теории

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Аксиоматические теории истины

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 26 декабря 2005 года; содержательно переработано 4 ноября 2013 года.

Аксиоматическая теория истины является дедуктивной теорией истины как примитивного неопределенного предиката. В силу парадокса лжеца и других парадоксов аксиомы и правила необходимо выбирать тщательно, чтобы избежать противоречий.

Многие аксиоматические системы, которые включают в себя предикат истины, обсуждались в исследовательской литературе, а их свойства анализировались.

Некоторые философы, например, Дональд Дэвидсон и многие дефляционисты, придерживались аксиоматических теорий истины в своих подходах к этой теме.

Логические свойства формальных теорий связаны с различными философскими вопросами, такими как онтологический статус свойств, теоремы Гёделя, теоретико-истинностный дефляционизм, устранимость (элиминируемость) семантических понятий и теория значения.

Основания

Предпринималось множество попыток определения истины с точки зрения корреспондентности, когерентности и пр. Однако совершенно не очевидно, что истина является определимым понятием.

В формальных условиях, удовлетворяющих определенные натуральные условия, теорема Тарского о неопределимости предиката истины показывает, что определение предиката истины требует средств, выходящих за пределы того формального языка, для которого определяется истина, и, следовательно, подходы, стремящиеся определить истину в рамках этого языка, обречены на неудачу.

Напротив, аксиоматический подход не содержит предпосылки об определимости истины. Вместо этого формальный язык расширяется посредством нового примитивного предиката истины, и затем для такого предиката вводятся аксиомы. Вместе с тем не исключается возможность определимости предиката истины, хотя в ряде случаев предикат истины не может быть определен.

В семантических теориях истины (см., напр., Tarski 1935, Kripke 1975), напротив, предикат истинности определён для так называемого языка-объекта.

Это определение выполняется в метаязыке или в метатеории, которые обычно используются для включения теории множеств, другой сильной теории или экспрессивно богатого интерпретируемого языка. Теорема Тарского о неопределимости предиката истины показывает, что, учитывая некоторые общие предпосылки, средства метаязыка или метатеории должны выходить за пределы средств языка-обьекта. Поэтому семантические подходы обычно требуют использования метаязыка, который является более мощным, нежели язык-объект, которому сообщается семантика.

Как и другие формальные дедуктивные системы, аксиоматические теории истины могут быть представлены в рамках довольно слабых логических структур. Эти структуры требуют очень мало ресурсов и, в частности, избегают необходимости в сильных метаязыке и метатеории. Формальная работа над аксиоматическими теориями истины помогла пролить свет на семантические теории истины.

Например, она дала информацию о тех требованиях к метаязыку, выполнение которых позволяет определить в нем предикат истины. Семантические теории, в свою очередь, дают теоретические инструменты, необходимые для исследования моделей аксиоматических теорий истины и оснований (motivations) для построения определенных аксиоматических теорий. Таким образом, аксиоматические и семантические подходы к истине тесно переплетены.

Данная статья в общих чертах дает представление о наиболее распространённых аксиоматических теориях истины и о некоторых формальных результатах, которые были получены в связи с ними. Относительно их философского применения будут приведены лишь краткие справки.

Истина, свойства, множества

Теории истины и предикации тесно связаны с теориями свойств и атрибуции свойств. Утверждать, что открытая формула ф(х) истинна для индивида а, кажется эквивалентным (в определенном смысле) утверждению, что а обладает свойством быть ф (это свойство обозначается открытой формулой). Например, можно сказать, что ‘х является бедным философом’ истинно для Тома вместо того, чтобы говорить, что Том обладает свойством быть бедным философом. Квантификация по определимым свойствам может быть воспроизведена в языке с предикатом истины посредством квантификации по формулам.

Например, вместо того чтобы говорить, что а и b обладают обладают одинаковыми свойствами, можно сказать, что одинаковые формулы истинны как для а, так и для b. Редукция свойств к истине работает до некоторой степени также для множеств индивидов.

Существует ряд редукций в других направлениях: Тарский (Tarski 1935) показал, что определенные высказывания второго порядка о существовании (например, аксиомы выделения) могут быть использованы для определения истины (см. статью «Определение истины по Тарскому»). Математический анализ аксиоматических теорий истины и систем второго порядка продемонстрировал эквивалентность между допущениями существования второго порядка и теоретико-истинностными допущениями.

Эти результаты показывают, что именно требуется для определения предиката истины, который удовлетворял бы определенным аксиомам, тем самым заостряя понимание определимости истины Тарского.

В частности, теоретико-доказательные эквивалентности, описанные ниже в разделе 3.3, делают показывают, до какой степени метаязык (или метатеория) должен быть богаче, чем язык-объект, чтобы в нем можно было определить предикат истины.

Эквивалентность между второпорядковыми теориями и теориями истины также связана с традиционными проблемами метафизики.

Редукции второпорядковых теорий (то есть теорий свойств или множеств) к аксиоматическим теориям истины могут рассматриваться как формы редуктивного номинализма, поскольку они замещают допущения существования для множеств или свойств (например, аксиомы выделения) онтологически безопасными допущениями, в данном случае допущениями относительно функционирования предиката истины.

Истина и рефлексия

Согласно теореме Гёделя о неполноте (см. статью «Теоремы Гёделя о неполноте»), утверждение, что арифметика Пеано (PA) непротиворечива, в виде теоретико-числового утверждения (с нумерацией Гёделя) не может быть выведена в рамках самой PA. Однако PA может быть усилена прибавлением этого утверждения о непротиворечивости или посредством более сильных аксиом. В частности, могут быть добавлены аксиомы, частично выражающие обоснованность PA.

Они известны как принцип рефлексии. Примером принципа рефлексии для PA будет множество предложений BewPA(⌈φ⌉) → φ, где ф — это формула языка арифметики, а [ф] — это имя для ф, BewPA(x) — это стандартный предикат доказуемости для PA (‘Bew’ было введено Гёделем, оно является сокращением от ‘beweisbar’, что означает ‘доказуемо’).

Процесс добавления принципов рефлексии может быть подвергнут итерации: можно также добавить, например, принцип рефлексии R для PA к PA; в результате мы получим новую теорию PA+R. Затем добавляется принцип рефлексии для системы PA+R к теории PA+R. Этот процесс можно продолжать до бесконечности (см. Feferman 1962; Franzén 2004). Принципы рефлексии выражают — по крайней мере частично — прочность системы.

Наиболее естественное и полное выражение прочности системы включает в себя предикат истины и известен как общий принцип рефлексии (см. Kreisel Lévy 1968). Общий принцип рефлексии для формальной системы S утверждает, что все предложения, доказуемые в S, истинны:

∀x(BewS(x) → Tx)

BewS(x) в данном случае выражает доказуемость предложений в системе S (здесь мы опускаем дискуссию относительно проблемы определимости BewS(x)). Предикат истины должен удовлетворять определенным принципам, иначе общий принцип рефлексии окажется пустым. Таким образом, необходимо добавить не только общий принцип рефлексии, но также аксиомы истинности. Однако если добавить натуральную теорию истины наподобие Т(PA), то больше не будет необходимости постулировать общий принцип рефлексии эксплицитно, поскольку теории наподобие Т(PA) уже доказывают общий принцип рефлексии для PA.

Поэтому можно рассматривать теории истины как принципы рефлексии, поскольку они доказывают прочность утверждений и прибавляют средства для выражения этих утверждений.

Таким образом, вместо итерации принципов рефлексии, которые полностью сформулированы в языке арифметики, можно добавить посредством итерации новые предикаты истины и соответствующие им новые аксиомы. Тем самым можно попытаться сделать эксплицитными все допущения, которые были имплицитными в принятии теории вроде PA. Полученную теорию можно назвать рефлексивным замыканием исходной теории. Феферман (Feferman 1991) предложил использовать один предикат истины и одну теорию (KF) вместо иерархии предикатов и теорий, чтобы эксплицировать рефлексивное замыкание PA и других теорий. (KF будет рассмотрена ниже в разделе 4.3.)

Отношение теорий истины и (итерированных) принципов рефлексии также проступает и в дискуссии о теоретико-истинностном дефляционизме (см. Tennant 2002 и следующий подраздел).

Теоретико-истинностный дефляционизм

Многие сторонники дефляционных теорий истины используют истину как примитивное понятие и аксиоматизируют ее, зачастую используя некоторые версии Т-предложений в качестве аксиом. Т-предложения эквивалентны выражениям вида T ⌈φ⌉ ↔ φ, где Т — это предикат истины, ф — предложение, а [ф] — имя предложения ф. (Дефляционистами обсуждались и более уточненные аксиомы.) Аксиоматический подход, по крайней мере на первый взгляд, кажется намного менее ‘дефляционным’, чем те более традиционные теории, которые опираются на определение истины с точки зрения корреспондентности и пр.

Если истина может быть эксплицитно определена, она может быть элиминирована, тогда как аксиоматизированное понятие истины налагает на нас принятие обязательств, которые могут выходить и зачастую выходит за пределы базовой теории.

Если истина не обладает никакой объяснительной силой, как утверждают некоторые дефляционисты, аксиомы истинности не должны позволять доказывать новые теоремы, которые не включают предикат истины. Хорстен (Horsten 1995), Шапиро (Shapiro 1998) и Кетланд (Ketland 1999) предположили, что дефляционная аксиоматизация истины должна быть по меньшей мере консервативна. Новые аксиомы истинности консервативны, если они не предполагают никаких дополнительных предложений (не содержащих предиката истины), которые не доказуемы без аксиом истины.

Таким образом, неконсервативные теории истины добавляют новое несемантическое содержание в теорию и обладают подлинной объяснительной силой, в противовес взглядам дефляционистов. Некоторые натуральные теории истины однако не удовлетворяют требованию консервативности (подробнее см. раздел 3.3, а также Field 1999, Shapiro 2002).

Согласно многим дефляционистам, единственная цель использования понятия истины состоит в выражении бесконечных конъюнкций. Очевидно, что не все бесконечные конъюнкции могут быть выражены, поскольку имеется несчетное множество (неэквивалентных) бесконечных конъюнкций в противовес счетному языку. Поскольку язык с добавленным предикатом истины содержит только счетное число формул, не всякая бесконечная конъюнкция может быть выражена посредством отличной конечной формулы.

Формальная работа над аксиоматическими теориями помогла определить, какие именно бесконечные конъюнкции могут быть выражены с помощью предиката истины. Феферман (Feferman 1991) предлагает теоретико-доказательный анализ довольно сильной системы. (Это также будет пояснено в рамках обсуждения KF в Разделе 4.3.)

Базовая теория

Выбор базовой теории

В большинстве аксиоматических теорий истина рассматривается как предикат при объектах. Широко обсуждалась категория объектов, к которой применима истина, среди них: пропозиции, рассматриваемые как объекты, которые являются независимыми от всякого языка, типы и токены предложений и высказываний, мысли и многие другие. Поскольку структура предложения, рассматриваемая как структура типов, относительно ясна, типы предложений часто используются как объекты, которые могут быть истинными.

Во многих случаях нет необходимости брать на себя конкретные метафизические обязательства, поскольку требуются только некоторые скромные предположения о структуре этих объектов, независимо от того, принимаются ли они в конечном счете за синтаксические объекты, пропозиции или нечто другое.

Теория, которая описывает свойства объектов, которым может быть приписана истинность, называется базовой теорией. Формулировка базовой теории не включает предикат истины или какие-либо другие конкретные теоретико-истинностные допущения.

Базовая теория может описывать структуру предложений, пропозиций и т.п., поэтому такие представления, как отрицание подобного объекта, могут быть использованы в формулировке теоретико-истинностных аксиом.  

Во многих аксиоматических теориях истины истина рассматривается как предикат, применяемый к гёделевым номерам предложений. Арифметика Пеано оказалась весьма гибкой теорией объектов, к которым применяется истинность, во многом в силу того, что добавление теоретико-истинностных аксиом к арифметике Пеано дает интересные системы, а также поскольку арифметика Пеано эквивалентна многим теориям синтаксиса и даже теориям пропозиций. Однако рассматривались также и другие базовые теории, включая теории формального синтаксиса и теории множеств.

Конечно, мы можем также исследовать теории, которые получаются путем прибавления теоретико-истинностных аксиом к более сильным теориям, таким как теория множеств. Обычно нет никакой возможности доказать непротиворечивость теории множеств с прибавлением теоретико-истинностных аксиом, поскольку непротиворечивость самой теории множеств не может быть установлена без допущений, выходящих за пределы теории множеств.

Во многих случаях даже относительные доказательства непротиворечивости неосуществимы.

Однако если добавление определенных теоретико-истинностных аксиом к PA дает непротиворечивую теорию, кажется по меньшей мере правдоподобным, что добавление аналогичных аксиом к теории множеств не приведет к противоречивости.

Следовательно, надежда состоит в том, что исследование теорий истины для PA даст некоторые указания на то, что произойдет, если мы расширим более сильные теории аксиомами для предиката истины.

Обозначения

Для определенности допустим, что язык арифметики содержит ¬, ∧, ∨ в качестве логических связок и ∀, ∃ в качестве кванторов. Он имеет индивидные константы только в виде 0 для нуля; его функциональный символ — это только символ S в качестве одноместного последователя; сложение и умножение выражается посредством предикатных символов.

Таким образом, единственными замкнутыми термами языка арифметики являются нумералы 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ….

Язык арифметики не содержит символ одноместного предиката Т, поэтому допустим, что LT — это язык арифметики, дополненный новым одноместным предикатным символом Т для истины. Если ф — это предложение языка LT, то [ф] — это имя ф в языке LT; говоря формально, это нумерал гёделева номера ф.

В целом греческие буквы, такие как ф и ψ, являются переменными метаязыка, то есть языка, используемого для обсуждения теорий истины и языка, на котором написана эта статья (русский в переводе с английского, дополненный некоторыми символами). ф и ψ пробегают формулы формального языка LT.

В дальнейшем изложении мы используем маленькие заглавные буквы в верхнем регистре А, В, … как переменные в LT, распространяющиеся на предложения (или их гёделевские номера). Таким образом, ∀A(…A…) обозначает ∀x(SentT(x) → …x…), где SentT(x) выражает на языке арифметики, что х является предложением языка арифметики, расширенного предикатным символом Т.

Конъюнкции двух предложений и другие аналогичные синтаксические операции могут быть выражены на языке арифметики. Поскольку язык арифметики не содержит символ функции отдельно от символа последователя, эти операции должны выражаться соответствующими предикатными выражениями.

Таким образом, можно утверждать в языке LT, что отрицание предложения языка LT истинно, если и только если само предложение не истинно.

Запишем это следующим образом:

∀A(T[¬A] ↔ ¬TA).

Квадратные скобки указывают, что операция отрицания А выражена на языке арифметики. Поскольку язык арифметики не содержит функциональный символ, отображающий функцию, которая переводит предложения в их отрицания, должны быть даны соответствующие парафразы, включающие предикаты.

Таким образом, выражение:

∀A∀B(T[A ∧ B] ↔ (TA ∧ TB))

является единичным предложением языка LT, утверждающим, что конъюнкция предложений LT истинна, если и только если оба предложения истинны.

В отличие от приведенного выше выражения, следующее выражение:

T ⌈φ ∧ ψ⌉ ↔ (T ⌈φ⌉ ∧ T ⌈φ⌉)

является схемой. То есть оно обозначает множество всех предложений, которые получены из этого выражения посредством подстановки предложений LT вместо греческих букв ф и ψ. Единичное предложение ∀A∀B(T[A ∧ B] ↔ (TA ∧ TB)) влечет за собой все предложения, которые могут быть подставлены в схему, но подстановки в схему не влекут это единичное предложение, квантифицированное квантором всеобщности. В целом квантифицированные версии сильнее, чем соответствующие схемы.

Типизированные теории истины

В типизированных теориях истины доказуема только истинность предложений, не содержащих одинаковый предикат истины, что позволяет избегать парадоксы посредством рассмотрения различия, которое вводит Тарский, между языком-объектом и метаязыком.

Определимые предикаты истины

Некоторые истинностные предикаты могут быть определены в рамках языка арифметики. Предикаты, подходящие на роль предикатов истины для подъязыков языка арифметики, могут быть определены в рамках языка арифметики при условии, что квантификационная сложность формул в подъязыках ограничена. В частности, имеется формула Tr0(x), выражающая, что х является истинным атомарным преложением языка арифметики, то есть предложением вида n=k, где k и n являются идентичными нумералами.

Более подробно о частичных предикатах истины см., напр., работы Hájek and Pudlak 1993, Kaye 1991, Takeuti 1987.

Определимые истинностные предикаты действительно избыточны, поскольку они выводимы в PA, поэтому нет необходимости вводить их аксиоматически. Все предикаты истины в дальнейшем изложении являются неопределимыми в языке арифметики, и поэтому они не избыточны, по крайней мере с точки зрения своей неопределимости.

Т-предложения

Типированные Т-предложения эквивалентны по форме T ⌈φ⌉ ↔ φ, где ф — это предложение, не содержащее предикат истины. Тарский (Tarski 1935) называл всякую теорию, доказывающую эти эквивалентности, «материально адекватной». Тарский (Tarski 1935) критиковал аксиоматизацию истины, опирающуюся только на Т-предложения, не в силу того, что он стремился к определению истины в противовес ее аксиоматизации, но поскольку такие теории кажутся чересчур слабыми.

Таким образом, хотя подобная теория является материально адекватной, Тарский полагал, что Т-предложения дедуктивно слишком слабы. В частности, он отмечал, что Т-предложения не доказывают принцип полноты, то есть предложение ∀A(TA ∨ T[¬A]), где квантор ∀A ограничен предложениями, не содержащими Т.

Теории истины, основанные на Т-предложениях, и их формальные свойства в последнее время стали предметом интереса в контексте так называемых дефляционных теорий истины. Т-предложения T ⌈φ⌉ ↔ φ (где ф не содержит Т) не являются консервативными в логике первого порядка с тождеством, то есть доказывают предложение, не содержащее Т, что не является логически валидным.

Для Т-предложений доказывается, что предложения 0=0 и ¬0=0 различны и что поэтому существуют по крайней мере два объекта. Другими словами, Т-предложения не консервативны относительно пустой базовой теории. Если Т-предложения добавить в PA, полученная теория будет консервативна относительно PA. Это означает, что теория не доказывает предложения, не содержащие Т, которые недоказуемы в PA. Этот результат сохраняется даже при добавлении к Т-предложениям всех аксиом индукции, содержащих предикат истины. Это можно показать, вновь обратившись к теореме компактности.

Композициональная истина

Как отмечал Тарский (Tarski 1935), некоторые искомые обобщения не следуют из Т-предложений.

Например, в сочетании с релевантными базовыми теориями они не влекут истинность конъюнкции, если оба конъюнкта истинны.

Чтобы получить системы, которые также доказывают квантифицированные по всеобщности теоретико-истинностные принципы, можно перевести индуктивные части определения истины Тарского в аксиомы. В следующих аксиомах AtomSentPA(⌈A⌉) означает, что А — это атомарное предложение языка арифметики, SentPA(⌈A⌉) означает, что А — это предложение языка арифметики.

1. ∀A(AtomSentPA(A) → (TA ↔ Tr0(A)))

2. ∀A(SentPA(A) → (T[¬A] ↔ ¬TA))

3. ∀A∀B(SentPA(A)  ∧ SentPA(B) → (T[A  ∧ B] ↔ (TA  ∧ TB)))

4. ∀A∀B(SentPA(A)  ∧ SentPA(B) → (T[A ∨ B] ↔ (TA ∨ TB)))

5. ∀A(v)(SentPA(∀vA) → (T[∀vA(v)] ↔ ∀xT[A(x)]))

6. ∀A(v)(SentPA(∀vA) → (T[∃vA(v)] ↔ ∃xT[A(x)]))

Аксиома 1 утверждает, что атомарное предложение языка PA истинно, если и только если оно истинно согласно арифметическому предикату истины этого языка (Tr0 был определен в разделе 3.1). Аксиомы 2–6 утверждают, что истина коммутативна со всеми связками и кванторами. Аксиома 5 утверждает, что предложение языка арифметики с квантором всеобщности истинно, если и только если все ее нумерические вхождения истинны.

Подчеркивание переменной в квадратных скобках указывает на то, что она связана с тем, что расположено снаружи. А именно, [A(x)] обозначает результат замещения переменной v в A(v) нумералом х. SentPA(∀vA) говорит о том, что A(v) является формулой со свободной v (поскольку ∀vA(v) — это предложение).

Если эти аксиомы должны быть сформулированы для такого языка, как теория множеств, в котором отсутствуют имена для всех объектов, тогда аксиомы 5 и 6 требуют использования отношения выполнимости, а не одноместного предиката истины.

Аксиомы вида 1–6 играют центральную роль в теории значения Дональда Дэвидсона и в некоторых дефляционных подходах к истине.

Теория, полученная из всех аксиом PA и аксиом 1–6 с индукцией только для формул, не содержащих Т, консервативна относительно PA, то есть она не доказывает никакие новые теоремы, не содержащие Т, которые недоказуемы в PA.

Однако не все модели PA могут быть расширены до моделей PA+аксиомы 1–6. Это следует из работы Лаклана (Lachlan 1981). Котларский, Кражевский и Лаклан (Kotlarski, Krajewski and Lachlan 1981) доказывали консервативность, очень близкую к PA+аксиомы 1–6 модельно-теоретическими средствами.

Хотя некоторые авторы, включая Гальбаха (Halbach 1999), утверждали, что данный результат также финитно доказуем, эти доказательства не были доступны до работ Enayat and Visser 2013 и Leigh 2013.

Конечно, теория PA + аксиомы 1–6 ограничительна, поскольку она не содержит аксиомы индукции в языке с предикатом истины.

Существуют различные названия для системы, которая получается посредством добавления всех аксиом индукции, включающих предикат истины, к системе PA + аксиомы 1–6: T(PA), PA(S) или PA + «полный индуктивный выполнимый класс». Эта теория больше не консервативна относительно своей базовой теории PA. Например, можно формализовать теорему непротиворечивости или общий принцип рефлексии для PA, то есть утверждение, что все предложения, доказуемые в PA, истинны.

Общий принцип отражения для PA, в свою очередь, предполагает непротиворечивость PA, что не является доказуемым в рамках чистой PA, по второй теореме Гёделя о неполноте. Таким образом, Т(PA) не консервативна относительно PA. Т(PA) намного сильнее, чем простое утверждение непротиворечивости PA: Т(PA) эквивалентна второпорядковой системе АСА с арифметическим выделением (см. Takeuti 1987 и Feferman 1991).

Точнее, Т(PA) и АСА взаимно переводимы таким образом, что сохраняются все арифметические предложения. АСА дается аксиомами PA с полной индукцией в языке второго порядка и следующим принципом выделения:

∃X∀y(y∈X ↔ φ(x))

где ф(х) — это любая формула (в которой х может быть свободна или нет), который не содержит ни одного второпорядкового квантора, но может содержать свободные второпорядковые переменные. Точнее, квантификация по множествам может быть определена в Т(PA) как квантификация по формулам с одной свободной переменной и принадлежностью как истинностью формулы применительно к числу.

Более сильные фрагменты второпорядковой арифметики могут быть интерпретированы с помощью систем истины без типов, то есть с помощью теорий истины, которые доказывают не только истинность арифметических предложений, но также и истинность преложений языка LT с предикатом истины; см. раздел 4.

Иерархические теории

Упомянутые ранее теории истины могут быть подвергнуты итерации посредством введения индексированных истинностных предикатов. Можно добавить к языку PA предикаты истины, индексированные ординалами (или порядковыми индексами) или добавить двуместный предикат истины, который применяется к порядковым индексам или предложениям.

В этом отношении иерархический подход не соответствует структуре, описанной в разделе 2, поскольку язык не содержит один одноместный предикат истины, применимый к предложениям, но скорее множество одноместных предикатов истины или один двуместный (или даже один одноместный предикат истины, применяемый к паре порядковых индексов и предложений).

В подобном языке может быть сформулирована аксиоматизация иерархии предикатов истины Тарского. С теоретико-доказательной стороны итерация теорий истины в духе Т(PA) соответствует итерации элементарного выделения, то есть итерации АСА.

Система итерированных теорий истины соответствует системе разветвленного анализа (см. Feferman 1991).

Виссер (Visser 1989) исследовал не вполне обоснованные иерархии языков и их аксиоматизации. Если добавить Т-предложения Tn⌈φ⌉ ↔ φ к языку арифметики PA, где ф содержит только истинностные предикаты Tk, где k > n, полученная теория не будет иметь стандартную (ω-)модель.

Нетипизированная истина

Предикаты истины в естественных языках не имеет каких-либо явных ограничений типов.

Поэтому типизированные теории истины (аксиоматические и семантические) считались неадекватными для анализа предиката истины естественного языка, хотя недавно Гланцберг (Glanzberg forthcoming) и другие высказались в пользу иерархических теорий.

Такова одна из причин для исследования теорий истины, не использующих типы, то есть систем истины, которые позволяют доказывать истинность предложений, содержащих предикат истины.

Некоторые из таких теорий обладают гораздо большей выразительной силой, чем типизированные теории, которые были рассмотрены в предыдущем разделе (по крайней мере, если они избегают индексированного предиката истины). Поэтому не типизированные теории истины являются гораздо более мощным инструментом в редукции других теорий (например, второпорядковых).

Нетипизированные Т-предложения

Множество всех Т-предложений T ⌈φ⌉ ↔ φ, где ф — это предложение языка LT, то есть, где ф может содержать Т, не согласуется с PA (и с всякой другой теорией, доказывающей диагональную лемму) в силу парадокса лжеца. Поэтому можно попробовать исключить из множества всех Т-предложений только те, что ведут к противоречию.

Другими словами, можно рассмотреть максимально согласованные множества Т-предложений. Макги (McGee 1992) показал, что существует несчетно много максимальных множеств Т-предложений, которые согласуются с PA. Поэтому данная стратегия не ведет к единой теории. Даже хуже, для арифметического предложения (то есть предложения, не содержащего Т), которое не может быть ни доказанным, ни опровергнутым в PA, можно найти согласующееся Т-предложение, которое разрешит эту сложность (McGee 1992).

Отсюда следует, что многие непротиворечивые множества Т-предложений доказывают ложные арифметические утверждения.

Таким образом, стратегия, предполагающая исключение только тех Т-предложений, которые ведут к противоречию, не может быть успешной.

Множество Т-предложений, которое не влечет ложных арифметических высказываний, может быть получено посредством только тех ф среди Т-предложений T ⌈φ⌉ ↔ φ, которые содержат Т только положительно, то есть в области четных чисел отрицательных символов.

Как и в случае типизированной теории из раздела 3.2, данная теория не доказывает определенные обобщения, но доказывает те же предложения, не содержащие Т, как и сильная нетипизированная композициональная теория Крипке — Фефермана, которую мы рассмотрим ниже (Halbach 2009).

Композициональность

Помимо раскавычивающей функции истины также хотелось бы охватить ее композициональные свойства и обобщить аксиомы типизированной композициональной истины также и для нетипизированных теорий.

Исходя из этой цели необходимо добавить аксиомы и правила, касающиеся истинности атомарных предложений с предикатом истины, и снять ограничения на предложения, не содержащие Т, в композициональных аксиомах. Чтобы рассматривать истину так же, как и другие предикаты, необходимо добавить аксиому ∀A(T[TA] ↔ TA) (где ∀A пробегает все предложения). Если снять ограничение типа типизированной композициональной аксиомы для отрицания, мы получим аксиому ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA).

Однако аксиомы ∀A(T[TA] ↔ TA) и ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA), взятые вместе, противоречивы в отношении слабых теорий синтаксиса, поэтому от одной из них необходимо отказаться. Если мы сохраняем ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA), то необходимо найти более слабые аксиомы или правила для итерации истины, но истина остается при этом классическим понятием в том смысле, что ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA) предполагает закон исключенного третьего (для всякого предложение истинно либо оно, либо его отрицание) и закон непротиворечия (ни для одного предложения не является одновременно истинным оно само и его отрицание).

Если, напротив, мы отрицаем ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA) и оставляем ∀A(T[TA] ↔ TA), станет доказуемым, что либо некоторые предложения истинны вместе с их отрицаниями, либо для некоторых предложений не являются истинными ни они, ни их отрицания, таким образом, мы получаем системы неклассической истины, хотя сами эти системы будут формулироваться на языке классической логики. В следующих двух разделах мы рассмотрим наиболее значимые системы данных двух видов.

Теория Фридмана — Ширда и ревизионная семантика

Система FS, названная в честь Фридмана и Ширда (Friedman and Sheard 1987) сохраняет отрицание аксиомы ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA). Другие композициональные аксиомы сохраняются посредством снятия ограничения типа до их нетипизированных версий:

1. ∀A(AtomSentPA(A) → (TA ↔ Tr0(A)))

2. ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA)

3. ∀A∀B(T[A ∧ B] ↔ (TA ∧ TB))

4. ∀A∀B(T[A ∨ B] ↔ (TA ∨ TB))

5. ∀A(v)(Sent(∀vA) → (T[∀vA(v)] ↔ ∀xT[A(x)])

6. ∀A(v)(Sent(∀vA) → (T[∃vA(v)] ↔ ∃xT[A(x)]))

Эти аксиомы добавляются к PA, сформулированной на языке LT. Поскольку аксиома итерации истины ∀A(T[TA] ↔ TA) противоречива, только следующие два правила могут быть добавлены:

Если ф является теоремой, можно вывести Т[ф], и наоборот, если Т[ф] является теоремой, можно вывести ф.

Это следует из того результата, полученного Макги (McGee 1985), что FS ω-противоречива, то есть FS доказывает ∃x¬φ(x), но также доказывает ф(0), ф(1), ф(2), … для некоторой формулы ф(х) языка LT. При этом арифметические теоремы FS верны.

В FS можно определить все конечные уровни классической иерархии Тарского, но FS не является достаточно сильной теорией, чтобы было возможно восстановить любой из ее трансфинитных уровней. В самом деле, Гальбах (Halbach 1994) определял ее теоретико-доказательную силу как точно соответствующую теории разветвленной истины для всех конечных уровней (то есть конечно итерированной Т(PA); см. раздел 3.4) или, что эквивалентно, теории разветвленного анализа для всех конечных уровней. Если одна из сторон правила отбрасывается, а другая удерживается, FS сохраняет свою теоретико-доказательную силу (Sheard 2001).

Достоинство FS состоит в том, что она является полностью классической: она сформулирована на языке классической логики; если предложение доказуемо истинно в FS, то само предложение доказуемо в FS; и наоборот, если предложение доказуемо, то оно доказуемо истинно. Ее недостаток заключается в ее ω-противоречивости. FS может быть рассмотрена как аксиоматизация семантики правил пересмотра для всех конечных уровней (см. статью о ревизионной теории истины).

Теория Крипке — Фефермана

Теория Крипке — Фефермана сохраняет аксиому итерации истины ∀A(T[TA] ↔ TA), но понятие аксиоматизированной истины здесь уже не является классическим, поскольку исключена аксиома отрицания ∀A(T[¬A] ↔ ¬TA).

Семантическая конструкция, выраженная этой теорией, является обобщением типизированного индуктивного определения истины Тарского, выраженного в T(PA). В генерализованном определении мы начинаем с истинного атомарного предложения языка арифметики, а затем объявляем истинными составные предложения в зависимости от того, являются ли истинными их составляющие. Например, как и в типизированном случае, если ф и ψ истинны, их конъюнкция φ∧ψ также будет истинной. В случае квантифицированных предложений их истинностное значение определено истинностным значением их вхождений (можно было бы сделать квантифицированные выражения чисто композициональными, используя предикат выполнимости); например, квантифицированное по всеобщности предложение будет считаться истинным, если и только если все его вхождения истинны. Можно теперь расширить это индуктивное определение истины до языка LT, считая предложения вида Т[ф] истинными, если истинно ф. Кроме того, ¬T⌈φ⌉ будет считаться истинным, если ¬φ истинно.

Уточняя данную идею, можно получить версию теории истины Крипке (Kripke 1975) с так называемой сильной схемой оценок Клини (см. статью о многозначной логике). Будучи аксиоматизированной, она ведет к следующей системе, которая известна как KF (‘Крипке — Феферман’), несколько вариантов которой можно встретить в литературе:

1. ∀A(AtomSentPA(A) → (TA ↔ Tr0(A)))

2. ∀A(AtomSentPA(A) → (T[¬A] ↔ ¬Tr0(A)))

3. ∀A(T[TA] ↔ TA)

4. ∀A(T[¬TA] ↔ T[¬A])

5. ∀A(T[¬¬A] ↔ TA)

6. ∀A∀B(T[A ∧ B] ↔ (TA ∧ TB))

7. ∀A∀B(T[¬(A ∧ B)] ↔ (T[¬A] ∨ T[¬B]))

8. ∀A∀B(T[A ∨ B] ↔ (TA ∨ TB))

9. ∀A∀B(T[¬(A ∨ B)] ↔ (T[¬A] ∧ T[¬B]))

10. ∀A(v)(Sent(∀vA) → (T[∀vA(v)] ↔ ∀xT[A(x)])

11. ∀A(v)(Sent(∀vA) → (T[¬∀vA(v)] ↔ ∃xT[¬A(x)])

12. ∀A(v)(Sent(∀vA) → (T[∃vA(v)] ↔ ∃xT[A(x)]))

13. ∀A(v)(Sent(∀vA) → (T[¬∃vA(v)] ↔ ∀xT[¬A(x)]))

Помимо теоретико-истинностных аксиом KF включает все аксиомы PA, а также все индуктивные аксиомы, содержащие предикат истины.

Этой системе приписывается авторство Фефермана на основании двух его лекций 1979-го и 1983-го годов, прочитанных для Ассоциации Символической Логики, а также последующих рукописей. Феферман опубликовал его версию системы под названием Ref(PA) (‘слабое рефлексивное замыкание PA’) только в 1991 году, после нескольких других версий KF, уже появившихся к тому моменту в печати (напр., Reinhardt 1986, Cantini 1989, при этом оба автора ссылаются на эти неопубликованные работы Фефермана).

KF сформулирована на языке классической логики, но она описывает неклассическое понятие истины. Например, можно доказать T⌈L⌉ ↔ T⌈¬L⌉, если L — предложение Лжеца.

Таким образом, KF доказывает, что либо и само предложение Лжеца, и его отрицание истинны, либо ни одно из них не истинно. Так что либо понятие истины паранепротиворечивое (предложение истинно вместе со своим отрицанием), либо параполное (ни само предложение, ни его отрицание не истинны). Некоторые авторы дополнили KF аксиомой, исключающей излишки (gluts) истинностных значений, что делает KF подходящей для построения модели Крипке, поскольку Крипке исключил излишки истинностных значений.

Феферман (Feferman 1991) показал, что KF теоретико-доказательно эквивалентно теории разветвленного анализа во всех уровнях ниже ε0, предела последовательности ω, ωω, ωωω, …, или теории разветвленной истины в тех же ординалах. Этот результат показывает, что в KF могут быть восстановлены именно ε0 уровней классической иерархии Тарского в ее аксиоматизированном виде.

Таким образом, KF намного сильнее FS, не говоря уже о Т(РА). Феферман (Feferman 1991) также разработал усиление KF, которое столь же сильно, что и полный предикативный анализ, то есть разветвленный анализ или истина вплоть до ординала Γ0.

Аксиоматизация минимальной неподвижной точки

Как отмечалось выше, если KF доказывает Т[ф] для некоторого предложения ф, то ф выполняется во всех моделях Крипке с неподвижной точкой. В частности, имеется 2ℵ0 неподвижных точек, которые образуют модель внутренней теории KF. Таким образом, в перспективе KF наименьшая неподвижная точка (из которой определяется теория Крипке) не выделяется. Бёрджес (Burgess forthcoming) производит расширение KF, которое получает название μKF, стремящееся охватить минимальную неподвижную точку Крипке. KF расширяется за счет дополнительных аксиом, которые выражают положение, согласно которому внутренняя теория KF является наименьшим классом, замкнутым относительно аксиом определения истины Крипке.

Это может быть выражено как схема с одной аксиомой, которая утверждает для каждой открытой формулы ф, что:

Если ф удовлетворяет тем же аксиомам KF, что и предикат Т, тогда ф имеет силу во всех истинных предложениях.

С теоретико-доказательной точки зрения μKF значительно сильнее, чем KF. Схема с одной аксиомой, выражающая минимальность предиката истины, позволяет встроить в μKF систему ID1 одного индуктивного арифметического определения непредикативную теорию. Несмотря на интуитивную убедительность, μKF страдает той же выразительной неполнотой, что и KF: поскольку минимальная неподвижная точка Крипке образует полное множество П11, а внутренняя теория μKF остается рекурсивно счетной, имеются стандартные модели теории, в которой интерпретация предиката истины не является в действительности минимальной неподвижной точкой. В настоящее время нам недостает тщательного анализа моделей μKF.

Аксиоматизация теории Крипке со сверхоценками

KF задумывалась как аксиоматизация для семантической теории Крипке (Kripke 1975). Эта теория основана на частичной логике с сильной схемой оценок Клини. В сильной логике Клини не всякое предложение φ ∨ ¬φ является теоремой; в частности, эта дизъюнкция не будет истинной, если у ф отсутствует истинностное значение.

Следовательно, T [L ∨ ¬L] (где L — это предложение Лжеца) не является теоремой KF, а его отрицание даже является доказуемым. Кантини (Cantini 1990) предложил систему VF, вдохновленную схемой сверхоценок. В VF все классические тавтологии доказательно истинны, и T ⌈L  ∨ ¬L⌉, например, является теоремой VF. VF может быть сформулирована в LT и использует классическую логику. Коль скоро это больше не композициональная теория истины, следующее не является теоремой в VF:

∀A∀B(T[A ∨ B] ↔ (TA ∨ TB)).

Этот принцип не только не согласуется с другими аксиомами VF, он также не соответствует модели сверхоценок, поскольку содержит T⌈L⌉ ∨ T⌈¬L, что безусловно неверно, так как с точки зрения предполагаемой семантики ни предложение Лжеца, ни его отрицание не истинны: у обоих отсутствует истинностное значение.

Расширяя систему, полученную благодаря Фридману и Ширду (Friedman and Sheard 1987), Кантини показал, что VF гораздо сильнее KF: с теоретико-доказательной точки зрения VF эквивалентно теории ID1 неитерированных индуктивных определений, которая непредикативна.

Неклассические подходы к самореференции

Все теории истины, которые мы обсуждали до настоящего момента, аксиоматизировались в классической логике. Некоторые авторы также исследовали аксиоматические теории истины, основанные на неклассической логике (см., напр., Field 2008, Halbach and Horsten 2006, Leigh and Rathjen 2012).

Существует множество причин для предпочтения более слабой логики классической. Наиболее очевидная из них заключается в том, что посредством ослабления логики некоторые наборы аксиом истинности, которые были противоречивыми, становятся непротиворечивыми.

Другая распространенная причина состоит в том, что рассматриваемая аксиоматическая теория призвана схватить определенную неклассическую семантику истины, для которой использование классической логики может оказаться необоснованным.

Роль логики в аксиоматизации истины

Противоречивость Т-предложений не опирается на классическую логику. Они также противоречивы и в гораздо более слабых логиках.

Однако классическая логика играет роль в ограничении свободного использования принципов истины. Например, в классической базовой теории композициональность для импликации эквивалентна принципу полноты ∀A(T[A] ∨ T[¬A]). Если в основе предиката истины лежит классическая логика, полнота становится эквивалентной формулировке композициональной аксиомы для дизъюнкции.

Без закона исключенного третьего FS может быть сформулирована как полностью композициональная теория, пускай и не доказывающая принцип истинностной полноты (Leigh and Rathjen 2012). Кроме того, классическая логика влияет на попытки совмещения композициональной и самоприменимой аксиом истины. Если, например, из FS исключается аксиома истинностной непротиворечивости (в направлении слева направо аксиомы 2 раздела 4.3), а также закон исключенного третьего для предиката истины, возможно добавить, не вызывая противоречий, аксиому итерации истины ∀A(T[A] → T[TA]).

Полученная теория по-прежнему имеет с FS существенное сходство в том, что конструктивная версия семантики правил ревизий для всех конечных уровней дает натуральную модель теории (Leigh & Rathjen 2012). В работе Ли (Leigh 2012) показывается, что эта теория дает те же арифметические утверждения Π02, что и классическая FS. Полученное следует противопоставить KF, которая, если она сформулирована без закона исключенного третьего, остается максимально непротиворечивой в отношении своей аксиоматизации, но становится консервативным расширением арифметики Гейтинга.

Аксиоматизация теории Крипке

Теория Крипке (Kripke 1975) в ее различных видах основана на частичной логике. Чтобы получить модели теории в классической логике, расширение предиката истины в частичной модели снова используется как расширение истины в классической модели. В классической модели ложные предложения и предложения с отсутствующим истинностным значением в частичной модели будут считать неистинными. KF является прочной (sound) в отношении к этим классическим моделям и, таким образом, включает в себя две различные логики.

Первая — это «внутренняя» логика утверждений с предикатом истины, она сформулирована посредством сильной схемы оценок Клини. Вторая — «внешняя» логика, которая является полной классической логикой. Формулирование KF в классической логике имеет своим следствием то, что эта теория не может быть непротиворечиво замкнута в отношении правила введения истины:

Если ф является теоремой KF, то Т[ф].

Второе следствие классической логики — это утверждение исключенного третьего для предложения Лжеца. Ни предложение Лжеца, ни его отрицание не получают истинностное значение в теории Крипке, поэтому дизъюнкция этих двух не будет валидной.

В итоге KF, если ее рассматривать как аксиоматизацию теории Крипке, не прочна в отношении своей предполагаемой семантики. По этой причине в работах Halbach and Horsten (2006) и Horsten (2011) исследуется аксиоматизация теории Крипке с частичной логикой в качестве как внутренней, так и внешней логик. Их проект — теория, которую они назвали PKF (‘partial KF’) — может быть аксиоматизирован как двухстороннее исчисление секвенций в стиле Генцена, основанное на сильной логике Клини (см. статью о многозначной логике).

PKF образована посредством добавления к этому исчислению аксиом арифметики Пеано — Дедекинда, включая полную индукцию, композициональные правила и правила итерации истины для предиката истины, запрещенные в теории Крипке. В итоге получается теория истины, обоснованная (sound) в отношении теории Крипке.

Гальбах и Хорстен показывают, что подобная аксиоматизация теории Крипке значительно слабее, чем классическая версия KF. Результат показывает, что ограничение логики только для предложений с предикатом истины может также затруднять вывод теорем, не задействующих истину.

Добавление кондиционала

Филд (Field 2008) и другие критиковали теории, основанные на частичной логике, за отсутствие «собственно» кондиционала и бикондиционала. Различные авторы предлагали кондиционалы и бикондиционалы, которые не могут быть определены посредством ¬, ∨ и ∧. Филд (Field 2008) стремится в аксиоматической теории истины не к отличной от PKF теории, но к теории с новым кондиционалом. Феферман (Feferman 1984) также ввел бикондиционал в в теорию в неклассической логике.

В отличие от Филда и его собственной теории 1984 года, теория Фефермана (Feferman 2008) DT сформулирована в классической логике, но ее внутренняя логика также является частичной с сильным кондиционалом

Библиография

• Aczel, Peter, 1980, “Frege structures and the notion of proposition, truth and set”, The Kleene Symposium, Jon Barwise et al. (editors), Amsterdam: North-Holland, 31–59.

• Bealer, George, 1982, Quality and Concept, Oxford: Clarendon Press.

• Burgess, John P., 2014, “Friedman and the axiomatization of Kripke’s theory of truth”, in Foundational Adventures: Essays in Honor of Harvey M. Friedman, edited by Neil Tennant, London: College Publications and Templeton Press (online).

• Cantini, Andrea, 1989,“Notes on Formal Theories of Truth”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 35: 97–130.

• –––, 1990, “A Theory of Formal Truth Arithmetically Equivalent to ID1ID1”,Journal of Symbolic Logic, 55: 244–59.

• –––, 1996, Logical Frameworks for Truth and Abstraction: An Axiomatic Study, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (No. 135), Amsterdam: Elsevier.

• Cieśliński, Cezary, 2010, “Truth, Conservativeness, and Provability”, Mind, 119: 409–422.

• –––, 2007, “Deflationism, Conservativeness and Maximality”, Journal of Philosophical Logic, 36: 695–705.

• –––, 2017, The Epistemic Lightness of Truth: Deflationism and its Logic, Cambridge University.

• Enayat, Ali and Albert Visser, 2015, “New Constructions of satisfaction classes”, in Unifying the Philosophy of Truth, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto, and J. Martínez-Fernández (eds.), Dordrecht: Springer, 321–335.

• Feferman, Solomon, 1962, “Transfinite recursive progressions of axiomatic theories”, Journal of Symbolic Logic, 27: 259–316.

• –––, 1984, “Towards Useful Type-free Theories. I.” Journal of Symbolic Logic, 49: 75–111.

• –––, 1991, “Reflecting on Incompleteness”, Journal of Symbolic Logic, 56: 1–49.

• –––, 2008, “Axioms for Determinateness and Truth”, Review of Symbolic Logic, 1: 204–217.

• Field, Hartry, 1999, “Deflating the Conservativeness Argument”, Journal of Philosophy, 96: 533–40.

• –––, 2003, “A Revenge-Immune Solution to the Semantic Paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 32: 139–177.

• –––, 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press.

• Franzén, Torkel, 2004, Inexhaustibility: a non-exhaustive treatment, Association for Symbolic Logic.

• Friedman, Harvey and Michael Sheard, 1987, “An Axiomatic Approach to Self-Referential Truth”, Annals of Pure and Applied Logic, 33: 1–21.

• –––, 1988, “The Disjunction and Existence Properties for Axiomatic Systems of Truth”, Annals of Pure and Applied Logic, 40: 1–10.

• Fujimoto, Kentaro 2012, “Classes and Truths in Set Theory”, Annals of Pure and Applied Logic, 163: 1484–1523.

• Glanzberg, Michael, 2015, “Complexity and Hierarchy in Truth Predicates”, in Unifying the Philosophy of Truth, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto, and J. Martínez-Fernández (eds.), Dordrecht: Springer, 211–243.

• Halbach, Volker, 1994, “A System of Complete and Consistent Truth”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 311–27.

• –––, 2001, “Disquotational Truth and Analyticity”, Journal of Symbolic Logic, 66: 1959–1973.

• –––, 2009, “Reducing Compositional to Disquotational Truth”, Review of Symbolic Logic 2 (2009), 786–798.

• –––, 2011, Axiomatic Theories of Truth, Cambridge University, revised edition 2014.

• Halbach, Volker and Leon Horsten, 2006, “Axiomatizing Kripke’s Theory of Truth”, Journal of Symbolic Logic, 71: 677–712.

• Hájek, Petr and Pavel Pudlak, 1993, Metamathematics of First-Order Arithmetic, Berlin: Springer.

• Heck, Richard, 2001, “Truth and Disquotation”, Synthese, 142: 317–352.

• –––, 2015, “Consistency and the Theory of Truth”, Review of Symbolic Logic, 8: 424–466.

• Horsten, Leon, 1995, “The Semantical Paradoxes, the Neutrality of Truth and the Neutrality of the Minimalist Theory of Truth”, in The Many Problems of Realism (Studies in the General Philosophy of Science: Volume 3), P. Cortois (ed.), Tilburg: Tilburg University Press, 173–87.

• –––, 2011, The Tarskian Turn. Deflationism and Axiomatic Truth, MIT Press.

• Horsten, Leon and Graham E. Leigh, 2017, “Truth is Simple”, Mind, 126(501): 195–232.

• Kahle, Reinhard, 2001, “Truth in applicative theories”, Studia Logica, 68: 103–128.

• Kaye, Richard, 1991, Models of Peano Arithmetic, Oxford Logic Guides, Oxford: Oxford University Press.

• Ketland, Jeffrey, 1999, “Deflationism and Tarski’s Paradise” Mind, 108 (429): 69–94.

• Kotlarski, Henryk and Zygmunt Ratajczyk, 1990a, “Inductive Full Satisfaction Classes”, Annals of Pure and Applied Logic, 47: 199–223.

• –––, 1990b, “More on Induction in the Language with a Satisfaction Class”, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 36: 441–54.

• Kotlarski, Henryk, Stanislav Krajewski, and Alistair H. Lachlan, 1981, “Construction of Satisfaction Classes for Nonstandard Models”, Canadian Mathematical Bulletin, 24: 283–93.

• Kreisel, Georg and Azriel Lévy, 1968, “Reflection Principles and Their Use for Establishing the Complexity of Axiomatic Systems”, Zeitschrift für mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik, 14: 97–142.

• Kremer, Michael, 1988, “Kripke and the logic of truth”, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–278.

• Kripke, Saul, 1975, “Outline of a Theory of Truth”, Journal of Philosophy, 72: 690–716.

• Lachlan, Alistair H., 1981, “Full Satisfaction Classes and Recursive Saturation”, Canadian Mathematical Bulletin, 24: 295–97.

• Leigh, Graham E., 2013, “A proof-theoretic account of classical principles of truth.” Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1009–1024.

• –––, 2015, “Conservativity for Theories of Compositional Truth via Cut Elimination.” Journal of Symbolic Logic, 80(3): 845–865

• –––, 2016, “Reflecting on Truth”, IfCoLog Journal of Logics and their Applications, 3(4): 557–594.

• Leigh, Graham E., and Michael Rathjen, 2012, “The Friedman-Sheard Programme in Intuitionistic Logic”, Journal of Symbolic Logic, 77: 777–806.

• –––, 2010, “An ordinal analysis for theories of self-referential truth”, Archive for Mathematical Logic, 49: 213–247.

• Leitgeb, Hannes, 2001, “Theories of truth which have no standard models”, Studia Logica, 68: 69–87.

• Maudlin, Tim, 2004, Truth and paradox. Solving the riddles, Oxford: Clarendon Press.

• McGee, Vann, 1985, “How Truthlike Can a Predicate Be? A Negative Result,” Journal of Philosophical Logic, 14: 399–410.

• –––, 1991, Truth, Vagueness, and Paradox: An Essay on the Logic of Truth, Indianapolis and Cambridge: Hackett Publishing.

• –––, 1992, “Maximal consistent sets of instances of Tarski’s schema (T)”, Journal of Philosophical Logic, 21: 235–241.

• Myhill, John, 1950, “A system which can define its own truth”, Fundamenta Mathematicae, 37: 190–92.

• Nicolai, Carlo, 2016, “A Note on Typed Truth and Consistency Assertions”, Journal of Philosophical Logic, 45: 89–119.

• Reinhardt, William N., 1986, “Some Remarks on Extending and Interpreting Theories,with a Partial Predicate for Truth”, Journal of Philosophical Logic, 15: 219–51.

• Schindler, Thomas, 2015, “A Disquotational Theory of Truth as Strong as Z−2Z2−”, Journal of Philosophical Logic, 44: 395–410.

• Scott, Dana, 1975, “Combinators and classes”, in λλ-calculus and Computer Science Theory (Lecture Notes in Computer Science: Volume 37), C. Böhm (ed.), Berlin: Springer, 1–26.

• Shapiro, Stewart, 1998, “Proof and Truth: Through Thick and Thin”, Journal of Philosophy, 95 (10): 493–521.

• –––, 2002, “Deflation and Conservation”, Principles of truth, Volker Halbach and Leon Horsten (eds.), Frankfurt a.M.: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 103–128

• Sheard, Michael, 1994, “A Guide to truth Predicates in the Modern Era”, Journal of Symbolic Logic, 59: 1032–54.

• –––, 2001, “Weak and strong theories of truth”, Studia Logica , 68: 89–101.

• –––, 2002, “Truth, probability, and naive criteria”, Principles of truth, Volker Halbach and Leon Horsten (eds.), Frankfurt a.M.: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 169–181.

• Takeuti, Gaisi, 1987, Proof Theory (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: No. 81), Amsterdam: North-Holland, second edition.

• Tarski, Alfred, 1935, “The Concept of Truth in Formalized Languages”, in Logic, Semantics, Metamathematics, Indianapolis: Hackett 1983, 2d edition, 152–278.

• Tennant, Neil, 2002, “Deflationism and the Gödel-Phenomena”, Mind, 111: 551–582.

• Turner, Raymond, 1990,Truth and modality, London: Pitman.

• Visser, Albert, 1989, “Semantics and the liar paradox,” Handbook of Philosophical Logic, 4: 617–706.

• Yablo, Stephen, 1993, “Paradox without self-reference,” Analysis, 53: 251–252.

• Wcisło, Bartosz, and Mateusz Łełyk, 2017, “Notes on bounded induction for the compositional truth predicate”, Review of Symbolic Logic, 10: 455–480.