концепции

Поделиться статьей в социальных сетях:

в избранное

Относительное тождество

Ссылка на оригинал: Stanford Encyclopedia of Philosophy

Впервые опубликовано 22 апреля 2002 года; содержательно переработано 5 ноября 2007 года.

Часто тождеством называют отношение, в котором каждая вещь находится сама к себе и ни к какой другой вещи (напр., Zalabardo 2000). Эта характеристика явно включает логический круг («ни к какой другой вещи») и вдобавок парадоксальна, если понятие «каждая вещь» не оговаривается. Существуют и более удовлетворительные (хотя и частичные) определения, а идея о существовании отношения абсолютного тождества широко распространена. Некоторые авторы, однако, отрицают существование отношения абсолютного тождества. Тождество, по их мнению, относительно: объекты x и y могут быть одинаковыми F и в то же время не одинаковыми G (где F и G — это репрезентирующие виды вещей предикаты (яблоки, корабли, пассажиры), а не просто их свойства (цвета, формы)). В таком случае слово «одинаковые» не значит абсолютное тождество. Например, один и тот же человек может быть двумя разными пассажирами, поскольку один человек может дважды считаться пассажиром. Если под высказыванием x и y — одно и то же лицо подразумевается, что x и y — личности и (абсолютно) тождественны, а под высказыванием, что x и y — разные пассажиры, подразумевается, что x и y — пассажиры и (абсолютно) различны, то мы приходим к противоречию. Другие авторы утверждают, что абсолютное тождество все-таки существует, даже несмотря на наличие подобных случаев «относительного тождества». Согласно этой точке зрения, тождество бывает двух видов: тривиальное (или абсолютное) и нетривиальное (или относительное) (Gupta 1980). Подобные «диссидентские» взгляды бросают серьезный вызов принятой абсолютистской доктрине тождества. Во-первых, случаи вроде пассажира/человека разрешить труднее, чем может показаться (но см. ниже § 3). Во-вторых, традиционное определение тождества подвергается угрозе со стороны многочисленных постоянных загадок и проблем, некоторые из которых существуют давно, а некоторые — недавно. Концепция относительного тождества в значительной мере проясняет эти проблемы, даже если не обещает их полного разрешения.

Несколько слов об условных обозначениях. Здесь и далее курсивные строчные буквы «x», «y» и т.д. произвольно используются либо как переменные (связные или свободные), либо как индивидуальные константы или их обозначения. Смысл использования должен быть ясен из контекста. Иногда для акцентирования внимания или в знак уважения к логической традиции для индивидуальных констант используются другие выражения. Кроме того, различие между употреблением/упоминанием строго не соблюдается, но контекст, опять же, должен разрешать любую двусмысленность.

Традиционное определение тождества

[Примечание: Нижеследующий материал носит несколько формализованный характер. Можно просмотреть его сейчас и возвращаться к тексту по мере необходимости, особенно в связи с § 5. В настоящем разделе дается определение пропозициям Ref, LL, Ref', LL', NI и ND, которые упоминаются далее в статье.]

Тождество может быть формализовано на языке L классической логики первого порядка (FOL) путем выбора двуместного предиката L, переписывания его как ‘=’ и принятия универсальных замыканий следующих двух аксиом:

Ref: x = x

LL: x = y → [φ(x) → φ(y)],

где формула φ(x) аналогична формуле φ(y), за исключением наличия x во всех или некоторых местах, где у φ (y) имеются вхождения y (см. точное определение у Enderton 2000). Ref — это принцип рефлексивности тождества, а LL (закон Лейбница) — принцип тождества неразличимых. Он провозглашает, что тождественные объекты не могут отличаться ни в каком отношении. Другие характерные свойства тождества, симметрия (x = y → y = x) и транзитивность (x = y & y = z → x = z), могут быть выведены из Ref и LL. Любое отношение, которое является рефлексивным, транзитивным и симметричным, называется «отношением эквивалентности». Таким образом, тождество является отношением эквивалентности, удовлетворяющим LL. Но не все отношения эквивалентности удовлетворяют LL. Например, отношение x и y одинакового размера является отношением эквивалентности, которое не удовлетворяет LL (по отношению к семантически богатому языку, такому как английский).

Пусть E — отношение эквивалентности, определенное на множестве A. Для x в A верно, что [x] — это такое множество всех y в A, что E (x, y); это класс эквивалентности x, определенный отношением E. Отношение эквивалентности E делит множество A на взаимоисключающие классы эквивалентности, объединение которых дает A. Семейство таких классов эквивалентности называется «разбиением A, вызванным E».

Теперь пусть A — множество, и тогда определим отношение I(A,x,y) следующим образом: для x и y в A верно, что I(A,x,y), если и только если для каждого подмножества X множества A либо оба x и y суть элементы X, либо ни один из них не является элементом X. Это определение эквивалентно более привычному, в котором отношение тождества в множестве A отождествляется с множеством упорядоченных пар вида <x,x> для x в A. Наше определение окажется более полезным в дальнейшем.

Давайте пока предположим, что мы не приписываем определенной интерпретации символу тождества. Мы относимся к нему как к любому иному двухместному предикату. Пусть M — структура L, и предположим, что Ref и LL истинны в M. Назовем определяемое в M путем конъюнкции Ref и LL отношение «неразличимостью» (для определения определимости в структуре см. Enderton 2000). Есть три важных момента, которые следует отметить о связи между неразличимостью и отношением I(A,x,y). Во-первых, неразличимость необязательно должна быть отношением I(A,x,y) (где A — область структуры). Это может быть отношение эквивалентности E, обладающее свойством E(u,v), которое выполняется для некоторых элементов области u,v, хотя I(A,u,v) не выполняется. Во-вторых, нет никакого способа «внесения поправки» в эту возможность. Не существует высказывания или множества высказываний, гарантирующих совпадение неразличимости с I(A,x,y), которые можно добавить в список, начинающийся с Ref и LL. Этот факт обычно выражается так: тождество не является отношением первого порядка, или «элементарным» отношением. (Доказательство см. в работе Hodges 1983.) Однако в таком языке, как теория множеств (как его обычно интерпретируют) или логика второго порядка, в которой существует квантор «все X», позволяющий квантифицировать все подмножества данного множества, I(A,x,y) определимо.

В-третьих, если нам дана любая структура M для L, в которой Ref и LL истинны, то существует соответствующая структура QM, определяемая M «фактор-структура», в которой неразличимость совпадает с I(A,x,y). QM получается примерно следующим образом: Пусть элементы QM будут классами эквивалентности [x] для элементов x множества M, определяемых неразличимостью M. Если F — одноместный предикат, истинный в M относительно некоторого объекта x в M, то F определяется как истинный для [x] в QM, как и для многоместных предикатов и постоянных. Тогда можно показать, что любое высказывание, истинное в M, истинно в QM, и наоборот. Существование фактор-структур позволяет рассматривать символ тождества как логическую константу, интерпретируемую через I(A,x,y). На самом деле нет другого способа убедиться, что Ref и LL будут сохраняться в любой структуре. (Как говорит Куайн (2008), в конечном языке, однако, всегда будет иметься предикат, удовлетворяющий Ref и LL в любой структуре; см. Hodges 1983.) Другой вариант состоит в том, чтобы рассматривать FOL вместе с Ref и LL (FOL=) как собственную теорию, в моделях которой (структурах, для которых Ref и LL имеют значение) будет существовать такое отношение эквивалентности E, для которого, если применимо E(x,y), то x и y будут неразличимы по отношению к определенным подмножествам области. Но мы не можем вообще предположить, что каждое подмножество области является определимым. Если область бесконечна, L исчерпывает определяющие формулы задолго до того, как область исчерпывает подмножества. Тем не менее, сильная метатеорема утверждает, что любое множество формул, которое имеет модель, имеет исчислимую (конечную или счетную) модель. Это означает, что различие между неразличимостью и I(A,x,y) сведено к минимуму по крайней мере до такой степени, что для достаточно богатого языка, такого как L, касающиеся неразличимости действительные формулы (т.е. формулы, истинные в каждой модели того, что ниже называется «чистой L-теорией с тождеством»), совпадают с действительными формулами, касающимися I(A,x,y). (См. Epstein 2001 для наброска доказательства этого факта.) Это не означает, однако, что нет существенной разницы между тождеством как неразличимостью и тождеством как I(A,x,y) (см. ниже). Обе точки зрения — что FOL= является собственной теорией и что это логика — можно найти в литературе (Куайн 2008 [1970]). Последнее является более обычным представлением, и здесь оно будет считаться частью традиционного определения тождества.

Предположим, что L' — некоторый фрагмент L, содержащий подмножество предикатных символов L и символ тождества. Пусть M — структура L′, и предположим, что некоторое высказывание тождества a = b (где a и b индивидуальные константы) истинно в M и что Ref и LL истинны в M. Теперь расширим M до структуры M′ для более богатого языка — допустим, для самого L. То есть предположим, что мы добавим к L' некоторые предикаты и интерпретируем их как обычно в M, чтобы получить расширение M 'из M. Предположим, что Ref и LL истинны в M' и что интерпретация терминов a и b остается той же. Будет ли a = b истинно в M′? Зависит от обстоятельств. Если символ тождества рассматривается как логическая константа, то ответом будет «да». Но если он рассматривается как нелогический символ, то a = b может быть ложно в M'. Отношение неразличимости, определяемое символом тождества в M, может отличаться от определяемого им в M', в частности, последнее может быть более «мелкозернистым», чем первое. В этом смысле, если тождество трактуется как логическая константа, то тождество не является «языково относительным», тогда как если тождество трактуется как нелогическое понятие, то оно является «языково относительным». По этой причине мы можем сказать, что, рассматриваемое как логическая константа, тождество является «неограниченным». Например, пусть L' — фрагмент L, содержащий только символ тождества и один одноместный символ предиката; и предположим, что символ тождества рассматривается как нелогический. Тогда формула

∀x∀y∀z(x = y ∨ x = z ∨ y = z)

истинна в любой структуре для любого L', в котором Ref и LL истинны. Причина в том, что уникальный одноместный предикат L' делит область структуры на те объекты, которым он удовлетворяет, и те, которым он не удовлетворяет. Следовательно, по крайней мере в любой группе из трех объектов два будут неразличимы. С другой стороны, если символ тождества интерпретируется как I(A,x,y), эта формула ложна в любой структуре для L' с тремя или более элементами.

Если мы действительно хотим рассматривать тождество как нелогическое понятие, то феномен языковой относительности предполагает, что тождество лучше не формализовывать с помощью одного предиката тождества ‘=’. Вместо этого мы имеем следующее: мы начинаем с языка L и определяем L-теорию с тождеством как теорию, логические аксиомы которой являются аксиомами FOL, такую, что L содержит двуместный предикат EL, удовлетворяющий нелогической аксиоме Ref' и нелогической схеме аксиомы LL':

Ref′: EL(x,x)

LL′: EL(x,y) → (φ(x) → φ(y)).

Чистая L-теория тождества — это L-теория, единственная нелогическая аксиома которой — Ref’, а единственная нелогическая схема аксиомы — LL′.

Теперь феномен языковой относительности можно более точно описать следующим образом. Пусть L1 — подъязык L2, и предположим, что T1 и T2 являются соответственно чистой L1-теорией с тождеством и чистой L2-теорией с тождеством. Пусть M1 и M2 — модели T1 и T2 соответственно, имеющие одну и ту же область. Предположим, что a и b являются индивидуальными константами, имеющими одинаковую интерпретацию в M1 и M2. Пусть E1 и E2 — символы тождества L1 и L2. Может случиться так, что E1(a,b) истинно в M1, но E2(a,b) ложно в M2. Затем мы можем сказать благодаря Гичу (Geach 1967; см. § 4) и другим, что одни и те же объекты, неразличимые в соответствии с одной теорией, могут быть различимы в соответствии с другой.

Существуют еще две философски значимые особенности стандартного взгляда на тождество. Во-первых, тождество — это необходимое отношение: если a и b являются жесткими терминами (терминами, референт которых не меняется в отношении таких параметров, как время или возможный мир), тогда

NI: Если a = b истинно, то оно необходимо истинно.

Если допустить определенные модальные принципы, то из NI вытекает необходимость различения (ND).

ND: Если a ≠ b истинно, то оно необходимо истинно.

Заметим, что необходимая истинность a = b не влечет необходимое существование объектов a или b. Мы можем предположить, что денотат строгого термина а в возможном мире (или моменте времени) w необязательно должен существовать в w. Во-вторых, мы обычно не говорим вещи вроде «x то же самое, что y». Вместо этого мы говорим: «x и y — один и тот же человек» или «x и y — одна и та же книга». Стандартное представление состоит в том, что тождественная составляющая таких утверждений — это просто «x то же самое, что и y». Например, согласно стандартному представлению, «x и y — одно и то же лицо» сводится к «x и y — лица, а x — то же, что и y», где второй конъюнкт может быть формализован как в FOL=.

Парадоксы тождества

Понятие тождества, каким бы простым и устоявшимся оно ни казалось (взятое в соответствии со стандартным взглядом), порождает многочисленные философские недоразумения. Некоторые (отнюдь не все) из главных недоразумений изложены ниже. Они представлены в виде парадоксов — аргументов от по видимости неоспоримых предпосылок, которые ведут к очевидно неприемлемым выводам. Цель здесь состоит в том, чтобы прояснить, какие варианты доступны для сторонника традиционного взгляда. Часто (но не всегда) я не предлагаю критики или не выступаю в защиту определенного варианта. В следующем разделе мы увидим, что предлагает в сравнении с этим относительное тождество.

Парадокс изменения

Самая главная загадка тождества — это проблема изменения. Предположим, у нас есть две фотографии собаки, Оскара. На одной, A, Оскар — щенок, на другой, B, он уже старый и с серой мордой. И все же мы считаем, что это та же самая собака, которая, по-видимому, прямо нарушает LL. Более точно, B — это фотография старой собаки с серой мордой; A — фотография щенка без серой морды. A и B — это фотографии одной и той же собаки. Но, согласно LL, если у собаки в B есть свойство (напр., серая морда), которое отсутствует у собаки в A, то A и B не являются фотографиями одной и той же собаки. Противоречие.

Были предложены различные решения. Наиболее популярны следующие два. (1) Простые свойства, такие как наличие или отсутствие серой морды, на самом деле являются отношениями к моментам времени. У Оскара есть свойство не иметь серой морды в момент времени t и свойство иметь серую морду в (более поздний) момент t'; но несовместимости нет, так как быть таким и иметь такое отношение ко времени t и не быть таким и иметь такое отношение ко времени t' являются совместимыми условиями, и поэтому изменение не влечет за собой нарушения LL. (2) Оскар — это объект, протяженный как во времени, так и в пространстве. Щенок Оскар и старый Оскар с серой мордой являются различными темпоральными частями или стадиями целого протяженного во времени Оскара. Таким образом, фотография Оскара в щенячьем обличье вовсе не является фотографией Оскара вообще. Неподвижных фотографий Оскара быть не может.

Эти решения могут показаться правдоподобными, и действительно — большинство философов согласны с тем или другим. Наиболее распространенные возражения — что, с точки зрения временных частей, объекты не «полностью присутствуют» в любой данный момент времени и что, с точки зрения отношений-ко-времени, казалось бы, простые свойства объектов (серая морда у Оскара) являются сложными отношениями — мало что делают, кроме как подтверждают то, что должны отрицать. Однако эти возражения являются попыткой высказать сильную интуицию в отношении нашего опыта объектов, существующих во времени. И (1), и (2) рассматривают время и изменения с точки зрения «божьего ока». (1) предполагает время, скажем так, представленное «единовременно», и то же самое верно для (2). Но мы не переживаем ничего подобного. Вместо этого мы готовы увидеть всю бейсбольную игру, которую мы смотрим, но мы не готовы ждать, пока не увидим всю картину, на которую смотрим.

Парадокс Хрисиппа

Следующий парадокс — разновидность парадокса изменения — поднимает ряд новых проблем. Его придумал стоический философ Хрисипп (ок. 280 г. до н.э. — ок. 206 г. до н.э.) и недавно воскресил Майкл Бёрк (Burke 1994). Предположим, что в какой-то будущий момент времени t′ бедный Оскар потеряет хвост. Рассмотрим собственную часть Оскара в настоящий момент времени (в t), состоящую из целого Оскара минус его хвост. Назовем этот объект «Оскар-минус». Хрисипп пожелал узнать, какой из этих объектов — Оскар или Оскар-минус — уцелел в t′. Согласно традиционному взгляду на тождество, Оскар и Оскар-минус различны в момент t, а следовательно, согласно ND, они различны в точке t′. (Интуитивно Оскар и Оскар-минус различны в t', так как Оскар имеет свойство в t', которое отсутствует у Оскара-минуса, а именно свойство иметь хвост в t. Заметьте, что этот аргумент включает в себя молчаливое обращение к ND — или NI, в зависимости от того, как на это посмотреть.) Следовательно, если оба существуют, то мы имеем дело с двумя различными физическими объектами, занимающими в одно и то же время совершенно одно и то же пространство. Если предположить, что это невозможно, и предположить, как требует здравый смысл, что Оскар переживет потерю своего хвоста, следует, что Оскар-минус не выживет. Этот вывод парадоксален, поскольку кажется, что в промежутке между t и t′ с Оскаром-минусом не происходит ничего такого, что могло бы привести к его гибели.

Одно из крайних решений таково: можно отрицать, что есть такие вещи, как Оскар-минус. Неотделенные собственные части объектов не существуют (van Inwagen 1981). Другое решение — утверждать, что части объекта существенны для него (Chisholm 1973). Третий, менее экстремальный вариант состоит в утверждении того, что объекты различных видов, например, глиняная статуя и кусок глины, из которого она состоит, могут занимать одно и то же пространство в одно и то же время, но объекты одного и того же вида, например, две статуи, не могут (Wiggins 1968; для уточнения см. Oderberg 1996). Четвертый вариант — утверждать, что Оскар и Оскар-минус — это два различных протяженных во времени объекта — часть собаки, Оскар-минус, и собака, Оскар, — которые пересекаются в точке t'. Темпоральные части различных объектов могут занимать одно и то же пространство в одно и то же время.

Парадокс 101 далматинца

(Этот парадокс также известен как парадокс 1001 кошки; Geach 1980, Lewis 1993): Сосредоточимся на Оскаре и Оскаре-минус в t — прежде чем Оскар потеряет свой хвост. Является ли Оскар-минус собакой?

Когда Оскар теряет свой хвост, полученное существо, безусловно, оказывается собакой.

Почему же тогда мы должны отрицать, что Оскар-минус — собака? Выше мы видели, что одним из возможных ответов на парадокс Хрисиппа является утверждение, что Оскар-минус не существует в точке t′. Но даже если мы примем эту точку зрения, как из нее следует, что Оскар-минус, существующий так же, как и в точке t, не является собакой? Но если Оскар-минус — собака, то, согласно традиционному взгляду на тождество, есть две собаки, которые мы обычно принимаем за одну.

На самом деле для каждого волоса Оскара, которых насчитывается по крайней мере 101, есть соответствующая часть Оскара — Оскар минус волос — которая является такой же собакой, как и Оскар-минус. Тогда есть по крайней мере 101 собака (и на самом деле еще много) там, где мы видим только одну. Некоторые утверждают, что такие вещи, как собаки, «максимальны», то есть ни одна собственная часть собаки собакой не является (Burke 1993). Можно сделать такой вывод, просто чтобы избежать умножения количества собак, заполняющих пространство, предназначенное только для Оскара.

Но принцип максимальности также может представляться независимо обоснованным. Когда Оскар лает, все эти разные собаки лают в унисон? Если некая вещь — это собака, разве она не должна быть способна к самостоятельному действию? Но Оскар-минус не может действовать независимо от Оскара.

Тем не менее Дэвид Льюис (Lewis 1993) предложил объяснение причины, по которой Оскар-минус и все 101 остальные отличающиеся друг от друга (по-разному) части собаки и от Оскара на волосок, могут считаться собаками и тем более далматинцами (Оскар — далматинец). Льюис ссылается на «проблему многих» Унгера (Unger 1980). Оскар линяет непрерывно, но постепенно. Его волосинки постепенно ослабляются, а затем вычесываются, некоторые из них остаются на месте. Следовательно, в пределах границ Оскара в любой момент времени есть скопления частей далматинца, которые рано или поздно определенно станут далматинцами; некоторые за день, некоторые за секунду или долю секунды.

Кажется произвольным провозглашать далматинцем часть далматинца, которая находится в доли секунды от того, чтобы определенно стать далматинцем, отрицая при этом, что она за день до этого была далматинцем. Как говорит Льюис, мы должны либо отрицать, что «многие» — далматинцы, либо отрицать, что далматинцев много. Льюис одобряет предложения обоих типов, но, по-видимому, предпочитает последнее, согласно которому далматинцев не много, а, скорее, их «почти один».

В любом случае, стандартный взгляд на тождество похоже, не в состоянии самостоятельно справиться с парадоксом 101 далматинца. Он требует, чтобы мы либо отрицали, что Оскар без волоска — собака и далматинец, либо утверждали, что существует множество далматинцев и все из них, кроме одного, неспособны к самостоятельному действию, а также все они лают в унисон не громче, чем Оскар лает в одиночку.

Парадокс конституирования

Предположим, что в первый день Джонс покупает кусок глины c и лепит из него статую s1. На второй день Джонс разрушает s1, но не c, делая шар из s1 и создавая новую статую s2 из c. На третий день Джонс удаляет часть s2, выбрасывает ее и заменяет новым куском глины, тем самым разрушая c и заменяя его новым куском глины, c'. Предположим, s2 переживает это изменение. Теперь вопрос: какова связь между кусками глины и статуями, которые они «конституируют»? Ответ прост: тождество.

В первый день c тождественен s1, а во второй день c тождественен s2. На третий день s2 тождественен c'. Но этот вывод прямо противоречит NI. Если в первый день c (тождественен) s1, то из этого следует, учитывая NI, что во второй день s1 является s2 (поскольку c тождественен s2 во второй день) и, следовательно, что s1 существует во второй день, а это не так.

Аналогично, в третий день c является c' (поскольку s2 тождественен обоим), и поэтому c существует в третий день, а это не так. Следовательно, мы можем заключить, что либо конституирование не является тождеством, либо NI ложен.

Ни один из выводов не является полностью желательным. Как только мы примем традиционный взгляд за вычетом NI, последний принцип непосредственно вытекает из предположения, что индивидуальные переменные и константы в квантифицированной модальной логике должны обрабатываться точно так же, как и в логике первого порядка. И если конституирование — это не тождество, а статуи, как и куски глины, все же являются физическими объектами (какими еще они могут быть?), то мы снова вынуждены утверждать, что различные физические объекты могут занимать (в точности) одно и то же пространство в одно и то же время. Статуя s1 и кусок глины c занимают одно и то же место в первый день. Даже если это считается возможным (Wiggins 1980), это непростительно. Таким образом, традиционное объяснение prima facie несовместимо с естественной идеей о том, что конституирование есть тождество.

Философы не оспаривали это путем прямого обращения к NI или ND. Обычно (напр., Gibbard 1975, Noonan 1993, Johnston 1992), аргументы о том, что c и s1 не тождественны, звучат следующим образом: c существует до существования s1, а следовательно, они не тождественны. Опять же, s1 обладает свойством быть таким, что он будет разрушен, будучи слепленным в шар, но c не обладает этим свойством (c будет слеплен в шар, но он не будет тем самым разрушен). Так что опять же эти двое не тождественны. Кроме того, несмотря на то, что будет в будущем, c может быть слеплен в шар и не уничтожен.

Поскольку это не верно для s1, двое не тождественны. Однако при тщательном разборе можно увидеть, что каждый из этих аргументов опирается на NI или ND, если принять традиционную трактовку модальных или темпоральных предикатов. Это последнее положение предлагает интересный выход для того, кто придерживается стандартного взгляда на тождество, но также считает, что конституирование — это тождество (см. ниже).

Некоторые философы считают важным или по крайней мере целесообразным сформулировать этот вопрос через случай статуи s и куска глины c, которые совпадают на протяжении всего их существования. Мы создаем и c, и s, соединяя вместе два других куска глины, или делаем что-то еще, что гарантирует полное совпадение.

Кажется, что полное совпадение должно придать правдоподобие утверждению, что по крайней мере в таком случае конституирование является тождеством (а следовательно, NI является ложным — Gibbard 1975). Здесь мы можем прийти к психологическому, однако не логическому правдоподобию.

Те же самые аргументы против тезиса о том, что конституирование — это тождество, применимы и в данном случае. Например, можно восхищаться эстетическими чертами s даже спустя долгое время после того, как он перестает существовать, но это необязательно относится к c. И у s есть свойство, которого нет у c, — разрушаться, если сжать его в шар. Те, кто защищает тезис о том, что конституирование есть тождество, должны защищать его в общем случае частичного совпадения; а те, кто атакует тезис, делают это с аргументами, которые одинаково хорошо работают как против полного, так и против частичного совпадения. Предположение, что s и c полностью совпадают, поэтому несущественно.

Помощь теории темпоральных частей оказывается весьма ограниченной. Утверждение, что c тождественно s1 в первый день, но тождественно s2 во второй день, может быть истолковано как означающее, что c — это протяженный во времени объект, чья стадия первого дня тождественна s1 и чья стадия второго дня тождественна s2.

Поскольку эти две стадии не тождественны, NI на них не распространяется. Аналогично мы можем рассматривать s2 как протяженный во времени объект, который перекрывает c в день 2 и c' в день 3. Но если теоретики темпоральных частей не готовы защищать доктрину модально протяженных объектов — объектов, протяженных через возможные миры, аналогичных объектам, протяженным во времени, — проблема остается. s2, возможно, был сделан из другого куска глины, как это фактически имеет место в третий день. То есть логически возможно, что s2 не совпадет со стадией второго дня c. Но логически невозможно, чтобы стадия с второго дня не совпадала сама с собой.

Льюис признает эту трудность и предлагает разобраться с ней, обратившись к своей теории двойников (Lewis 1971, 1986 и 1993). Различные понятия, например, статуя и кусок глины, связаны с различными отношениями двойничества и, следовательно, с различными критериями трансмирового тождества. В результате модальные предикаты становятся «абеляровыми» (Noonan 1991, 1993).

Свойство, определяемое модальным предикатом, может быть затронуто субъектом предложения, содержащего предикат. Субъект обозначает объект, принадлежащий к тому или иному виду или роду. Но различные виды или сорта могут определять различные свойства (или различные отношения двойничества). В частности, свойства, определяемые предикатом «мог бы не совпасть с c2» (где c2 обозначает стадию второго дня c) в следующих предложениях,

(a) s2 мог бы не совпасть с c2,

(b) c2 мог бы не совпасть с c2,

различны, и, следовательно, (a) и (b) совместимы, даже если предположить, что s2 и c2 тождественны. (Следует подчеркнуть, что теория двойников не является единственным средством получения абеляровых предикатов. См. Noonan 1991.)

В результате, по-видимому, сторонник традиционного взгляда на тождество должен утверждать, что конституирование не является тождеством либо что модальные предикаты являются абеляровыми. Последний вариант может оказаться плодотворным, поскольку, судя по всему, он может применяться за рамками вопроса о конституировании.

Парадокс корабля Тесея

(См. Плутарх, «Жизнеописание Тесея».) Представьте себе деревянный корабль, восстановленный путем замены всех его досок и балок (и других частей) на новые. Плутарх сообщает, что «даже философы, рассуждая об увеличении размеров существующего в природе, спорили, приводя в пример этот корабль, — одни говорили, что он остается тем же, чем был раньше, другие — что его более не существует» (ср. Rea 1995).

Гоббс усложнил задачу, добавив, что старые части собираются заново, чтобы был создан еще один корабль, точно такой же, как изначальный. Как восстановленный корабль, так и вновь собранный, по-видимому, в равной степени квалифицируются как изначальный. В одном случае изначальный корабль «пересобирается», в другом — собирается заново. Тем не менее два полученных корабля явно не являются одним и тем же кораблем.

Некоторые предположили, что в подобном случае наши обычные «критерии тождества» нас подводят. Процесс демонтажа и пересборки обычно сохраняет тождество, как и процесс замены деталей (в противном случае ни один солдат не мог бы получить только одну винтовку, а магазины кузовов функционировали бы как производители автомобилей). Но в этом случае оба процесса дают противоречивые результаты.

Мы получаем два корабля, один из которых является тем же кораблем, что и изначальный, по одному набору критериев, а другой является изначальным кораблем по другому набору критериев. Аналогичная коллизия критериев наблюдается и в случае тождества личности. Сценарии дублирования мозга (Wiggins 1967, Parfit 1984) предполагают, что логически возможно, чтобы один человек разделился на двух, каждый из которых имеет равные права на то, чтобы считаться изначальным человеком.

Мы считаем само собой разумеющимся, что дублирование мозга сохранит психологические свойства, обычно относящиеся к реидентификации человека, и мы также считаем само собой разумеющимся, что исходный мозг продолжает воплощать эти свойства даже после того, как он дублируется. В этом смысле существует конфликт критериев. Такой случай «расщепления» дает нам два различных воплощения этих свойств.

Возможно, нам следует заключить, что тождество — это не главное. Вместо этого имеет значение какое-то другое отношение, но такое, которое так же легко, как и тождество, объясняет такие факты, как то, что владелец первоначального судна будет иметь право как на восстановленную версию, так и на вновь собранную. Что касается тождества личности, то Парфит (Parfit 1984) подробно развивает следующий ответ.

Соответствующей реакцией было бы утверждение, что если оба конкурента имеют равные права на то, чтобы быть изначальным, то ни один из них не является изначальным.

Если, однако, один конкурент уступает, то другой выигрывает и считается изначальным. Представляется, что с этой точки зрения определенные контингентные обстоятельства могут устанавливать или фальсифицировать утверждения о тождестве. Это противоречит NI.

Предположим, что w — возможный мир, в котором ни один корабль не собирается из выброшенных частей пересобранного корабля. Значит, в этом мире пересобранный корабль — изначальный. По NI, пересобранный корабль и изначальный тождественны в реальном мире, вопреки доктрине «лучшего претендента» (которая говорит, что ни реконструированный, ни вновь собранный корабль не являются изначальным). Есть, однако, более сложные теории «лучшего претендента», которые не уязвимы для этого возражения (Nozick 1982).

Некоторые авторы убеждены, что реконструированный корабль лучше всего претендует на роль изначального, поскольку он демонстрирует большую степень пространственно-временной преемственности с ним (Wiggins 1967). Но неясно, почему идея о том, что тождество сохраняется пространственно-временной непрерывностью, должна иметь приоритет над идеей сохранения тождества в процессе демонтажа и повторной сборки.

Кроме того, некоторые версии парадокса корабля Тесея не предполагают, что один из кораблей, претендующих на роль изначального, обладает большей степенью пространственно-временной непрерывности с изначальным, чем другой (см. ниже). Другие авторы в равной степени убеждены, что тождество не сохраняется при полной замене частей. Эту точку зрения часто предлагают вслепую, как удар ножом в темноте, но на самом деле есть интересный аргумент в ее пользу. Крипке (Kripke 1980) утверждает, что стол, сделанный из определенного куска дерева, не мог быть сделан из (совершенно) другого куска дерева.

Ход его рассуждений следующий. Предположим, что в реальном мире стол T сделан из куска дерева H; и предположим, что существует возможный мир w, в котором этот самый стол T сделан из другого куска дерева H'. Затем, если предположить, что H и H' совершенно не связаны (напр., они не перекрываются), так что создание стола из одного каким-то образом не зависит от создания стола из другого, существует другой возможный мир w', в котором T, как и в реальном мире, сделан из H, а другой стол T', точно такой же, как T, сделан из H'. Поскольку T и T 'не тождественны в w', отсюда следует, что стол, составленный из H' в w, не является T. Заметим, однако, что аргумент предполагает, что стол, сделанный из H' в w', является тем же самым столом, что и стол, сделанный из H' в w.

Доводы Крипке могут быть применены и к нашему случаю (Крипке и другие могут оспорить это утверждение; см. ниже). Пусть w — возможный мир, точно такой же, как реальный мир, в котором O, исходный корабль, изготовлен точно так же, как и в реальном мире. Однако в w одновременно построен другой корабль, S', точно такой же, как O, из точно таких же частей, из которых S, реконструированный корабль, построен в реальном мире. Поскольку S' и O — явно разные корабли в w, отсюда следует по ND, что O и S не являются одним и тем же кораблем в реальном мире. Обратите внимание еще раз, что аргумент предполагает, что S и S' — один и тот же корабль, но отрицать это кажется натяжкой. Тем не менее некоторые так и поступили. Картер (Carter 1987) утверждает (по сути), что S и S' не тождественны, но его аргумент просто предполагает, что O и S — один и тот же корабль. Кроме того, можно рассмотреть аргумент Крипке в качестве демонстрации того, что, хотя в реальном мире S тот же корабль, что и O, S (то есть S′) не тот же корабль, что и O в w. Но это совсем не подходящий вариант для того, кто придерживается традиционного взгляда на тождество, а значит, придерживается ND. Защищая эту точку зрения, однако, Галуа (Gallois 1986, 1988) предлагает более слабое понятие жесткой десигнации и соответствующую ослабленную формулировку ND. (См. Carter 1987, где излагается критика предложений Галуа. См. также Chandler 1975 как предтечу аргумента Галуа.)

Если мы допустим, что O и S не могут быть одним и тем же кораблем, то, по-видимому, у нас есть решение парадокса корабля Тесея. По аргументу Крипке, только пересобранный корабль может претендовать на то, чтобы быть изначальным кораблем O. Но успех недолговечен, поскольку мы тут же сталкиваемся с еще одним парадоксом.

Предположим, что S происходит из O путем замены один раз в день одной из частей O. По-видимому, существует консенсус, согласно которому замена только одной части вещи новой, точно такой же, частью сохраняет тождество вещи. Если это так, то по транзитивности тождества O и S должны быть одним и тем же кораблем. Отсюда следует, что либо аргумент Крипке неверен, либо замена даже одной части (или небольшой части) не сохраняет тождества (точка зрения, известная как «мереологический эссенциализм»; Chisholm 1973).

Как указано, Крипке отрицает, что его аргумент (о необходимом характере происхождения вещи) применим к случаю изменения во времени:

Поэтому вопрос, может ли O превратиться в S, якобы «неуместен». Но Крипке никак не обосновывает свое заявление, и если случаи транстемпорального и трансмирового тождества значительно отличаются в соответствующих отношениях — отношениях, соответствующих аргументу Крипке о необходимом характере происхождения, — неясно тогда, каковы они. (Но см. обсуждение у Forbes 1985 и Lewis 1986.) Суть аргумента выше в том, что O и S не могут быть тем же кораблем, потому что есть возможный мир, в котором они отличаются. Если аргумент неверен, то, несомненно, потому, что есть убедительные основания, которые показывают, что S и S' различаются. Тем не менее такие основания явно не «неуместны». Можно заподозрить, что в применении к транстемпоральному случаю рассуждения Крипке приведут к аргументу в пользу мереологического эссенциализма. Действительно, трансмировой аналог такого аргумента был опробован (Chandler 1976, хотя Чендлер рассматривает свой аргумент несколько иначе). По своей сути этот аргумент не отличается от «парадокса», описанного в предыдущем абзаце (который вполне можно рассматривать как аргумент в пользу мереологического эссенциализма). Последующие комментаторы, например, Салмон (Salmon 1979) и Чендлер (Chandler 1975, 1976), похоже, не воспринимают всерьез предостережение Крипке о неуместности.

Во всяком случае, между этими двумя вопросами существует тесная связь (проблема корабля Тесея и вопрос о необходимом характере происхождения). Это можно увидеть (хотя на данный момент уже может быть ясно, что к чему), если рассмотреть видоизмененную версию парадокса корабля Тесея. Предположим, что вместе с O строится и другой корабль О', точно такой же, как О. Предположим, что O' никогда не отплывает, а вместо этого используется как своего рода графическое руководство по ремонту и хранилище деталей для O. Со временем доски удаляются из O' и используются для замены соответствующих досок O. В результате получается корабль S, сделанный полностью из досок O' и стоящий (в конце), можно предположить, именно на том месте, где O' всегда стоял. Есть ли у O и O' равные права на то, чтобы быть S? И можем ли мы тогда объявить, что ни тот, ни другой не являются S? Не в соответствии с линией рассуждения Крипке. Всем в мире кажется, будто процесс «пересборки» O на самом деле является всего лишь сложным средством демонтажа и повторной сборки O'. И если O и S — это один и тот же корабль, то, поскольку O и O' отличны, O и S не могут быть одним и тем же кораблем.

Этот аргумент уязвим для следующих двух важных критических замечаний.

Во-первых, он противоречит принципу здравого смысла, согласно которому

(1) материал объекта может быть полностью починен или заменен без того, чтобы было затронуто его тождество (Salmon 1979);

и во-вторых, как уже упоминалось, он противоречит дополнительному принципу здравого смысла, согласно которому (2) замена одной части или небольшой части не затрагивает тождество.

Данные возражения могут показаться достаточными основаниями для отклонения аргумента Крипке и, возможно, ограничения применения первоначального аргумента Крипке о необходимом характере происхождения (Noonan 1983). Существует, однако, довольно поразительная проблема, связанная с (2), и неясно, должен ли конфликт между (1) и аргументом Крипке быть разрешен в пользу первого.

Проблема с (2) заключается в следующем. Возьмем простые предметы, скажем, обувь или, лучше, сандалии. Предположим, что A и B — это две совершенно одинаковые сандалии, одна из которых (A) совершенно новая, а другая (B) изношена. Каждая состоит из верхнего ремешка и подошвы, не более того. Если изношенный ремешок B заменен новым ремешком A, из (2) следует, что полученная сандалия B «починена». В самом деле, если просто поменять местами части А и B, то из (2) следует, что сандалия с новыми частями, A', есть В, а сандалия со старыми частями, В', есть А. Отсюда следует по ND, что А и А', а также В и B', различны. Это, конечно, неправильный результат. Трудно избавиться от мысли о том, что А и А' — это одна и та же сандалия, и процесс обмена частями A и B, по-видимому, сводится не более чем к разборке и пересборке каждой из них. Этот пример в принципе ничем не отличается от более сложных трансмировых случаев, рассмотренных Чизолмом (Chisholm 1967), Чендлером (Chandler 1976), Салмоном (Salmon 1979) или Гуптой (Gupta 1980). (Тот, кто утверждает, что А и А отличаются тем, что A′ возникает после A, не смогут далеко продвинуться. Нельзя предполагать, что A сохранится после того, как возникнет А'. Мы не остаемся с двумя новыми сандалиями и одной старой. Почему же тогда A не может быть собой и появиться в более позднее время?)

Парадокс Чёрча

Следующий парадокс — возможно, предельный парадокс тождества — вытекает из аргумента Чёрча (Church 1982). Предположим, Пьер думает, что Лондон и Лондрес —это разные города, но, конечно, он не считает, что Лондон отличается от Лондона или что Лондрес отличается от Лондреса. Предполагая, что имена собственные лишены фрегеанских смыслов, мы можем применить LL, чтобы получить результат, что Лондон и Лондрес различны. Здесь мы приводим аргумент, что при традиционном взгляде на тождество достаточно просто считать, что x и y различны, чтобы сделать их таковыми. Есть, конечно, несколько способов обойти этот вывод, не отказываясь от стандартного объяснения тождества. Сам Чёрч рассматривал этот аргумент (свою его версию) как демонстрацию неадекватности расселлианской интенсиональной логики, в которой переменные и константы действуют так же, как и в экстенсиональной логике, то есть не имеют смыслов. (Иную реакцию см. в Salmon 1986). Но имеются веские доводы против мнения, что имена (или переменные) имеют смыслы (Kripke 1980). В свете этих доводов аргумент Чёрча можно рассматривать как еще один парадокс тождества.

Общая форма аргументации Чёрча использовалась другими авторами, чтобы прийти к дальнейшим загадочным выводам. Например, его использовали, чтобы показать, что не может быть такой вещи, как смутное или «неопределенное» тождество (Evans 1978; и см. обсуждение у Parsons 2000). Ведь x не является смутно тождественным x; следовательно, если x предполагается смутно тождественным y, то, по LL, x и y (абсолютно) различны. Как бы то ни было, аргумент Эванса показывает в лучшем случае, что смутно тождественные объекты должны быть абсолютно различными, а не что не существует такой вещи, как смутное тождество. Но некоторые пытались изменить аргумент, чтобы получить заключение Эванса (Parsons 2000). В любом случае, полезно увидеть связь между аргументами Эванса и Чёрча. Если, например, «смутно тождественный» понимать как «считающийся тождественным», то два аргумента сливаются друг с другом. Аргументация Чёрча, по-видимому, приводит в конечном счете к крайней антиреалистической позиции, согласно которой любое воспринимаемое различие между объектами является реальным различием. Если кто-то решит не пытаться вырваться из когтей LL с помощью какой-то хитроумной уловки — например, запрещая прямую квантификацию, как в случае с абеляровыми предикатами, — он быстро приходит к абсурдному выводу, что никакое утверждение вида x = y, где термины различны или являются просто различными токенами одного и того же типа, не может быть истинным. И все же, возможно, вина лежит не на нас самих, а на LL.

Относительное тождество

Суть относительного тождества — которая объединяет его различные вариации — как и в случае пассажира/человека такова: может быть (и случается) так, что x и y те же F и (в то же время) x и y не те же G. Теперь обычно предполагается, что если x и y суть те же F (G и т.п.), то отсюда следует, что x и y суть F (G и т.п.). В таком случае схема выше тривиально удовлетворяется случаем, в которых x и y один и тот же человек, но x (y) вообще не пассажир. Но давайте решим использовать фразу «x и y разные G» в значении «x и y суть G и x и y суть не те же G». Тогда нетривиальное основное утверждение об относительном тождестве состоит в том, что следующее вполне может быть истинным:

RI: x и y суть те же F, но x и y суть разные G.

RI — очень интересный тезис. Он, кажется, позволяет восхитительно просто разрешить (по крайней мере некоторые) парадоксы тождества. Мы, по-видимому, можем утверждать, что молодой Оскар и старый Оскар — это одна и та же собака, но тем не менее различные «временные» объекты; что Оскар и Оскар-минус — это одна и та же собака, но разные части собаки; что один и тот же кусок глины может быть теперь (тождественен) одной статуе(й), а теперь — другой; что Лондон и Лондрес — это один и тот же город, но разные «объекты мысли» и т.д. Однако сомнения развиваются быстро. Либо отношение одна и та же собака удовлетворяет LL, либо нет. Если это не так, то непонятно, почему речь идет об отношении тождества. Но если это удовлетворяет LL, то с учетом того, что Оскар и Оскар-минус — разные части собаки, отсюда следует, что Оскар-минус — не та же самая часть собаки, что Оскар-минус. Кроме того, если предположить, что отношение одна и та же собака является рефлексивным, то из предположения, что Оскар-минус и Оскар-минус — это одна и та же собака (и что LL действует), следует, что Оскар и Оскар-минус действительно являются одной и той же частью собаки, которой на самом деле они не являются.

Тогда может показаться, что RI попросту некогерентно. Эти аргументы, однако, чересчур торопятся с выводами. Если их проанализировать, то ясным оказывается только то, что следующие три условия образуют противоречивую триаду:

• (1) RI истинно (для некоторых фиксированных предикатов F и G).

• (2) Отношения тождества — это отношения эквивалентности.

• (3) Отношение x и y суть те же F в (1) удовлетворяет LL.

Давайте предположим, что отношение x и y суть те же G, фигурирующее в (1), является рефлексивным и что x — это G. Тогда x — это тот же G, что и x. Но согласно (1), x и y не являются одинаковыми G; следовательно, согласно (3), это не тот случай, когда x и y являются одинаковыми F; однако (1) утверждает обратное.

Большинство теоретиков относительного тождества утверждают, что, хотя отношения тождества являются отношениями эквивалентности, они в целом не удовлетворяют LL. Однако, согласно по крайней мере одному анализу случая пассажира/человека (и других), отношение того же человека удовлетворяет LL, но отношение того же пассажира не является сразу же эквивалентностью (Gupta 1980).

Однако должно быть ясно, что эта точка зрения несовместима с принципом тождества неразличимых: если x и y — разные пассажиры, то, по принципу, должно существовать какое-то свойство x, которым y не обладает.

Следовательно, если отношение того же человека удовлетворяет LL, отсюда следует, что x и y — не тот же человек. В остальном мы будем считать, что отношения тождественности являются отношениями эквивалентности.

Учитывая это допущение (и предполагая, что лежащая в основе пропозициональная логика является классической — ср. Parsons 2000), RI и LL несовместимы в том смысле, что в рамках одного фиксированного языка, для которого определяется LL, RI и LL несовместимы.

Однако сторонник относительного тождества не может просто отвергнуть любую форму LL. Существуют истинные и неустранимые примеры LL: если x и y —одна и та же собака, то, конечно, если x — далматинец, то и y — тоже. Проблема заключается в формулировании и мотивировке ограниченных форм LL, которые тем не менее достаточно сильны, чтобы нести бремя тождественности. Небольшая систематическая работа была проделана в этом направлении, хотя она и имеет решающее значение для проекта относительного тождества. (См. Deutsch 1997, где обсуждается данный вопрос.) Существуют, однако, отношения эквивалентности, которые удовлетворяют ограниченным формам LL. Их иногда называют «отношениями конгруэнтности», и они часто встречаются в математике. Например, скажем, что целые числа n и m конгруэнтны, если их разность n − m кратна 3. Это отношение сохраняет умножение и сложение, но не каждое свойство. Таким образом, числа 2 и 11 конгруэнтны, но 2 четно, а 11 нет. Существуют также нематематические конгруэнтности. Например, отношение x и y движутся с одинаковой скоростью сохраняет одни свойства, а не другие. Если объекты x и y движутся с одинаковой скоростью, а x движется быстрее z, то же самое верно и для y. Такие отношения подобия удовлетворяют ограниченным формам LL. Фактически любое отношение эквивалентности удовлетворяет некоторой минимальной форме LL (см. ниже).

Существуют сильные и слабые версии RI. Слабая версия говорит, что RI иногда (фактически часто) истинно, но также и то, что существуют такие предикаты F, что если x и y — одно и то же F, то для любого отношения эквивалентности E (независимо от того, является ли оно отношением тождества или нет) верно E(x,y). Это последнее условие подразумевает, что отношение x и y суть одинаковые F удовлетворяет LL. Отношение P, определенное так, что P(x,y) верно, если и только если H(x) и H (y), где H — некоторый предикат, является отношением эквивалентности. Следовательно, если H верно для x, но не для y, то существует отношение эквивалентности (а именно P(x,y)), которое не верно для x и y. Если мы добавим, что в этом случае «x и y суть одно и то же F» следует интерпретировать в терминах отношения I(A,x,y), то слабая версия RI говорит, что существует такая вещь, как относительное тождество, и такая вещь, как абсолютное тождество. Сильная версия, напротив, утверждает, что есть (много) истинных случаев RI, но нет такой вещи, как абсолютное тождество. Трудно сказать, что можно сделать с последним утверждением. В буквальном смысле это ложь. Понятие неограниченного тождества (в смысле «неограниченности» из § 1) явно когерентно. Мы вернемся к этому вопросу в § 5.

Парадоксы тождества, изложенные в § 2 (и многие другие, а также их варианты), оказывают значительное давление на традиционную трактовку. Привлекательной альтернативой является теория тождества, допускающая случаи RI (см. ниже § 4). Но есть определенный пример RI, часто обсуждаемый в литературе, который создал плохую репутацию относительному тождеству.

Примером может служить случай пассажира/человека. Существительное «пассажир» происходит от соответствующего реляционного выражения «пассажир в (на)…».

Пассажир — это тот, кто является пассажиром в каком-то транспортном средстве (на каком-то рейсе и т.п.). Точно так же отец — это человек, который является отцом кого-то. Этот способ определения вида вещей из отношения между вещами совершенно законен и в то же время совершенно неограничен. Для любого отношения R мы можем определить «некий R», чтобы применить к любому x, находящемуся в R по отношению к y. Например, мы можем определить «шмяблоко» как яблоко в бочке. Все это прекрасно. Но мы не можем сделать вывод из такого определения, что одно и то же яблоко может быть двумя разными шмяблоками. Из того факта, что кто-то является отцом двух разных детей, мы не делаем вывод, что он является двумя разными отцами. Тот факт, что авиакомпании предпочитают считать пассажиров, а не отслеживать людей, — это их дело, а не логики.

Однако, когда R является отношением эквивалентности, мы имеем право на такой вывод. Рассмотрим пресловутый случай «однофамильцев» (surmen) (Geach 1967). Пара людей — это «тот же однофамилец», если у них одна и та же фамилия; а однофамилец — это человек, который находится к кому-то в этом отношений. Итак, теперь выясняется, что два разных человека могут быть тем же однофамильцем, поскольку два разных человека могут иметь одну и ту же фамилию. Как настаивает Гич (Geach 1967; также 1973), однофамильцы определены как люди, поэтому они не являются просто классами людей.

Следовательно, мы, по-видимому, имеем дело с RI, и очевидно, что любое отношение подобия (напр., x и y имеют одинаковую форму) приведет к аналогичному случаю. Однако такие примеры RI не очень интересны. Всем известно, что, когда «F» является адъективным, разные G могут быть одинаковыми F. Разные люди могут иметь одну и ту же фамилию, разные предметы — один и тот же цвет и т. д. Превращение адъективного отношения подобия в субстантивное отношение, имеющее форму утверждения тождественности, приводит к утверждению тождественности лишь номинально.

Скажем несколько слов о точке зрения тех, кто согласен со слабой версией RI. Эта точка зрения (назовем ее «слабым взглядом») состоит в том, что обычные отношения тождества, касающиеся (в основном) мира контингентности и изменения, являются отношениями эквивалентности, отвечающими ограниченным формам LL. Точный характер ограничения зависит от самого отношения эквивалентности, хотя в нем есть элемент общности.

Виды свойств, сохраняемые отношением одной и той же собаки, интуитивно являются теми же видами свойств, которые сохраняются отношением одной и то же кошки.

С логической точки зрения можно сказать, что любое отношение тождественности, как и любое отношение эквивалентности, сохраняет определенное минимальное множество свойств. Так, предположим, что E — некоторое отношение эквивалентности. Пусть S — множество, содержащее все формулы вида E(x,y) и замкнутое при образовании отрицаний, конъюнкций и квантификации. Тогда E сохраняет любое свойство, выраженное формулой в S. Кроме того, с этой точки зрения, хотя абсолютно различные объекты могут быть одинаковыми F, абсолютно тождественные объекты вообще не могут отличаться. Любой экземпляр RI подразумевает, что х и y — абсолютно различны.

Пересмотр парадоксов

Теперь вернемся к описанным в § 2 парадоксам тождества и рассмотрим с точки зрения слабого взгляда на относительное тождество. Данный взгляд допускает, что абсолютно разные объекты могут быть одинаковыми F, но отрицает, что абсолютно тождественные объекты могут быть разными G. Это означает, что если x и y являются относительно разными объектами, то x и y абсолютно различны, и поэтому только пары абсолютно различных объектов могут удовлетворять RI. Если x и y абсолютно различны, мы будем говорить, что x и y — отдельные «логические объекты»; и точно так же, если x и y — абсолютно тождественные объекты, то x и y — тождественные логические объекты.

Термин «логический объект» не означает какой-то новый и особый вид вещи. Абсолютно разные яблоки, например, являются различными логическими объектами.

Ниже приводится самый простой набросок релятивистских решений парадоксов тождества, обсуждаемых в § 2. Не предпринимается никаких попыток полностью обосновать какое-либо предлагаемое решение, хотя в ходе § 6 появляется хоть какое-то обоснование. Следует иметь в виду, что некоторые из сильных сторон релятивистских решений вытекают из слабых сторон абсолютистских альтернатив (некоторые из них обсуждаются в § 2).

Парадокс изменения

Молодой Оскар и старый Оскар — одна и та же собака, но абсолютно разные вещи, то есть разные логические объекты. Материальные условия, делающие молодого Оскара и старого Оскара одной и той же собакой (и одним и тем же далматинцем), в точности совпадают с материальными условиями, при которых молодой Оскар и старый Оскар квалифицировались бы как темпоральные части одной и той же собаки. Единственное различие — логическое. Отношение тождества между молодым Оскаром и старым Оскаром может быть формализовано в экстенсиональной логике (Deutsch 1997), но теория темпоральных частей требует модального/темпорального аппарата. Молодой Оскар полностью присутствует во время своей юности и обладает простым, не-относительным свойством не иметь серой морды.

Парадокс Хрисиппа

Оскар и Оскар-минус оба переживают потерю хвоста Оскара. И в t, и в t' Оскар и Оскар-минус — это одна и та же собака, но в t Оскар и Оскар-минус — это отдельные логические объекты. Отсюда следует (по ND), что Оскар и Оскар-минус являются различными логическими объектами даже в t'. Следовательно, мы должны допустить, что различные логические объекты могут занимать одно и то же пространство в одно и то же время. Однако это не проблема. Ибо хотя Оскар и Оскар-минус являются различными логическими объектами в t', они физически совпадают.

Парадокс 101 далматинца

Релятивист отрицает, что собаки «максимальны». Неправда, что ни одна собственная часть собаки не является собакой. Все 101 (и более) собственные части Оскара, отличающиеся от него и друг от друга волосом — это собаки. На самом деле многие (хотя, конечно, не все) сохраняющие тождество изменения, которые может претерпеть Оскар, непосредственно соответствуют соответствующим частям (неизменного) Оскара. Но нет проблемы в том, чтобы лаять в унисон, и нет проблемы в том, чтобы действовать независимо. Каждый 101 далматинец — это одна и та же собака, несмотря на их различия, точно так же, как молодой Оскар и старый Оскар — одна и та же собака. Релятивист отрицает, что собак много, а не отрицает, что многие являются собаками (Lewis 1993).

Парадокс конституирования

Конституция — это тождество, абсолютное тождество. Отношение между куском глины c и статуей s1 в первый день — это отношение абсолютного тождества. Итак, мы имеем, что c = s1 в первый день и по той же причине c = s2 во второй день. Кроме того, поскольку s1 и s2 — разные статуи, отсюда следует (с точки зрения слабого взгляда), что s1 ≠ s2. Кроме того, кусок глины с, составляющий s1 на первый день, является (относительно) тем же самым куском глины, что и кусок глины, составляющий s2 во второй день. (Тождество относительно, потому что у нас есть разные объекты — две статуи, которые являются одним и тем же куском глины.) Отсюда следует, что никакое имя куска глины с не может быть жестким десигнатором в традиционном смысле. То есть ни одно имя с не денотирует абсолютно одно и то же в первый и во второй день. Ибо в первый день имя куска глины c будет денотировать s1, а во второй день — s2, причем s1 и s2 абсолютно различны. Тем не менее имя куска глины может быть относительно жестким: оно может обозначать каждый раз один и тот же кусок глины.

Хотя ни одно имя куска глины c не является абсолютно жестким, это не препятствует введению имени c, которое обозначает c в любое время (или в любом возможном мире). (Kraut 1980 обсуждает связанное понятие относительной жесткости.)

Существует, однако, некоторая двусмысленность в понятии имени куска глины, поскольку кусок глины может быть любым числом абсолютно различных объектов. Идея относительной жесткости предполагает, что имя куска глины отсылает с учетом некоторого параметра р к любому объекту, который считается куском глины по отношению к данному параметру. Этого может быть достаточно в случае куска глины, но в других случаях это не так.

По отношению к фиксированному параметру p не может быть уникального объекта, служащего в качестве референта имени. Например, если какое-либо количество частей собаки считается в определенное время одной и той же собакой, то какой из этих объектов служит референтом «Оскара»? Мы пока оставим этот вопрос открытым, но предположим, что, возможно, стоит рассматривать такие имена, как «Оскар», как инстанциональные термины — термины, вводимые в дискурс посредством экзистенциальной инстанциации. Имя «Оскар» может быть принято как обозначение репрезентативного члена класса эквивалентности различных объектов, квалифицирующихся как та же собака, что и Оскар. Отсюда следует, что большинство обычных имен являются инстанциональными терминами. (Иной вариант можно встретить в Geach 1980, где проводится различие между именем объекта и именем для объекта; см. Noonan 1997, где разбирается различие Гича.)

Парадокс корабля Тесея

В этом случае может показаться, что у сторонника относительного тождества, релятивиста, нет преимущества перед сторонником абсолютного, абсолютистом. Проблема явно не в том, чтобы примирить LL с обычными суждениями о тождестве, и предоставляемое RI преимущество кажется неприменимым. Опираясь на RI, Гриффин (Griffin 1977) утверждает, что изначальный и реконструированный корабль — это тот же самый корабль, но не та же самая совокупность досок, тогда как пересобранный корабль — это та же совокупность досок, что и оригинальный, но не тот же самый корабль. Это просто не решает проблему.

Проблема в том, что пересобранные и реконструированные корабли имеют prima facie равные права на то, чтобы быть изначальным, и поэтому ничем не обоснованные утверждения, что пересобранный корабль не является, в отличие от реконструированного корабля, изначальным, не поддерживаются.

Проблема в том, чтобы примирить мысль о том, что некоторые небольшие изменения (замена одной части или небольшой части) сохраняют тождество, с проблемой, иллюстрируемой примером сандалий из § 2.5. Оказывается тем не менее, что проблема заключается в том, чтобы справиться с эксцессами LL. Чтобы решить ее, нам нужен дополнительный уровень относительности. Чтобы мотивировать подобный ход, рассмотрим следующий абстрактный аналог примера сандалий.

Слева находится объект P, состоящий из трех частей: P1, P2, и P3. Справа находится точно такой же, но нетождественный объект Q, состоящий из точно таких же частей, Q1, Q2, и Q3, в точно таком же расположении. Для иллюстрации мы принимаем правило, что только замена (самое большее) одной части точно такой же частью сохраняет тождество. Предположим теперь, что мы меняем местами части P и Q. Мы начинаем с замены P1 на Q1 в P и заменяем Q1 на P1 в Q, чтобы получить объекты P1 и Q1. Так, P1 состоит из частей Q1, P2, и P3, а Q1 состоит из частей P1, Q2, и Q3. Затем мы заменяем P2 в P1 на Q2, чтобы получить P2, и т.д. При нашем выборочном критерии тождества и допущении транзитивности тождества P и P3 считаются теми же, что Q и Q3. Но это, судя по всему, совершенно неправильный результат. Интуитивно P и Q3 одинаковы, как Q и P3. Ведь P и Q3 состоят из совершенно одинаковых частей, сложенных точно таким же образом, и аналогично для Q и P3. Кроме того, Q3 (P3) можно рассматривать просто как результат разделения P (Q) и его объединения в несколько ином месте. И эта последняя разница может быть устранена путем переключения положений P3 и Q3 в качестве последнего шага в процессе.

Предположим, однако, что мы заменим наш критерий тождества следующим более усложненным правилом: x и y одинаковы относительно z, если оба x и y отличаются от z не более чем на одну часть. (Это отношение является транзитивным и фактически — отношением эквивалентности.) Например, P, P1, Q2, и Q3 одинаковы по отношению к P, но Q, Q1, P2 и P3 — нет. Конечно, замена одной детали — это искусственный критерий тождества. В реальных случаях это будет вопрос степени или вида отклонения от оригинала (представленного третьим параметром, z). Основная идея в том, что тождество через изменение не является вопросом тождества через последовательные, накопленные изменения — это понятие конфликтует как с интуитивным представлением (как в примере сандалии), так и с аргументом Крипке: объекты могут эволюционировать в другие объекты путем последовательных изменений. Трехместное отношение тождественности не удовлетворяет LL и согласуется с мировоззрением релятивиста. Гупта (Gupta 1980) развивает несколько похожую идею в деталях. Уильямсон (Williamson 1990) предлагает несколько иной подход, но тот, который, как и выше, рассматривает тождество через изменение как отношение эквивалентности, которое не удовлетворяет LL.

Парадокс Чёрча

Аргумент Чёрча подразумевает, что, если доксастическая позиция Пьера такова, как описано в § 2.6, то Лондон и Лондрес — разные объекты. Если исходить из стандартного взгляда на тождество, получается, что либо доксастическая позиция Пьера не может быть такой, как описано, либо Лондон и Лондрес — это разные города (или же мы должны рискнуть чем-то еще). Поскольку Лондон и Лондрес — не разные города, то традиционный взгляд на тождество предполагает, что доксастическая позиция Пьера не может быть такой, как описано (или же мы должны рискнуть чем-то еще).

Такова была собственная позиция Чёрча в отношении некоторых парадоксов синонимии, таких как задача Мейтса (Mates 1952). Чёрч считал, что тот, кто верит, что адвокаты — это адвокаты, должен действительно верить, что адвокаты — это юристы, несмотря на любой отказ согласиться (или желание не согласиться) с тем, что «адвокаты — это юристы» (Church 1954). Крипке (1986) решил, что согласие и отказ от согласия должны приниматься за чистую монету (по крайней мере в случае с Пьером), и доксастическая позиция Пьера такова, как описано. Крипке решил рискнуть, заключив, что проблема является таковой для любой «логики» убеждения. Вместо этого релятивист приходит к выводу, что (a) доксастическая позиция Пьера такова, как она описана, (b) если это так, то Лондон и Лондрес — различные объекты, и (c) Лондон и Лондрес тем не менее суть один и тот же город. Можно ли использовать это разрешение парадокса Чёрча для решения загадки Фреге (Salmon 1986) или загадки Крипке (1986), остается неясным. Кримминс (Crimmins 1998) недавно предположил, что анализ пропозициональных установок требует понятия «семантического притворства». Сообщая о доксастической позиции Пьера, мы притворяемся, что Лондон и Лондрес — это разные города, смыслы (по Фреге) которых различны. Цель Кримминса состоит в том, чтобы примирить (a), (c) и следующее (d): что чистая семантика имен собственных («Лондон», «Лондрес») является миллеанской или непосредственно референциальной (Крипке 1986). Релятивист предлагает именно такое примирение, но предполагает, что притворство может быть отброшено.

Абсолютное тождество

Философ П. Т. Гич впервые затронул тему относительного тождества и ввел понятие «относительное тождество». На протяжении многих лет Гич предлагал конкретные примеры RI (вариант случая Оскара и его хвоста появился в Geach 1980) и таким образом способствовал развитию слабого взгляда на относительное тождество, то есть мнения, что обычные отношения тождества часто относительны, но некоторые нет. Но Гич утверждает, что абсолютного тождества не существует. В чем состоит его аргумент?

Трудно сказать. Гич выдвигает двух «соломенных чучел» претендентов на абсолютное тождество, одного в начале обсуждения, другого в конце, и легко избавляется от обоих. В промежутке он развивает интересный и влиятельный аргумент в пользу того, что тождество, даже формализованное в системе FOL=, является относительным. Однако Гич считает, что этим аргументом он доказал, что абсолютного тождества не существует. В конце своего первоначального представления аргумента в своей статье 1967 года Гич отмечает:

Мы считали, что у нас есть критерий для предикабилии, выражающей строгое тождество [т.е., как говорит Гич, «строгое, абсолютное, безоговорочное тождество»], но он развалился прямо у нас на глазах; и до сих пор не было предложено никакого альтернативного строгого критерия, который мог бы заменить его. (Geach 1972: 241)

Оказывается, как мы увидим, что на глазах разваливается лишь ложное представление о том, что в FOL= символ тождества определяет отношение I(A,x,y). Давайте подробно рассмотрим ход рассуждений Гича, сосредоточившись на изложении в его статье 1967 года, locus classicus понятия относительного тождества.

Гич начинает с убеждения, что простое утверждение тождества «x и y суть одно и то же» нуждается в завершающем предикате: «x и y — это одно и то же F». Фреге утверждал, что утверждения числа, такие как «это один», требуют завершающего предиката: «это один F». И, по словам Гича, в случае утверждений тождественности это действительно так. Это естественный взгляд сторонника RI. Последний даже не может быть сформулирован без завершающих предикатов. Тем не менее, как само утверждение, так и аналогия с Фреге были поставлены под сомнение. Одни авторы утверждают, что аналогия с Фреге неверна, другие — что, хотя аналогия верна, и Фреге, и Гич ошибаются (Perry 1978, Bennett and Alston 1984). Данные вопросы будут рассмотрены более подробно в обновленной версии этой статьи. Они не имеют прямого отношения к вопросу о согласованности и истинности RI или к вопросу об абсолютном тождестве. Тот, кто принимает слабый взгляд, не захочет соглашаться с Гичем в этом вопросе. И можно поддерживать «завершающий тезис», не будучи сторонником RI. Кроме того, завершающий тезис играет загадочную роль в рассуждении Гича. Сразу после своего утверждения тезиса Гич формализует FOL= на основе единственной формулы:

W: φ(a) ↔ ∃x(φ(x) ∧ x = a)

(«W» взят по имени Хао Ваня, который первым предложил это. Читателю предлагается доказать Ref и LL от W.) Но никто не жалуется на синтаксис W, несмотря на то, что он включает в себя, казалось бы, нерелятивизированный символ тождества. Оказывается, однако, что Гич, по-видимому, думает о завершающем предикате как о данном всем описательным аппаратом L или его фрагментом.

Гич переходит к следующему:

Здесь «I-атрибут» —это двоичный символ отношения ‘=’, удовлетворяющий (W). Внимание Гича в этом пункте сосредоточено на необходимости релятивизации I-атрибута к теории Т. Тогда Гич немедленно оспаривает абсолютное тождество высказыванием, что для «реального тождества» не нужно вводить идеологию определенной теории. Таково первое «соломенное чучело» Гича. Когда логики, обсуждая FOL=, говорят о «реальном тождестве» — а они часто так делают (см. Enderton 2000 или Silver 1994, например) — они не имеют в виду отношения универсального тождества, поскольку универсального множества не существует. Они также не намерены, формулируя LL, использовать «истинно» совершенно неограниченным образом, что порождает семантические парадоксы. Это не аргумент против тех, кто хочет отличить простую неразличимость от реального тождества, чтобы сказать, что они «скоро впадут в противоречия», например, противоречия Греллинга или Рассела. Отношение I(A,x,y) достаточно релятивизировано. (Оно релятивизировано ко множеству A.)

Мы подошли к главному пункту:

Основанием для этого утверждения может служить только языковая относительность тождества, если рассматривать его как нелогическое понятие (см. § 1). То, что именно это имеет в виду Гич, ясно из некоторых одобрительных замечаний, которые он делает в своей статье 1973 года о предложении Куайна (2008) рассматривать тождество как нелогическое понятие. Но как же отсюда следует, что абсолютного тождества не существует? Гич, похоже, думает, что защитник абсолютного тождества будет искать в Ref и LL (или W) — а не за их пределами — полную теорию о «строгом, абсолютном, безоговорочном» тождестве. Но это не так. Тот факт, что эти формулы сами по себе определяют только отношения неразличимости, является логическим общим местом. Таково второе «соломенное чучело» Гича.

Является ли аргумент Гича по крайней мере доводом в пользу относительности тождества? Поддерживает ли языковая относительность вывод о том, что RI верно даже для тождества, формализованного в FOL=? Общая идея, по-видимому, состоит в том, что языковая относительность предполагает, что мы принимаем тождество за неразличимость и заключаем, что объекты, тождественные по отношению к одной идеологии F, могут отличаться по отношению к другой идеологии G, и что это подтверждает RI. Заметьте прежде всего, что этот аргумент опирается на тождество неразличимых: неразличимость влечет тождество. Данный принцип не действует в FOL= даже тогда, когда последний рассматривается как собственная теория. Языковая относительность не означает, что различение различных объектов не может остаться незамеченным.

Во-вторых, интересные случаи RI не предполагают перехода от обедненной точки зрения к улучшенной — независимо от того, рассматривается ли она в эпистемологических терминах (что оспаривается в Geach 1973) или же в чисто логических. Мы не утверждаем, что старый Оскар и молодой Оскар, например, являются одной и той же собакой на том основании, что существует идеология, в отношении которой старый Оскар и молодой Оскар неотличимы.

Такая идеология была бы неспособна описать какие-либо изменения в Оскаре.

Верно, что отношение одной и той же собаки определяет набор предикатов, которые не различают членов определенных пар собак — например, упомянутых ранее собак на фотографиях. И верно, что эти предикаты определяют подъязык, в котором отношение одной и той же собаки является конгруэнтностью, то есть ни один предикат подъязыка не отличает x от y, если x и y — одна и та же собака. Но сам смысл таких утверждений, как то, что старый Оскар и молодой Оскар — одна и та же собака, требует языка, в котором изменение Оскара выразимо. В конце концов, мы говорим о старом Оскаре и молодом Оскаре. Если мы серьезно отнесемся к идее, что изменение предполагает применение несовместимых предикатов, то подъязык не сможет выразить контраст между старым Оскаром и молодым Оскаром.

В-третьих, феномен языковой относительности (в специальном смысле, обсуждаемом в § 1) привел многих философов, включая Гича, к мнению, что идеология порождает онтологию. Не существует заведомо данных областей объектов, уже индивидуированных и ожидающих своего описания. Вместо этого теории разделяют мир различными способами, делая некоторые вещи заметно различимыми, а другие — неразличимыми, в зависимости от дескриптивных ресурсов теорий. Само понятие объекта связано с теорией (Kraut 1980). Подобный вид антиреализма может показаться идущим рука об руку с относительным тождеством. Теория моделей, однако, реалистична по своей сути, а языковая относительность — это теоретико-модельный феномен. Это вопрос определимости (в структуре). Возвращаясь к § 1, чтобы понять языковую относительность, мы должны начать с пары различных объектов a и b (отличных с точки зрения метаязыка), и, следовательно, пары объектов, которые, по нашему мнению, уже индивидуированы. Такие объекты, однако, неразличимы в M, так как никакая формула L ' не определяет подмножество M, содержащее один объект, а не другой. Когда мы переходим к M', мы обнаруживаем, что существует формула обогащенного языка, которая определяет такое подмножество в M'.

Мы должны предположить, что объекты a и b различны, чтобы описать это явление. Если мы живем в М и подозреваем, что марсиане, живущие в М', могут отличить a от b, то наше подозрение не сводится только к тому, что марсиане определяют вещи иначе, чем мы. Наша собственная теория моделей говорит нам, что это еще не все. Мы должны подозревать, что a и b и впрямь абсолютно различны. Если мы слепы к различию между a и b, а марсиане — нет, тогда разница должна существовать; и даже если мы живем в M, мы знаем, что есть разница, или по крайней мере можем подозревать, что она есть, поскольку теория моделей говорит нам, что такое подозрение вполне обоснованно.

Вернемся к замечанию Гича о том, что нам «не требуется» интерпретировать тождество в абсолютном ключе. Хотя это верно, нам не нужно и интерпретировать его как неразличимость. Всегда существуют фактор-структуры (Куайн 2010). Вместо того чтобы считать нашу «реальность» M, а наше «тождество» неразличимым в M, мы можем перейти к фактор-структуре QM, элементами которой для x в M являются классы эквивалентности [x]. Если x и y неразличимы в M, то в QM [x] и [y] абсолютно тождественны. Мы можем сделать это, даже если хотим рассматривать FOL= как собственную теорию. Например, предположим, что L′ — это язык, в котором люди, имеющие одинаковый доход, неразличимы. Область M теперь состоит из людей. QM, однако, состоит из групп доходов, классов эквивалентности людей, имеющих одинаковый доход, и тождество в QM абсолютно. Гич возражает против такой переинтерпретации через фактор-структуры на том основании, что она увеличивает онтологические обязательства не только L', но и любого языка, подъязыком которого является L'.

Сосредоточимся сначала на L′. С чисто теоретико-модельной точки зрения этот вопрос является спорным. Мы не можем отрицать, что QM — это структура для L'. Таким образом, L' определяется к людям по отношению к одной структуре и к доходным группам по отношению к соответствующей фактор-структуре. Но притворимся, что эти структуры являются «репрезентациями реальности», и тогда возникает вопрос: какая репрезентация предпочтительнее? Есть ли тогда какая-либо причина предпочесть онтологию M онтологии QM? М содержит людей, а не множества людей, в то время как QM содержит множества людей, но не людей.

По критерию онтологического обязательства Куайна (быть — значит быть значением переменной), обязательство, принимаемое по отношению ко множеству объектов, не несет в себе обязательств по отношению к его элементам. Это одно из странных следствий критерия Куайна. Если нет какой-то онтологической причины предпочесть людей множествам людей (возможно, потому, что множества никогда не должны быть предпочтительными), онтологии M и QM кажутся в значительной степени на одном уровне. Оба относят L′ к одному виду вещей.

Гич делает дополнительное утверждение, что онтологические отношения подъязыка L′ языка L наследуются L (Geach 1973). Предположим тогда, что L — это язык, содержащий выражения для нескольких отношений эквивалентности, определенных на людях: скажем, тот же доход, та же фамилия и та же работа. Гич утверждает, что L должен брать в качестве обязательства лишь существование людей. Такие вещи, как группы доходов, рабочие группы (классы эквивалентности людей с одной и той же работой) и однофамильцы, могут быть подсчитаны с использованием эквивалентностей без вовлечения однофамильцев, рабочих групп и групп доходов. Рассмотрим любой подъязык, для которого любое из этих отношений эквивалентности является конгруэнтностью, то есть для которого выполняется LL'. Выберем язык, L1, например, в котором люди, имеющие одну и ту же работу, неразличимы. Точнее, мы предполагаем, что T1 — это чистая теория с тождеством, идеология которой ограничена языком L1. Пусть M1 — модель T1. Мы можем представить область M1 состоящей из людей, и мы можем интерпретировать неразличимость в M1 как отношение x и y имеют одну и ту же работу. Гич утверждал бы, что если L1 относится к элементам QM1 — группам той же работы — то тогда и L. Но это не истинно. Если T — это теория трех различных отношений эквивалентности, сформулированных в L, то наибольшие T (или L) были бы связаны с разделениями, определяемыми отношениями эквивалентности; и в любом случае было бы совершенно логично настаивать на том, что, каковы бы ни были онтологические обязательства L1, реальность, описанная L, состоит из людей.

Вышеприведенные соображения довольно абстрактны. Чтобы лучше понять, что поставлено на карту, сосредоточимся на конкретном примере. Гич (Geach 1967) упоминает, что рациональные числа определяются с точки зрения теории множеств как классы эквивалентности целых чисел, детерминированные отношением эквивалентности, определенным «дробями», то есть упорядоченные парами целых чисел (½ — это <1,2>, 2/4 — это <2,4> и т.д.). Он предполагает, что вместо этого мы можем интерпретировать нашу теорию рациональных чисел как теорию о самих дробях, принимая I-атрибут нашей теории как следующее отношение эквивалентности E:

R: E(<x,y>, <u,v>), если и только если xv = yu.

Этот подход, по мнению Гича, поможет «облегчить теоретико-множественное бремя теории. (В нашем примере не надо вносить бесконечные множества упорядоченных пар целых чисел в теорию рациональных чисел)».

Первое, что следует отметить в этом примере, — это то, что E не может быть I-атрибутом для такой теории, поскольку E определяется в терминах тождества (см. правую сторону R). Именно ‘=’ должно служить I-атрибутом, и оно делает различимыми различные упорядоченные пары целых чисел. Мораль в том, что не все отношения эквивалентности могут быть привлечены для выполнения работы тождества, даже учитывая ограниченную идеологию. Существует, действительно, правдоподобный аргумент, что любое отношение эквивалентности предполагает тождество — необязательно прямым образом, иллюстрируемым (R), но тем не менее косвенно (см. § 6). Более того, с точки зрения общей математики, как только у нас появляется (R), у нас появляются и (бесконечные) классы эквивалентности, которые оно определяет, и разделение, которое оно вызывает. Они неизбежны. Даже с более ограниченной точки зрения кажется, что как только у нас будет достаточно теории множеств, чтобы дать нам упорядоченные пары целых чисел и возможность определить (R), мы получим разбиение, которое она вызывает.

Гич видит онтологическое преимущество в относительном тождестве, но его аргументы неубедительны. Переход к фактор-структурам Куайна не приводит к «барочной, мейнонгианской онтологии» (Geach 1967). В частности, «родной язык» (L) не наследует обязательства фрагмента (L1), и онтология произвольной модели чистой теории тождества, которая базируется на последнем языке, по крайней мере не более разнообразна, чем онтология соответствующей фактор-модели. Существует, однако, ряд способов, с помощью которых относительное тождество действительно преуспевает в том, чтобы избежать приверженности определенным сущностям, требуемым ее абсолютным соперником. Эти вопросы рассматриваются в ответах на возражения 4 и 5 в следующем разделе.

Возражения и ответы

Нижеследующее представляет собой «начальный» набор возражений и ответов, касающихся относительного тождества и/или аспектов вышеупомянутого изложения относительного тождества и его соперника. Временные и пространственные ограничения препятствуют более длительной дискуссии. Кроме того, нет никакого изначального предположения, что обсуждаемые ниже возражения являются наиболее важными или что первоначальные ответы на них не являются ошибочными. Следует надеяться, что нынешняя дискуссия перерастет в более полномасштабную дискуссию, в которой будут участвовать как автор, так и читатели. Если обсуждение затянется, старые или неоспоримые возражения и/или ответы могут быть помещены в архив.

Возражение 1: «Релятивистские теории тождества, все из которых несовместимы с законом Лейбница, в настоящее время пользуются небольшой поддержкой. Сомнения относительно них заключаются в следующем: (а) действительно ли они являются теориями нумерического тождества, (б) можно ли сделать их внутренне непротиворечивыми и (в) достаточно ли они мотивированы». (Burke 1994)

Ответ: В обратном порядке: (в) Вопросы, обсуждаемые в § 2 и § 4, безусловно, достаточно мотивированы. (б) Никогда не поступало никаких доказательств противоречивости от противников относительного тождества, и на самом деле слабый взгляд последователен, поскольку он имеет модель в теории отношений подобия. Аргументы, изложенные во втором абзаце § 3, часто цитируются в качестве демонстрации того, что относительное тождество некогерентно; но они показывают только, что RI несовместимо с (неограниченным) LL. (а) См. ответы на возражения 2 и 3 ниже.

Возражение 2: Если отношение тождества подчиняется только ограниченной форме LL — если оно сохраняет только некоторые свойства, а не все, — то как мы можем сказать, какие свойства служат для индивидуации пары различных объектов?

Ответ: Отношения подобия удовлетворяют только ограниченным формам LL. Как же тогда мы можем сказать, какие свойства сохраняются отношением одинаковой формы, а какие нет? Не стоит возражать против тезиса, что отношения тождества вообще сохраняют одни свойства, а не другие, чтобы попытаться узнать, какие из них какие. В лучшем случае возражение указывает на проблему, с которой мы все равно должны столкнуться (в случае подобия). В общем случае свойство сохраняется отношением эквивалентности, если оно «распространяется» в классе эквивалентности, определяемом отношением: если один член класса обладает свойством, то им обладает и каждый член класса. Каждое свойство распространяется в синглетоне, как требует абсолютное тождество.

Возражение 3: Если утверждения тождественности суть простые эквивалентности, то что отличает тождество от простого подобия?

Ответ: Различие между утверждениями (или высказываниями) тождества и подобия обычно проводится в терминах различия между субстантивными и адъективными общими существительными. Если F — общее существительное, обозначающее вид вещей, например, «лошадь», то «x и y суть одно и то же F» — это утверждение тождества, тогда как если F — общее существительное, обозначающее вид свойств вещей, то «x и y суть и то же F» — утверждение подобия. (Интересно отметить, что, когда существительное является собственным, то есть именем собственным, результатом является утверждение подобия, а не тождества — как в высказывании «он не тот Билл, которого мы знали раньше»). Это различие покоится в конечном счете на метафизическом различии между субстанцией и атрибутом, объектом и свойством. Хотя это различие, несомненно, предполагает концепцию индивидуации (теория пучков, например, предполагает, что у нас имеются средства индивидуации свойств), нет никаких очевидных оснований предполагать, что оно влечет за собой отрицание RI, то есть утверждение, что ни один экземпляр RI не является истинным. Начальный обзор вопросов, касающихся субстанции и атрибута, с исторической точки зрения можно прочесть в O’Connor 1967; более продвинутое и современное обсуждение см. в статье о свойствах SEP.

Возражение 4: Рассмотрим следующий предполагаемый пример RI:

1. A — тот же тип слова, что и B, но A и B — разные токены слова.

«Если ‘A’ и ‘B’ отсылают к одним и тем же объектам на протяжении (1), то первый конъюнкт (1) не является утверждением тождества, и контрпример (к тезису о том, что ни один экземпляр RI не является истинным) терпит неудачу. Если оба конъюнкта являются утверждениями тождества в требуемом смысле, ‘A’ и ‘B’ должны отсылать к типам слов в первом конъюнкте и токенам слов во втором, и контрпример терпит неудачу» (Perry 1970).

Ответ: Во-первых, если «в требуемом смысле» означает «удовлетворяет LL», то возражение выглядит правильным только благодаря постановке вопроса. Сторонники относительного тождества будут утверждать, что отношение A — тот же тип слова, что и B, является определенным токенами отношением тождества, которое не удовлетворяет LL.

Во-вторых, даже если некто настаивает, что в этом случае соображение диктует, что если A и B относятся к токенам в обоих конъюнктах (1), то «A — тот же тип слова, что и B» выражает только отношение подобия: A и B являются токенами одного и того же типа, существуют и другие случаи, когда интуитивно оба конъюнкта RI включают отношения тождества, и все же соответствующие термины относятся к одному и тому же виду вещей; например,

1. A и B — одна и та же собака, но A и B разные физические объекты;

как говорится о молодом Оскаре и старом Оскаре. Здесь нет никакого соблазна предполагать, что отношение А и B — это одна и та же собака вовсе не является отношением тождества. Можно сослаться на теорию — например, теорию темпоральных частей, — которая истолковывает отношение как определенный вид подобия, но это теория, а не дотеоретическая интуиция. Это не возражение против теории релятивизма, которая в какой-то мере утверждает, что «A и B — одна и та же собака» выражает отношение примитивного тождества, что существует альтернативная теория, согласно которой она выражает отношение подобия, возникающее между двумя темпоральными частями одного и того же объекта. Кроме того, в случае (2) A и B отсылают, опять же интуитивно, к одним и тем же вещам в обоих конъюнктах.

В-третьих, есть случаи, когда теория относительного тождества действительно обладает онтологическим преимуществом. Пусть

1. A и B — это один и тот же кусок глины, но A и B — разные статуи.

Предположим, что A и B отсылают к одному виду вещей — кусочкам глины — в первом конъюнкте и к другому — статуям — во втором конъюнкте. Допустим, что кусок глины c, обозначенный A в первом конъюнкте, образует в момент времени t статую s. Тогда, если предположить, что статуи являются физическими объектами, существуют два различных физических объекта, принадлежащих к разным видам, занимающим одно и то же пространство в точке t. Некоторые, особенно Уиггинс (Wiggins 1980), считают, что это вполне возможно: различные физические объекты могут занимать одно и то же пространство в одно и то же время, если они принадлежат к разным видам. Теория темпоральных частей поддерживает и поощряет эту точку зрения. Статуя может быть темпоральной частью темпорально протяженного куска глины. Но одна статуя, похоже, не может быть темпоральной частью другой. Но даже в этом случае двойственность конституирующей и конституируемой вещи не является однозначной (ср. Lewis 1993), и релятивист не стремится к этому.

Опять же, рассмотрим

1. A и B — это одна и та же книга, но A и B — разные экземпляры (книги).

Можно сказать, что в первом конъюнкте A и B отсылают к книгам (абсолютно одна и та же книга), тогда как во втором конъюнкте A и B отсылают к (абсолютно разным) экземплярам. Но предполагаемая двойственность книг и экземпляров книг является непростительной, и релятивист не стремится к ней. У философа нет причин признавать, что мы на самом деле не покупаем и не читаем книг; вместо этого мы покупаем и читаем только экземпляры книг. Любой экземпляр книги — это такая же «книга сама по себе», как и любой другой экземпляр. Любой экземпляр книги — это та же самая книга, что и любой другой экземпляр. Нельсон Гудмен однажды заметил, что «любая точная копия стихотворения — такое же оригинальное произведение, как и любая другая копия» (Goodman 1968). Гудман не предполагал, что различие между стихотворением и его копией куда-то исчезает. Если же оно все-таки исчезает, то у нас есть объяснение, почему любая точная копия является таким же оригинальным произведением, как и любая другая: любая копия — это то же произведение, как и любое другое.

Возражение 5: Гич замечает: «Что касается нашего признания атрибутов относительного тождества: любое отношение эквивалентности… может быть использовано для спецификации критерия относительного тождества». Но § 3 выше содержит контрпример. Некоторые отношения эквивалентности определяются в терминах I-предикабилии теории и, следовательно, не могут служить таковыми. (Любая пара I-предикабилий для фиксированной теории эквивалентна.) На самом деле кажется, что любое отношение эквивалентности предполагает тождество (ср. McGinn 2000). Например, отношение x и y одного и того же цвета предполагает тождество цветов, поскольку оно означает, что существуют цвета C и C′ такие, что у x есть C и у y есть C′, и C = C′. Следовательно, тождество логически предшествует эквивалентности.

Ответ: Это хорошее возражение. Оно, по-видимому, показывает, как говорит возражающий, что тождество логически предшествует обычным отношениям подобия. Однако здесь уместно различие между отношениями первого и высшего порядка. Традиционно отношения подобия, такие как x и y одного и того же цвета, представлены, как указано в возражении, как отношения более высокого порядка, включающие тождества между объектами (свойствами) более высокого порядка. Однако такая трактовка не является неизбежной. У Дойча (Deutsch 1997) предпринята попытка трактовать отношения подобия вида «x и y суть одно и то же F» (где F — адъективно) как примитивные, чисто логические отношения первого порядка (см. также Williamson 1988). В случае успеха трактовка подобия как отношения первого порядка показала бы, что впечатление о предшествовании тождества эквивалентности является ошибочным — из-за предположения, что обычный взгляд на отношения подобия как на отношения более высокого порядка является единственно возможным.

Возражение 6: Если на третий день c' = s2, как утверждает текст, то, по NI, то же самое верно и на второй день. Но текст также утверждает, что во второй день c = s2; однако c ≠ c′. Здесь рассогласование.

Ответ: Термин s2 не является абсолютно жестким десигнатором, и поэтому NI не применяется.

Возражение 7: Понятие относительного тождества является несогласованным: «Если кошка и одна из ее собственных частей — это одна и та же кошка, то какова масса этой кошки?» (Burke 1994)

Ответ: Молодой Оскар и старый Оскар — это одна и та же собака, однако спрашивать «Какова масса этой собаки?» бессмысленно. Учитывая возможность изменения, тождественные объекты могут отличаться по массе. С точки зрения относительного тождества это означает, что различные логические объекты, которые являются одинаковыми F, могут отличаться по массе — и по множеству других свойств. Оскар и Оскар-минус — это разные физические объекты, а, следовательно, и разные логические объекты. Различные физические объекты могут отличаться по массе.

Возражение 8: Мы можем разрешить парадокс 101 далматинца, обратившись к понятию «почти тождества» (Lewis 1993). Можно признать в свете «проблемы многих» (Unger 1980), что 101 часть собаки — это собаки, но мы также можем утверждать, что 101 собака — это не много; ибо они «почти одна». Почти-тождество не является отношением неразличимости, поскольку оно не транзитивно и поэтому отличается от относительного тождества. Это вопрос пренебрежимого различия. Ряд пренебрежимых различий может сложиться в одно, которое не является пренебрежимым.

Ответ: Разница между Оскаром и Оскаром-минус не является пренебрежимой, и они не почти-тождественны. Льюис признает этот момент, но предлагает объединить почти тождество с сверхоценками (supervaluations), чтобы разработать смешанное решение парадокса. Решение сверхоценки начинается с предположения, что одна и только одна из частей собаки — это собака (а также далматинец и Оскар), но не имеет значения, какая именно. Не имеет значения, потому что мы еще не решили, какая, и мы не собираемся. Поскольку верно, что любое такое решение делает одну и только одну собаку частью собаки, то ясно и истинно, то есть сверхистинно, что есть одна и только одна собака. Но не вполне очевидно, что данный подход имеет какое-либо преимущество перед подходом относительного тождества; фактически он, по-видимому, создает экземпляры RI. Сравните: к велосипеду Фреда прикреплена корзина. Обычно мы обсуждаем разницу между велосипедом Фреда с прикрепленной корзиной и велосипедом Фреда без корзины. (В этом отношении случай с велосипедом Фреда несколько отличается от случая с Оскаром и Оскаром-минус. Мы не склонны игнорировать это различие.) В частности, мы не говорим, что у Фреда есть два велосипеда, даже если мы допускаем, что велосипед-минус Фреда — это велосипед. И относительное тождество, и сверхоценки подтверждают это соображение. Однако и относительное тождество, и сверхоценки также подтверждают, что велосипед Фреда и велосипед-минус Фреда — абсолютно разные объекты. То есть утверждение, что велосипед Фреда и велосипед-минус Фреда различны, является сверхистиной. Таким образом, метод сверхоценки утверждает, что велосипед Фреда и велосипед-минус Фреда являются различными объектами и что существует один и только один (релевантный) велосипед. Это RI, или почти оно. Сверхоценочный подход является не столько альтернативой относительному тождеству, сколько его формой.

Библиография

●       Крипке, С., 1982. Тождество и необходимость // Новое в зарубежной лингвистике. Вып. XIII. М., 1982 [1971].

●       Крипке, С., 1986. Загадка контекстов мнения // Новое в зарубежной лингвистике. Вып. XVIII. М. [1979].

●       Куайн, У. В. О., 2000. Слово и объект. М.: Праксис; Логос [1960].

●       Куайн, У. В. О., 2008. Философия логики. М.: Канон+ РООИ «Реабилитация» [1970].

●       Куайн, У. В. О., 2010. С точки зрения логики: 9 логико-философских очерков. М.: Канон+ РООИ «Реабилитация» [1963].

●       Baker, L. R., 1997: "Why Constitution is not Identity," Journal of Philosophy, 94: 599-621.

●       Bennett, J., and Alston, W., 1984: "Identity and Cardinality: Geach an Frege," Philosophical Review 93: 553-568.

●       Blanchette, P., 1999: "Relative Identity and Cardinality," Canadian Journal of Philosophy, 29: 205-224.

●       Burke, M., 1992: "Copper Statues and Pieces of Copper: A Challenge to the Standard Account," Analysis, 52: 12-17.

●       –––, 1995: "Dion and Theon: An Essentialist Solution to an Ancient Problem," The Journal of Philosophy, 91: 129-139.

●       Carrara, M., and Sacchi, E., "Cardinality and Identity," Journal of Philosophical Logic, 36: 539-556.

●       Carter, W. R., 1982: "On Contingent Identity and Temporal Worms," Philosophical Studies, 41: 213-230.

●       –––, 1987: "Contingent Identity and Rigid Designation," Mind, 96: 250-255.

●       –––, 1990: Elements of Metaphysics. New York: McGraw-Hill.

●       Cartwright, R., 1987: "On the Logical Problem of the Trinity." In Cartwright, R., Philosophical Essays. Cambridge, Mass.: MIT Press.

●       Chandler, H., 1971: "Constitutivity and Identity," Noûs, 5: 513-519.

●       –––, 1975: "Rigid Designation," The Journal of Philosophy, 72: 363-369.

●       –––, 1976: "Plantinga on the Contingently Possible," Analysis, 36: 106-109.

●       Chisholm, R. M., 1967: "Identity through Possible Worlds: Some Questions," Noûs, 1: 1-8

●       –––, 1969: "The Loose and Popular and Strict and Philosophical Senses of Identity." In Grim, R. H. and Case, R. (eds.), Perception and Personal Identity. Cleveland: Ohio University Press.

●       –––, 1973: "Parts as Essential to their Wholes," Review of Metaphysics, 26: 581-603.

●       Church, A., 1954: "Intensional Isomorphism and Identity of Belief," Philosophical Studies, 5: 65-73; reprinted in N. Salmon and S. Soames, 1988.

●       –––, 1982: "A Remark Concerning Quine's Paradox About Modality," Analisis Filosophico 2, (Spanish version). Reprinted in N. Salmon and S. Soames, 1988.

●       Crimmins, M., 1998: "Hesperus and Phosphorus: Sense, Pretense, and Reference", Philosophical Review, 107: 1-48.

●       Deutsch, H., 1997: "Identity and General Similarity," Philosophical Perspectives 12: 177-200.

●       Dummett, M., 1991: "Does Quantification involve Identity?", in H.A. Lewis (ed.), Peter Geach: Philosophical Encounters. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

●       Eglueta, R. and Jansana, R., 1999: "Definability of Leibniz Equality," Studia Logica, 63: 223-243.

●       Enderton, H., 2000: A Mathematical Introduction to Logic. New York: Academic Press.

●       Epstein, R., 2001: Predicate Logic. Belmont, CA: Wadsworth.

●       Evans, G., 1978: "Can There be Vague Objects?", Analysis, 38: 308.

●       Forbes, G., 1985: The Metaphysics of Modality. Oxford: Oxford University Press.

●       –––, 1994: "A New Riddle of Existence," Philosophical Perspectives, 8: 415-430.

●       Gallois, A., 1986: "Rigid Designation and the Contingency of Identity," Mind, 95: 57-76.

●       –––, 1988: "Carter on Contingent Identity and Rigid Designation," Mind, 97: 273-278.

●       –––, 1990: "Occasional Identity," Philosophical Studies, 58: 203-224.

●       Garbacz, P., 2002: "Logics of Relative Identity" Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 27-50.

●       –––, 1998: Occasions of Identity: A Study in the Metaphysics of Persistence, Change and Sameness. Oxford: Clarendon Press.

●       Geach, P.T., 1967: "Identity," Review of Metaphysics, 21: 3-12. Reprinted in Geach 1972, pp. 238-247.

●       –––, 1972: Logic Matters. Oxford: Blackwell.

●       –––, 1973: "Ontological Relativity and Relative Identity." In Munitz, M. (ed), Logic and Ontology. New York: New York University Press.

●       –––, 1980: Reference and Generality (third edition). Ithaca: Cornell University Press.

●       Gibbard, A., 1975: "Contingent Identity," Journal of Philosophical Logic, 4: 187-221.

●       Goodman, N., 1968: Languages of Art. Indianapolis and New York: Bobbs-Merrill Company.

●       Griffin, N., 1977: Relative Identity. New York: Oxford University Press.

●       Gupta, A., 1980: The Logic of Common Nouns. New Haven and London: Yale University Press.

●       Heller, M., 1990: The Ontology of Physical Objects. New York: Cambridge University Press.

●       Hinchliff, M., 1996: "The Puzzle of Change," Philosophical Perspectives, 10: 119-133.

●       Hodges, W., 1983: "Elementary Predicate Logic," in D. Gabbay and F. Guenthner, (eds), Handbook of Philosophical Logic, v.1, Dordrecht: Reidel.

●       Johnston, M., 1992: "Constitution is not Identity," Mind, 101: 89-105.

●       Koslicki, K., 2005: "Almost Indiscernible Objects and the Suspect Strategy," The Journal of Philosophy, 102: 55-77.

●       Kraut, R., 1980: "Indiscernibility and Ontology," Synthese 44: 113-135.

●       Kripke, S., 1972: "Naming and Necessity," in D. Davidson and G. Harmon, (eds.), Semantics of Natural Language. Boston: Reidel. Revised and reprinted as Kripke, 1980.

●       –––, 1980: Naming and Necessity. Oxford: Blackwell.

●       Lewis, D. K., 1986: On the Plurality of Worlds. Oxford: Blackwell.

●       –––, 1993: "Many But Almost One," in K. Campbell, J. Bacon, and L. Reinhardt (eds.), Ontology, Causality and Mind: Essays on the Philosophy of D.M Armstrong. Cambridge, England: Cambridge University Press. Reprinted in Lewis, 1999.

●       –––, 1999: Papers in Metaphysics and Epistemology. Cambridge, England: Cambridge University Press.

●       Lowe, E. J., 1982: "The Paradox of the 1,001 Cats," Analysis, 42: 128-130.

●       –––, 1989: Kinds of Being. Oxford: Basil Blackwell.

●       –––, 1995: "Coinciding Objects: In Defense of the ‘Standard Account," Analysis, 55: 171-178.

●       Mates, B., 1952: "Synonymity," in L. Linsky, (ed.), Semantics and the Philosophy of Language. Champaign-Urbana: University of Illinois Press.

●       McGinn, C., 2000: Logical Properties. Oxford: Blackwell.

●       Myro, G., 1985: "Identity and Time," in Philosophical Grounds of Rationality: Intentions, Categories, Ends, R. Grandy and R. Warner, (eds.). New York and Oxford: Oxford University Press.

●       Noonan, H., 1980: Objects and Identity. The Hague:

●       –––, 1983: "The Necessity of Origin," Mind, 92: 1-20.

●       –––, 1991: "Indeterminate Identity, Contingent Identity and Abelardian Predicates," The Philosophical Quarterly, 41: 183-193.

●       –––, 1993: "Constitution is Identity," Mind, 102: 133-146

●       –––, 1997: "Relative Identity." In B. Hale and C. Wright (eds), A Companion to the Philosophy of Language. Oxford: Blackwell.

●       Nozick. R., 1982: Philosophical Explanations. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

●       O'Connor, D.J., 1967: "Substance and Attribute." In P. Edwards, (ed.), The Encyclopedia of Philosophy, New York: Macmillan.

●       Oderberg, D., 1996: "Coincidence under a Sortal," The Philosophical Review, 105: 145-171.

●       Parsons, T., 2000: Indeterminate Identity. Oxford: Oxford University Press.

●       Parfit, D., 1984: Reasons and Persons. Oxford: Oxford University Press.

●       Perry, J., 1970: "The Same F," The Philosophical Review, 64: 181-200.

●       –––, 1978: "Relative Identity and Number," Canadian Journal of Philosophy 8: 1-15.

●       Rea, M., 1995: "The Problem of Material Constitution," The Philosophical Review, 104: 525-552.

●       Rea, M. (ed.), 1997: Material Constitution: A Reader. Lanham, MD: Rowman and Littlefield.

●       Read, S., 1995: Thinking About Logic. Oxford: Oxford University Press.

●       Salmon, N., 1979: "How Not to Derive Essentialism from the Theory of Reference," The Journal of Philosophy, 76: 703-725.

●       –––, 1986: "Reflexivity," Notre Dame Journal of Formal Logic, 27: 401-429. Reprinted in Salmon and Soames, 1988.

●       –––, 1989: "The Logic of What Might Have Been," Philosophical Review, 98: 3-34.

●       Salmon, N., and Soames, S. (eds.), 1988: Propositions and Attitudes. Oxford: Oxford University Press.

●       Sedley, D., 1982: "The Stoic Criterion of Identity," Phronesis, 27: 255-275.

●       Silver, C., 1994: From Symbolic Logic…to Mathematical Logic. Melbourne: Wm. C. Brown, Publishers.

●       Simons, P., 1987: Parts: A Study in Ontology. Oxford: Clarendon Press.

●       Swindler, J. K., 1991: Weaving: An Analysis of the Constitution of Objects. Savage, MD.: Rowman & Littlefield.

●       Thompson, J., 1998: "The Statue and the Clay," Noûs, 32: 149-173.

●       Unger, P., 1980: "The Problem of the Many," Midwest Studies in Philosophy, 5: 411-467.

●       Van Inwagen, P., 1981: "The Doctrine of Arbitrary Undetached Parts," Pacific Philosophical Quarterly, 62: 123-137.

●       –––, 1990: Material Beings. Ithaca, NY: Cornell University Press.

●       Wiggins, D., 1967: Identity and Spatio-Temporal Continuity. Oxford: Blackwell.

●       –––, 1968: "On Being in the Same Place at the Same Time," Philosophical Review, 77: 90-95.

●       –––, 1980: Sameness and Substance. Oxford: Blackwell.

●       Williams, C.J.F., 1990: What is Identity. Oxford: Oxford University Press.

●       Williamson, T., 1988: "First-order Logics for Comparative Similarity," Notre Dame Journal of Formal Logic, 29: 457-481.

●       –––, 1990: Identity and Discrimination. Oxford: Blackwell.

●       Yablo, S., 1987: "Identity, Essence and Indiscernibility," Journal of Philosophy, 84: 293-314.

●       Zalabardo, J., 2000: Introduction to the Theory of Logic. Boulder, Colorado: Westview Press.

●       Zemach, E., 1974: "In Defense of Relative Identity," Philosophical Studies, 26: 207-218.