико-множественный структурализм; как еще один пример можно привести универсалистский структурализм, по крайней мере в случае, когда он опирается на теорию множеств. Следует ли рассматривать релятивистский структурализм в общем и теоретико-множественный структурализм в частности как случаи структурализма in re в том смысле, что абстрактные структуры существуют «в» их более конкретных инстанциациях? Возможно, но не похоже, чтобы нас принуждали к принятию этого тезиса (подробнее см. Leitgeb forthcoming). Отметим также, что в таком случае нам ничего не остается, как принять вместо этого некоторую форму неэлиминативного структурализма. Тот же вопрос возникает в связи с концепциями структурализма in re в целом; детали будут иметь значение (подробнее об этих концепциях, которые также иногда называют «аристотелевскими» в противовес «платоническим», см. в работах Pettigrew 2008, Franklin 2014).

Еще одна версия элиминативного структурализма, которая начала привлекать все больше внимания, — концептуальный структурализм. В тех случаях, когда эта позиция должна полностью исключать абстрактные объекты (напр., в случае, когда речь идет о концепции, основанной на формализме), ее относят к полностью элиминативному структурализму. Многие вопросы относительно понятий, содержащихся в этих теориях (об их существовании, природе и тождестве), тем не менее остаются открытыми (см. Parsons 2018). В зависимости от ответов на них, последователь строгого номинализма все же мог бы счесть эту позицию неприемлемой, поскольку понятия можно рассматривать в качестве еще одной проблематичной разновидности абстрактных сущностей. Если концептуальный структурализм допускает, что абстрактные объекты, такие как множества, все же играют некую второстепенную роль, то позиция становится полуэлиминативной. Структуры, состоящие из абстрактных объектов, все еще исключены (если мы трактуем их как понятия), однако реляционные системы остаются. С другой стороны, мы могли бы иметь дело с конкретной формой методологического структурализма в случаях, когда дополнительные метафизические вопросы отметены в сторону.

Теоретико-категорный структурализм

Теория категорий как исследование математических структур

За последние два десятилетия были предприняты различные попытки сформулировать теорию математического структурализма, основанного на теории категорий, — то есть теорию (или теории) так называемого «категорного структурализма». Теперь мы лучше подготовлены, чтобы проанализировать эти попытки, хотя подойдем к ним не напрямую, а начнем с более общего обзора. Теория категорий впервые была представлена в качестве раздела абстрактной алгебры в знаменитой статье Эйленберга и Маклейна «Общая теория натуральных эквивалентностей» (“General Theory of Natural Equivalences”, 1945). Впоследствии благодаря работам Маклейна, Гротендика, Кана, Ловера и многих других математиков эта теория была развита в отдельную математическую дисциплину, найдя широкое и весьма важное применение в алгебраической топологии и гомологической алгебре, а не так давно — и в кибернетике и логике (ср. Landry & Marquis 2005, см. также статью о теории категорий в Стэнфордской энциклопедии).

Философские дискуссии о категорном структурализме вслед за этими наработками были начаты Аводеем, Лэндри, Маркизом и Макларти в девяностые годы. Чтобы лучше осмыслить их вклад, полезно будет вновь вернуться к нашему разграничению между «метафизическим» и «методологическим» структурализмами, которое явным образом проводит Аводей (Awodey 1996).

Математический структурализм описывается как общий метод «следования структурному подходу к предмету», некий определенный стиль математических занятий, который задействует структурные понятия и методы. Он также утверждает, что теория категорий дает наилучшее описание структурной математики в этой смысле. Вместе с тем Аводей представляет теорию категорий как основание для философской разновидности структурализма — «подхода к онтологии и эпистемологии математики». Рассмотрим сперва первый аргумент (ко второму аргументу мы вернемся в разделе 3.3).

Теория категорий, понимаемая в качестве раздела чистой математики, зачастую описывается как «общая теория математических структур», как, например, это делает Маклейн (Mac Lane 1986, 1996). Но что именно здесь имеют в виду под «структурой»? В литературе упоминается по крайней мере два соответствующих понятия. Во-первых, структуру можно определять в теоретико-множественном и теоретико-модельном смысле, то есть как кортеж, состоящий из области и упорядоченной последовательности отношений, функций и отдельных элементов, используемых при интерпретации формального языка. (Такое понимание «реляционной системы» мы подразумевали, говоря о ней ранее в более неформальном ключе.) Такого рода структуры в данном контексте часто называют «структурами Бурбаки». Их свойства, как правило, определяются аксиоматически, например, посредством групповых аксиом или аксиом Дедекинда — Пеано для арифметики.

Во-вторых, существует и альтернативное категорное понятие структуры, которое опирается на примитивное понятие морфизмов между математическими объектами. Как правило, категория включает в себя два типа сущностей (entities), а именно объекты и морфизмы между ними, то есть отображения, представленные с помощью стрелок, сохраняющие некоторое внутреннее структурное устройство объектов. Система аксиом, определяющая общее понятие категории в этом контексте, впервые была сформулирована Эйленбергом и Маклейном (1945). Она описывает соответствующую операцию композиции на стрелках, ее ассоциативность, а также существующие тождественные морфизмы для каждого объекта (см. учебник по введению в теорию категорий Awodey 2010).

Почему именно теорию категорий следует считать наиболее адекватным основанием для математического структурализма, а не другие разделы математики, в частности, традиционную теорию множеств (теории множеств Кантора и Цермело — Френкеля)? С этим вопросом стоит обратиться к работе Аводея (Awodey 1996). С его точки зрения, понятие структуры в трактовке Бурбаки напрямую вытекает из современной аксиоматической традиции Дедекинда, Гильберта и группы Бурбаки. Эта традиция в конце концов привела к формированию структуралистского подхода в математике. Однако теория множеств как основание для структуралистской трактовки математических объектов отнюдь не лишена недостатков. Начнем с того, что теория множеств тесно связана с теоретико-модельным пониманием математических теорий, в том числе с представлением о том, что такие теории исследуют свои модели лишь «вплоть до изоморфизма». Однако центральную роль, с структуралистской точки зрения, играет принцип «уравнивайте изоморфные объекты» (подробнее о нем мы говорим ниже); принцип вполне обоснован с точки зрения теории категорий, однако менее оправдан в том случае, если математические объекты репрезентированы на манер теории множеств.

Второе преимущество теории категорий над теорией множеств, о котором также пишет Аводей (Awodey 1996), состоит в том, что категорное понятие структуры является «синтаксически инвариантным». Иными словами, в отличие от того, что мы видим в стандартной теории моделей, категорная спецификация объектов через их свойства отображения не зависит от выбора определенной символики для их описания (выбор базовых отношений, функций и отдельных элементов). Третья и наиболее важная характеристика теории категорий — центральное значение, которое придается морфизмам и трансформациям между математическими объектами, сохраняющими (в некоторой степени) свою внутреннюю структуру.

Как таковая, он имел место во многих разделах математики XIX — начала XX вв., в том числе в теории Галуа, в Эрлангенской программе Клейна, в работах Дедекинда на тему оснований математики и в наработках в области абстрактной алгебры школы Нётер (ср., опять же, Reck & Schiemer forthcoming).

Теория категорий изначально задумывалась на данном концептуальном фоне в качестве общего понятийного аппарата для исследования отношений между различными математическими структурами (см. Landry & Marquis 2005, Marquis 2009). С этой целью было сформулировано несколько типов отображений. Один из них включает морфизмы между объектами одной категории, например, гомоморфизмы групп в категории групп или линейные отображения в категории векторных пространств. Другой важный тип отображений — «функторы» между различными категориями. (Грубо говоря, функтор между двумя категориями — это отображение объектов на объекты и стрелок на стрелки, сохраняющее заданные категорные свойства.) Именно такие функторы служат основными средствами сравнения объектов различных математических категорий, а следовательно, «соотнесения структур различных видов» (Awodey 1996). Как таковые, они играют ключевую роль в категорном структурализме.

Проблема категорных оснований и дискуссии вокруг них

В литературе, посвященной вопросам, обсуждавшимся выше, неоднократно утверждалось, что теория категорий более предпочтительна в качестве основания для математического (или методологического) структурализма, нежели традиционная теория множеств. Но что можно сказать о ней в роли структурализма философского, иными словами, как об альтернативе теорий Резника, Шапиро, Хеллмана и др.? Мы уже упомянули, что Аводей (Awodey 1996) также приписывает теории категорий роль наиболее приемлемого основания в том числе и для философского структурализма, однако это утверждение все еще вызывает споры. В Hellmann 2003 содержится первый критический разбор философских заявлений вроде аводеевских.

За последнее время было немало споров по поводу того, каким именно критериям должна удовлетворять теория, чтобы она могла служить приемлемыми «основаниями» математики. Опираясь на весьма ценные соображения, изложенные в Tsementzis 2017, можно заключить, что в системе-основании должны иметься следующие три компонента:

1. формальный язык;

2. аксиоматическая теория, выраженная на этом языке;

3. богатый универсум объектов, описываемых теорией, в котором можно разместить, представить или закодировать все математические структуры.

Теория множеств Цермело — Френкеля совершенно точно соответствует критериям. Аксиомы ZFC, как правило, формулируются при помощи формального языка первого порядка и описывают содержательный универсум, кумулятивную иерархию множеств, в которой могут быть представлены такие математические объекты, как системы чисел, групп, колец, топологических пространств и т.д.

Начиная с 1960-х гг. вплоть до настоящего времени в исследованиях, посвященных теории категорий, было предложено несколько аксиоматизаций специфических категорий в качестве альтернативных оснований математики. Сюда входят системы аксиом, описывающие категорию множеств и функций, с одной стороны, и категорию категорий, с другой стороны, как было впервые представлено в трудах Ловера (Lawvere 1964, 1966). Обе категории были эксплицитно введены в качестве систем-оснований, а значит, в качестве альтернатив теории множеств Цермело — Френкеля. Немногим ранее была сформулирована теория элементарных топосов в качестве «разновидности» категорной теории множеств, которая могла бы служить системой-основанием в вышеприведенном смысле (см. Landry & Marquis 2005, Marquis 2013).

Это вынуждает нас вновь обратиться к проблеме Хеллмана (Hellman 2003). Вопрос о том, можно ли использовать теорию категорий для того, чтобы сформулировать еще одну версию философского структурализма, с точки зрения Хеллмана, непосредственно связан с предполагаемой автономией новых концепций в отношении традиционной теории множеств. С опорой на Фефермана (Feferman 1977) он выдвигает два возражения общего характера. Первое из них мы можем назвать аргументом «логической зависимости», вслед за Линнебо и Петтигрю (Linnebo & Pettigrew 2011). Суть аргумента заключается в том, что теория категорий, теория общих топосов и т.д. не автономны в отношении теории множеств. Причина в том, что спецификация категорий и топосов в аксиоматическом ключе уже предполагает такие примитивные понятия, как операция, совокупность и функция; последнее следует определять в теории множеств наподобие ZFC. Категориальные основания, таким образом, зависят от неструктурной теории множеств.

Второе возражение называют «аргументом от несоответствия». Это возражение связано с общим положением теории категорий или теории топосов и основывается на различии двух способов понимания математических аксиом: «структурного», «алгебраического», «схематического» или «гильбертианского», с одной стороны, и «ассерторического» или «фрегеанского», с другой. Как утверждает Хеллман, такие системы-основания, как классическая теория множеств, должны быть ассерторическими по своему характеру, то есть входящие в них аксиомы описывают содержательный универсум объектов, используемых для кодификации прочих математических структур. Теория множеств Цермело — Френкеля — ассерторическая, «содержательная» теория в этом смысле. В аксиомах ZFC (напр., в аксиоме булеана или аксиоме выбора) высказываются общие утверждения о существовании относительно объектов в универсуме множеств.

Теория категорий, с другой стороны, представляет раздел абстрактной алгебры (так как возникает именно в этой области).

Аксиомы теории категорий Эйленберга — Маклейна — не «безоговорочные базовые истины», но скорее они «схематические» или «структурные» по своему характеру. Так, они функционируют в качестве имплицитных определений алгебраических структур, подобно тому, как аксиомы теории групп или теории колец выступают «определяющими условиями для типов структур». Этот пункт связан с другим контраргументом, который Хеллман называет «проблемой „домашнего адреса“: откуда берутся категории и где они живут?» (Hellman 2003: 136). Поскольку теория категорий и теория общих топосов по определению исходят из «алгебраически-структуралистской перспективы», аксиомы этих теорий не содержат утверждений о том, что какие бы то ни было категории или топосы и вправду существуют. Классические теории множеств, такие как ZFC, с их мощными аксиомами о существовании, должны вновь вступить в силу с тем, чтобы обеспечить существование таких объектов.

Впоследствии аргументы Хеллмана и Фефермана против теории категорий в роли оснований математики были исследованы с многих точек зрения. Разбор этих аргументов выдвигают в основном представители двух лагерей:

1. Сторонники «категорных оснований». Пытаются отстоять тезис об автономности теории категорий в отношении классической теории множеств.

2. «Нефундаменталисты». Они ставят под вопрос представление о том, что теорию категорий вообще следует рассматривать в качестве оснований математики.

К первому лагерю примыкает ряд статей Макларти (см., напр., McLarty 2004, 2011, 2012). Грубо говоря, его ответ Хеллману состоит в следующем: хотя теория категорий и теория общих топосов зарождались как алгебраические теории и, следовательно, не могут служить в качестве систем-оснований, некоторые теории определенных категорий и топосов все же были сформулированы как альтернативные основания. Аксиоматизация категории категорий и «Элементарная теория категории множеств» (“Elementary Theory of the Category of Sets”, ETCS) Ловера — вот его главные примеры.

Согласно Макларти, их следует понимать как ассерторические (в хеллмановском смысле). Иными словами, их аксиомы — уже не просто определения, но общие утверждения о существовании категорий, множеств и функций. В частности, ETCS представляет теорию множеств, основанную на функциях, где множества и их отображения образуют топос.

Итак, ответ Макларти на два возражения состоит в том, что категорные теории множеств, такие как ETCS, могут служить основаниями математики, которые будут логически автономными по отношению к традиционным, неструктурным теориям множеств. Более того, принимая во внимание, что математические структуры кодируются в ETCS как объекты вплоть до изоморфизма, такие категорные теории множеств могут служить более адекватным основанием для современной структурной математики, нежели ZFC (несколько позднее мы вернемся к этому вопросу).

В качестве представителя второго лагеря критиков, предлагавших ответ на возражения Хеллмана, можно привести пример Аводея (Awodey 2004; ср. Landry 1999). В статье Аводей выводит теоретико-категорную форму структурализма, которая решительно следует антифундаменталистской тенденции. Вслед за Хеллманом и Макларти Аводей полагает, что и аксиомы теории категорий Эйленберга — Маклейна, и аксиомы теории общих топосов являются схематическими. Однако затем он утверждает, что теория категорий в целом не выступает основаниями математики (и ее не следует рассматривать в качестве таковых) ни в логическом, ни в онтологическом смысле. Скорее, она служит общим и единым каркасом или языком для структурной математики. Таким образом, он отказывается от допущения Хеллмана, что успех категорного структурализма так или иначе зависит от того, можно ли теорию категорий применять в качестве оснований математики или же нет.

В сущности, по Аводею, главный мотив общего теоретико-категорного подхода к математике состоит в том, чтобы отложить в сторону проблемы основания, связанные с природой математических объектов или же исследования отдельного содержательного универсума, в котором можно представить все структуры. Хотя, скажем, теория топосов вполне способна служить структурными основаниями математики, для Аводея такой фундаменталистский подход идет вразрез с структуралистской перспективой, которая находит воплощение в теории категорий. Выражаясь его собственными словами, «сама идея о том, чтобы „заниматься математикой категорно“, подразумевает иную точку зрения в сравнении с привычной позицией „оснований математики“» (Awodey 2004: 55). Что же можно заключить о категорном структурализме в философском смысле в свете актуальных споров о категорных основаниях математики, относительно идей Аводея и в более общем плане? Об этом речь пойдет далее.

Отличительные черты категорного структурализма

В течение последних 20 лет, помимо проблемы структурализма как методологии, в литературе, посвященной категорному структурализму, немало внимания также уделялось двум ранее упомянутым вопросам. Во-первых, в каком смысле теория категорий может служить понятийным аппаратом для философского структурализма? Во-вторых, почему она лучше подходит на эту роль, нежели другие теории (теория множеств, теория структур Шапиро, модальная логика Хеллмана)? В последних работах на данную тему нами обнаруживаются три связанных философских допущения, характеризующих категорный структурализм, отделяя его от прочих версий структурализма, о которых мы писали ранее. Мы по очереди рассмотрим каждое из допущений, начиная, опять же, с работ Аводея.

Первое типичное допущение состоит в том, что все теоремы математики являются схематическими утверждениями, имеющими вид кондиционала. Этот тезис эксплицитно излагает Аводей (Awodey 2004). Как мы уже видели, для него теоретико-категорный подход сущностно нефундаменталистский. А значит, аксиомы и теоремы математики — в том виде, в каком они сформулированы в теории категорий — следует рассматривать как схематические утверждения. Они отнюдь не выражают истины насчет специфической природы математических объектов, скорее, они говорят о соответствующих их свойствах и отношениях. А также теоремы математики формулируются (во всяком случае, должны) в гипотетическом наклонении — то есть их вполне можно перефразировать как условные высказывания вида «если…, то…». Отметим, что подобный взгляд на логическую форму теорем математики prima facie аналогичен «если-то-изму», который мы обнаруживаем в работах Патнэма, а до него, как говорилось ранее в разделе 1, — в работах Рассела.

Но, как отмечает Аводей, существуют также и серьезные различия между стандартной концепцией «если-то-изма» и теоретико-категорным подходом в отношении онтологических обязательств, принимаемых ими. Согласно стандартному «если-то-изму», всякое математическое высказывание можно переписать в виде условного высказывания, содержащего квантор общности, при этом кванторы в них будут, по своему существу, метатеоретическими, так как будут пробегать все теоретико-множественные системы соответствующего типа. Как таковой, данный подход предполагает богатую онтологию множеств, в которых можно построить такие системы. Напротив, согласно теоретико-категорному подходу, математические теоремы не включают в себя онтологические обязательства подобного рода. Для структур теорий Бурбаки не существует имплицитных обобщений (для групп, колец или систем чисел). Скорее, математическая теорема есть «схематическое высказывание о структуре <…>, у которой могут иметься различные инстанциаций» (Awodey 2004: 57). Данные инстанциации намеренно не определяют заранее — за исключением случаев, когда их дальнейшая спецификация необходима для доказательства данной теоремы.

Вторая отличительная черта категорного структурализма (и не только с точки зрения Аводея) связана с характерным для теории категорий рассмотрением математических объектов «сверху вниз». Для стандартной теории множеств математические объекты выстраиваются «снизу вверх», посредством последовательных шагов, начиная с наиболее базового уровня (напр., пустого множества или области праэлементов). Всякий объект, таким образом, оказывается определенным, как и множество, через свои элементы. С другой стороны, математические объекты в теории категорий определяются «сверху вниз», начиная с аксиом Эйленберга — Маклейна и при помощи понятия морфизма. Объекты, относящиеся к данной категории, кольца или топологические пространства, к примеру, не рассматриваются независимо от соответствующих морфизмов. Их полностью определяют их свойства отображения — в том виде, в каком их можно выразить в языке теории категорий. Мы ничего не допускаем об их внутреннем строении. Так, вопрос об их теоретико-множественной природе будет считаться излишним (см. также Landry & Marquis 2005).

В-третьих, вероятно, наиболее важная черта категорного структурализма состоит в том обстоятельстве, что им подтверждается одна из формулировок «структуралистского тезиса» (мы писали о ней ранее). Вспомним аргумент Бенасеррафа в его статье 1965 года: числа следует отождествлять не с некими множествами, а, скорее, с определенными позициями в некой абстрактной структуре. Бенасерраф также подчеркивает, что только некоторые свойства чисел важны в рамках арифметики. Для него такими свойствами будут теоретико-числовые, такие как «быть простым числом» или «быть четным», то есть свойства, которые можно определить через отношения и функции, примитивные для рассматриваемой теории. В таком случае выполняется общий тезис структурализма: гласящий, что все (релевантные) свойства объектов, рассматриваемых математической теорией, должны быть в известном смысле структурными. (Вопрос, что именно значит «структурное», также был поднят ранее.)

Сторонники категорного структурализма зачастую утверждают, что теория категорий предоставляет наиболее адекватные рамки для понимания математических объектов из структуралистской перспективы, учитывая то обстоятельство, что все свойства, выразимые в ее языке, оказываются структурными (см., напр., McLarty 1993, Awodey 2004, and Marquis 2013).

Если дана некоторая категория С, морфизм f:A→B предъявляет изоморфизм объектов А и В, если и только если существует морфизм g:B→A, такой что g∘f=1A и f∘g=1B. Тогда свойство Р объекта А в категории С будет структурным, если и только если остается инвариантным при изоморфизмах в С, иначе говоря, если P(A)↔P(f(A)) для всех изоморфизмов f (см. Awodey, 1996).

Выше мы видели, что представление, или репрезентация, математических объектов в традиционной теории множеств (следующей «снизу вверх») влечет за собой возможность выражать все виды свойств, которые связаны с их теоретико-множественным устройством и не будут изоморфическими инвариантами в указанном смысле. Главное преимущество теории категорий перед классической теорией множеств (и схожими подходами) заключается в том, что, согласно данному аргументу, такие неструктурные свойства просто-напросто исключаются понятийным аппаратом теории категорий. На этот пункт впервые указал Макларти в статье «Числа могут быть лишь тем, чем они должны быть» (“Numbers Can Be Just What They Have To”, 1993); как следует из названия, он излагает возражения против идей Бенасеррафа 1965 года. Главный тезис Макларти заключается в том, что структуралистская программа Бенасеррафа будет реализована наиболее успешно, если репрезентировать числа через категорную теорию множеств (напр., через ETCS или вытекающую из нее подсистему), а не традиционную теорию множеств.

Говоря далее об этом преимуществе, скажем, что системы чисел базовой арифметики можно охарактеризовать в таких категорных рамках как «объекты натуральных чисел», как впервые показал Ловер. В отличие от того их репрезентации на основе ZFC, эти объекты не просто изоморфны, а разделяют «ровно те же самые свойства» — те свойства, что являются выразимыми в языке категории множеств. Иными словами, любые два объекта натуральных чисел являются «доказуемо неразличимыми» в том смысле, что «доказуемо имеют одни и те же свойства» (McLarty 1993). Кроме того, все эти свойства являются структурными в вышеуказанном смысле. Как следствие, в контексте теории категорных множеств дилемма Бенасеррафа, связанная с системами изоморфных чисел с различными теоретико-множественными свойствами, не возникает вовсе.

Как утверждали Макларти и другие авторы, проделанное наблюдение можно обобщить, распространив на все прочие математические объекты, изучаемые теорией категорий. Идея состоит в том, что всякое свойство объектов данной категории, выразимое в языке теории категорий, структурно в том смысле, что оно оказывается изоморфически инвариантным. Аводей следующим образом сформулировал главное следствие для структуралистской концепции математических объектов:

По-видимому, это следствие иллюстрирует главное преимущество категорных видов структурализма перед теоретико-множественными и прочими схожими с ними концепциями.

Впрочем, есть одно «но». Тезис Макларти и Аводея, что все математические свойства, выразимые в языке категорной теории множеств, — изоморфические инварианты, было поставлено под сомнение (см., напр., Tsementzis 2017).

Цеменцис утверждает, в сущности, что ни ZFC, ни ETCS не могут выступать в роли вполне удобоваримых структуралистских оснований математики, поскольку языки указанных теорий в конечном итоге не позволяют формулировать инвариантные и только инвариантные свойства.

Приведенные выше технические результаты, бесспорно, напрямую относятся к нашему разбору, однако дальнейшее углубление в эти вопросы было бы неуместно в обзорной работе (подробнее об отношениях между структурализмом и проектом унивалентных оснований см. в работе Awodey 2014). Мы также вынуждены воздержаться до лучших времен от более детального рассмотрения философских утверждений и аргументов, связанных с категорным структурализмом, пускай тема, безусловно, весьма интересна и актуальна. Вместо этого в заключение мы приведем некоторые дополнительные общие замечания относительно структурализма, в том числе за пределами области философии математики.

Заключение

Разновидности математического структурализма

В данной статье мы преследовали две основные цели. Первая заключалась в том, чтобы познакомить читателя с общими концепциями структурализма в современной философии математики. Во-вторых, мы попытались представить более богатую и содержательную классификацию этих концепций, в том числе показав, что в научных дискуссиях фигурировало куда более широкое разнообразие структуралистских концепций, чем принято считать.

Однако существует множество концепций, выходящих за рамки приведенной классификации, в частности представленные в литературе последних десятилетий. Термин «математический структурализм» относится отнюдь не к одной-единственной позиции, а объединяет многоликое и пестрое семейство концепций.

Предложенную нами более инклюзивную классификацию имеет смысл продвигать по двум причинам. Первая причина заключается в том, что, пускай было сформулировано множество структуралистских концепций в математике, некоторые из них еще не снискали должного внимания, отчасти потому что пока не ясно, как они соотносятся с концепциями Шапиро, Хеллмана и теорией категорий. В связи с этим мы попытались установить некоторые связи между данными подходами. Вторая причина заключается в том, что ряд весьма важных концепций был сформулирован еще до шестидесятых, то есть прежде работ Бенасеррафа и Патнэма, рассматриваемых как первоистоки дискуссий о структурализме в философии. Это касается и методологического, и метафизического структурализма (базовое различие, которое мы ввели), однако в настоящем исследовании мы лишь мельком указали на «предысторию» рассматриваемой нами проблемы (для более подробного обзора мы предлагаем читателю обратиться к Reck & Schiemer forthcoming).

Структурализм вне математики

Другой важный аспект, к которому мы не стали обращаться, хотя его стоит, по крайней мере кратко, упомянуть в заключении, связан с дискуссиями вокруг «структурализма» за пределами философии математики. Имеются две основные области, в которых мы можем обнаружить подобные обсуждения (хотя они распространились и далее).

В гуманитарном контексте «структурализм» (и «постструктурализм») также довольно длительное время оставался широко обсуждаемой темой. В обоих случаях мы могли бы выделить некоторые связи с математическим структурализмом, однако порой они незначительны и крайне условны.

По большому счету, дискуссии вокруг структурализма в философии физики связаны с тем, как нам следует мыслить об «объектах» современной физики, принимая во внимание революционные изменения, привнесенные в знание квантовой механикой и теорией относительности.

В частности, понятие структур предлагают использовать в связи с этими теориями (см. French 2014, Ladyman 2007 [2019] и др.), аналогично тому, как это понятие используется в философии математики.

С другой стороны, дискуссии в области философии физики сосредоточены на вопросе о том, какое именно сущее можно было бы считать за постоянное в онтологии физики (если в ней вообще остается нечто устойчивое) с учетом всех смен теорий (см. Worrall 1989 и статью о структурализме в физике в настоящей энциклопедии).

В-третьих, структурализм также фигурирует в дискуссиях о репрезентации в науке (van Frassen 2008). Хотя можно отыскать и другие точки соприкосновения (напр., в связи со «структурно неразличимыми» объектами и различными концепциями теоретико-множественного и теоретико-категорного структурализма в контексте физики), мы воздержимся от этого.

Структуралистский подход, представленный в лингвистике Фердинандом де Соссюром и Романом Якобсоном, затем перенятый рядом мыслителей из иных гуманитарных областей (наиболее примечательными примерами служат антрополог Клод Леви-Стросс (2001) и психолог Жан Пиаже; Piaget 1968 [1970], а также Caws 1988), также некоторым образом связан с математическим структурализмом.

Впрочем, параллели менее очевидны, нежели в случае с философией физики. Кроме того, со структурализмом в гуманитарных науках зачастую связывают, а то и отождествляют некоторую разновидность психологического детерминизма, который был раскритикован постструктуралистами и который не имеет аналогов в математике и в физике. И все же связи отнюдь не безынтересны (взять хотя бы знакомство Леви-Стросса и математиков, публиковавших коллективные работы под общим псевдонимом «Николя Бурбаки», см. Dosse 1991–1992 [1997]). Поэтому они могли бы составить вполне достойный предмет исследования; оно едва ли сумело бы извлечь много пользы для философии математики, но безусловно помогло бы сформировать более полное представление об истории структуралистских концепций.

Библиография

● Леви-Стросс, К., 2001, Структурная антропология, Москва, 2001.

● Рассел, Б., Уайтхед, А. Н., 2005–2006, Основания математики, в 3 т., пер. с англ. Ю. Н. Радаева, И. С. Фролова, под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева, Самара: Сам. ун-т.

● Assadian, Bahram, 2018, “The Semantic Plights of the Ante-Rem Structuralist”, Philosophical Studies, 175(12): 3195–3215. doi:10.1007/s11098-017-1001-7

● Awodey, Steve, 1996, “Structure in Mathematics and Logic: A Categorical Perspective”, Philosophia Mathematica, 4(3): 209–237. doi:10.1093/philmat/4.3.209

● –––, 2004, “An Answer to Hellman’s Question: ‘Does Category Theory Provide a Framework for Mathematical Structuralism?’”, Philosophia Mathematica, 12(1): 54–64. doi:10.1093/philmat/12.1.54

● –––, 2010, Category Theory, second edition, Oxford: Oxford University Press.

● –––, 2014, “Structuralism, Invariance, and Univalence”, Philosophia Mathematica, 22(1): 1–11. doi:10.1093/philmat/nkt030

● Benacerraf, Paul, 1965 [1983], “What Numbers Could Not Be”, The Philosophical Review, 74(1): 47–73. Reprinted in Benacerraf and Putnam 1983: 272–294. doi:10.2307/2183530 doi:10.1017/CBO9781139171519.015

● –––, 1996, “Recantation or Any Old ω-Sequence Would Do after All”, Philosophia Mathematica, 4(2): 184–189. doi:10.1093/philmat/4.2.184

● Benacerraf, Paul and Hilary Putnam (eds.), 1983, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, second edition, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171519

● Burgess, John P., 1999, “Book Review: Stewart Shapiro. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology (1997)”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40(2): 283–291. doi:10.1305/ndjfl/1038949543

● –––, 2015, Rigor and Structure, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198722229.001.0001

● Button, Tim, 2006, “Realistic Structuralism’s Identity Crisis: A Hybrid Solution”, Analysis, 66(3): 216–222. doi:10.1093/analys/66.3.216

● Button, Tim and Sean Walsh, 2016, “Structure and Categoricity: Determinacy of Reference and Truth Value in the Philosophy of Mathematics”, Philosophia Mathematica, 24(3): 283–307. doi:10.1093/philmat/nkw007

● Carter, Jessica, 2008, “Structuralism as a Philosophy of Mathematical Practice”, Synthese, 163(2): 119–31. doi:10.1007/s11229-007-9169-6

● Caws, Peter, 1988, Structuralism. A Philosophy for the Human Sciences, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press.

● Chihara, Charles S., 2004, A Structural Account of Mathematics, Oxford: Oxford University Press

● Cole, Julian C., 2010, “Mathematical Structuralism Today”, Philosophy Compass, 5(8): 689–699. doi:10.1111/j.1747-9991.2010.00308.x

● Corry, Leo, 2004, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, second edition, Basel: Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-7917-0

● Dedekind, Richard, 1888, Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig: Vieweg. Translated as “The Nature and Meaning of Numbers”, in his Essays on the Theory of Numbers, Wooster Woodruff Beman (trans.), Chicago: Open Court, 1901, pp. 29–115.

● Dosse, François, 1991–92 [1997], Histoire du structuralisme, 2 volumes, Paris: Éditions La Découverte. Translated as History of Structuralism, 2 volumes, Deborah Glassman (trans.), Minneapolis, MN: University of Minnesota Press, 1997.

● Eilenberg, Samuel and Saunders MacLane, 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58(2): 231–294. doi:10.2307/1990284

● Feferman, Solomon, 1977, “Categorical Foundations and Foundations of Category Theory”, in Logic, Foundations of Mathematics, and Computability Theory, Robert E. Butts and Jaakko Hintikka (eds.), Dordrecht: Springer Netherlands, 149–169. doi:10.1007/978-94-010-1138-9_9

● –––, 2014, “Logic, Mathematics, and Conceptual Structuralism”, in The Metaphysics of Logic, Penelope Rush (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, 72–92. doi:10.1017/CBO9781139626279.006

● Franklin, James, 2014, An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics, London: Palgrave Macmillan UK. doi:10.1057/9781137400734

● French, Steven, 2014, The Structure of the World: Metaphysics and Representation, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780199684847.001.0001

● Hale, Bob, 1996, “Structuralism’s Unpaid Epistemological Debts”, Philosophia Mathematica, 4(2): 124–147. doi:10.1093/philmat/4.2.124

● Halimi, Brice, 2019, “Settings and Misunderstandings in Mathematics”, Synthese, 196(11): 4623–4656. doi:10.1007/s11229-017-1671-x

● Hellman, Geoffrey, 1989, Mathematics without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/0198240341.001.0001

● –––, 1996, “Structuralism Without Structures”, Philosophia Mathematica, 4(2): 100–123. doi:10.1093/philmat/4.2.100

● –––, 2001, “Three Varieties of Mathematical Structuralism†”, Philosophia Mathematica, 9(2): 184–211. doi:10.1093/philmat/9.2.184

● –––, 2003, “Does Category Theory Provide a Framework for Mathematical Structuralism?”, Philosophia Mathematica, 11(2): 129–157. doi:10.1093/philmat/11.2.129

● –––, 2005, “Structuralism”, in Shapiro 2005: 536–562.

● Hellman, Geoffrey and Stewart Shapiro, 2019, Mathematical Structuralism (Elements in The Philosophy of Mathematics), Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108582933

● Horsten, Leon, forthcoming, “Generic Structure”, Philosophia Mathematica, first online: 16 July 2018. doi:10.1093/philmat/nky015

● Isaacson, Daniel, 2011, “The Reality of Mathematics and the Case of Set Theory”, in Truth, Reference, and Realism, Zsolt Novák and András Simonyi (eds), Budapest: CEU Press, pp. 1–75.

● Keränen, Jukka, 2001, “The Identity Problem for Realist Structuralism”, Philosophia Mathematica, 9(3): 308–330. doi:10.1093/philmat/9.3.308

● Ketland, Jeffrey, 2006, “Structuralism and the Identity of Indiscernibles”, Analysis, 66(4): 303–315. doi:10.1093/analys/66.4.303

● –––, 2011, “Identity and Indiscernibility”, The Review of Symbolic Logic, 4(2): 171–185. doi:10.1017/S1755020310000328

● Korbmacher, Johannes and Georg Schiemer, 2018, “What Are Structural Properties?”, Philosophia Mathematica, 26(3): 295–323. doi:10.1093/philmat/nkx011

● Ladyman, James, 2005, “Mathematical Structuralism and the Identity of Indiscernibles”, Analysis, 65(3): 218–221. doi:10.1093/analys/65.3.218

● –––, 2007 [2019], “Structural Realism”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/structural-realism/>

● Landry, Elaine, 1999, “Category Theory as a Framework for Mathematical Structuralism”, The 1998 Annual Proceedings of the Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics, pp. 133–142

● –––, 2006, “Category Theory as a Framework for an in re Interpretation of Mathematical Structuralism”, in The Age of Alternative Logics: Assessing Philosophy of Logic and Mathematics Today, Johan van Benthem, Gerhard Heinzmann, Manuel Rebuschi, and Henk Visser (eds.), Dordrecht: Springer Netherlands, 163–179. doi:10.1007/978-1-4020-5012-7_12

● –––, 2011, “How to Be a Structuralist All the Way Down”, Synthese, 179(3): 435–454. doi:10.1007/s11229-009-9691-9

● ––– (ed.), 2017, Categories for the Working Philosopher, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198748991.001.0001

● Landry, Elaine and Jean-Pierre Marquis, 2005, “Categories in Context: Historical, Foundational, and Philosophical”, Philosophia Mathematica, 13(1): 1–43. doi:10.1093/philmat/nki005

● Lawvere, F. William, 1964, “An Elementary Theory of the Category of Sets”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 52(6): 1506–1511.

● –––, 1966, “The Category of Categories as a Foundation for Mathematics”, in Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, S. Eilenberg, D. K. Harrison, S. MacLane, and H. Röhrl (eds.), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1–20. doi:10.1007/978-3-642-99902-4_1

● Leitgeb, Hannes, forthcoming, “On Non-Eliminative Structuralism: Unlabelled Graphs as a Case Study (Part A and B)”, Philosophia Mathematica (III).

● Leitgeb, Hannes and James Ladyman, 2008, “Criteria of Identity and Structuralist Ontology”, Philosophia Mathematica, 16(3): 388–396. doi:10.1093/philmat/nkm039

● Linnebo, Øystein, 2008, “Structuralism and the Notion of Dependence”, The Philosophical Quarterly, 58(230): 59–79. doi:10.1111/j.1467-9213.2007.529.x

● Linnebo, Øystein and Richard Pettigrew, 2011, “Category Theory as an Autonomous Foundation”, Philosophia Mathematica, 19(3): 227–254. doi:10.1093/philmat/nkr024

● –––, 2014, “Two Types of Abstraction for Structuralism”, The Philosophical Quarterly, 64(255): 267–283. doi:10.1093/pq/pqt044

● Makkai, Michael, 1998, “Towards a Categorical Foundation of Mathematics”, in Logic Colloquium ‘95: Proceedings of the Annual European Summer Meeting of the Association of Symbolic Logic, held in Haifa, Israel, August 9–18, 1995, Johann A. Makowsky and Elena V. Ravve (eds), (Lecture Notes in Logic, 11), Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp. 153–190. [Makkai 1998 available online]

● Mac Lane, Saunders, 1986, Mathematics Form and Function, New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-4872-9

● –––, 1996, “Structure in Mathematics”, Philosophia Mathematica, 4(2): 174–183. doi:10.1093/philmat/4.2.174

● MacBride, Frazer, 2005, “Structuralism Reconsidered”, in Shapiro 2005: 563–589.

● Marquis, Jean-Pierre, 1995, “Category Theory and the Foundations of Mathematics: Philosophical Excavations”, Synthese, 103(3): 421–447. doi:10.1007/BF01089735

● –––, 1997 [2019], “Category Theory”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL: <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/category-theory/>

● –––, 2009, From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory, (Logic, Epistemology, and the Unity of Science 14), Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-1-4020-9384-5

● –––, 2013, “Categorical Foundations of Mathematics: Or How to Provide Foundations for Abstract Mathematics”, The Review of Symbolic Logic, 6(1): 51–75. doi:10.1017/S1755020312000147

● McLarty, Colin, 1993, “Numbers Can Be Just What They Have To”, Noûs, 27(4): 487–498. doi:10.2307/2215789

● –––, 2004, “Exploring Categorical Structuralism”, Philosophia Mathematica, 12(1): 37–53. doi:10.1093/philmat/12.1.37

● –––, 2008, “What Structuralism Achieves”, in The Philosophy of Mathematical Practice, Paolo Mancosu (ed.), Oxford: Oxford University Press, 354–369. doi:10.1093/acprof:oso/9780199296453.003.0014

● –––, 2011, “Recent Debate over Categorical Foundations”, in Foundational Theories of Classical and Constructive Mathematics, Giovanni Sommaruga (ed.), (Western Ontario Series in Philosophy of Science 76), Dordrecht: Springer Netherlands, 145–154. doi:10.1007/978-94-007-0431-2_7

● –––, 2012, “Categorical Foundations and Mathematical Practice”, Philosophia Mathematica, 20(1): 111–113. doi:10.1093/philmat/nkr041

● Menzel, Christopher, 2018, “Haecceities and Mathematical Structuralism”, Philosophia Mathematica, 26(1): 84–111. doi:10.1093/philmat/nkw030

● Nodelman, Uri and Edward N. Zalta, 2014, “Foundations for Mathematical Structuralism”, Mind, 123(489): 39–78. doi:10.1093/mind/fzu003

● Parsons, Charles, 1990, “The Structuralist View of Mathematical Objects”, Synthese, 84(3): 303–346. doi:10.1007/BF00485186

● –––, 2004, “Structuralism and Metaphysics”, The Philosophical Quarterly, 54(214): 56–77. doi:10.1111/j.0031-8094.2004.00342.x

● –––, 2008, Mathematical Thought and Its Objects, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511498534

● –––, 2018, “Concepts versus Objects”, in Reck 2018b: 91–112.

● Pettigrew, Richard, 2008, “Platonism and Aristotelianism in Mathematics”, Philosophia Mathematica, 16(3): 310–332. doi:10.1093/philmat/nkm035

● Piaget, Jean, 1968 [1970], Le structuralisme, Paris: Presses Universitaires de France. Translated as Structuralism, Chaninah Maschler (trans.), New York: Basic Books, 1970.

● Putnam, Hilary, 1967, “Mathematics without Foundations”, The Journal of Philosophy, 64(1): 5–22. Reprinted in Benacerraf and Hilary Putnam 1983: 295–312. doi:10.2307/2024603 doi:10.1017/CBO9781139171519.016

● Reck, Erich H., 2003, “Dedekind’s Structuralism: An Interpretation and Partial Defense”, Synthese, 137(3): 369–419. doi:10.1023/B:SYNT.0000004903.11236.91

● –––, 2018a, “On Reconstructing Dedekind Abstraction Logically”, in Reck 2018b: 113–138.

● ––– (ed.), 2018b, Logic, Philosophy of Mathematics, and their History: Essays in Honor of W.W. Tait, London: College Publications.

● Reck, Erich H. and Michael P. Price, 2000, “Structures And Structuralism In Contemporary Philosophy Of Mathematics”, Synthese, 125(3): 341–383. doi:10.1023/A:1005203923553

● Reck, Erich H. and Georg Schiemer (eds.), forthcoming, Prehistory of Mathematical Structuralism, Oxford: Oxford University Press.

● Resnik, Michael D., 1981, “Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference”, Noûs, 15(4): 529–550. doi:10.2307/2214851

● –––, 1982, “Mathematics as a Science of Patterns: Epistemology”, Noûs, 16(1): 95–105. doi:10.2307/2215419

● –––, 1988, “Mathematics from the Structural Point of View”, Revue Internationale de Philosophie, 42(167): 400–424.

● –––, 1996, “Structural Relativity”, Philosophia Mathematica, 4(2): 83–99. doi:10.1093/philmat/4.2.83

● –––, 1997, Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/0198250142.001.0001

● Schiemer, Georg and John Wigglesworth, forthcoming, “The Structuralist Thesis Reconsidered”, The British Journal for the Philosophy of Science, first online: 30 January 2018. doi:10.1093/bjps/axy004

● Richart, Charles E., 1995, Structuralism and Structures: A Mathematical Perspective, London: World Scientific.

● Shapiro, Stewart, 1983, “Mathematics and Reality”, Philosophy of Science, 50(4): 523–548. doi:10.1086/289138

● –––, 1989, “Structure and Ontology”, Philosophical Topics, 17(2): 145–171.

● –––, 1996, “Space, Number and Structure: A Tale of Two Debates”, Philosophia Mathematica, 4(2): 148–173. doi:10.1093/philmat/4.2.148

● –––, 1997, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/0195139305.001.0001

● ––– (ed.), 2005, The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/oxfordhb/9780195325928.001.0001

● –––, 2008, “Identity, Indiscernibility, and ante rem Structuralism: The Tale of i and −i”, Philosophia Mathematica, 16(3): 285–309. doi:10.1093/philmat/nkm042

● Tsementzis, Dimitris, 2017, “Univalent Foundations as Structuralist Foundations”, Synthese, 194(9): 3583–3617. doi:10.1007/s11229-016-1109-x

● Univalent Foundations Program, 2013, Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics, The Univalent Foundations Program. [Homotopy Type Theory available online]

● van Fraassen, Bas C., 2008, Scientific Representation: Paradoxes of Perspective, Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780199278220.001.0001

● Wigglesworth, John, 2018, “Grounding in Mathematical Structuralism”, in Reality and Its Structure: Essays in Fundamentality, Ricki Bliss and Graham Priest (eds.), Oxford: Oxford University Press, 217–236. doi:10.1093/oso/9780198755630.003.0012

● Worrall, John, 1989, “Structural Realism: The Best of Both Worlds?”, Dialectica, 43(1–2): 99–124. doi:10.1111/j.1746-8361.1989.tb00933.x

Прочие интернет-ресурсы

● Ketland, J., 2015, “Abstract Structure”, неопубликованная рукопись.

● Makkai, Michael, 1995, First Order Logic with Dependent Sorts with Applications to Category Theory, неопубликованная рукопись.

● Mathematical Structuralism